Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV 2/2 Trình bày được các tính chất cơ bản của hàm liên tục.. [CĐR G2.2]: Sử dụng được các giới hạn cơ bản, vô cùng bé, vô cùng lớn tương đương để khử các dạng vô
Trang 1Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV 1/2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN
-
ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-15 Môn: Toán cao cấp A1
Mã môn học: MATH130101 Ngày thi: 11/08/2015 Thời gian: 90 phút
Đề thi có 2 trang Đề: 01
SV được phép sử dụng tài liệu
Câu 1 (1,5 điểm): Trên tập hợp số phức C , cho 2 2
3
i z
i
Tìm các căn bậc 5 của z
Câu 2 (1,5điểm): Cho hàm số
2
2
sin
0
x
khi x
,
với m là tham số, mR*
a) Tìm m để hàm số f x liên tục tại x0
b) Với m3, xét sự khả vi của hàm số f x tại x0
Câu 3 (1,5điểm): Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số r 2 cos 6 trong hệ tọa độ cực
Câu 4 (2điểm):
a) Tính tích phân suy rộng 3
0
x
I x e dx
b) Khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng
2
5 1
1 arctan
4
x
x
Câu 5 (3,5 điểm)
a) Dùng điều kiện cần để chuỗi hội tụ, chứng minh rằng
2
2 !
n
n
n n
nN
b) Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
1
2
n
n n
x n
c) Khai triển thành chuỗi Fourier hàm g x tuần hoàn với chu kì T 2 xác định bởi công thức
g x
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra
[CĐR G2.1]: Tính được căn bậc n của một số phức Câu 1
[CĐR G1.1]: Phát biểu được định nghĩa giới hạn, liên tục Câu 2a
Trang 2Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV 2/2
Trình bày được các tính chất cơ bản của hàm liên tục
[CĐR G2.2]: Sử dụng được các giới hạn cơ bản, vô cùng
bé, vô cùng lớn tương đương để khử các dạng vô định
[CĐR G2.2]: Tính được đạo hàm, vi phân của hàm số Câu 2b
[CĐR G2.4]: Khảo sát và vẽ được đường cong trong hệ
tọa độ cực
Câu 3
[CĐR G2.5]: Áp dụng các phương pháp trong lý thuyết để
tính được tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân
suy rộng và khảo sát được sự hội tụ của tích phân suy rộng
Câu 4 a, b
[CĐR G2.7] Áp dụng các kết quả trong lí thuyết để khảo
sát được sự hội tụ của chuỗi số, tìm được miền hội tụ của
chuỗi lũy thừa, khai triền được hàm thành chuỗi lũy thừa
và khai triển được hàm thành chuỗi Fourier
Câu 5a, b, c
Ngày 07 tháng 08 năm 2015
Thông qua bộ môn
Trang 3ĐÁP ÁN TOÁN CAO CẤP A1
Ngày thi: 11/08/2015
Mã môn học: MATH130101
1
(1,5đ)
i i
z
0,5
Suy ra 5 10
0,5
2
(1,5đ)
2
2 2
0 5 4
f m
;
Vậy hàm số f x liên tục tại x0 khi m1 hoặc m4
0,25
b) Với m3, dựa vào kết quả câu a ta thấy hàm số không liên tục tại
0
x Do đó, hàm số không khả vi tại x0 khi m3 0,5
3
(1,5đ)
TXĐ: D
Hàmr tuần hoàn với chu kì
3
T
, chẵn nên ta chọn khảo sát với
0, 6
Đồ thị hàm số không có tiệm cận
0,25
6
r k k
Trên 0,
6
, phương trình có
nghiệm 0 hoặc
6
2 cos 6 tan
' 6sin 6
r v r
(v: góc hợp bởi tiếp tuyến và bán kính cực tạiM,r )
0,25
Trang 4Bảng biến thiên
0,5
Đồ thị
0,5
Câu 4
(2đ)
b b
b) Hàm số
2
5
1 arctan
4
x
x
Chọn 1
g x
x
, ta có
x
f x
g x
0,5
Mà
1
1
dx x
phân kì nên J phân kì theo tiêu chuẩn so sánh 2 0,5
5
(3,5đ) a) Xét chuỗi
2
1
2 !
n
n
n n
Trang 5
2
n
n
n a
Theo tiêu chuẩn D’Alambert, chuỗi hội tụ
Theo điều kiện cần để chuỗi hội tụ, ta suy ra đpcm 0,25 b) Đặtt x 2, ta có chuỗi lũy thừa
15 3
n
n n
t n
0,25
Tìm miền hội tụ của chuỗi (2)
Do lim n5n 3 5
n
nên chuỗi (2) có khoảng hội tụ: 5,5 0,5
Tạit 5, chuỗi số
1
1 3
n
hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz
Tạit 5, chuỗi số
1
1 3
phân kì theo tiêu chuẩn so sánh 2
0,5
Do đó, chuỗi (2) có miền hội tụ là [ 5,5)
c) Trước hết, ta tìm chuỗi Fourier S x của hàm g x :
0
x
n
0,5
2
n
x
n n
Chuỗi Fourier của g x là:
1
n n
0,5
Tạixk,k , ta cóg x S x 0,25