bài giảng tích phân 1

Tích phân của hàm hữu tỷ.3... Tích phân của hàm hữu tỷ.... Để tìm các hệ số A, B, C, … nhanh, có thể sử dụng khaitriển Heaviside: tham khảo bài giảng Hàm phức toán tử,... Tích phân của h

Nội dung -

Phương pháp ñổi biến

Ví dụ Tính

sin

dx I

x

= ∫

sin

dx I

x

sin

xdx x

2 cos 1

x

C x

Phương pháp tích phân từng phần.

Giả sử hai hàm u = u x v( ), = v x( ) liên tục trên ñoạn [a,b]

và khả vi trong khoảng (a,b)

Tích phân của hàm hữu tỷ

( )( )

n m

Tích phân của hàm hữu tỷ.

3 Phân tích:

( ) 1 ( 2 )1

( ) ( )( )

t s

Tích phân của hàm hữu tỷ.

1

, 1( )

Tích phân của hàm hữu tỷ.

Ví dụ Tính

3

( 2)

dx I

d x x

+

Chú ý Cách tìm hệ số A, B trong (*) nhanh:

Để tìm A, nhân hai vế (*) cho (x – 2) rồi thay x = 2 vào

Để tìm B, nhân hai vế (*) cho (x +1) rồi thay x = -1 vào

Ví dụ Tính 2

2 2 2

4 8( 1) ( 1)

dx I

Để tìm các hệ số A, B, C, … nhanh, có thể sử dụng khaitriển Heaviside: tham khảo bài giảng Hàm phức toán tử,

Tích phân của hàm hữu tỷ: Phương pháp Ostrogradskii

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

Ví dụ Tính 2

2 2 2

4 8( 1) ( 1)

2 2 2

4 8( 1) ( 1)

Tích phân của hàm vô tỷ

Ví dụ Tính

4

2 1 2 1

dx I

3

1 ( 1) 1( 1)(1 1)

Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Euler

t x

2

1 1

−

2

1 1 x x

t x

2 2

Tích phân của hàm vô tỷ: Tích phân Trêbưsev

Ví dụ Tính

2 3 3 5

( 2)

dx I

Ví dụ Tính 3 ( 6 )

1

dx I

Tích phân của hàm lượng giác

Ví dụ Tính

3sin 4cos 5

dx I

dt dx

−

+

Tích phân của hàm lượng giác

∫1) R(−sin ,cosx x) = −R(sin ,cosx x) ñặt cos , ,

2 2

t x x  −π π 

2) R( (sin , cosx − x) ) = −R( (sin ,cosx x) ) ñặt t = sin ,x x∈( ) ( )0,π

3) R(−sin , cosx − x) = R(sin ,cosx x) ñặt tan , ,

2 2

t x x  −π π 

4) ∫sin p x⋅ cosq x dx⋅ ñặt t = sin x hoặc t = cos x

Hoàn toàn tương tự cho các hàm Hyperbolic: coshx, sinhx

Ví dụ Tính

(2sin 3cos )sin cos 9cos

x x

(cos ) (cos )cos 1 cos

Tích phân của hàm lượng giác

Phân tích: 2sin x + 3cos x = A(sin x + 4cos )x + B(sin x + 4cos )x '

2sin x + 3cos x = (A − 4 )sinB x + (4A + B) cos x

A B

(sin 4cos ) (sin 4cos ) '

Tích phân của hàm lượng giác

2sin x + cos x + = 3 A(3sin x + 4cos x + + 5) B(3sin x + 4cos x + 5) + C

2sin x + cos x + = 3 (3A − 4 )sinB x + (4A + 3 ) cosB x + (5A C+ )

A B C

Tích phân của hàm Hyperbolic