Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụChuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng Số hạng tổng quát unx=anx-x0n 1 hoặc unx=anxn 2 phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo tổng quát dạng 2... Chuỗi lũ
Trang 1§2 Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng
Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)n (1) hoặc un(x)=anxn (2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theo
tổng quát dạng (2)
Trang 2§2 Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
Miền HT của chuỗi lũy thừa
1
n n
n¥å a x
= là tập D nếu0
" = Î chuỗi số 0
1
n n
Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x|<1
Suy ra MHT của chuỗi là (-1,1)
Trang 3§2 Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ
2
1( )
Trang 4§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Tổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa
1
n n
Suy ra chuỗi ban đầu HTTĐ theo t/c so sánh
Vậy ta chứng minh xong định lý Abel sau đây
tức là chuỗi số 0
1
n n
Trang 5§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Định lý Abel :
Nếu chuỗi lũy thừa
1
n n
n¥ a x
=
å HT tại x0 ¹ 0 thì nó HTTĐ tạimọi điểm x Î -( | x0 |,| x0 |)
thì nó PK với mọi x thỏa |x|>|x1|
Bán kính hội tụ (BKHT):
1
n n
n¥ a x
=
å HT với mọi x: |x|<R và
Số R>0 sao cho chuỗi
Hệ quả: Nếu chuỗi
1
n n
Trang 6§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Cách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa
Đặt:
Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừa
Sau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT của chuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận
n n
n
a a a
+
®¥
éêê
= êêê
Trang 7§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi sau
n
x nx
Trang 8§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
đan dấu tương ứng cũng PK theo đkccsht
Trang 9§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
2 Chuỗi lũy thừa với
n n
n
æ + ÷öç
n
n
æ + ÷öç
=ççè - ÷÷ø = - ³
2
0 £ X < «2 0 £ (x - 1) < « -2 1 2 < < +x 1 2
Trang 10§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
3 Chuỗi lũy thừa với
Trang 11-§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
4 Chuỗi lũy thừa với a n n n! , X 1
x n
n e n
Trang 12§2 Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT
4 Chuỗi lũy thừa với a n n n! , X 1
x n
Suy ra, chuỗi đã cho HT khi
Vậy BKHT R=e, MHT (-∞,-1/e)U(1/e,+ ∞)
Trang 13<-§2 Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
Tính chất của chuỗi lũy thừa:
Cho chuỗi (1) với BKHT là R, MHT là D và trong D
2.Trong MHT D, ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng
của chuỗi và được chuỗi lũy thừa cũng có BKHT là R
Trang 14§2 Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
x nx
Trang 15§2 Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
Trang 16-§2 Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
3 Dễ dàng thấy R=1, " Î -x ( 1,1) ta đặt
2 1 1
Trang 17§2 Chuỗi lũy thừa – Tính tổng chuỗi
4 Dễ dàng thấy R=1, " Î -x ( 1,1) ta đặt
1( )
x
æ ö÷ç
Trang 18§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Cho hàm f(x) khả vi vô hạn lần trong lân cận của x0
Ta gọi chuỗi Taylor của f(x) là chuỗi
( )
0
0 0
(0)
!
n
n n
f
x n
Trang 19§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Định lý: (Điều kiện để hàm f(x) có thể khai triển thành chuỗi Taylor)
Giả sử trong lân cận (x0-R,x0+R), hàm f(x) thỏa
sử dụng các kết quả sau đây để chỉ ra MHT của
chuỗi Taylor - Maclaurint
Trang 20§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Một số chuỗi Maclaurint cơ bản
x x
n n n
x x
n
x e
n
MHT: D R
Trang 21§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
1 1
4 / ln(1 ) ( 1) ,
n n
n
x x
n
n n
n
x x
n x x
2 n 1 1,1
n n
D
x x
Trang 22§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Tìm chuỗi Maclaurint các hàm:
2 2
Trang 23§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Trang 24§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
x x
Trang 252 1
1.3.5 (2 1) ( ) 1 ( 1)
2 !
n n
§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Hàm khai triển được nếu 0 x2 1 1 x 1
0( ) x ( ) (0)
f x f t dt f Suy ra:
Trang 26§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Tìm chuỗi Taylor ở lân cận x0=3 của hàm
1( )
Trang 27-§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ngoài việc áp dụng khai triển các hàm cơ bản thành chuỗi Maclaurint vào việc tìm chuỗi Taylor , chuỗi
Maclaurint các hàm bình thường Ta còn có thể áp dụng để tính tổng các chuỗi lũy thừa, chuỗi số
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi lũy thừa
0
( )
, ( 1,1)( 1)
n n
-Chuỗi trên là chuỗi lũy thừa với ( 1)
( 1)
n n
0
( )( )
( 1)
n n
Trang 28§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
1 ( 1)
n
n n
Trang 29§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Tính tổng của chuỗi 1
1
1(2 )!!
n n
n
x n
Trang 30§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
1 1
1(2 )!!
n n
n
x n
Trang 31§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Ví dụ: Sử dụng khai triển Maclaurint hàm dưới dấu
tích phân bằng chuỗi, tính tích phân
1
0
1ln
1
n n
n
x x
( )( 1)
n n
Thay vào tích phân trên
Ta tính tổng của chuỗi số bằng định nghĩa
Tổng riêng : S n = u 1 +u 2 +…+u n và tổng S
Trang 32§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Trang 33-§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
Trang 34§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
ln
56 7 14( 2).7
n n
Trang 35§2 Chuỗi Taylor - Maclaurint
3 1 1
( 1) 2.5.8 (3 4)
2 !
n
n n
n n
n n
n n