Đề thi toán 2 k58 XD có đáp án

Có thể tính trực tiếp bằng cách tham số hóa.

Trang 1

Trường Đại Học Xây Dựng ĐỀ THI MÔN TOÁN 2 Đề số 1 K58

Bộ môn Toán Thời gian làm bài: 90 phút Không sử dụng tài liệu

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x3+ y3− 3x + 3y2

Câu 2 (2,0đ) Tính tích phân đường loại hai

Z

L

1 + 2xy + y2exdx + (x2

+ 2yex)dyvới L là cung

elip x

2

4 + y

2 = 1 nằm phía trên trục Ox nối A(2; 0) với B(−2; 0)

Câu 3 (2,0đ) Tính tích phân hai lớp

Z Z

D (xp1 − y2+√

1 − x2) dxdy,trong đó D là hình tròn

D = {(x, y) : x2+ y2 ≤ 1}

Câu 4 (3,0đ) Giải các phương trình vi phân sau

a) xy0+ y = ln x

b) y00− 3y0 + 2y = 2x − 3

Câu 5 (1,0đ) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

∞ X

n=0

nxn

2n+ 1.

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x3+ y3− 3x2− 3y

Câu 2 (2,0đ) Tính tích phân đường loại haiR

L (y3+ y2ex) dx + (1 + 3xy2+ 2yex) dy,với L là cung elip x2+ y

2

4 = 1nằm phía bên phải trục Oy nối A(0; −2) với B(0; 2).

Z Z

D (p1 − y2+ y√

1 − x2) dxdy,trong đó D là hình tròn

D = {(x, y) : x2+ y2 ≤ 1}

a) xy0− y = x2ln x

b) y00+ y0− 2y = 1 − 2x

∞ X

n=0 (n + 1)xn

3n+ 1 .

Trang 2

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x3+ 4y3− 3xy2− 24y

Z

L (3x2y − x2)dx − (y2− x3)dyvới L là cung parabol

y = x2− 3 đi từ A(−3, 0) đến B(0, 3)

Z Z

D

p

9 − x2− y2dxdy, trong đó D là một phần tư hình tròn D = {(x, y) ∈ R2, x2+ y2 ≤ 9, x ≤ 0, y ≤ 0}

Câu 4 (3,0đ) Giải các phương trình vi phân sau:

a) y00+ 4y0 = 5ex

b) xy0 − (x + y) = 0

∞ X

n=1

n2x3n

Câu 1 (2,0đ) Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = 6x3+ y3− 3x2y − 3x

Z

L (x2− y3)dx − (3y2x − y2)dy,với L là cung tròn

x2+ y2 = 9nằm phía trên trục Ox và đi từ A(−3, 0) đến B(0, 3) hướng chiều kim đồng hồ

Z Z

D

p

4 − x2− y2dxdy, trong đó D là một phần tư hình tròn D = {(x, y) ∈ R2, x2+ y2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≤ 0}

a) y00+ 3y0 = −2ex

b) xy0 − (y − 2x) = 0

∞ X

n=0

x3n

n2+ 1.

Trang 3

ĐÁP ÁN ĐỀ 1

Câu 1 (2,0đ) Điểm dừng:





fx0 = 3x2− 3 = 0

fy0 = 3y2 + 6y = 0

; M1(1, 0), M2(−1, 0), M3(1, −2), M4(−1, −2)

Ma trận đạo hàm riêng cấp 2: A =





0 6y + 6





• Tại M1(1, 0): A xác định dương nên M (1, 0) là điểm cực tiểu Giá trị cực tiểu fCT = −2

• Tại M2(−1, 0), M3(1, −2): A không xác định dấu

• Tại M4(−1, −2): A xác định âm nên M (1, 0) là điểm cực đại Giá trị cực đại fCD = 6

Câu 2 (2,0đ) Vì ∂Q∂x = ∂P∂y = 2x + 2yex nên tích phân không phụ thuộc vào đường đi Do vậy,

I = R

AB

(1 + 2xy + y2ex) dx + (x2+ 2yex) dy =

2 R

−2

dx = 4

Câu 3 (2,0đ) Tách thành hai tích phân, một bằng không do tính đối xứng của hình tròn cho

hàm lẻ, một có thể áp dụng Fubini

I =

Z Z

D

√

1 − x2dxdy = 2

Z 1 0

2(1 − x2)dx = 8

3.

Câu 4 (3,0đ) a) Nghiệm y = 1

x(C − x + x ln x) = Cx − 1 + ln x

b) Nghiệm y = C1ex+ C2e2x+ x,với C là hằng số

Câu 5 (1,0đ)Miền hội tụ X = (−2; 2).

ĐÁP ÁN ĐỀ 2

Câu 1(2,0đ) Điểm dừng:





fx0 = 3x2− 6x = 0

fy0 = 3y2 − 3 = 0

; M1(0, 1), M2(0, −1), M3(2, 1), M4(2, −1)

Ma trận đạo hàm riêng cấp 2:



 6x − 6 0

0 6y





• Tại M1(0, 1): A không xác định dấu

• Tại M2 = (0, −1): A xác định âm nên M2 = (0, −1)là cực đại; fCĐ= f (0, −1) = 2

• Tại M3(2, 1): A xác định dương nên M3(2, 1)điểm cực tiểu; fCT = f (2, 1) = −6

• Tại M4(−1, −2): A không xác định dấu

Câu 2 (2,0đ) Vì ∂Q∂x = ∂P∂y = 3y2+ 2yex nên tích phân không phụ thuộc vào đường đi Do vậy,

I = R

AB

(y3+ y2ex) dx + (1 + 3xy2+ 2yex) dy =

2 R

−2 (1 + 2y) dy = 4

Câu 3(2,0đ) Tách thành hai tích phân, một bằng không do tính đối xứng của miền cho hàm

lẻ, một có thể áp dụng Fubini

I =

Z Z

D

p

1 − y2dxdy = 2

Z 1 0

2(1 − y2)dy = 8

3.

Câu 4(3,0đ) a) Nghiệm y = x(C − x + x ln x) = Cx − x2+ x2ln x

b) Nghiệm y = C1ex+ C2e−2x+ x,với C là hằng số

Câu 5(1,0đ) Miền hội tụ X = (−3; 3).

Trang 4

ĐÁP ÁN ĐỀ 3

Câu 1 (2,0đ) Điểm đừng





fx0 = 18x2− 6xy − 3 = 0

fy0 = 3y2− 3x2 = 0

.Giải hệ ta thu được M1(2, 2), M2(−2, −2),

M3(√2

3,−2√

3), M3(−2√

3,√2

3).Ma trận A =





−6y 24y − 6x





• M1(2, 2)là điểm cực tiểu, fCT = −16

• M2(−2, −2)là điểm cực đại, fCĐ = 16.Hai điểm còn lại hàm số không đạt cực trị

Câu 2 (2,0đ) a) Vì Q0x = 3x2 = Py0 nên tích phân không phụ thuộc đường đi Suy ra I = R

¯

AO+ROB¯ =R−30 (−x2)dx −R03y2dx = −18.(Có thể tính trực tiếp bằng cách tham số hóa)

Câu 3 (2,0đ) Tọa độ cực x = rcosϕ, y = rsinϕ, J = r, 0 ≤ r ≤ 3, π ≤ ϕ ≤ 3π

2 Suy ra RR

Dp9 − x2− y2dxdy =R3π2

π dϕR03√

9 − r2rdr = 9π2

Câu 4 (3,0đ) a) Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:¯y = C1+ C2e−4x, nghiệm riêng y∗ = ex.Vậy, nghiệm tổng quát là y = ex+ C1+ C2e−4x

b) Ta có y0−y

x = 1 Suy ra nghiệm tổng quát là y =R (1

xdx + C)x = (ln x + C)x = x ln x + Cx.

Câu 5 (1,0đ) Đặt t = x3, ρ = 1và R = 1 Suy ra khoảng hội tụ (−1, 1) Tại hai đầu mút: Chuỗi P∞

n=1n2phân kì và chuỗiP∞n=1(−1)nn2 phân kì Miền hội tụ ứng với t X = (−1, 1) suy ra miềm hội tụ của chuỗi đã cho là X = (−1, 1)

ĐÁP ÁN ĐỀ 4

Câu 1 (2,0đ) Điểm đừng





fx0 = 18x2− 6xy − 3 = 0

fy0 = 3y2− 3x2 = 0

.Giải hệ ta thu được M1(12,12), M2(−12 ,−12 ),

M3( 1

2√2, −1

2√2), M3(−1

2√2, 1

2√2).Ma trận A =



 36x − 6y −6x





• M1(12,12)là điểm cực tiểu, fCT = −1

• M2(−12 ,−12 )là điểm cực đại, fCĐ = 1.Hai điểm còn lại hàm số không đạt cực trị

Câu 2 (2,0đ) Vì Q0x = −3y2 = Py0 nên tích phân không phụ thuộc đường đi: I = RAO¯ +ROB¯ =

R0

−3(x2)dxR03y2dx = 18 (Có thể tính trực tiếp bằng cách tham số hóa)

Câu 3 (2,0đ) Tọa độ cực x = rcosϕ, y = rsinϕ, J = r, 0 ≤ r ≤ 2, −π

2 ≤ ϕ ≤ 0 Suy ra I =

R0

−π/2dϕR02(√

4 − r2rdr = 4π3 )

Câu 4 (3,0đ) a) Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ¯y = C1+ C2e−3x, nghiệm riêng

y∗ = e−x Suy ra, nghiệm tổng quát y = e−x+ C1+ C2e−3x

b) Ta có y0− 1

x = −2.Nghiệm tổng quát là y = −2x ln x + Cx

Câu 5 (1,0đ) Đặt t = x3, ρ = 1, R = 1 Chuỗi P∞n=0 1

n2+ 1 hội tụ và chuỗi

P∞

n=0

(−1)n

n2+ 1 hội tụ. Miền hội tụ ứng với t là [−1, 1] suy ra miền hội tụ của chuỗi đã cho là X = [−1, 1]

Định dạng
Số trang	4
Dung lượng	174,85 KB