bài giảng giải tích c1

Đạo hàm: Định nghĩa và các tính chất, đạo hàm hàm hợp, hàm ngược, đạo hàm một phía, đạo hàm hàm ẩn, ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm.. Lưu ý: Điều ngược lại không đúng, nghĩa là mộ

Bài giảng Giải tích C1GV: Trần Vũ Khanh, Ph.D.

Khoa Toán Tin Đại học Khoa học Tự nhiên Tp HCM

20th October 2010

1 chương 1 Giới hạn và liên tục

Chương 1 Giới hạn và liên tục (8 tiết)

1.1 Giới hạn dãy số

1.2 Giới hạn hàm số

1.3 Hàm liên tục

1.1 Giới hạn của dãy số

Định nghĩa dãy số

Cho ánh xạ u : N → R Các giá trị của u tại n ∈ N lập thành một dãy số

u1, u2, u3, , un, hay {un}∞n=1 hay đơn giản hơn ta chỉ viết {un},

b) {(−1)

n(n + 1)

này được phát minh vào thể kỷ 13 bởi nhà toán học người Ý để giảiquyết bài toán liên quan đến việc sinh sản của thỏ

Sự hội tụ của dãy

Định lý

Các phép toán của dãy hội tụ

Định lý (Bất đẳng thức kẹp).

Cho ba dãy số {an}, {bn}, và {cn} Nếu hai dãy {an}, {bn} cùng hội tụ

Dãy tăng và dãy giảm.

tăng hoặc giảm

Định lý

Mọi dãy đơn điệu và bị chặn đều hội tụ

1.2 Giới hạn hàm số

hàm f tại những điểm gần 2 nhưng khác 2

x

3.0 8.0000002.5 5.7500002.2 4.6400002.1 4.3100002.05 4.1525002.01 4.0301002.005 4.0150252.001 4.003001

f 共x兲

x

1.0 2.0000001.5 2.7500001.8 3.4400001.9 3.7100001.95 3.8525001.99 3.9701001.995 3.9850251.999 3.997001

f 共x兲

Ta thấy rằng khi x càng gần 2 thì giá trị của f càng gần 4 Nói cách

khác để giá trị của hàm f xấp xỉ 4 thì ta cần lấy x đủ gần 2 Khi đó tanói rằng giới hạn của hàm f (x ) là 4 khi x tiến gần về 2 và ta viết:

lim

x →2x2− x + 2 = 4

Giới hạn tại vô cực.

Ta nói giới hạn của hàm số y = f (x ) khi x tiến ra vô cực nếu

Các phép toán giới hạn của hàm số.

Giả sử limx →af (x ) = L và limx →af (x ) = M Khi đó ta có:

Giới hạn trái - Giới hạn phải.

Cho hàm số y = f (x ) xác định ở lân cận giá trị hữu hạn a Ta nói giớihạn bên phải (hay giới hạn phải) tại a của hàm số f (x ) là L nếu

Thí dụ: Tính lim

x →0

|x|

x

Vô cùng bé.

nhiên, quá trình x → a có thể thay bằng quá trình x → +∞ hay

α(x )β(x ).

x

1

2.

đương Ta ký hiệu A(x ) ∼ B(x).

x →a

A(x )

so với B(x )

Định lý

Cho A(x ), A(x ), B(x ) và B(x ) là các vô cùng lớn khi x → a

lim

x →a

A(x )B(x ) = limx →a

A(x )B(x ).

Liên tục trái - Liên tục phải.

Cho hàm số f (x ) và số thực a Ta nói hàm f liên tục bên phải (hay liêntục phải) tại a nếu

Liên tục trong khoảng, trên đoạn.

Hàm f : (a, b) → R gọi là liên tục trong khoảng (a, b) nếu f liên tục tại

Hàm f : [a, b] → R gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu nó liên tục trongkhoảng (a, b), liên tục bên phải tại a, và liên tục bên trái tại b

Các phép toán trên hàm liên tục.

Cho hai hàm f , g liên tục tại a và cho số thực c Khi đó, ta có các hàmsau cũng liên tục tại a:

lim

x →ag ◦ f (x ) = g ( lim

x →af (x ))

Phân loại điểm gián đoạn.

Hàm f (x ) gọi là gián đoạn tại a nếu nó không liên tục tại a Khi đó a gọi

là điểm gián đoạn của f Vậy theo định nghĩa, hàm f gián đoạn tại a nếugặp một trong các trường hợp sau:

x →a +f (x ) và f (a−) := lim

x →a −f (x ) tồn tại nhưng ba số

xác định tại a Trường hợp này ta nói a là điểm gián đoạn loại 1

a Nếu f (a+) = f (a−) 6= f (a) (hoặc a không xác định) thì a gọi là

điểm gián đoạn bỏ được

b Nếu f (a+

) 6= f (a−) thì a gọi là điểm nhảy của f tại a Hiệu số

f (a+) − f (a−) được gọi là bước nhảy

Thí dụ 1: Xét f (x ) = sin x

khử được Nếu ta bổ sung giá trị f (0) = 1, thì ta được một hàm liên tụctại 0

f (0+) = 1 6= −1 = f (0−)

chương 2 Đạo Hàm và Vi Phân (12 tiết)

2.1 Đạo hàm: Định nghĩa và các tính chất, đạo hàm hàm hợp, hàm ngược, đạo hàm một phía, đạo hàm hàm ẩn, ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm.

2.2 Vi phân: Định nghĩa và các tính chất, ứng dụng vi phân để tính gần đúng.

2.1 Đạo hàm

Định nghĩa

(hữu hạn) khi x → a thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f tại a và

Nếu hàm f có đạo hàm tại a thì đồ thị của hàm y = f (x ) có tiếp tuyến

đó phương trình tiếp tuyến tại P là

y − f (a) = f0(a)(x − a)

S

 Q

T

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

Đạo hàm của hoành độ s(t) đối với thời gian t chính là vận tốc tức thờicủa vật chuyển động thẳng tại thời điểm t0: v (t0) = s0(t0)

t0t

P0P

Định lý: Nếu f có đạo hàm tại a thì nó liên tục tại a

Lưu ý: Điều ngược lại không đúng, nghĩa là một hàm liên tục chưa chắc

đã có đạo hàm tại đó

Thí dụ: Dễ dàng kiểm chứng được hàm f (x ) = |x | liên tục tại 0 nhưngkhông có đạo hàm tại 0

Định lý

tục tại y0= f (x0) thì (f−1)0(y ) cũng có đạo hàm tại y0= f (x0) và

(f−1)0(y0) = 1

f0(x0).Thí dụ: Tính (arc tan x )0?

5 (sin x )0= cos x , (cos x )0 = −sin x ,

6 (tan x )0 = 1 + tan2x , (cotan x )0= −(1 + cotan2x )

Đạo hàm cấp cao.

Nếu hàm f (x ) có đạo hàm tại mọi điểm x thuộc khoảng nào đó thì đạo

nếu có, gọi là đạo hàm cấp hai của f (x ) và ký hiệu là f00(x ):

f00(x ) = (f0(x ))0

f(n)(x ) = (f(n−1)(x ))0.Các đạo hàm cấp hai trở lên gọi là đạo hàm cấp cao

2.2 Vi Phân

Vi phân

Hàm y = f (x ) gọi là khả vi tại điểm a nếu số gia hàm số tại a có thể

được biểu diễn ở dạng:

∆f (a) = f (a + ∆ x ) − f (a) = A∆ x + o(∆ x ),với A là hằng số Khi ấy đại lượng A∆ x gọi là vi phân của f (x ) tại a và

ký hiệu df (a) hoặc dy (a)

Định lý: Hàm f (x ) khả vi tại a khi và chỉ khi nó có đạo hàm tại điểm đó

Tính bất biến của biểu thức vi phân.

Xét hàm hợp y = f (x ), x = ϕ(t), trong đó t là biến độc lập Vậy

y = f (ϕ(t)) Ta có:

dy = (f (ϕ(t)))0tdt = f0(x )ϕ0(t)dt = f0(x )dx Vậy dạng vi phân của hàm hợp không thay đổi dù x là biến độc lập hay làmột hàm số Tính chất đó gọi là tính bất biến của dạng vi phân cấp một

dx.

Vi phân cấp cao.

Nếu hàm f (x ) khả vi tại mọi điểm x thuộc khoảng nào đó thì vi phân

được gọi là vi phân cấp một Vi phân của vi phân cấp một df gọi là viphân cấp hai và ký hiệu là d2f Ta có:

d2f = d (df ) = d (f0(x )dx ) = f00(x )dxdx = f00(x )dx2

dnf = fndxn.Các vi phân cấp hai trở lên được gọi là vi phân cấp cao

gọi là phần dư dạng Lagrange.

Lưu ý: Ta có thể viết phần dư dạng Lagrange ở dạng

Rn(x ) = o ((x − a)n) ,dạng này gọi là phần dư dạng Peano

Khai triển Maclaurin một số hàm sơ cấp.

Khử dạng vô định 0

0

Định lý: Qui tắc L’Hospital

Giả sử f (x ) và g (x ) khả vi trong khoảng (a, b) và g0(x ) 6= 0 trong

khoảng đó Giả sử thêm rằng:

a limx →a +f (x ) = limx →a +g (x ) = 0,

x → c với c ∈ (a, b) Trường hợp a = −∞ và b = +∞ cũng đúng

ln x



Tính gần đúng

Cho hàm số f khả vi tại a Với ∆ x bé, ta có:

f (a + ∆ x ) − f (a) = f0(a)∆ x + o(∆ x )

Nếu bỏ phần vô cùng bé cấp cao o(∆ x ) ta có công thức gần đúng sau:

f (a + ∆ x ) − f (a) ≈ f0(a)∆ x với ∆ x bé

Thí dụ: Tính gần đúng ln(1.05)

Chương 3 Tích phân

phần và công thức đổi biến

chất, công thức Newton-Leibnitz, công thức tích phân từng phần vàcông thức đổi biến

tiêu chuẩn hội tụ

Nguyên hàm.

Cho hàm số f (x ) xác định trong một khoảng nào đó Hàm số F (x ) được

Từ định lý này ta thấy nếu một hàm có một nguyên hàm thì nó có vô sốnguyên hàm và các nguyên hàm đó sai khác nhau một hằng số cộng

Tích phân bất định.

Nếu F (x ) là một nguyên hàm của f (x ) thì biểu thức F (x ) + C được gọi

là tích phân bất định của hàm f (x ) và ký hiệu

Hai phương pháp tính tích phân bất định.

Phương pháp đổi biến số:

Thí dụ: Tính

Zp

Phương pháp tích phân từng phần:

Định lý:

Giả sử u(x ) và v (x ) có các đạo hàm liên tục Khi đó ta có công thức:

Zudv = uv −

Zvdu,

hay

Zu(x )v0(x )dx = u(x )v (x ) −

Z

v (x )u0(x )dx Thí dụ: Tính

Z

x2ln xdx

Cho hàm số f (x ) xác định trên đoạn [a, b] và P = {x0, x1, x2, , xn} làmột phân hoạch của đoạn [a, b] Tổng Riemann của hàm f (x ) ứng vớiphân hoạch P là tổng:

với ξi là một điểm bất kỳ thuộc [xi, xi +1]

Rõ ràng S (P) phụ thuộc vào hàm f (x ), phân hoạch P, và các điểm

Định lý.

[a, b]

gián đoạn loại 1 thì nó khả tích trên đoạn [a, b]

Thí dụ: Tính

0

x2dx ?

5 Nếu f (x ) ≤ g (x ) trên [a, b] và a < b thì

a

f (x )dx

Định lý (Phương pháp biến đổi số).

Tích phân suy rộng loại 1

Giả sử f (x ) xác định trên [a, +∞) và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn

a ≤ x ≤ b < ∞ Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hay vô cùng)

thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f (x ) trên [a, +∞) Nếu

giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng là hội tụ; nếu giới hạnnày là vô cùng hay không tồn tại ta nói tích phân suy rộng là phân kỳ.Tương tự,

Định lý (Tiêu chuẩn hội tụ (trường hợp f (x ) ≥ 0)

1 + xdx

Tiêu chuẩn hội tụ (trường hợp f (x ) có dấu tùy ý)

Tích phân suy rộng loại 2

Giả sử f (x ) khả tích trên [a, c), ∀c ∈ [a, b) và limx ∈b −f (x ) = ∞ Nếutồn tại giới hạn (hữu hạn hay vô cùng)

thì giới hạn này được gọi là tích phân suy rộng loại 2 của f (x ) trên đoạn

a f (x )dxhội tụ; nếu giới hạn bằng vô cùng hoặc không tồn tại ta nói tích phânsuy rộng phân kỳ

Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1

Định lý 1

a f (x )dxhội tụ khi và chỉ khi ∃M > 0 sao cho

ex− 1dx

Tiêu chuẩn hội tụ (trường hợp f (x ) có dấu tùy ý)

a f (x )dxhội tụ; giới hạn vô không tồn ta nói tích phânsuy rộng phân kỳ

Trần Vũ Khanh Bài giảng Giải tích C1< /small>