0,5đ Chú ý: Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa... 0,5đ Chú ý: Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa... 0,5đ Chú ý :Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa... 1,0đ Chú ý :
Trang 1Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1 Đề số 1 K60
Câu 1 (2,0điểm) Cho dãy số thực xn = n + arctan n
n − arctan n, n ∈ N∗ Tìm lim
n→∞xn
Câu 2 (3,0điểm).
1) Tính giới hạn lim
x→0
xex 2
− sin x
x sin(x2) . 2) Viết khai triển Maclaurin với phần dư Peano của hàm số f (x) = x sin(x2)đến x7
Câu 3 (2,0điểm) Tìm các đường tiệm cận của đường cong
x(t) = t
2 (t − 1)(t − 2) y(t) = t
t2− 1
Câu 4 (2,0điểm) Tính tích phân suy rộng
+∞
Z
2
xdx
x3− 1.
Câu 5 (1,0điểm) Tính độ dài đường cong có phương trình tham số
x(t) = cos3t, y(t) = sin3t với 0 ≤ t ≤ 2π
Câu 1 (2,0điểm) Cho dãy số thực xn = n − arccot n
n + arccot n, n ∈ N∗ Tìm lim
n→∞xn
Câu 2 (3,0điểm).
1) Tính giới hạn lim
x→0
xex2 − tan x x(cos x − 1). 2) Viết khai triển Maclaurin với phần dư Peano của hàm số f (x) = x(cos x − 1) đến x7
Câu 3 (2,0điểm) Tìm các đường tiệm cận của đường cong
x(t) = t
(t + 1)(t + 2) y(t) = t
2
t2− 4
Câu 4 (2,0điểm) Tính tích phân suy rộng
+∞
Z
1
xdx
x3+ 1.
Câu 5 (1,0điểm) Tính độ dài đường cong có phương trình tham số
x(t) = t − sin t, y(t) = 1 − cos t với 0 ≤ t ≤ 2π
Trang 2Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1 Đề số 3 K60
Câu 1 (2,0điểm) Tính lim
n→∞(sin(√
n + 1) − sin(√
n))
Câu 2 (2,0điểm) Tính lim
x→0
2 arcsin x − sin(2x)
Câu 3 (3,0điểm).
1) Viết khai triển Maclaurin với phần dư Peano của hàm số f (x) = ln(1 + x) đến x4
2) Cho hàm số f (x) =
ln(1 + x) − ax − bx2
x2 với x ∈ (−1, +∞) \ {0}
Tìm a, b để f (x) khả vi tại x = 0
Câu 4 (2,0điểm) Khảo sát sự hội tụ và tính tích phân suy rộng
+∞
Z
1
arctan xdx (1 + x)2
Câu 5 (1,0điểm) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay miền
D = {(x; y)|1 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ ln x} quanh trục Oy
Câu 1 (2,0điểm) Tính lim
n→+∞(cos(√
n + 1) − cos(√
n))
Câu 2 (2,0điểm) Tính lim
x→0
2 arctan x − tan(2x)
Câu 3 (3,0điểm).
1) Viết khai triển Maclaurin với phần dư Peano của hàm số f (x) =√
1 + xđến x3
2) Cho hàm số f (x) =
√
1 + x − 1 − ax − bx2
x2 với x ∈ (−1, +∞) \ {0}
Tìm a, b để f (x) khả vi tại x = 0
Câu 4 (2,0điểm) Khảo sát sự hội tụ và tính tích phân suy rộng
+∞
Z
1
arccot xdx (1 + x)2
Câu 5 (1,0điểm) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay miền
D = {(x; y)|0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ex− 1} quanh trục Oy
Trang 3Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1 Đề số 5 K60
Câu 1 (2,0điểm).
1) Cho dãy số xn= √n
2016n+ 1, n ∈ N∗ Tìm lim
n→∞xn 2) Tính lim
x→0
excos x − 1 − x
x2ex
Câu 2 (2,0điểm) Tìm a ∈ R sao cho hàm số f(x) = |x − 2016| sin(ax) khả vi tại x = 2016 Câu 3 (2,0điểm) Cho hàm số f (x) = ln(2x − x2)
1) Viết công thức khai triển Taylor đến cấp 6 của hàm số f (x) tại x = 1
2) Tính f(6)(1)
Câu 4 (2,0điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x − 1
2x2
Câu 5 (2,0điểm) Tính các tích phân:
1) I =
1
Z
0
+∞
Z
3
dx (x + 1) (x − 2).
Câu 1 (2,0điểm).
1) Cho dãy số xn= √n
2016n− 1, n ∈ N∗ Tìm lim
n→∞xn 2) Tính lim
x→0
ex− 1 − x cos x
x2cos x .
Câu 2 (2,0điểm) Tìm a ∈ R sao cho hàm số f(x) = |x − 2016| cos(ax) khả vi tại x = 2016 Câu 3 (2,0điểm) Cho hàm số f (x) = e2x−x 2
1) Viết công thức khai triển Taylor đến cấp 6 của hàm số f (x) tại x = 1
2) Tính f(6)(1)
Câu 4 (2,0điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x + 1
2x2
Câu 5 (2,0điểm) Tính các tích phân:
1) I =
1
Z
0
+∞
Z
2
dx (x − 1) (x + 2).
Trang 4Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH 1 Đề số 7 K60
Câu 1 (3,0điểm).
1) Cho dãy số xn= √n
2n+ 1 + sin n, n ∈ N∗ Tìm lim
n→∞xn 2) Tính giới hạn lim
x→0
sin x + ex− 1 − 2x
x ln(1 + 2x) .
Câu 2 (2,0điểm) Cho hàm số f (x) = |x| sin x.
1) Chứng minh rằng hàm số khả vi với mọi x thuộc R
2) Hàm số f có khả vi cấp 2 tại điểm x = 0 hay không? Hãy giải thích
Câu 3 (2,0điểm) Tính đạo hàm cấp 10 tại điểm 0 của f (x) = (1 + x2) cos(x4)
Câu 4 (2,0điểm) Chứng minh rằng tích phân suy rộng Ik =
Z +∞
1
dx (1 + x2)(1 + xk) hội tụ với mọi tham số k ∈ R Tính tích phân với giá trị k = 1
Câu 5 (1,0điểm) Cho hàm số f liên tục trên [0; 2] thỏa mãn
Z 2 0
f (x)dx = −2 Chứng minh rằng tồn tại c ∈ [0, 2] sao cho f (c) = −1
Câu 1 (3,0điểm).
1) Cho dãy số xn= √n
3n+ 1 + cos n, n ∈ N∗ Tìm lim
n→∞xn 2) Tính giới hạn lim
x→0
cos x + ex− 2 − x
x ln(1 + 2x2) .
Câu 2 (2,0điểm) Cho hàm số f (x) = |x|(ex− 1)
1) Chứng minh rằng hàm số khả vi với mọi x thuộc R
2) Hàm số f có khả vi cấp 2 tại điểm x = 0 hay không? Hãy giải thích
Câu 3 (2,0điểm) Tính đạo hàm cấp 10 tại điểm 0 của f (x) = (1 + x) sin(x3)
Câu 4 (2,0điểm) Chứng minh rằng tích phân suy rộng Ik =
Z +∞
1
dx (1 + xk)(1 + x) hội tụ với mọi tham số k > 0 Tính tích phân với giá trị k = 2
Câu 5 (1,0điểm) Cho hàm số f liên tục trên [0; 2] thỏa mãn
Z 2 0
f (x)dx = 2 Chứng minh rằng tồn tại c ∈ [0, 2] sao cho f (c) = 1
Trang 5ĐÁP ÁN ĐỀ 1
Câu 1 (2đ) Biến đổi xn= 1 +
arctan n n
1 −arctan nn 0,5đ chứng minh limarctan n
n = 0 1,0đ
Giới hạn bằng 1 0,5đ
Câu 2 (3đ) 1) Sử dụng VCB tương đương lim
x→0
xex2 − sin x
x sin x2 = lim
x→0
xex2 − sin x
x3 0,5đ
Dùng khai triển Maclaurin = lim
x→0
x(1 + x2 + o(x2)) − (x − x63 + o(x3))
x3 0,5đ
= lim
x→0
7/6x3+ o(x3)
x3 0,5đ
= 76 0,5đ
2) Ta có sin(x2) = x2− x6/3! + o(x6) 0,5đ
Suy ra f (x) = x3− x7/3! + o(x7) 0,5đ
Câu 3 (2đ) Khi t → 2, lim x(t) = ±∞, lim y(t) = 2/3 ⇒ TCN y = 2/3 0,5đ Khi t → −1, lim y(t) = ±∞, lim x(t) = 1/6 ⇒ TCĐ x = 1/6 0,5đ Khi t → 1, lim y(t) = ±∞, lim x(t) = ±∞, lim y(t)/x(t) = −1/2 0,5đ
lim[y(t) + 1/2x(t)] = −5/4 ⇒TCX y = −x/2 − 5/4 0,5đ
x3− 1 =
1
3(
1
x − 1+
−x + 1
x2+ x + 1) 0,5đ
⇒
Z xdx
x3− 1 =
1
6ln
(x − 1)2
x2+ x + 1 +
1
√
3arctan
2x + 1
√
3 0,5đ
Do đó
+∞
Z
2
xdx
x3− 1 =
π
2√
3 −1
6ln
1
7 −√1
3arctan
5
√
3. 1,0đ
Câu 5 (1đ) Độ dài cần tìm bằng 4 lần độ dài của phần nằm trong góc phần tư (I) Suy ra
l = 4Rπ/2
0 px0(t)2+ y0(t)2dt 0,5đ
= 6R0π/2sin 2tdt
Tính độ dài bằng 6 0,5đ
Chú ý: Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa
Trang 6ĐÁP ÁN ĐỀ 2
Câu 1 (2đ) Biến đổi xn= 1 −
arccot n n
1 + arccot nn 0,5đ chứng minh limarccot n
n = 0 1,0đ
Giới hạn bằng 1 0,5đ
Câu 2 (3đ) 1) Sử dụng VCB tương đương lim
x→0
xex2 − tan x x(cos x − 1) = limx→0
xex2 − tan x
−x3/2 0,5đ
Dùng khai triển Maclaurin = lim
x→0 x(1 + x2 + o(x2)) − (x +x
3
3 + o(x
3))
−x 3
2
0,5đ
= lim
x→0
2/3x3+ o(x3)
−x3/2 0,5đ
= −4
3. 0,5đ 2) Ta có cos x − 1 = x2/2! − x4/4! + x6/6! + o(x6) 0,5đ
Suy ra f (x) = x3/2! − x5/4! + x7/6! + o(x7) 0,5đ
Câu 3 (2đ) Khi t → −1, lim x(t) = ±∞, lim y(t) = −1/3 ⇒ TCN y = −1/3 0,5đ Khi t → 2, lim y(t) = ±∞, lim x(t) = 1/6 ⇒ TCĐ x = 1/6 0,5đ Khi t → −2, lim y(t) = ±∞, lim x(t) = ±∞, lim y(t)/x(t) = −1/2 0,5đ
lim[y(t) + 1/2x(t)] = 5/4 ⇒TCX y = −x/2 + 5/4 0,5đ
x3+ 1 =
−1
3 (
1
x + 1 − x + 1
x2− x + 1) 0,5đ
⇒R xdx
x3+ 1 = −
1
6ln
(x + 1)2
x2− x + 1 +
1
√
3arctan
2x − 1
√
3 . 0,5đ
Do đó
+∞
Z
1
xdx
x3+ 1 =
π
3√
3− 1
6ln
1
4. 1,0đ
Câu 5 (2đ) Độ dài cần tìm bằng l =R2π
0 px0(t)2+ y0(t)2dt Suy ra l =R2π
0 p2(1 − cos t)dt 0,5đ
=R02π2 sin(t/2)dt
Tính độ dài bằng 8 0,5đ
‘ Chú ý: Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa
Trang 7ĐÁP ÁN ĐỀ 3
Câu 1
• un= sin(√
n + 1) − sin(√
n) = 2 cos
√
n + 1 +√
n
1 2(√
n + 1 +√
n) 1,0đ
• |un| ≤ 2 sin 1
2(√
n + 1 +√
n) → 0 khi n → ∞ Suy ra lim
n→∞un = 0 1,0đ
Câu 2 Sử dụng quy tắc L’Hospital
• I =L lim
x→0
2(1 − x2)−1/2− 2 cos 2x
3x2 1,0đ
• =L lim
x→0
2x(1 − x2)−3/2+ 4 sin 2x
1
3 + limx→0
2 sin 2x 3x =
5
3. 1,0đ
Câu 3
• ln(1 + x) = x − x2/2 + x3/3 − x4/4 + o(x4) 1,0đ
• f0(0) = lim
x→0
f (x) − f (0)
x − 0 = limx→0
ln(1 + x) − ax − bx2
x3 0,5đ
• = lim
x→0
x − x22 + x33 − ax − bx2+ o(x3)
x→0
(1 − a)x − (12 + b)x2+x33 + o(x3)
x3 1,0đ
Điều kiện tồn tại giới hạn trên là a = 1, b = −1
2 0,5đ
Câu 4
• I = −
+∞
R
1
arctan xd
1
x + 1
= − arctan x
x + 1
+∞
1 +
+∞
R 1
dx (x + 1)(x2+ 1) 0,5đ
• = π
8 +
1
2
+∞
R
1
1
x + 1 − x − 1
x2+ 1
dx 0,5đ
= π
8 +
1
2
ln√x + 1
x2+ 1 + arctan x
+∞
1
0,5đ
= π
4 −ln 2
4 . 0,5đ
Câu 5
• V = 2π
e
R
1
x ln xdx 0,5đ
= π
e
R
1
ln xd(x2) = π
x2ln x|e1 −
e R 1 xdx
= π(e
2+ 1)
2 0,5đ
Chú ý: Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa
Trang 8ĐÁP ÁN ĐỀ 4
Câu 1
• un= cos(√
n + 1) − cos(√
n) = −2 sin
√
n + 1 +√
n
1 2(√
n + 1 +√
n) 1,0đ
• |un| ≤ 2 sin 1
2(√
n + 1 +√
n) → 0 khi n → ∞ Suy ra lim
n→∞un = 0 1,0đ
Câu 2 Sử dụng quy tắc L’Hospital
• I =L lim
x→0
2(1 + x2)−1− 2(cos 2x)−2
3x2 1,0đ
• =L lim
x→0
−4x(1 + x2)−2− 8 sin 2x cos−3(2x)
2
3− lim x→0
4 sin 2x 3x = −
10
3 . 1,0đ
Câu 3
•√1 + x = 1 + x/2 − x2/8 + x3/16 + o(x3) 1,0đ
• f0(0) = lim
x→0
f (x) − f (0)
x − 0 = limx→0
√
x + 1 − 1 − ax − bx2
x3 0,5đ
• = lim
x→0
1 + 12x −18x2 +161x3 − 1 − ax − bx2+ o(x3)
x→0
(12 − a)x − (1
8 + b)x2+ x163 + o(x3)
Điều kiện tồn tại giới hạn trên là a = 1
2, b = −18 0,5đ
Câu 4
• I = −
+∞
R
1
arccot xd
1
x + 1
= − arccot x
x + 1
+∞
1
−
+∞
R 1
dx (x + 1)(x2+ 1) 0,5đ
• = π
8 −1
2
+∞
R
1
1
x + 1 − x − 1
x2+ 1
dx 0,5đ
= π
8 −1
2
ln√x + 1
x2+ 1 + arctan x
+∞
1
0,5đ
= ln 2
4 . 0,5đ
Câu 5
• V = 2π
1
R
0
x(ex− 1)dx 0,5đ
• = −π + 2π
1 R 0
xd(ex) = −π + 2π(xex|1
0−
1 R 0
exdx) = π 0,5đ
Chú ý :Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa
Trang 9ĐÁP ÁN ĐỀ 5
Câu 1 (2đ)
1) lim xn= lim 2016p1 + (1/2016)n n = 2016 0,5đ
2) Biến đổi lim
x→0
excos x − 1 − x
x2ex = lim
x→0
excos x − 1 − x
x2 0,5đ
Sử dụng quy tắc L’Hospital =L lim
x→0
excos x − exsin x − 1
2x 0,5đ
=L lim
x→0
ex(cos x − sin x − sin x − cos x)
2 = 0 0,5đ
Câu 2 (2đ)
f+0 (2016) = sin 2016a 0,5đ
f−0 (2016) = − sin 2016a 0,5đ Hàm số khả vi tai x = 2016 khi và chỉ khi f+0 (2016) = f−0 (2016) ⇔ sin 2016a = 0 0,5đ Tìm được a = kπ/2016, k ∈ Z 0,5đ
Câu 3 (2đ)
1) f (x) = ln(1 − (x − 1)2) = −(x − 1)2+ (x − 1)4/2 − (x − 1)6/3 + o((x − 1)6) 1,0đ
2) Từ f
(6)(1)
6! = −
1
3, suy ra f
(6)(1) = −6!
3 1,0đ
Câu 4 (2đ) TXĐ = R\{0}; TCĐ: x = 0, TCX: y = x 0,5đ
y0 = 1 +x13, hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞, −1) và (0, +∞), nghịch biến trên khoảng (−1; 0)và có một điểm cực đại là x = −1 1,0đ
Từ kết quả khảo sát, suy ra đồ thị hàm số 0,5đ
Câu 5 (2đ) 1) I =
1 R 0 arcsin xdx = x arcsin x|10−
1 R 0
x
√ 1−x 2dx = π2 + √
1 − x2 1
0 = π2 − 1 1,0đ
2) J = 1
3ln
x−2 x+1
+∞
3
= 2 ln 2
3 1,0đ
Chú ý :Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa
Trang 10ĐÁP ÁN ĐỀ 6
Câu 1 (2đ)
1) lim xn= lim 2016p1 − (1/2016)n n = 2016 0,5đ
2) Biến đổi lim
x→0
ex− 1 − x cos x
x2cos x = limx→0
ex− 1 − x cos x
x2 0,5đ
Sử dụng quy tắc L’Hospital =L lim
x→0
ex− cos x + x sin x
2x 0,5đ
=L lim
x→0
ex+ sin x + sin x − x cos x
2 = 1/2 0,5đ
Câu 2 (2đ) f0
+(2016) = cos 2016a 0,5đ
f−0 (2016) = − cos 2016a 0,5đ Hàm số khả vi tai x = 2016 khi và chỉ khi f0
+(2016) = f−0 (2016) ⇔ cos 2016a = 0 0,5đ Tìm được a = π/4032 + kπ/2016, k ∈ Z 0,5đ
Câu 3 (2đ)
1) f (x) = e1−(x−1) 2
= e − e(x − 1)2+ e(x − 1)4/2! − e(x − 1)6/3! + o((x − 1)6) 1,0đ
2) Từ f
(6)(1)
6! = −
e 3!, suy ra f
(6)(1) = −6!e
3! 1,0đ
Câu 4 (2đ) TXĐ = R\{0}; TCĐ: x = 0, TCX: y = x 0,5đ
y0 = 1 − x13, hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞, 0) và (1, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 1)và có một điểm cực tiểu là x = 1 1,0đ
Từ kết quả khảo sát, suy ra đồ thị hàm số 0,5đ
Câu 5 (2đ) 1) I =
1 R 0 arccos xdx = x arccos x|10+
1 R 0
x
√ 1−x 2dx = −√
1 − x2 1
0 = 1 1,0đ
2) J = 1
3ln
x − 1
x + 2
+∞
2
= 2 ln 2
3 1,0đ
Chú ý :Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa
Trang 11ĐÁP ÁN ĐỀ 7
Câu 1 (3,0đ)
a) lim xn= lim 2p1 + (1/2)n n+ (sin n/2)n 0,5đ
Sử dụng lim(1/2)n = lim(sin n/2)n= 0, tính được giới hạn bằng 2 0,5đ
b) (2,0đ) Sử dụng VCB tương đương ln(1 + 2x) ∼ 2x trong quá trình x → 0 0,5đ
Ta có L = lim
x→0
sin x + ex− 1 − 2x
2x2 0,5đ
Áp dụng quy tắc Lopital liên tiếp, ta được L = 1
4 1,0đ
Câu 2 (2,0đ)
a) (1,0đ) Ta có f (x) =
x sin x nếu x ≥ 0
−x sin x nếu x < 0
.Rõ ràng f khả vi tại mọi x 6= 0 0,5đ
Tại x = 0, xét giới hạn trái và phải lim
x→0 +
x sin x
x = 0 = limx→0 −
−x sin x
x .Vậy f khả vi tại 0 và do đó
khả vi trên R 0,5đ
b) (1,0đ) Ta có f0(x) =
sin x + x cos x nếu x ≥ 0
− sin x − x cos x nếu x < 0
0,5đ
lim
x→0 +
sin x + x cos x
x = 2 và limx→0 −
− sin x − x cos x
x = −2.Suy ra f không khả vi cấp 2 tại 0 0,5đ
Câu 3 (2,0đ)
Khai triển Maclaurin hàm f (x) = (1 + x2) cos x4 = 1 + x2− x
8
2 −x
10
2 + o(x
10)) 1,0đ
Do vậy, f10(0) = −10!
2!. 1,0đ
Câu 4 (2,0đ)
(1 + x2)(1 + xk) <
1
1 + x2, ∀x ∈ [1, +∞) 0,5đ
Do
Z +∞
1
1
x2 hội tụ nên suy ra Ik luôn hội tụ với mọi tham số k ∈ R 0,5đ
Khi k = 1 thì tích phân là I1 =
Z +∞
1
dx (1 + x2)(1 + x) .
Ta có nguyên hàm
Z
dx (1 + x2)(1 + x) =
1 2
arctan x + ln√1 + x
1 + x2
0,5đ
Từ đó suy ra I1 = π
8 0,5đ
Câu 5 (1,0đ)
Sử dụng định lí giá trị trung bình của tích phân ∃c ∈ [0, 2] : f (c) = 1/2R2
0 f (x)dx = −1 1,0đ
Chú ý :Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa
Trang 12ĐÁP ÁN ĐỀ 8
Câu 1 (3,0đ)
a) (1,0đ) a) lim xn = lim 3p1 + (1/3)n n+ (cos n/3)n 0,5đ
Sử dụng lim(1/2)n = lim(sin n/2)n= 0, tính được giới hạn bằng 3 0,5đ b) (2,0đ) Sử dụng VCB tương đương ln(1 + 2x2) ∼ 2x2 trong quá trình x → 0 0,5đ
Ta được L = lim
x→0
cos x + ex− 2 − x
2x3 0,5đ
Áp dụng quy tắc Lopital liên tiếp, ta được L = 1
12 1,0đ
Câu 2 (2,0đ)
a) (1,0đ) Ta có f (x) =
x(ex− 1) nếu x ≥ 0
−x(ex− 1) nếu x < 0
.Rõ ràng f khả vi tại mọi x 6= 0 0,5đ
Tại x = 0, xét giới hạn trái và phải lim
x→0 +
x(ex− 1)
x = 0 = limx→0 −
−x(ex− 1)
x .Vậy f khả vi tại 0 và
do đó khả vi trên R 0,5đ
b) (1,0đ) Ta có f0(x) =
ex− 1 + xex nếu x ≥ 0
−ex+ 1 − xex nếu x < 0
0,5đ
Ta có lim
x→0 +
ex− 1 + xex
x = 2 và limx→0 −
−ex+ 1 − xex
x = −2.Suy ra hàm số f không khả vi cấp 2
tại 0 0,5đ Câu 3 (2,0đ)
Khai triển Maclaurin hàm f (x) = (1 + x) sin x3 = 1 + x − x
9
6 − x
10
6 + o(x
10)) 1,0đ
Do vậy, f10(0) = −10!
3!. 1,0đ
Câu 4 (2,0đ)
(1 + xk)(1 + x) <
1
1 + xk+1, ∀x ∈ [1, +∞) 0,5đ
Do
Z +∞
1
1
xk+1 hội tụ nên suy ra Ik luôn hội tụ với mọi tham số k ∈ R 0,5đ
Khi k = 2 thì tích phân là I2 =
Z +∞
1
dx (1 + x2)(1 + x) .
Ta có nguyên hàm
Z
dx (1 + x2)(1 + x) =
1 2
arctan x + ln√1 + x
1 + x2
0,5đ
Từ đó suy ra I1 = π
8 0,5đ
Câu 5 (1,0đ)
Sử dụng định lí giá trị trung bình của tích phân ∃c ∈ [0, 2] : f (c) = 1/2R2
0 f (x)dx = 1 1,0đ
Chú ý :Lời giải đúng khác đáp án được điểm tối đa
... 0,5đChú ý :Lời giải khác đáp án điểm tối đa
Trang 9ĐÁP ÁN ĐỀ 5
Câu (2đ)
1)... 1,0đ
Chú ý :Lời giải khác đáp án điểm tối đa
Trang 10ĐÁP ÁN ĐỀ 6
Câu (2đ)
1)... 1,0đ
Chú ý :Lời giải khác đáp án điểm tối đa
Trang 11ĐÁP ÁN ĐỀ 7
Câu (3,0đ)
a)