BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4 (Số tín chỉ: 3) pdf

Nếu đường cong C có một trong các dạng dưới đây thì C là đường cong có diện tích - không.. Nếu T được giới hạn bởi một số hữu hạn các mặt z = zx,y, x, y ∈Dtrong đó zx,y là hàm số liên

Chương I: TÍCH PHÂN BỘI

$1 TÍCH PHÂN 2-LỚP

1.1 Định nghĩa tích phân 2-lớp:

1.1.1 Khái niệm về miền đo được:

Miền đa giác là miền đo được (có diện tích) Giả sử D là một miền phẳng bị chặn, được giới hạn bởi một hay một số hữu hạn đường cong Jordan đóng

Gọi Q là một miền đa giác chứa trong D, S(Q) là diện tích của nó

Gọi Q’ là một miền đa giác chứa D, S(Q’) là diện tích của nó

Giả thiết thêm biên của D và biên của Q, Q’ không có điểm chung

Tập hợp các miền đa giác Q, Q’ là khác rỗng và vô hạn Do đó tập hợp các giá trị S(Q), S(Q’) là khác rỗng và vô hạn

{S(Q)} bị chặn trên bởi diện tích của một đa giác Q’ nào đó

1 Định nghĩa Nếu P+ =P− =S D( )thì D được gọi là miền đo được (có diện tích) và

số S(D) được gọi là độ đo (diện tích) của D

Từ định nghĩa về miền đo được ta có các kết quả sau:

a) D đo được ⇔ ∀ >ε 0 bé tùy ý, tồn tại các miền đa giác Q⊂D,Q '⊃D sao cho

2 Tính chất của miền đo được

Giả sử D1⊂D, D2 ⊂D, D = D1∪D ;D , D2 1 2 không có điểm trong chung Nếu

D , D đo được thì D đo được và S D = S D( ) ( ) ( )1 +S D2

3 Ví dụ về miền đo được

Định nghĩa Đường cong (C) được gọi là đường cong có diện tích - không (đường

cong đo được) nếu ∀ >ε 0 bé tùy ý , tồn tại miền đa giác Q chứa (C) sao cho

( )

S Q <ε

Đối với miền phẳng D ta có các kết quả sau:

D đo được ⇔biên D∂ của nó có diện tích – không

Định lý Nếu đường cong (C) có một trong các dạng dưới đây thì (C) là đường cong

có diện tích - không

x ' t +y ' t ≠ ∀ ∈0, t a ;b

Hệ quả Nếu biên của D gồm một số hữu hạn các đường có dạng a), b), c) thì D là

miền đo được

4 Tương tự, có thể xây dựng được khái niệm độ đo (thể tích) của miền T⊂R dựa 3

vào thể tích khối đa diện

Nếu T được giới hạn bởi một số hữu hạn các mặt z = z(x,y), ( )x, y ∈Dtrong

đó z(x,y) là hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong D thì miền T đo được

1.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp:

1.2.1 Giả sử D là miền phẳng, đo được, bị chặn Ta gọi đường kính của miền D

là supremum của các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc D

Ta thấy π chia D thành n miền con đôi một không có điểm trong chung

mỗi miền con Di chọn một cách tùy ý điểm Ni(ξ η Lập tổng tích phân: i, i)

Ta thấy σ phụ thuộc vào π và các điểm chọn π Ni(ξ η i, i)

Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

mà giới hạn đó không phụ thuộc vào π và các điểm chọn Ni(ξ η thì I được gọi là i, i)

tích phân 2-lớp (tích phân Riemann) của hàm số f(x,y) lấy trong miền D và ký hiệu là

( )

D

f x, y dxdy

Khi đó hàm số f(x,y) được gọi là khả tích (Riemann) trong miền D

Chú ý Tương tự như hàm một biến, tính bị chặn của hàm số f(x,y) là điều kiện cần

để nó khả tích

1.2.3 Tổng Darboux Cho hàm số bị chặn f(x,y) trong miền D Đối với mỗi phân

hoạch π chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung

Các tổng s( ) ( )π , S π lần lượt được gọi là tổng dưới và tổng trên Darboux của

f(x,y) ứng với phân hoạch π

Tập hợp các tổng dưới { }s( )π và tổng trên{S( )π Darboux là các tập khác }

D⊂R là miền đóng, bị chặn và đo được Hàm số bị f(x,y) bị

chặn trong D là khả tích nếu và chỉ nếu

D⊂R là miền đóng, bị chặn và đo được, f(x,y) liên tục trong D

khi đó f(x,y) khả tích trong D

Chứng minh Dùng tiêu chuẩn khả tích

Vì f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được D nên f(x,y) bị chặn và liên tục đều trong D ⇔ ∀ > ∃ =ε 0, δ δ ε( )>0 sao cho trong miền con bất kỳ của D

có đường kính bé hơn δ thì dao độ

D⊂R là miền đóng, bị chặn và đo được, f(x,y) liên tục trong D,

chỉ gián đoạn trên một số hữu hạn đường có diện tích – không khi đó f(x,y) khả tích trong D

Chứng minh Dùng tiêu chuẩn khả tích

Lấyε >0bé tùy ý Do f(x,y) bị chặn trong D nên

K 0 : f (x, y) K,

∃ > ≤ ∀( )x, y ∈D Giả sử f(x,y) chỉ gián đoạn trên một đường (C) có diện tích – không Phủ (C) bởi hình đa giác Q có diện tích S Q( )

4K

ε

< Đặt °D=D \ int Q⇒D°là miền đóng, bị chặn và đo được, nên f(x,y) liên tục đều trong °D Chọn δ >0 đủ bé sao cho với mỗi miền con Di ⊂D°có đường kính

khả tích trong các miền D , D khi đó f(x,y) khả tích trong D và 1 2

Để tính tích phân 2-lớp ta có thể đưa tích phân 2-lớp về tích phân lặp

2.1.1 Các tích phân lặp Các tích phân dưới đây được gọi là các tích phân lặp

trong đó các hàm y x , y1( ) ( )2 x liên tục trên [a;b], các hàm x y , x1( ) ( )2 y liên tục trên [c;d]

Điều kiện để các tích phân lặp tồn tại:

- Nếu hàm f(x,y) liên tục trong D={ ( )x, y : a≤ ≤x b,c≤ ≤y d} thì các tích

y x b

y x b

m≤f x, y ≤M ,∀ x, y ∈D thì m.S D ≤∫ ∫dx f x, y dy≤M.S D , trong đó S(D) là diện tích của D

y x b

( )

( )( )

Vì f(x,y) liên tục trong các miền con Dk j ={ ( )x, y : xk 1− ≤ ≤x x ,k ϕj 1− ( )x ≤ ≤y ϕj( )x }

nên nó đạt giá trị lớn nhất M và bé nhất kj m trong miền đó kj

( )

j k

k 1 j 1

x x

Nhận xét Trong định lý nếu thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì ta có

1 Định lý 1’ Nếu hàm f(x,y) liên tục trong

2 Trong trường hợp miền D không thỏa mãn các điều kiện của định lý thì cần chia D

thành hợp hữu hạn miền, đôi một không có điểm trong chung, thỏa mãn các điều kiện

2.2 Đổi biến số trong tích phân 2-lớp

2.2.1 Công thức đổi biến số trong tích phân 2-lớp

Giả sử D⊂Oxy là miền đóng, bị chặn và đo được

Xét tích phân I = ( )

D

f x, y dxdy

∫∫ , trong đó f(x,y) liên tục trong D

Thực hiện một phép đổi biến số x = x(u,v), y = y(u,v), ( ) *

u, v ∈D (5) thỏa mãn các điều kiện sau :

1 Các hàm x(u,v), y(u,v) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền

−

2.2.2 Tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực

Công thức liên hệ của điểm M trong hệ tọa độ Đề các (x,y) và hệ tọa độ cực

Từ công thức đổi biến số tổng quát (6) ta có công thức tích phân 2-lớp trong

Chú ý - Công thức (7) vẫn đúng trong trường hợp D có chứa gốc tọa độ

- Nếu D có chứa gốc tọa độ hoặc bao quanh gốc tọa độ thì 0≤ ≤ϕ 2π

- Công thức (7) thích hợp khi D là hình tròn, vành tròn hoặc một phần của hình tròn, vành tròn và hàm số dưới dấu tích phân có chứa biểu thức x2 +y2

Ví dụ 1 Chuyển sang tọa độ cực, rồi thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân

2.2.3 Tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực mở rộng

- Trong trường hợp D là hình elip

3.1 Định nghĩa tích phân 3-lớp Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đóng, bị

chặn và đo được T⊂R Thực hiện một phép phân hoạch π chia T thành n miền 3

con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung T ,T , ,T1 2 n Gọi ∆Ti là thể tích của mỗi miền con T i 1, ni( = ), d T là đường kính của( )i T , i ( ) ( )i

Ta thấy σ phụ thuộc vào π và các điểm chọn π N x , y , z i( i i i)

Định nghĩa Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

mà giới hạn đó không phụ thuộc vào π và các điểm chọn N x , y , z thì ta nói I i( i i i)

là tích phân 3-lớp (tích phân Riemann) của hàm số f(x, y, z) lấy trong miền T và ký

T

f x, y, z dxdydz

Khi đó hàm số f(x, y, z) được gọi là khả tích (Riemann) trong miền T

Tích phân 3-lớp cũng có các kết quả và tính chất tương tự như tích phân

Gọi D(x,y) là hình chiếu của T lên mặt phẳng O(x,y)

Nếu miền T được giới hạn bởi các mặt z=z x, y , z1( ) =z2( )x, y trong đó

và ngoài ra có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân ở vế phải của (2) một cách tùy ý

3.2.2 Đổi biến số trong tích phân 3-lớp

1 Công thức đổi biến số trong tích phân 3-lớp

a) Các hàm x(u,v,w), y(u,v,w) và z(u,v,w) liên tục và có các đạo hàm riêng liên

tục trong miền đóng, bị chặn và đo được T*⊂O 'uvw

b) Các công thức (3) xác định một song ánh từ miền T lên miền T *

2 Tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ trụ

Tọa độ trụ của điểm M x, y, z( )∈Oxyz là bộ ba số (r, , zϕ ), trong đó( )r,ϕ là

tọa độ cực của M’(x,y) là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy Giữa tọa độ Đề các

Chú ý: - Công thức (5) vẫn đúng trong trường hợp T có chứa các điểm thuộc Oz

- Công thức (5) thích hợp khi T là hình trụ, nón, paraboloit tròn xoay hoặc các miền hình chiếu lên các mặt phẳng tọa độ là hình tròn, một phần của hình tròn

3 Tích phân 3-lớp trong hệ tọa độ cầu

Tọa độ cầu của điểm M x, y, z( )∈Oxyz là bộ ba số(r, ,θ ϕ , trong đó r OM,) =

(Oz,OM ,)

θ = uur uuuur ϕ =(Ox,OM 'uuur uuuur)

, M’ là hình chiếu của M lên mặt phẳng Oxy

Giữa tọa độ Đề các và tọa độ cầu của điểm M có mối liên hệ

x=r sin cos , yθ ϕ =rsin sin , zθ ϕ =r cos ; rθ ≥0, 0≤ ≤ϕ 2 , 0π ≤ ≤θ π Nếu r>0, 0≤ <ϕ 2 , 0π ≤ <θ π thì các công thức trên là một song ánh giữa tọa

độ Đề các và tọa độ cầu, nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có

Từ công thức đổi biến số tổng quát (4) ta có công thức tích phân 3-lớp trong hệ tọa

Chú ý: -Công thức (6) vẫn đúng trong trường hợp T có chứa các điểm thuộc Oz

- Nếu T nằm hoàn toàn ở phía trên mặt phẳng Oxy thì 0

2

π θ

- Biểu thức x2+y2+z2trong hệ tọa độ cầu chính là r2

- Công thức (6) thích hợp khi T là hình cầu, vành cầu hoặc một phần của hình cầu, vành cầu

4.1.1 Tính diện tích của hình phẳng Diện tích của hình phẳng đóng, bị chặn và đo

được D được tính theo công thức

( )

D

S D =∫∫dxdy.

Ví dụ Tính diện tích của hình phẳng D giới hạn bởi các đường

4.1.2 Tính diện tích của mặt Giả sử (S) là một mặt trơn, có phương trình là z =

f(x,y), trong đó f(x,y) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền D là hình chiếu của (S) lên mặt phẳng Oxy Khi đó diện tích của mặt (S) được tính theo công thức

D

S=∫∫ 1 p+ +q dxdy, trong đó p=z ' ,qx =z ' ,dSy = 1 p+ 2+q dxdy2

Ví dụ Tính diện tích của phần mặt cầu x2+y2+ =z2 4 nằm trong mặt trụ

4.1.1 Ứng dụng của tích phân 2-lớp trong vật lý

Cho bản phẳng D không đồng chất có khối lượng riêng (tỉ khối) tại điểm M(x,y) D∈ là ρ( )x, y , giả thiết hàm ρ( )x, y liên tục trong miền D Ta có

1 Khối lượng của bản phẳng D được tính theo công thức

Ví dụ Cho bản phẳng D là tam giác vuông OAB có các cạnh góc vuông OA = a,

OB = b Khối lượng riêng tại mỗi điểm thuộc D bằng khoảng cách từ điểm đó đến cạnh OA Tìm tọa độ trọng tâm của bản phẳng

4.1.2 Ứng dụng của tích phân 3-lớp trong vật lý

Cho vật thể T không đồng chất có khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) T∈ là

(x, y, z)

ρ , giả thiết hàm ρ(x, y, z) liên tục trong miền T Ta có

1 Khối lượng của vật thể T được tính theo công thức

trong đó V(T) là thể tích của miền T

Ví dụ 1.Tính khối lượng của vật thể T:a2≤x2+y2 + ≤z2 b ,02 < <a b Biết rằng khối lượng riêng tại điểm M(x,y,z) T∈ bằng lập phương khoảng cách từ điểm đó đến gốc tọa độ

Ví dụ 2 Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón 2 2

z= x + y

1

x + y + =z

Chương II TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT

$1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT

1.1 Một số khái niệm về đường cong:

Giả sử (C) là đường cong phẳng được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số:

x = x(t), y = y(t) ; t∈[ ]a;b (1)

Định nghĩa 1: Đường cong (C) được gọi là:

1 Đường cong Jordan ( đơn, không tự cắt ) nếu các hàm x(t), y(t) liên tục trên

[a;b] và thỏa mãn điều kiện (x t , y t( ) ( )1 1 )≠(x t( ) ( )2 , y t2 );∀t , t1 2∈( )a;b , t1≠t2

Ngoài ra nếu (x a , y a( ) ( ) )≡(x b , y b( ) ( ) ) thì (C) là đường cong đóng (kín) Ngược lại (C) được gọi là đường cong không đóng ( không kín)

2 Đường cong trơn nếu các hàm x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên [a;b] và thỏa

x ' t +y ' t ≠ ∀ ∈0, t a;b

3 Đường cong trơn từng khúc nếu nó gồm hữu hạn cung trơn

Nhận xét: Trên đường cong (C) có thể xác lập một hướng nếu quy ước điểm

Giả sử (C) là đường cong phẳng, đóng, Jordan Ta quy ước hướng dương là hướng khi một điểm chuyển động trên (C) theo hướng đó thì phần trong của (C) luôn nằm ở bên trái Hướng ngược lại gọi là hướng âm

Chú ý: 1 Nếu (C) được cho bởi phương trình trong hệ tọa độ Đề các

y=y x , x∈ a;b , có thể tham số hóa (C) bằng cách đặt x=t, y=y t ; t( ) ∈[ ]a;b

2 Đường cong không gian (ghềnh) được cho bởi hệ phương trình dưới dạng

tham số:

x = x(t), y = y(t), z = z(t) ; t∈[ ]a;b cũng được định nghĩa tương tự

1.2 Định nghĩa tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài):

1.2.1 Bài toán tính khối lượng của đường cong:

1.2.2 Định nghĩa tích phân đường loại một (tích phân đường theo độ dài):

Giả sử ( )C = C(A,B) là đường cong phẳng, Jordan, trơn Trên ( )C cho hàm f(x,y) liên tục Thực hiện một phép phân hoạch π chia( )C thành n cung nhỏ tùy ý

bởi các điểm chia: A≡A , A , , A0 1 n ≡B Đặt ∆silà độ dài của cung nhỏ thứ i,

Ta thấy σ phụ thuộc vàoπ và các điểm chọn π Mi(ξ η i, i)

Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

( )

dlim0 π I

π σ

→ = mà giới hạn đó không phụ thuộc vào π và các điểm chọn Mi(ξ η thì I được gọi là tích phân đường loại một i, i)

(tích phân đường theo độ dài) của hàm f(x,y) lấy trên ( )C Ký hiệu

( )( ) C

f x, y ds

Nếu tích phân (2) tồn tại thì nói hàm f(x,y) là khả tích trên ( )C

Nhận xét: 1 Tích phân đường loại một không phụ thuộc vào hướng của ( )C

2 Tương tự có thể định nghĩa tích phân đường loại một của hàm f(x,y,z)

lấy trên đường cong không gian ( )C và ký hiệu ( )

Chứng minh: Từ các giả thiết của định lý thì tích phân I ở vế phải của (3) tồn tại Ta

cần chứng minh tích phân ở vế trái của (3) cũng tồn tại và xảy ra đẳng thức Giả sử

π là một phép phân hoạch chia [a ; b] thành n đoạn con[t ; t ,i 1, ni 1− i] = Lập tổng tích phân:

trong đó l là độ dài của đường cong (C)

Giả sử d( )π <δ khi đó từ (7) ta được

i

i 1

t n

tham số: x = x(t), y = y(t), z = z(t) ; t∈[ ]a;b và f(x,y,z) liên tục trên ( )C thì:

I= ∫ xyz ds, C là một đoạn của đường đinh ốc:

x=a cos t, y=a sin t, z=b t ; t∈[0;2π],a, b>0

2 Tính khối lượng của đường tròn ( )C :x2 +y2 =ax,a > 0, biết rằng khối lượng riêng tại điểm M(x;y) thuộc ( )C bằng khoảng cách từ điểm đó đến gốc toạ độ

$2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI

2.1 Định nghĩa tích phân đường loại hai (tích phân đường theo tọa độ):

Giả sử ( )C = C(A,B) là đường cong phẳng, Jordan, trơn, không đóng Trên

( )C cho các hàm hai biến P=P x, y ,Q( ) =Q x, y( ) liên tục Thực hiện một phép phân hoạch π chia ( )C thành n cung nhỏ tùy ý bởi các điểm chia

mà các giới hạn đó không phụ thuộc vào π và các điểm chọn Mi(ξ η thì chúng i, i)

được gọi là các tích phân đường loại hai (tích phân đường theo tọa độ) của các hàm

P=P x, y ,Q=Q x, y lấy trên đường cong ( )C Ký hiệu

trong đó A,B là hai điểm bất kỳ thuộc( )C

Tích phân đường loại hai có hướng âm được định nghĩa:

5 Tích phân đường loại hai có các tính chất tương tự như tích phân xác định

2.2 Cách tính tích phân đường loại hai:

2.2.1 Định lý: Giả sử( )C là đường cong phẳng, Jordan, trơn được cho bởi hệ phương trình dưới dạng tham số (1) Nếu các hàm P=P x, y ,Q( ) =Q x, y( ) liên tục trên ( )C thì tồn tại tích phân đường loại hai

Ta cần chứng minh tích phân ở vế trái của (1) cũng tồn tại và xảy ra đẳng thức Giả sử π là một phép phân hoạch chia [a;b] thành n đoạn con [t ; t ,i 1, ni 1− i] = ;

phẳng z= 3 có hướng vòng quanh ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ điểm về phía z >0