Bài giảng Giải tích 4

Bài giảng Giải tích 4

Chương I: TICH PHAN BOI

$1 TICH PHAN 2-LOP

1.1 Định nghĩa tích phần 2-lớp:

1.1.1 Khái niệm về miễn đo được:

Miễn đa giác là miền đo được (có diện tích) Giả sử D là một miền phẳng bi chặn, được giới hạn bởi một hay một số hữu hạn đường cong Jordan đóng

Gọi Q là một miền đa giác chứa trong D, 5(Q) là diện tích của nó

Goi Q’ la mot mién da giác chứa D, S(Q’) la diện tích của nó

Giá thiết thêm biên của D và biên của Q, Q° không có điểm chung

Tập hợp các miền đa giác Q, Q' là khác rỗng và vô hạn Do đó tập hợp các giá tri S(Q), S(Q’) 1a khac rỗng và vô hạn

{S(Q)} bi chan trén bởi diện tích của một đa giác Q*” nào đó

1 Định nghĩa Nếu P.=P =S(D)/mì D được gọi là miễn đo được (có điện tích) và

số S(D) được gọi là độ đo (diện tích) củaD — _

Từ định nghĩa vê miễn đo được ta có các kêt quả sau:

a) D đo được Ve >0 bé tùy ý, tôn tại các miên đa giác QD,Q' D sao cho

2 Tính chất của miền đo được

Gia su D, CD,D, cD, D=D, UD,;D,,D, khong cé diém trong chung Néu

D,,D, đo được thì D đo được và S(D)= S(D,)+ S(D,)

3 Ví dụ về miền đo được

Định nghĩa Đường cong (C) được gọi là đường cong có điện tích - không (đường cong đo được) nếu We >0 bé tùy ý, tôn tại miễn da giác Q chứa (C) sao cho

S(Q)<e.

Đối với miền phẳng D ta có các kết quả sau:

D đo được › biên 9D của nó có diện tích — không

Định lý Nếu đường cong (C) có một trong các dạng đưới đây thì (C) là đường cong

có điện tích - không

a) y =ƒfx), xe|a;b], trong đó ƒ{x) có đạo hàm liên tục trên [a ; b]

b) x = ø(y), ye [c:d], trong đó ø(y) có đạo hàm liên tục trên [c ; d]

€) x = x(), y = y(t), te [a;b], trong đó x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên

[a ; b] và thỏa mãn điều kiện x” (t)+ y”(t)#0, Vte [a;b]

Hệ quả Nếu biên của D gốm một số hữu hạn các đường có dang a), b), c) thì D là miễn ảo được

4 Tương tự, có thể xây dựng được khái niệm độ đo (thể tích) của miền T c R” dựa vào thê tích khôi đa diện

Nếu T được giới hạn bởi một số hữu hạn các mặt z = z(x,y), (x,y)e Dtrong d6 z(x,y) 1a ham số liên tục và có các dao ham riêng liên tục trong Dthì miền T đo được

1.2 Định nghĩa tích phân 2-lóp:

1.2.1 Giả sử D là miền phang, đo được, bị chặn Ta gọi đường kính của miền D

là supremum của các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc D

b) Với Vĩ + j,D, và D, không có điểm trong chung

Ta thấy x chia D thành n miễn con đôi một không có điểm trong chung

Ta thay Ø„ phụ thuộc vào m va cdc diém chon N, (€,,n,)

Định nghĩa: Nếu tốn tại giới hạn hữu hạn I= fm on

Tt }—>

mà giới hạn đó không phụ thuộc vào và các điểm chọn N, (Š,.m\,) thì I được gọi là

tích phân 2-lớp (tích phân Riemamn) của hàm số ƒ(x,y) lấy trong miễn D và ký hiệu là

{fe (x,y )dxdy

D

Khi đó ham số f(x,y) duoc goi la kha tich (Riemann) trong mién D

Chú ý Tương tự như hàm một biến, tính bị chặn của hàm số ƒ(x,y) là điều kiện cần

đê nó khả tích

1.2.3 Tổng Darboux Cho hàm số bị chặn f(x,y) trong miền D Đối với mỗi phân

hoạch 7r chia D thành n miên con, đo được tùy ý đôi một không có điêm trong chung

Định nghĩa Đại lượng L, =sup{s( )} được gọi là tích phân đưới Darbous

Đại lượng Ï =inf {5 (1 )} duoc goi la tich phan trén Darboux

Dinh ly Néu 1, =I" =I thi flx,y) kha tich trong miễn D

(<) Giả sử có Jim of )=0 Khi đó từ các bất dang thirc s(x) <1, <I <S(x),Vx

mà d(x)<ð = Ï —I, <S(%)—s()<e với mọi d(x) <8

Vậy I, =I =Ivà f(x,y) khả tích trong D W

1.2.5 Các lớp hàm khả tích

Định lý 2 Giá sử DC R7? ià miễn đóng, bị chặn và ẩo được, ƒ(x,y) liên tục trong D khi do f(x,y) kha tich trong D

Ching minh Dùng tiêu chuẩn khả tích

Vì f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được D nên f(x,y) bị chặn và

liên tục đều trong D «> Ve >0,3ö =õ (e) >0 sao cho trong miễn con bất kỳ của D

có đường kính bé hơn ỗ thì dao độ œ < —`——, trong đó S(D) là diện tích của D

S(D)

Khi đó với mỗi phân hoạch # mà d(£)<Š ta có

@ AD, < AD, =——-S(D) =e

= lim @(%4)= lim È œ,AD, =0

d(x )—>0 d(x}->0 mm

Vay f(x,y) khả tích trong D

Định lý 3 G¡¿ sử DC R” là miễn đóng, bị chặn và ẩo được, ƒ(x,y) liên tục trong D, chỉ gián đoạn trên một sô hữu hạn đường có điện tích - không khi đó ƒ(x,y) khả tích trong D

Chung minh Dung tiêu chuân khả tích

Lây£ >0bé tùy ý Do f(x,y) bị chặn trong D nên

3K >0:|f(x,y)|<K, V(x,y)eD

Gia su f(x,y) chi gián đoạn trên một đường (C) có diện tích — không Phu (C)

bởi hình đa giác Q có diện tích S(Q) < a

Dat D=D \intQ— Ð là miền đóng, bị chặn và đo được, nên f(x,y) liên tục

đều trong Ð Chọn ö >0 đủ bé sao cho với mỗi miền con D,c D có đường kính

d(D,)<õ thì dao độ của f(x,y) trong miễn đó là

Giả sử các hàm dưới dâu tích phân khả tích trong miên lây tích phân

1 || dxdy =S(D), trong đó S(D) là diện tích miễn D

D

2 [[[ot (x.y)+ Bø(x.y) lủxdy =a || (x, y)dxdy + B |[e(x.y )dxdy; œ,B = const

3 Giả sử D,D,D,cD,D=D,UD,;D,,D, không có điểm trong chưng, ƒx,y) khả tích trong các miễn D,,D, khi đó ƒf(x,y) khả tích trong D và

| | f (x, y)dxdy = | | f (x, y)dxdy + I | f (x, y)dxdy

4, Néu f(x,y) kha tích trong D thì i (x,y) cũng khả tích trong D và

Để tính tích phân 2-lớp ta có thể đưa tích phân 2-lớp vẻ tích phân lặp

2.1.1 Các tích phân lặp Các tích phân dưới đây được gọi là các tích phân lặp

1, lai (x, y)dy (1) 2 fay (x,y)dx (2)

3 [dx | f (x, y)dy (3) 4 [dy | f(x,y)dx (4)

trong đó các hàm y, (x), y; (x) liên tục trên [a;b], các hàm x, (y).,x„ (y) liên tục trên

[c;d]

Điều kiện để các tích phân lặp tồn tại:

- Nếu hàm ƒÍx,y) hiên tục trong D ={(x,y):a <x<b,c<y <d} thì các tích

phân (1) và (2) tôn tai va Jdx[†(<.y)dy = |dy[f(x,y)dx

- Nếu hàm ƒ(x,y) liên tục trong D={(x,y):a<x<b,y,(x)<y<y,(x)} thì tích phân (3) tôn tại

- Tương tự nêu hàm ƒ(x,y) liên tục trong D ={(x,y):c<y<đ,x,(y)<x<x,(y)} thì tích phân (4) tôn tại

2.1.2 Định lý Fubini (1870 — 1943 nhà toán học Ý)

Dinh ly 1 Néu ham f(x,y) lién tuc trong D ={(x.,y):a<x Sb.y,(x)< y<y,(x)} và

néu cdc ham y, (x).y; (x) liên tục trên [a;b] thì tôn tại tích phân lÏr (x, y)dxdy và

trong d6 S(D) la dién tich cua D

Chung minh Dinh ly1

Chọn phân hoạch 7 xác định bởi các phương trình:

X=Xạ,X=X¡, ,X=X, (a= Xạ <Xị¡ < <x, =b)vày=0,(x),y=@, (x) y=, (x)

trong đó @;(x)=y,(x).®(x)= y.(x) +-[y,(x)- Ÿì (x)]

ya(x) Y2(x) n oon )(x)

Xét I= fax | (x, y)dy= ae yy fax | s (x, y)dy

Vi f(x,y) lién tuc trong các miền con D,, ={(x,y) :X„_ <x $x,,0,,(x)Sy<o,(x)}

nên nó đạt giá trị lớn nhất M, và Dé nhất m,, or miễn đó

Nhận xét Trong định lý nếu thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì ta có

1 Định lý 1° Néu ham f(x,y) lién tục trong

2.1.3 Các ví dụ

Ví dụ 1 Đưa tích phân 2-lớp I = | | f (x, y)dxdy vé tích phân lặp theo các thứ tự khác

D

nhau trong đó : a) D là hình thang với các đỉnh O(0;0),A(2;0),B(1;1) và C(0;1)

b) D giới hạn bởi: x=2y=x,y=+

2.2 Đồi biến số trong tích phân 2-lớp

2.2.1 Công thức đôi biến số trong tích phân 2-lớp

Giả sử DC Oxy là miền đóng, bị chặn và đo được

Xét tich phan I = {fe (x, y)dxdy, trong dé f(x,y) liên tuc trong D

D

Thực hiện một phép đổi biến số x = x(u,v), y = y(u,v), (u,v)e D” (5) thỏa mãn

các điều kiện sau :

1 Các hàm x(u,V), y(u,v) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miễn

đóng, bị chặn và ẩo được D” c O"uv

2 Các công thức (5) xác định một song ánh từ miễn D lên miễn D

3 Định thức hàm Jacobi

¡- Dứy) D(u,v) |x', yy

Khi đó ta có công thức đổi biến số trong tích phân 2-lớp

2.2.2 Tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực

Công thức liên hệ của điểm M trong hệ tọa độ Đề các (x,y) và hệ tọa độ cực

(r,9)la x =rcos@,y =rsin0 , r>0,0<@ <2

Nếu r >0,0<0 <2 (hì các công thức trên là một song ánh giữa tọa độ Dé các và tọa độ cực nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có

D(x,y) |X, Y,| |cosỌ sino

lÏ (x.y>xlxdy = {fe (rcos@,rsing ) rdrd@ (7)

Chú ý - Công thức (7) vẫn đúng trong trường hợp D có chứa gốc tọa độ

- Nếu D có chứa gốc tọa độ hoặc bao quanh gốc tọa độ thì 0<@ < 2

- Công thức (7) thích hợp khi D là hình tròn, vành tròn hoặc một phần của

hình tròn, vành tròn và hàm số dưới dấu tích phân có chứa biểu thức x? + y?

Ví dụ 1 Chuyển sang tọa độ cực, rồi thay đi thứ tự lấy tích phân trong tích phân

tích của mỗi miễn con T,(i=Ln), d{( T;)là đường kính của T,, d(%)= maxd(T,) là

1<i<n

đường kính phân hoạch Trong mỗi miền con 1 chọn một cách tùy ý điểm

N,(x,,y,,z,) Lập tổng tích phân

Ơ, =}(N )AT,= } ra X,,Y,0Z, )AT,

Ta thay o, phy thudc vao 7 va cdc diém chon N(x X,.Y,>Z;)-

Dinh nghia Néu ton tai gidi han hitu han

I= limo,

d(x )—0

mà giới hạn đó không phụ thuộc vào TU và các điểm chọn N, i(%i>¥inz ) thì ta nói Ï

là tích phân 3-lớp (tích phân Riemann) của hàm sé f(x, y, z) lay trong miễn T và ký hiệu là lÌ: (x, y,z)dxdydz

Khi đó hàm số f(x, y, z) được goi la kha tich (Riemann) trong mién T

Tích phân 3-lớp cũng có các kết quả và tính chất tương tự như tích phân

Giả sử TC RỶ là miền đóng, bị chặn và đo được

Xét tích phân I = ||] (x, y,z)dxdydz, trong đó f(x, y, z) Hên tục trong T

T

Gọi D(x,y) là hình chiếu của T lên mặt phẳng O(x,„y)

Nếu miền T được giới hạn bởi các mặt z=z,(x,y),z=z„(x,y) trong đó z;(x,y)<z„(x,y), V{(x,y)e D(x,y) và là các hàm số liên tục trong D(x,y) thì

Vì vai trò của x, y, z như nhau nên có thê xét đến hình chiếu của T lên các mặt

phẳng tọa độ khác và ta có các tích phân lặp theo các thứ tự khác nhau

3.2.2 Doi bién sé trong tich phan 3-lép

1 Céng thire déi biến số trong tích phân 3-lớp

Xét tích phân Ï = [fe (x, y,z)dxdydz, trong do f(x, y, z) liên tục trong T

T

Thực hiện một phép đối biến số

xX = x(u,v,w), y = y(H,V,W), Z = Z(M,V,W); (u,v,w)€ T (3)

thỏa mãn các điều kiện sau:

a) Các hàm x{(u,v,Ww), y(u,v,w) và z(u,v,w) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miễn đóng, bị chặn và ẩo được TỶ cO'uvw

b) Các công thức (3) xác định một song ánh từ miên T lên miễn T

c) Dinh thuc ham Jacobi

Khi đó ta có công thức đổi biến số trong tích phân 3-lớp

Ee (x, y,z)dxdydz = lÍÏ? [x(u, v,w),y(u,v,w),z(u, v, w) ||J|dudvdw (4)

2 Tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ trụ

Tọa độ trụ của điểm M(x,y,z)c Oxyz là bộ ba số (r,@,z), trong đó(r,@) là tọa độ cực của M(x,y) là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy Gitta tọa độ Dé cdc

và tọa độ trụ của điểm M có môi liên hệ

X =rco0§0, y =rsin0,z =z ;r >0,0 <0 < 27,—ee < 7 < +

Nếu r> 0,0<@<2#,—-ee<z<+© (hì các công thức trên là một song ánh giữa tọa độ Dé các và tọa độ trụ, nên có th xem chúng như một phép đổi biến số, ta

Chú ý: - Công thức (5) vẫn đúng trong trường hợp T có chứa các điểm thuộc Oz

_- Công thức (5) thích hợp khi T là hình trụ, nón, paraboloit tròn xoay hoặc các miên hình chiêu lên các mặt phăng tọa độ là hình tròn, một phân của hình tròn

3 Tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ cầu

Tọa độ câu của điểm M(x,y,z)c Oxyz là bộ ba sô(r,Ð,@), trong đó r=OM,

6 = (Oz.OM), O= (Ox,OM), M' là hình chiêu của M lên mặt phăng OXy

Giữa tọa độ Đề các và tọa độ cầu của điểm M có mối liên hệ

x =rsinØ cos0, y =rsinÕ sino, z=rcosØ ;r>0, 0< <2r, 0<0 <7 Nếu r>0,0 <0 <2, 0<0 <7 £hì các công thức trên là một song ánh giữa tọa

độ Đề các và tọa độ cầu, nên có th xem chúng như một phép đổi biến số, ta có

Chú ý: -Công thức (6) vẫn đúng trong trường hợp T có chứa các điểm thuộc Oz

- Nếu T nằm hoàn toàn ở phía trên mặt phẳng Oxy thì 0<0 < 2

- Biểu thức x? + y? + z? trong hệ tọa độ cầu chính là r?

- Công thức (6) thích hợp khi T là hình cầu, vành cầu hoặc một phan của hình câu, vành câu

$4 UNG DUNG CUA TICH PHAN 2-LOP, 3-LOP

4.1 Ung dung trong hinh hoc -

4.1.1 Tính diện tích của hình phẳng Diện tích của hình phăng đóng, bị chặn va do được D được tính theo công thức

= [| dxdy

D

Ví dụ Tính diện tích của hình phẳng D giới hạn bởi các đường

a) y” =2px,y” =2qx,x” = 2ry,x” = 2sy;0<p<q,0<r<s

b) x”+ y” =ax,xˆ” + y” =2ax(a >0), y= y=,

4.1.2 Tính diện tích của mặt G¡¿ sử (Š) là một mặt trơn, có phương trình là z = f(x,y), trong đó ƒ(x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miễn D là hình chiếu của (S) lên mát phẳng Oxy Khi đó diện tích của mặt (Š) được tính theo công thức

s= |ÏNI+p +q’dxdy, trong dé p=z', ,q=z', ,dS=1+p’ +q'dxdy

2 Đặc biệt nếu T là vật thể hình trụ được giới hạn phía dưới bởi mặt z =z„ (x,y),

phía trên bởi mặt z=z„(x,y), trong đó các hàm z,(x,y) va z,(x,y) lién tuc trong

miễn D là hình chiếu của T lên mặt phẳng Oxy, xung quanh là mặt trụ có đường sinh song song với trục Óz và đường chuắn là biên của D thì thê tích của T được tính theo công thức

= JJ[dxdydz= [[[z: (x.y)—Z,(x.y) dxdy

Ví dụ Tinh thé tich cua phan hinh tru x? + y? =2ax, a>0 nam giita paraboloid

x? + y* =2az và mặt phẳng Oxy

4.1 Ung dung trong vat ly

4.1.1 Ứng dụng của tích phân 2-lớp trong vat ly

Cho bản phăng D không đông chât có khôi lượng riêng (tỉ khôi) tại điêm

M(x,y)e Dlà p(x,y), giả thiết hàm p (x, y) liên tục trong miền D Ta có

1 Khối lượng của bản phẳng D được tính theo công thức

m= |[p(x.yXxdy

2 Tọa độ trọng tâm của bản phẳng D được tính theo công thức

= — lÌ Xp(x,ykkdy ; Yys= all? (x, y)dxdy Đặc biệt: Nếu D là bản phẳng đồng chất thì

trong đó S(D) là diện tích của miền D

Ví dụ Cho bản phẳng D là tam giác vuông OAB có các cạnh goc vudng OA =a, -

OB = b Khôi lượng riêng tại môi điêm thuộc D băng khoảng cách từ diém đó đên cạnh OA Tìm tọa độ trọng tâm của bản phăng

4.1.2 Ứng dụng của tích phân 3-lớp trong vật lý

Cho vật thê T không đồng chất có khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z)eT là

p(x,y,z), giả thiết hàm p (x,y,z) liên tục trong miền T Ta có

1 Khối lượng của vật thể T được tính theo công thức

m= [le (x.y,z)dxdydz

2 Tọa độ trọng tâm của vật thể T được tính theo công thức

XS “alll (x, y,z)dxdydz ; y, =mlll›e (x, y,z)dxdydz ; z, alll (x, y,z )dxdydz

Đặc biệt Nếu T là vật thể đồng chất thì

Xg= vail xdxdydz ; y¿ = Fea llevar ; Zg= vimll[rbee ;

trong d6 V(T) 1a thé tich cua mién T

Vi du 1.Tinh khéi luong cua vat thé T:a? <x’ +y’ +z? <b’,0<a<b Biết rằng khối

lượng riêng tại điểm M(x,y,z)e T bằng lập phương khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ

Ví dụ 2 Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón z=aÍ+ˆ + y?

và mặt câu x” + y” + z” =l

$1 TICH PHAN DUONG LOAI MOT

1.1 Một số khái niệm về đường cong:

— Giả sử (C) là đường cong phăng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham SỐ:

x =x(, y= y() ; te [a;b] (1)

Định nghĩa l: Đường cong (C) được gợi là: — ,

1 Đường cong Jordan ( don, khéng ty cat ) néu cdc ham x(t), y(t) lién tuc trên

[a;b] và thỏa mãn diéu kién (x(t,),y(t,)) #(x(t,), y(t,)); Vt,,t,€ (a;b),t, #t,

Ngoài ra nếu (x(a), y(a)) =(x(b), y(b)) thì (C) là đường cong đóng (kín)

Ngược lại (C) được gọi là đường cong không đóng ( không kín)

2 Đường cong trơn nêu các hàm x(f), y(t) có đạo hàm liên tục trên [a;b] và thỏa

mãn điêu kiện x”(t)+ y“(t)#0,Vte [a;b]

3 Đường cong trơn từng khúc nếu nó gôm hữu hạn cung trơn

Nhận xét: Trên đường cong (C) có thể xác lập một hướng nếu quy ước điểm

M{x(t,).y(t,)) đứng trước điểm N(x(t;).y(t;)) © tị <t,,Vt,,t„e[a;b] Khi đó điểm A =(x(a).y(a)) gọi là điểm đầu, diém B =(x(b), y(b)) gọi là điểm cuối

Đường cong phẳng (C) trên đó xác lập một hướng được gọi là đường cong có hướng Đường cong (C) với điểm đầu A, điểm cuối B còn được ký hiệu là C(A,B) Nhà toán học Jordan (Pháp) đã chứng minh: mọi đường cong phẳng, đóng, Jordan (C) đều chia mặt phẳng thành hai miện khác nhau với biên chung (C), một miễn bị chặn (phân trong), một miền không bị chặn (phần ngoài)

Giả sử (C) là đường cong phăng, đóng, Jordan Ta quy ước hướng dương là hướng khi một điểm chuyên động trên (C) theo hướng đó thì phân trong của (C) luôn năm ở bên trái Hướng ngược lại gọi là hướng âm

Chú ý: 1 Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các

y=y(x),xe [a;b], có thé tham số hóa (C) bằng cách đặt x =t,y = y(t);te [a;b]

2 Đường cong không gian (ghènh) được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số:

x =x(), y = y(Ð, z = z(Ð ; te|a;b|

cũng được định nghĩa tương tự

1.2 Định nghĩa tích phan đường loại một (tích phần đường theo độ dài):

1.2.1 Định nghĩa tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dai):

Giả sử (C) = C(A,B) là đường cong phẳng, Jordan, trơn Trên (C) cho hàm

f(x,y) liên tục Thực hiện một phép phần hoạch 7 chia (C) thành n cung nhỏ tùy ý boi céc diém chia: A=A,,A,, A, =B Dat As.là độ dài của cung nhỏ thứ ¡,

i=l,n; d(&)=maxAs, là đường kính phân hoạch Trên mỗi cung nhỏ A4,A, lay

1<i<n

điểmM, (Š,,m\, ) bất kỳ Lập tổng tích phân:

Ớ, =}r(M _ )As, -Lre on, )AS, -

Ta thay GØ„ phụ thuộc vào7r và các điểm chọn M, (&,.n;)-

Định nghĩa: Nếu tôn tại giới hạn hữu hạn lim 0, =I ma gidi hạn đó không phụ

d(x)->0

thuộc vào T4 và các điểm chọn M, (Š, n;) thi I duoc goi la tích phân đường loại một

(tích phân đường theo độ dài) của ham f(x,y) lay trên (C) Ký hiệu

(C)

Nếu tích phân (2) tôn tại thì nói hàm ƒ{x,y) là khả tích trên (C)

Nhận xét: 1 Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào hướng của (C)

2 Tương tự có thể định nghĩa tích phân đường loại một của hàm ƒ(x,y,z)

lấy trên đường cong không gian (C) và ký hiệu | f (x, y,z)ds

(C)

3 Nếu (C) trơn hoặc trơn ting khiic va f(x,y) lién tuc trén (C)thi ton tai

tích phân đường loại một | f(x,y)ds

(C)

4 Độ dài của đường cong (C) được tính theo công thức Ì= | ds

(C)

5 Khối lượng của đường cong phẳng (C) được tính theo công thức

m= | p(x,y)ds, rong đóp (x,y) là khối lượng riêng tại điểm M(x,y) thuộc (C),

(C)

p(x.y) liên tục trên (C)

Khối lượng của đường cong không gian (C) được tính theo công thức

m= | p(x, y,z)ds, trong d6p(x,y,z) la khối lượng riéng tai diém M(x,y,z) thudc

(C)

(C), p(x, yz) lién tuc trén (C)

6 Tích phân đường loại một có các tính chất tương tự như tích phân xác định

1.3 Cách tính tích phân đường loại một:

7 là một phép phân hoạch chia [a ; b] thành n đoạn con|t,,;t,],i= = Ln Lap tong tich phan:

vì f(x,y) và x(), y(Ð liên tục nên hàm hợp f [x(t), y(t)] cũng liên tục trên [a ; b] do đó

liên tục đều trên đoạn đó Ngoài ra khi d{%)—>0 thì At, =t,—t,¡ 9 0,Vi=1n Do

đó Ve >0 bé tùy ý, dỗ >0: Vz mà d(t)<8 thi

If[x(.).y(,)]~f[x(9.v(9]|<7 (7)

trong đó I là độ dài của đường cong (C)

Giả sử d(%)<ð khi đó từ (7) ta được

1 Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các

y=y(x),xe a;b| thi:

b

| f (x, y)ds = Jf[x.y(x) ]yl+ y” (x)dx

2 Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ cực r =r(@).@€ |œ:B |

[ft (x,y)as= ft [ r(p)cose,r(p)sing | yr’ (p) +1" (~) de

(C)

3 Nếu (C) đường cong không gian được cho bởi hệ phương trình dưới dạng

tham số: x = #(), y = y(f), z = z(£) ; te [a:b] và fix,y,z) lién tuc trén (C) thì:

| £(x,y,z)ds= [f[x(t),y(t),2(t) ] yx? (t)+y” (t)+z” (t) dt

(C)

Chú ý: Nếu (C) trơn từng khúc cần chia (C) thành hữu hạn cung trơn

thì:

X =acost, y =asint,z=bt;te |0;2x |,a,b >0

2 Tính khối lượng của đường tròn (C): x? + y” =ax,a>0, biết rằng khối lượng

riêng tại điểm M(x;y) thuộc (C)bằng khoảng cách từ điểm đó đến gốc toa dé

$2 TICH PHAN DUONG LOAI HAI

2.1 Định nghĩa tích phân đường loại hai (tích phân đường theo tọa độ):

Giả sử (C) = C(A,B) là đường cong phẳng, Jordan, trơn, không đóng Trên (C) cho các hàm hai biến P=P(x,y),Q=Q(x,y) liên tục Thực hiện một phép

phân hoạch Ø&chia (C) thành n cung nhỏ tùy ý bởi các điểm chia AEA,,A,, A, =B Đặt As là độ dài của cung Ä% A,; Ax,,Ay,,¡=1,n lần lượt là

hình chiếu của cung Ã',A, lên trục hoành và trục tung, d{% )= max As, là đường

Dinh nghia: Néu ton tai cdc giới hạn hữu hạn

lim ) P(&,,n,;)Ax, va im Le (&.n, )Ay,

2 Đối với đường cong đóng, có hướng đương tích phân đường loại hai được định nghĩa:

j Pdx + Qdy = | Pdx + Qdy + | Pdx + Qdy ,

trong đó A,B là hai điêm bát kỳ thuộc (C)

Tích phân đường loại hai có hướng âm được định nghĩa:

j Pax + Qdy=—j Pdx + Qdy

(C)

3 Néu (C) tron hodc tron từng khúc và các hàm P =P(x,y),Q= Q(x, y) lién tục

trên (C)thì tôn tại tích phân đường loại hai | Pdx + Qdy

(C)

4 Tương tự có thể định nghĩa các tích phân đường loại hai của các hàm ba biến P=P(x,y,z),Q= Q(x,y,z),R =R(x,y,z) lấy trên đường cong không gian(C) Ký hiệu là | P(x, y,z)dx , | Q(x, y,z)dy va | R(x, y,z)dz

Dé thay tich phan I 6 về phải của (1) tôn tại

Ta cân chứng minh tích phân ở về trái của (1) cũng tôn tại và xảy ra đăng thức

Giả sử 7 là một phép phân hoạch chia [a;b] thành n đoạn con [t,_.3t,],i=Ln;

TE [t,,;t,].i=1,n vàM, (E¿m;) =M,(x(t,);y(,))

Lập tổng tích phân ø„ =}_ P(,\,)Ax,

1=l

Vi Ax, =x, -X,_, =x(t,)—x(t,_,)= f x'(t)dt nénI -y | P{ x{(t).y(t) |x'(t#t

=>, -I=Ÿ |ff[xfx))]=P[x(9 (t) |}x'(t jar< Ee | x (ea ,

d(x )—0

Hệ qua: 1 Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Dé cdc

y =y(x),xe[a;b] thi

[Pax + Qdy = [{PEx.y(x)] + Q[ x y(x) ]y'(x)}dx

2 Nếu (C) đường cong không gian được cho bởi hệ phương trình đưới

dang tham s6 x = x(t), y = y(t), z= z(t); te[asb] va P=P(x,y,z),Q=Q(x, y,z)

R =R(x,y,z) liên tục trên (C)thì:

| Pdx+Qdy+ Rdz =

(C)

= [{P[x(t).y(9).z()]x'(9) +Q| x(t), y(t),z(t) ]y'(t) +R[x(t),y(t),z(t) ]z'(t)}at

Chú ý: Nếu (C) trơn từng khúc cần chia (C) thành hữu hạn cung trơn

c) đường gấp khúc OBA, voi B(1;0)

2 i ydx + z2dy + x?dz ,(C) là giao tuyến của mặt cầu x? + y? +z? =4 với mặt

(C)

phang z= 3 có hướng vòng quanh ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ điểm về phía z >0

2.3 Liên hệ giữa tích phân đường loại một và tích phân đường loại hai:

Giá sử (C) = C(A,B) là đường cong phẳng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số

x=x), y= y() ; se |0;S]

trong đó x(s), y(s) có đạo hàm liên tục, độ dài cung s được chọn làm tham SỐ

Gọi œ là góc lập bởi tiếp tuyến hướng theo phía tăng của cung với hướng

dương của Ox Ta có cosœ=x'(s),siaœ =y'(s) Nếu dọc theo (C)cho các hàm

P=P(x.y),Q=Q(x,y) liên tục thì [ Pdx+ Qdy = | (Pcosœ + Qsind.)ds

Tương tự nêu (C)là đường cong không gian thì

| Pdx + Qdy+ Rdz = | (Pcosơ +QcosB +Reosy )ds,

P=P(x,y), Q=Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của chúng thì

Chimg minh: Dé chimg minh (1) chỉ cần chứng minh:

Hệ quả: Diện tích của miên D được tính theo công thức:

S(D)= af xdy — ydx, trong đó(C) là biên có hướng dương của D

, (C)là đường cong đóng có hướng dương không đi

qua gốc tọa độ

Tính I nếu: a) (C) là đường tròn tâm O(0:0) bán kính R

b) (C) là biên của tam giác với các đỉnh A(1;1) B(4;2), C@;6)

2 Tính tích phân: | (e* sin y — ay kx + (e*cosy + a)dy,(AmO)là nửa đường

(AmO)

tron x* + y* =2x,y >0 có hướng từ điểm A(2;0) đến điểm O(0;0)

2.5 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lẫy tích phân:

Định lý 2: (Định lý về 4 mệnh đề tương đương):

Giả sử DCR? là miễn mở, đơn liên và trong D cho các hàm

P=P(x,y),Q=Q(x,y) liên tục cùng với các đạo hầm riêng cấp một của chúng Khi

đó 4 mệnh đê sau là tương đương:

3 Tích phân | Pdx+Qdy không phụ thuộc vào đường lấy tích phân, chỉ phụ

CA,®) thuộc vào điềm đầu A và điểm cuối B, trong đó C(A,B) là đường cong không đóng bắt kỳ, trơn hoặc trơn từng khúc năm hoàn toàn trong D

4 Biểu thức Pdx + Qảy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nao dé trong D

Chung minh:

(1= 2) hién nhiên (theo công thức Green)

(23) nối A và B bởi hai đường trơn (AmB) và (AnB) bất kỳ năm hoàn toàn

trong D Ta chứng minh a Pdx + Qdy = | Pdx + Qdy

(AnB)

(34) Ta ching minh tồn tại hàm u(x,y)e€D sao cho S—=P(xy),

X

» =Q(x,y) Giá sử A(xạ;y„)e Dcô định , MŒx ; y) thay đổi trong D Xét hàm số

u (M) = u(x,y)= | Pdx + Qdy +C, C=const

(AM) Hàm u hoàn toàn xác định vì tích phân ở về phải không phụ thuộc vào đường lây tích phân Xét điểm M, (x +h;y)e D,|h| khá bé Nối A và M bởi một đường trơn tuỳ

ý trong D, M và M, bởi đường thẳng song song với trục hoành Ta có

u(x+h,y)—u(x,y) _1

h

xth

=_ [ P(t.y)dt=P(x +h,y),0< 6<1 (theo định lý giá trị trung bình)

x

trong dé C(A,B)la dudng cong khéng déng bat kỳ, trơn hoặc trơn từng khúc nằm

hoàn toàn trong D

2 Nếu D=R? và Pdx + Qdy la vi phan toan phan cua ham u(x,y) trong D thi

u(x,y)= [P(%.y,)œ + [o(xy)dy+c

hoặc u(x,y)= | Q(xo.y)dy + | P(x y)dx +C,

trong dé C = const, (xạ.yạ) là một điểm bất kỳ thuộc D

Ví dụ: Chứng minh rằng biểu thức 6xe”dx +(3x” + y+1)eŸdy là vi phân toàn phần

của hàm u(x,y) nào đó Tìm hàm u(x,y)

$3 TICH PHAN MẶT LOẠI MỘT

3.1 Một số khái niệm về mặt trong không gian:

Mặt (5) trong không gian thường được cho bởi phương trình

Nêu giải ra được đôi với cac bién x, y, z thi (S) dugc cho dưới dạng hiện

trong đó z (x, y) liên tục trong D

Nêu không thê giải được đôi với bât cứ biên nao thi (S) được cho dưới dạng ân

—— Mặt (5) trong không gian cũng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham SỐ:

x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v);(u,v)e D (3) trong d6x(u,v),y(u,v),z(u,v)1a cdc ham sé lién tuc trong D

Chú ý:

Nếu chọn x =u, y = v, z =z (u, v) ; (u,v)c D thì (2) là trường hợp riêng của (3)

Định nghia 1: Mat (S) được gọi là ni

- Mat đơn nêu với hai giá trị khác nhau của tham số đêu tương ung voi hai

điểm khác nhau thuộc (S)

- Mặt được chiếu đơn trị lên các mặt phẳng tọa độ nếu mỗi đường thẳng song song với các trục tọa độ chỉ căt(S) tại không quá một điểm

- Mặt trơn nếu tại mỗi điểm của nó đêu tôn tại một mặt phẳng tiếp xúc và khi dịch chuyển từ điểm này đến điểm khác vị trí của mặt phẳng tiếp xúc biến thiên liên tục

Nếu (S) được cho bởi (2) thì (S)trơn khi z (x, y) có các đạo hàm riêng liên tục

trong D

- Mặt trơn từng mảnh nếu (S) gồm hữu hạn các mảnh trơn

Định nghĩa 2: Nếu từ mỗi điểm M cua mat tron (S) déu cé thé ké duoc mét phdp

tuyén don vi n(M) sao cho ham véc to n(M)lién tuc trén (S) thi (S) được gọi là mặt

định hướng (mặt hai phía)

Mặt hai phía được đặc trưng bởi tính chât phép vòng quanh trọn một lân theo chu tuyên đóng bat ky thuộc (S) và không cắt biên của (S) không làm thay đôi hướng của pháp tuyên thành hướng ngược lại

Mặt không phải là mặt hai phía được gọi là mặt một phía Ộ

Mặt hai phía còn gọi là mặt có hướng và việc chọn một phía xác định băng cách chọn hướng của pháp tuyên được gọi là phép định hướng mặt

Nêu (S)là mặt hai phía thì nó có phía trên và phía dưới (mặt không kín), phía

ngoài và phía trong (mặt kín)

Ví dụ: - Mặt phẳng là mặt hai phía

- Mặt trơn bất kỳ xác định bởi phương trình z = z (x,y) là mặt hai phía

- Mọi mặt kín không có điểm tự cắt đều là mặt hai phía (mặt cầu, mặt elipxoid)

- Lá Mebius là mặt một phía

Trong chương này ta chỉ xét đến mặt hai phía

Chú ý: Nếu (S) là mặt trơn, hai phía được xác định bởi phương trình z = z (x,y) thì phía trên (phía ngoài) của (S) các véc tơ pháp tuyến có cosin chỉ phương là

cosa =cos(n Ox) =———E——=_-pcosy

Đối với phía dưới (trong) được lấy dẫu ngược lại

cosy =cos (n, Oz) =

Định nghĩa 3: Giả sử (ŠS) là mặt hai phía được giới hạn bởi chu tuyển đóng (C) Hướng vòng quanh (C) của mặt (ŠS) được gọi là hướng đương tương ứng với phía của mặt nếu một người quan sát đứng trên phía ấy và chuyển động trên (C) theo hướng đó thì mặt (Š) luôn năm ở bên trái Hướng ngược lại được gọi là hướng âm