Bài giảng giải tích hàm nguyễn chi phương

Biên soạn: Nguyễn Chí Phương GIẢI TÍCH HÀM CHƯƠNG 1: KHOẢNG CÁCH A.. Không gian Metric Cho tập hợp X.. Không gian định chuẩn Cho tập hợp X... Định nghĩa về các loại điểm Cho không g

Biên soạn: Nguyễn Chí Phương

GIẢI TÍCH HÀM

CHƯƠNG 1: KHOẢNG CÁCH

A Không gian Metric

Cho tập hợp X Xét ánh xạ d: X x X  R là metric trên X nếu

thỏa các tính chất sau:

1 d(x,y)  0 ,x, y  X

2 d(x,y) = 0 x = y

3 d(x,y) = d(y,x) ,x, y  X

4 d(x,y)  d(x,z) + d(z,y) ,x, y,z  X

Bộ (X,d) được gọi là không gian metric

B Không gian định chuẩn

Cho tập hợp X Xét ánh xạ ||.||: X x X  R là định chuẩn trên X

nếu thỏa các tính chất sau:

1 ||x||  0 ,x  X

2 ||x|| = 0  x = 0

3 ||x|| = || ||x|| ,   K,x X

4 ||x+y||  ||x|| + ||y||

Bộ (X,||.||) được gọi là không gian định chuẩn

* Một số không gian thông dụng

1 Không gian R n: x=(x1,x2,…,xn ) y=(y1,y2,…,yn)









n

i

i

i y x y

x

d

1

2

) (

)

,



n

i i x

1 2

2 Không gian C[ b]={x(t): x liên tục trên [a,b]

d(x,y) =

]

[

max

b

t {x(t) - y(t)} ; ||x|| =

] [

max

b t {x(t)}

3 Không gian LP= { f C[ b]: 

b

a ds

f |

| <+}

|| f || = (

b

a

ds

f |

1

C Cận dưới đúng (inf), cận trên đúng (sub)

1 Cận dưới đúng: Cho tập X khi đó a gọi là cận dưới của X

nếu a x , x X

Hơn nữa a inf X = min {x: x X} : cận dưới đúng của X

2 Cận trên đúng: Cho tập X khi đó b gọi là cận trên của X

nếu x b , x X

Hơn nữa supX = max {x: x X}  b : cận trên đúng của X

3 Khoảng cách liên quan tới tập hợp

a d(x,A) =

A

y

inf d(x,y)

b d(A,B) =

B y

A

x ,inf d(x,y)

c diamA =

A

y

sub



,

d(x,y)

D Bài tập mẫu

Bài 1: CMR: | d(u,v) - d(x,y) | d(u,x) + (v,y),x, y,u,vX Giải:

Sử dụng BĐT: d(u,v) d(u,x) + d(x,y) + d(y,v) d(u,v) - d(x,y) d(u,x) + d(y,v)

Bài 2: CMR: | d(x,A) - d(y,A) |  d(x,y) ,x, yA Giải:

d(x,A) =

A u

infd(x,u)  d(x,u)  d(x,y) + d(y,u)

d(x,A)  d(x,y) +

A u

inf d(y,u) = d(x,y) + d(y,A)

d(x,A) - d(y,A)  d(x,y)

Bài 3: CMR: Nếu AB  thì diam(AB) diam A + diam B Giải:

Xét với x, yAB TH1: x,y  A thì d(x,y) diamA



A y

x ,

supd(x,y)  diamA

diam(AB)  diamA

 diam(AB)  diamA +diamB TH2: x,y  B : tương tự

TH3: x A, yB Khi đó zAB thỏa:

d(x,y) d(x,z)+d(z,y)

d(x,y)

A z

x ,

supd(x,z) +

B y

z ,

sup d(z,y) = diamA + diamB



B A y

z,  

sup d(x,y) diamA + diamB

 diam(AB)  diamA + diamB

Bài 4: (tổng quát của bài 3) Cho tập X với A,B X CMR: diam (AB)  diamA + d(u,v) + diamB, uA,vB Giải:

TH1, TH2: làm tương tự TH3: x A, yB Khi đó:

d(x,y) d(x,u) + d(u,v) + d(v,y), uA,vB

d(x,y)

A u

x ,

sup d(x,u) + d(u,v) +

B y

v ,

supd(v,y)

d(x,y) diamA + d(u,v) + diamB



B A y

z,  

sup d(x,y) diamA + d(u,v) + diamB

 diam(AB)  diamA + d(u,v) + diamB

3

CHƯƠNG 2: TẬP ĐÓNG – TẬP MỞ

A Định nghĩa về dãy hội tụ

- Cho không gian metric (X,d) và {xn} X, xnx0







n

limd(xn,x0) = 0

  >0, NN : d(xn,x0) <, n >N

- Cho không gian định chuẩn (X,||.||) và {xn} X, xnx0







n

lim||xn - x0|| = 0

  >0, NN : ||xn - x0|| <, n >N

B Định nghĩa về các loại điểm

Cho không gian metric (X,d), AX Lấy x0X Khi đó:

1 x0 được gọi điểm dính của A

 r >0, S(x0,r)A 

Tập tất cả các điểm dính của gọi là bao đóng của A

Kí hiệu:

A bao đóng nhỏ nhất chứa A

2 x0 được gọi là điểm trong của A

 r >0, S(x0,r) A hay S(x0,r)X\A  

Tập tất cả các điểm trong của A gọi là phần trong của A

Kí hiệu: A0 tập mở lớn nhất nằm trong A

3 x0 được gọi là điểm biên của A

 r >0,



















A X r x S

A r x S

\ ) , (

) , (

0 0

C Phương pháp chứng minh tập đóng, mở

1 Chứng minh tập A đóng

xnx0

Ta CM x0A

Ta CM là điểm dính của A

  { xn}  A, xn  x0

Cách 3 (ít dùng): CM X\A mở

Cách 4 (ít dùng): CM A là giao của một họ các tập đóng

Cách 5 (dùng trong ánh xạ tuyến tính):

Giả sử f:XY là axtt liên tục và F đóng trong Y Khi đó ta có

A = f-1(F) đóng

2 Chứng minh tập A mở

của A

 r >0, S(x0,r) A hay S(x0,r)X\A  

Cách 2 (rất thông dụng): CM X\A đóng

Cách 3 (ít dùng): CM A là hợp của một họ các tập mở

Cách 4 (dùng trong ánh xạ tuyến tính):

f: XY là axtt liên tục và G mở trong Y Khi đó A = f-1(G) mở

D Bài tập mẫu

Bài 1: CMR: d(x,A) = 0x A

Giải: Áp dụng cách 2 CM tập đóng

Do d(x,A)=0 

A y

infd(x,y) = 0

 n N, {xn}A sao cho d(x, xn) = 0

 {xn}A sao cho xnx

x là điểm dính của A hay x A

Do x A nên {xn}A sao cho xnx

0 d(x,A) d(x, xn) Cho n  ta có 0 d(x,A)0 hay d(x,A) = 0

Bài 2: CMR: a d(x,A) = d(x,A)

b d(A,B) = d(A,B) Giải:

a CM: d(x,A) d(x,A) Lấy tùy ý yA y A  d(x,A) d(x,y)

 d(x,A)

A y

inf d(x,y) = d(x,A) (1)

CM: d(x,A) d(x,A) Lấy tùy ý y A  y là điểm dính của A

 {yn}A sao cho yny

Do ynA nên d(x,A) d(x, yn) d(x,y) + d(y, yn) , y A

Cho n  ta có d(x,A) d(x,y) , y A

 d(x,A)

A y

inf d(x,y) = d(x,A) (2) Từ (1) và (2) ta có đpcm

b Tương tự câu a

Bài 3: CMR: diam A = diamA

Giải:

CM: diamA  diamA

Lấy tùy ý x,yA x,y A  d(x,y)  diamA



A y

x ,

sup d(x,y)  diamA

diam A diamA (1)

CM: diam A  diamA

Lấy tùy ý x,y A  x,y là điểm dính của A





















y y A y

x x A x

n n

n n

: } {

: } {

Do xn, yn A nên d(xn, yn)  diam A

d(x,y) d(x, xn)+d(xn, yn +d(yn,y) d(x, xn)+diam A+d(yn,y) Cho n  ta có d(x,y)  diamA



A y

x ,

supd(x,y)  diam A diamA  diam A (2) Từ (1) và (2) ta có đpcm 4

Bài 4: Các tập nào sau đây đóng hay mở Tại sao?

a A =(a,b); b A =[a,b); c A =[a,b];

d A = (0,

1



n

n

1 , 2 (







n

n

f A ={(x,y): x2+y2

1} g A ={(x,y): x2+sin(x+y)>2};

h A = {(x,y): |x|+|y|<5} i A ={(x,y), max(|x|,|y|}<5}

Giải:

a A = (a,b) mở vì x0(a,b),

r=min { x0-a, b-x0 } >0 sao cho S(x0,r)(a,b)

b A =[a,b) không đóng, không mở

Không đóng vì  xn = b

-n

1

[a,b), xnb nhưng b[a,b) Không mở vì x0[a,b), r = max{|a|,|b|} >0 thỏa

S(x0,r)X\A  

c A =[a,b] đóng vì với{xn}[a,b] , giả sử xnx0

Khi đó do xn[a,b] axnb Cho n  ta có ax0b

 x0[a,b]

d Hội của họ các tập mở là tập mở

1 ,

2

(







n

n

n =[0,2

1

) không đóng, không mở

f A đóng vì với{xn}A , giả sử xnx0

Khi đó do xnA  x2n+y2n 1 Cho n  ta có x20+y02 1

 x0A

g A mở X\A ={(x,y): x2+sin(x+y)2} đóng CM như câu f

h i Làm như câu g

Bài 5: Khảo sát sự đóng mở của các tập sau trong C[ b]

a.A ={f C[0,1]:

1

0

)

( dt t

f 1}; b.A ={f C[0,1]:

1

0

)

( dt t

f <4}

c.A ={f C[0,1]:

1

0

2

)

( dt t

f 2}; d.A ={f C[0,1]:

1

0

3

)

( dt t

e.A ={f C[0,1]:

] 1 , 0 [

max



x

f(x)>5}; f.A ={f C[0,1]:

] 1 , 0 [

max



x

f(x) 3}

g.A ={f C[0,1]:

] 1 , 0 [

min



x f(x) -1}; h.A ={f C[0,1]:

] 1 , 0 [

min



x f(x) 1}

Hướng dẫn:

a.A đóng vì với {fn}A, giả sử fnf0 Khi đó:

Do fnA nên fn C[0,1] và 

1

0

)

( dt t

fn 1

- Với fn C[0,1] cho n  ta có f0 C[0,1](1)

- Xét |

1

0

)

( dt t

fn -

1

0

0( dt t )

1

0

0( )]

) ( [ fn t f t dt|

1

0

0( ) | )

(

 1

0

0 ]

1 , 0

t

 

1

0

0) ,

1

0

)

( dt t

fn  

1

0

0( dt t )

Mà 

1

0

)

( dt t

fn 1 cho n  ta có 

1

0

0( dt t )

f 1 (2) Từ (1) và (2)  f 0A

b.A mở  C[0,1]\A = {f C[0,1]:

1

0

)

( dt t

f 4} đóng

CM như câu a

c Như câu a Với lưu ý

|

1

0

2

)

( dt t

fn -

1

0

2

0 ( dt t )

f |(||fn||+||f0||)d(fn,f0)  0

d Như câu a Với lưu ý

|

1

0

3

)

( dt t

fn -

1

0

3

0( dt t )

f |(||fn||2+||f0||2+2||fn||.||f0||) d(fn,f0) 0

e A mở  C[0,1]\A ={f C[0,1]:

] 1 , 0 [

max



x f(x) 5} đóng

Vì với {fn}A, giả sử fnf0 Khi đó:

Do fnA nên fn C[0,1] và

] 1 , 0 [

max



x

fn(x) 5

- Với fn C[0,1] cho n  ta có f0 C[0,1](1)

- Xét f0(x) = f0(x)-fn(x) + fn(x) |f0(x)-fn(x)| + |fn(x)|



] 1 , 0 [

max



x |f0(x)-fn(x)|+

] 1 , 0 [

max



x |fn(x)|

d(fn,f0)+5 Cho n  ta có f0(x) 5 

] 1 , 0 [

max



x

f0(x) 5 (2) Từ (1) và (2)  f 0A

f A đóng vì với {fn}A, giả sử fnf0 Khi đó:

Do fnA nên fn C[0,1] và

] 1 , 0 [

max



x fn(x) 3

- Với fn C[0,1] cho n  ta có f0 C[0,1](1)

- Giả sử =

] 1 , 0 [

max



x f0(x) < 3 Chọn =

2

3  

> 0 fn(x) = fn(x)- f0(x) + f0(x) |fn(x)-fo(x)| + |f0(x)|



] 1 , 0 [

max



x |fn(x)-f0(x)|+

] 1 , 0 [

max



x |f0(x)|

= d(fn,f0) += + =

2

3+=

2

3<

2

3

3  =3

 fn(x)<3 

] 1 , 0 [

max



x fn(x)<3 vô lý Vậy

] 1 , 0 [

max



x f0(x) 3 (2) Từ (1) và (2)  f 0A

g Tương tự câu e với lưu ý:

5

]

1

,

0

[

min



x fn(x) fn(x)= fn(x)- f0(x)+ f0(x) |fn(x)- f0(x)|+ f0(x)



]

1

,

0

[

max



x |fn(x)- f0(x)|+ f0(x) = d(fn,f0) + f0(x)

Cho Cho n  ta có f0(x)-1 

] 1 , 0 [

min



x f0(x)-1

h Tương tự câu g với lưu ý

Giả sử =

]

1

,

0

[

min



x fn (x) > 1 Chọn =

2

1





> 0

]

1

,

0

[

min



x f0x)  f0(x) = f0(x) – fn(x) + fn(x)|fn(x) – f0(x)| + fn(x)



] 1 ,

0

[

max



x |fn(x) – f0(x)| + fn(x) = d(fn,f0) + fn(x)

< + fn(x)

 fn(x) > - = 

-2

1





=

2

1





>

2

1

1 

=1 (vô lý)

Bài 6: Cho không gian metric (X,d); AX CMR:

 >0 thì G = {xX: d(x,A)<} mở

Giải:

Ghi ra điều cần CM

G mở  Lấy tùy ý xG thì CM x là điểm trong của G

Lấy tùy ý xG CM r >0 sao cho S(x,r)G

Lấy tùy ý xG, tìm được r >0 sao cho lấy tùy ý x0S(x,r)

thì x0G

Lấy tùy ý xG, tìm được r >0 sao cho lấy tùy ý x0S(x,r)

thì d(x0,A)<

Thật vậy

- Do xG nên d(x,A)< 

A y

inf d(x,y) <

 y0A: d(x, y0) <

Chọn r = -d(x, y0) > 0 CM S(x,r)G

- Lấy tùy y x0 S(x,r) nên d(x0,x) < r

Xét d(x0,A) d(x0,y0)  d(x0,,x) + d(x,y0) < r + d(x,y0) =

Vậy x0G hay S(x,r)G

Bài 7: Cho X là không gian định chuẩn, A,BX, x0X CMR:

a Nếu B mở thì A+B mở

b Nếu A đóng thì x0+A đóng

Giải:

a Nếu B mở thì A+B mở

Ghi ra điều cần CM

CM A+B mở CM ( x0+B) mở CM x0+B mở,  x0X

Lấy tùy ý z0  x0+B CM z0 là điểm trong của x0+B

Lấy tùy ý z0  x0+B r >0 sao cho S(z0,r)x0+B

Lấy tùy ý z0  x0+B, tìm được r >0 sao cho lấy tùy ý z

S(z0,r) CM được z x0+B

Thật vậy

- Do z0  x0 +B nên y0B : z0 = x0 + y0 y0 = z0 - x0

Do B mở nên y0 là điểm trong của B

  r’ >0 sao cho S(y0,r’)B

Chọn r = r’ > 0 khi đó ta có S(y0,r)B

- Lấy tùy ý z S(z0,r) ||z - z0|| <r Đặt y = z - x0

- Xét ||y- y0|| = || z - x0 - z0 - x0 || = ||z- z0|| <r

y S(y0,r)B hay yB

z = x0 + y x0+B

b Nếu A đóng thì x0+A đóng

Ghi ra điều cần CM

x0+A đóng Với {zn} x0+A, giả sử znz0 CM z0x0+A

Thật vậy

- Do znx0+A nên {yn}A sao cho zn = x0 + yn yn = zn – x0 Cho n  thì yn = zn – x0 z0 – x0

Mà A đóng nên với {yn}A, yn z0 – x0 thì z0 – x0A

 z0x0+A

Bài 8: CMR trong không gian định chuẩn X ta có

a S ( x0, r )= S[x0,r]

b S[x0,r]o = S(x0,r) Giải:

a S ( x0, r )= S[x0,r]

a 1 CM S ( x0, r )  S[x0,r]

) , ( x0 r

S là bao đóng nhỏ nhất chứa S(x0,r) S[x0,r] là quả cầu đóng chứa S(x0,r)

 S ( x0, r )  S[x0,r] (1)

a 2 CM S[x0,r]  S ( x0, r )

Ghi ra điều cần CM

S[x0,r]  S ( x0, r ) Lấy tùy ý x S[x0,r] CM x S ( x0, r )

Lấy tùy ý x S[x0,r] CM x là điểm dính của S(x0,r)

Lấy tùy ý x S[x0,r] Tìm được {xn}S(x0,r) sao cho xnx

Thật vậy

- Do xS[x0,r] nên ||x- x0||  r



(1-n

1

)||x- x0|| < r



||(1-n

1

)(x - x0)|| < r



||(1-n

1

)x -

(1-n

1

) x0|| < r



||[(1-n

1

)x +

n

1

x0] - x0|| <r (*)

Vậy tìm được xn =

(1-n

1

)x +

n

1

x0 Rõ ràng ||xn - x0|| < r (theo *) nên xnS(x0,r)

- Cho n  thì xnx hay x là điểm dính của S(x0,r)

 x S ( x0, r ) suy ra S[x0,r]  S ( x0, r )(2) Từ (1) và (2)  S ( x0, r )= S[x0,r]

b S[x0,r]o = S(x0,r)

b 1 CM S(x0,r)S[x0,r]o S[x0,r]o là tập mở lớn nhất nằm trong S[x0,r] 6

S(x0,r) là quả cầu mở nẳm trong S[x0,r]

 S(x0,r)S[x0,r]o (1)

b 2 CM S[x0,r]o S(x0,r)

Ghi ra điều cần CM

S[x0,r]o

 S(x0,r)Lấy tùy ý x S[x0,r]o CM xS(x0,r)

 Lấy tùy ý x S[x0,r]o CM ||x- x0|| < r

Thật vậy

- Do x S[x0,r]o nên x là điểm trong của S[x0,r]

 r’ >0 sao cho S(x,r’)S[x0,r]

 r’ >0 sao cho (x-r’,x+r’)[x0-r,x0+r]





















r x

r

x

r x

r

x

0

0

'

'





















'

'

0

0

r r x x

r r x x





















'

|

|

'

0

x

x

r r

r

||x-x0|| <r hay x S(x0,r)

Suy ra S[x0,r]o S(x0,r) (2)

Từ (1) và (2)  S[x0,r]o = S(x0,r)

Bài 9: Giả sử X là không gian định chuẩn và Y là không gian

con của X chứa hình cầu S(x0,r) CMR: Y=X

Giải:

Hiển nhiên YX (1)

CM XY

Ghi ra điều cần CM

XYLấy tùy ý xX CM xY

Để ý là Y chứa hình cầu S(x0,r) nên

Thật vậy

- Lấy tùy ý xX, tìm được y =

||

||

2 x

r

x + x0

Xét ||y- x0||=||

||

||

2 x

r

x + x0 - x0|| = ||

||

||

2 x

r

x||=

||

||

2 x

r

||x||

=

2

r

< r

 yS(x0,r) mà Y chứa hình cầu S(x0,r) nên yY

- Từ cách đặt y =

||

||

2 x

r

x + x0

 x =

r

x ||

||

2

(y- x0) Y (do t/c kgđc) hay XY (2) Từ (1) và (2) X =Y

Bài 10: Giả sử X là không gian định chuẩn và Y là không gian

con của X nằm trong hình cầu S(x0,r) CMR: Y =

Giải:

Ghi ra điều cần CM

Y = Không tồn tại yY

Thật vậy

- Giả sử y0Y Do Y S(x0,r) nên y0 S(x0,r)

||y0-x0|| < r

- Đặt 1=

2

||

|| y0 x0

r  

> 0

Xét ||y0-x0|| +1= ||y0-x0|| +

2

||

|| y0 x0

r  

=

2

||

|| y0 x0

r  

<

2

r

r 

= r

||y0-x0|| < r - 1 = r1 < r Suy ra y0S(x0, r1S(x0,r) với r1 =

2

||

|| y0 x0

r  

- Đặt 2=

2

||

> 0

Xét ||y0-x0|| +2=||y0-x0|| +

2

||

=

2

||

<

2

1

r 

< r1

||y0-x0|| < r1 - 2 = r2 < r1 < r Suy ra y0S(x0, r2S(x0, r1S(x0,r) với r2

2

2

||

||

1 2

Với cách đặt tương tự34…n… ta sẽ xây dựng được dãy các hình cầu mở lồng nhau như sau:

y0…  S(x0,rn)S(x0,rn-1)…S(x0,r2)S(x0,r1)S(x0,r)

n

x y r

2

||

||

1 2



Cho n  thì rn||y0-x0|| Khi đó: y0S(x0,||y0-x0||)

||y0-x0|| < ||y0-x0|| (vô lý) Vậy không tồn tại y0Y hay Y =

7

CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN ĐẦY & ÁNH XẠ LIÊN TỤC

A Dãy cơ bản (cauchy) & không gian đầy

1 Dãy cơ bản

Cho không gian metric (X,d), dãy {xn} được gọi là dãy cơ bản







n

limd(xn,xm) = 0

  >0, NN : d(xn,xm) <, n,m >N

TC: {xn} hội tụ thì {xn} cơ bản

2 Không gian đầy

Không gian metric (X,d) là không gian đầy

 {xn}X, {xn} cơ bản {xn} hội tụ

TC: M đóng trong X đầy M đầy

M đầy M đóng

B Ánh xạ liên tục

Cho 2 không gian metic (X,dX) và (Y,dY) Xét ánh xạ f: XY

- f liên tục tại x0X

  >0,>0 scxX, dX(x,x0) < thì dY(f(x),f(x0)) <

- f liên tục trên X  f liên tục tại mọi điểm trên X

Lấy tùy ý x0X thì f liên tục tại x0

- f liên tục đều trên X

  >0,>0 scx,x’X, dX(x,x’) < thì dY(f(x’),f(x’)) <

- f là ánh xạ đẳng cự  x,x’X : dX(x,x’) = dY(f(x’),f(x’))

C Phương pháp chứng minh ánh xạ liên tục

- CM f liên tục tại x0X

Với {xn}X, giả sử xnx CM f(xn)f(x)

- CM f liên tục trên X

 G mở (đóng) trong Y, CM f-1(G) mở (đóng) trong X

D Bài tập mẫu

Bài 1: Cho N là tập các số tự nhiên Đặt

CMR: a (N,d) là không gian metric

b (N,d) là không gian metric đầy

Giải:

a Tự kiểm 3 tiên đề

b (N,d) là không gian metric đầy

Ghi ra điều cần CM

(N,d) là không gian metric đầy

Với {xn}X, giả sử {xn} cơ bản CM {xn} hội tụ

Thật vậy

{xn} cơ bản nên   > 0, NN sc d(xn,xm) < , n,m > N

Chọn =1 khi đó d(xn,xm) < 1  xn = xm, n,m > N

Đặt xm = x0 khi đó n > N ta có xn = x0

Hay d(xn,x0,)0 khi n  hay {xn} hội tụ

Bài 2: x,yR, đặt d(x,y) = | e-e | CMR:

a (R,d) là không gian metric

b (R,d) không là không gian đầy

Giải:

a Tự làm

b (R,d) không là không gian đầy

Ghi ra điều cần CM

(R,d) không là không gian metric đầy

 {xn}X, giả sử {xn} cơ bản CM {xn} không hội tụ

 tìm được xn R, >0,NN, d(xn,xm)<,n.m > N

CM {xn} không hội tụ

 tìm được xn R, >0,NN, | x n

e - x m

e | < CM {xn} không hội tụ

Thậy vậy

Chọn dãy xn = -n khi đó ró ràng | x n

e - x m

e | = |en- em| = | n m

e e

1 1

 |0 khi n,m 

 xn là dãy cơ bản nhưng xn  - khi n 

Hay {xn} không hội tụ

Bài 3: Cho không gian metric (X,d) và AX CMR ánh xa d(x,A) liên tục trên X

Giải:

Ghi ra điều cần CM

d(x,A) liên tục trên X

Lấy tùy ý x0X CM d(x,A) liên tục tại x0

Lấy tùy ý x0X, >0,  >0 sc d(xn,x0)< thì | d(xn,A) - d(x0,A)| <

Thật vậy

Chọn =>0 Xét | d(xn,A) - d(x0,A)|  d(xn,x0) <= (xem bài 2 chương 1)

8

CHƯƠNG 4: TẬP COMPACT

A Phủ mở

Họ {G}I là họ phủ mở của X

B Tập compact

Cho không gian metric (X,d) và KX Khi đó:

- K bị chặn  M >0 sao cho ||x||M, xX

- K compact {xn}K,{

k n

x }{xn},

k n

x x0K

- K compact {G} mở và  Gchứa K,

{1, 2, , n} sc: 

i

G chứa K

C Một số tính chất

- K compact K đầy K bị chặn

- K đóng trong X compact  K compact

- Trong Rn K compact  K đóng và bị chặn

- Nếu ánh xạ f: XY liên tục, K compact trong X thì f(K)

compact trong Y

- Nếu ánh xạ f liên tục trên X compact thì f liên tục đều trên X

và tồn tại giá trị min, max trên X

D Bài tập mẫu

Bài 1: Cho không gian định chuẩn X; A,BX CMR

a Nếu A compact và B đóng thì A +B đóng

b Nếu A,B compact thì A+B compact

c Nếu A compact và B đóng thì AB compact

Giải:

a Nếu A compact và B đóng thì A +B đóng

Ghi ra điều cần CM

A+B đóng  {zn}A +B, giả sử zn z0 thì CM z0A +B

Thật vậy

- Do znA +B nên {xn}A,{yn}B sao cho zn = xn + yn

yn = zn - xn

Vì xnA, A compact nên {

k n

x }{xn}

k n

x  x0A

- Xét dãy {

k

n

y }B :

k n

y =

k n

z -

k n

x  z0 - x0 mà B đóng

 z0 - x0B  z0 x0 +B A +B hay z0A +B

Vậy A +B đóng

b Nếu A,B compact thì A+B compact

Ghi ra điều cần CM

A+B compact

 {zn}A +B, {

k n

z }{zn} sao cho

k n

z  z0A +B

 {zn}A +B, tìm được {

k n

z }{zn} sc

k n

z  z0A +B

Thật vậy

- Do znA +B nên {xn}A,{yn}B sao cho zn = xn + yn

Vì xnA, A compact nên {

k n

x }{xn}

k n

x  x0A

Vì ynB, B compact nên {

i k n

y }{yn}

i k n

y  y0B

- Xét dãy

i k n

z =

i k n

x +

i k n

y Theo cách đặt trên thì dãy {

i k n

z }{zn}

Hơn nữa

i k n

z =

i k n

x +

i k n

y  x0 +y0 A +B khi i 

Vậy {zn}A +B , tìm được {

i k n

z }{zn} , sao cho

i k n

z  z0 = x0 +y0A +B Vậy A +B compact

c Nếu A compact và B đóng thì AB compact

Ghi ra điều cần CM

AB compact

 {zn}AB, {

k n

z }{zn} sao cho

k n

z  z0AB

 {zn}AB, tìm được {

k n

z }{zn} sc

k n

z  z0AB

Thật vậy

- Do znAB nên znA, znB

Vì znA, A compact nên tìm được {

k n

z }{zn}

k n

z  z0A (1)

Vì {

k n

z }{zn}B,

k n

z  z0 mà B đóng nên z0B (2) Từ (1) và (2) z0AB

Vậy tìm được {

k n

z }{zn} sc

k n

z  z0AB Nên A +B compact

Bài 2: Cho không gian metric (X,d) và {xn}X, xnx0X CMR tập K ={xn}{x0} compact

Giải:

Ghi ra điều cần CM

K compact  {G}I mở và  Gchứa K, {1, 2, , n} sc: 

i

G  chứa K

Thật vậy

- Do x0K  Gnên x0  G   0 I: x0

0

 G

Mà

0



G mở nên x0 là điểm trong của

0

 G

 r >0, S(x0,r)

0



G (1)

- Mặt khác:

Do xnx0 nên  >0, NN: d(xn,x0) <, n >N Chọn =r ta có d(xn,x0) < r, n >N

 xnS(x0,r), n >N (2) Từ (1) và (2)  xn

0



G , n >N Vậy đặt:

1



G chứa x1,

2



G chứa x2 …

N

G chứa xN

0



G chứa các xi còn lại Rõ ràng 

i

G  chứa K nên K compact

Bài 3: Cho f: XY là ánh xạ liên tục trên mọi tập compact của X CM f là ánh xạ liên tục 9

Giải:

Ghi ra điều cần CM

f là ánh xạ liên tục trên Xlấy tùy ý x0X thì f liên tục tại x0

 Với {xn}X, giả sử xnx0 CM f(xn)f(x0)

Thật vậy

Theo bài 2 ta có tập K ={xn}{x0} compact

- Do f là ánh xạ liên tục trên mọi tập conpact của X

f liên tục trên K hay f liên tục tại mọi điểm trên K

f liên tục tại x0

Bài 4: Cho không gian metric (X,d) {Kn} là dãy các tập

compact khác rỗng với KnKn-1…K2K1 CMR:









1

n

n

K Hơn nữa nếu diam K  0 khi n  thì



1

n

n

K là duy nhất

Giải:

- Xét dãy {xn}K1

Vì K1 compact nên {

k n

x }{xn},

k n

x  x0K1 Tương tự như vậy ta thấy với mỗi NN ta đều chọn được nkN

Sao cho {

k

n

x }  Kn ,

k n

x  x0Kn

 x0 

1

n

n

K hay 







1

n n K

- Giả sử y0 

1

n

n

K ta CM y0 = x0

Ta có: 0 d(x0, y0)  d(x0, xn) +d(xn, y0) , xn Kn

 diam Kn +diam Kn = 2diam Kn 0

 d(x0, y0) = 0 hay y0 = x0

Bài 5: Tập nào trong các tập sau đây compact

a K ={(x,y,z): x2+y2+|z| 3}; b K ={(x,y,z}: x2+y2+z2+x+y+z 6}

c K ={(x,y,z): x+y+z5, x-2, y-3, z-4}

d K ={(x,y,z): x+y+z <5, x-2, y-3, z-4}

e K ={(x,y,z): x+y+z5, x-2, y-3}

f K ={(x,y): xy =1}

Giải:

Lưu ý trong không gian Rn thì K compact K đóng và bị chặn

a K compact

CM K bị chặn

u =(x,y,z) K thì ||u|| = x2  y2  z2

 3  3  9= 15

Vậy  M = 15>0 : ||u||M nên K bị chặn

CM K đóng

Với  un =(xn,yn,zn)K , giả sử unu0 =(x0,y0,z0) CM u0 K

Thật vậy

- Do un =(xn,yn,zn)K nên xn2  yn2 | zn | 3

Cho n  hi đó ta có x0  y0 | z0 | 3

 u0 =(x0,y0,z0) K Vậy K đóng

b K compact Do: x2+y2+z2+x+y+z 6  (x+

2

1

)2+(y+

2

1

)2+(z+

2

1

)2 4 27

K

=S[(-2

1

,-2

1

,-2

1

),

2

3 3

] quả cầu đóng, bị chặn

c K compact Làm như câu a với lưu ý:

























4

; 3

; 2

5

z y x

z y x

































0 4

; 0 3

; 0 2

14 ) 4 ( ) 3 ( ) 2 (

z y

x

z y

x

d K không compact

CM K không đóng

 un =(xn,yn,zn)K, unu0 =(x0,y0,z0) CM u0 K

Chọn un

=(0,0,5-n

1

)K, unu0 =(0,0,5)  K

e K không compact

CM K không bị chặn

M >0,  un =(xn,yn,zn)K : ||un|| >M hay ||un|| 

Chọn un =(0,0,-n)K ta có ||un||=n 

f K không compact

CM K không bị chặn

M >0,  un =(xn,yn,zn)K : ||un|| >M hay ||un|| 

Chọn un =(n,

n

1

)K ta có ||un||= 2 12

n

Bài 6: Cho X là không gian metric compact và f: XX là ánh xạ đẳng cự CM f là phép đẳng cự lên

Giải:

Ghi ra điều cần CM

f là phép đẳng cự lênf liên tục và f song ánh

- CM f liên tục

Lấy tùy ý x0X CM f liên tục tại x0

 {xn}X, giả sử xn x0 thì f(xn) f(x0)

Thật vậy

0=d(xn, x0)=d(f(xn),f(x0)) khi n  nên f(xn) f(x0)

- CM f đơn ánh

 x1,x2X, giả sử f(x1)=f(x2) khi đó x1= x2

Thật vậy

d(x1,x2)=d(f(x1),f(x2))=0 x1= x2

- CM f toàn ánh hay CM f(X)=X

Hiển nhiên f(X)X CM Xf(X)

x0X Giả sử x0f(X)d(x0,f(X)) > 0 Đặt x1=f(x0), x2=f(x1),….xn+1=f(xn) khi đó ta được dãy {xn}X Xét d(xn,xn+p)=d(f(xn-1), f(xn+p-1))=d(xn-1,xn+p-1)=…

…=d(x0,xp)=d(x0,f(xp-1)) > d(x0,f(X)) >0

{xn} không cơ bản nên mọi dãy con không hội tụ Vô lý vì X compact

Vậy x0f(X) hay f(X)=X

10

CHƯƠNG 5: ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẬT ĐỘNG

A Điểm bất động

Cho ánh xạ f: XX khi đó x0 là điểm bất động trên ánh xạ f

f(x0)=x0

B Ánh xạ co

Cho ánh xạ f: XY gọi là ánh xạ co

   (0,1): d(f(x),f(y)) d(x,y), x,y X

TC: f là ánh xạ co f là ánh xạ liên tục đều

Nguyên lý ánh xạ co:

Cho X là không gian metric đầy, f: XX là ánh xạ co thì tồn tại

duy nhất một điểm bất động x0

C Phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm trong X

B1: CM X đầy

B2: CM tồn tại ánh xạ f: XX  xX CM f(x)X

B3: CM f là ánh xạ co (hoặc f2,f3,… là ánh xạ co)

D Bài tập mẫu

Bài 1: Cho không gian metric X đầy và ánh xạ f: XX CMR

nếu fn là ánh xạ co thì !x0X: f(x0)=x0

Giải:

- Do fn là ánh xạ co nên theo nguyên lý ánh xạ co

!x0X: fn(x0)=x0

- Xét f(x0)=f(fn (x0))= fn+1(x0)= fn(f(x0))

 f(x0) cũng là điểm bất động của fn

Mà điểm bất động là duy nhất nên f(x0)= x0

Bài 2: Cho X là không gian metric đầy, f: S[x0,r]X sao cho

   (0,1): d(f(x),f(y)) d(x,y), x,y X (tc1)

 d(f(x0),x0)  ( 1   ) r (tc2)

CM tồn tại f : S[x0,r]  S[x0,r] có duy nhất điểm bất động

Giải:

Ghi ra điều cần CM

Tồn tại f : S[x0,r]  S[x0,r] có duy nhất điểm bất động

 tồn tại ánh xạ f và CM f là ánh xạ co

CM tồn tại ánh xạ f: S[x0,r]  S[x0,r]

Ta luôn có tồn tại ánh xạ f: S[x0,r]  f(S[x0,r])

Nếu ta CM được f(S[x0,r])S[x0,r] ax f: S[x0,r]  S[x0,r]

Thật vậy

- Xét y f(S[x0,r]),x S[x0,r] : y=f(x)

Khi đó d(y,x0)=d(f(x),x0)  d(f(x),f(x0))+d(f(x0),x0)

 d(x,x0) +( 1   ) r(do tc1)

 r +( 1   ) r=r (do x S[x0,r])

 y S[x0,r] hay f(S[x0,r]) S[x0,r]

CM f là ánh xạ co

- Xét với x,y  S[x0,r]X nên thỏa tc2  f là ánh xạ co

Bài 3: Cho X là không gian compact và ánh xạ f: XX CMR Nếu d(f(x),f(y))<d(x,y) thì tồn tại duy nhất một điểm bất động trong X

Giải:

Đặt g(x)=d(x,f(x)) Với {xn}X Giả sử xnx0 khi đó

| g(xn)-g(x0)| = | d(xn,f(xn) – d(x0,f(x0)|

 d(xn,x0)+d(f(xn),f(x0))< d(xn,x0)+ d(xn,x0) = 2d(xn,x0) 0

 g(xn) g(x0)

g liên tục trên X , mà X compact nên tồn tại GTNN Đặt g(x0)=

X x

ming(x)

Ta cần CM f(x0)=x0 Giả sử f(x0) x0 Xét g(f(x0)=d(f(x0),f(f(x0))) < d(x0,f(x0))=g(x0) vô lý vì g(x0) là nhỏ nhất theo cách đặt

Vậy f(x0)=x0

CM tính duy nhất

Nếu y0X, sao cho f(y0)=y0 Khi đó: CM x0 = y0 Giả sử x0y0

d(x0,y0) = d(f(x0),f(y0))< d(x0,y0) vô lý Vậy x0 = y0

Bài 4: CM các phương trình sau có nghiệm trong C[ b]

1

0

)) ( sin(

2

1

ds s x

t trong C[0,1]

3

0

)) ( cos(

4

1

ds s x

t trong C[0,3]

c Ax(t)=

t

ds s s x

0

) sin(

) ( trong C[0,1]

d Ax(t)= 

t

ds ts s x

0

) cos(

) ( trong C[0,1]

e Ax(t)= 

t s x ds e

0

)

2

trong C[0,1]

Giải:

1

0

)) ( sin(

2

1

ds s x

t trong C[0,1]

-C[0,1] đầy

- CM tồn tại ánh xạ A: C[0,1]  C[0,1]  CM Ax C[0,1], x C[0,1]

Ax liên tục trên [0,1]

Thật vậy

Xét với 0t1,t21 khi đó:

11

| Ax(t1)-Ax(t2)| =|  

0

sin(

2

1

ds s x

0

sin(

2

1

ds s x

1

0

2

sin(

|

2

1

ds s x t s

x t

1

0

2

|

2

1

ds s x t s

x

t

1

0

2

|

2

1

ds t

2

1

| t1 - t2 | Như vậy với   >0,   2 >0 sao cho | t1 - t2 | < 

| Ax(t1)-Ax(t2)| <

2

1

| t1 - t2 | =

2

1



Vậy Ax liên tục đều trên [0,1] hay Ax C[0,1]

- CM Ax là ánh xạ co

Xét với x,y  C[0,1], t [0,1] khi đó

| Ax(t)-Ay(t)| = |  

1

0

)) ( sin(

2

1

ds s x

1

0

)) ( sin(

2

1

ds s y

1

0

| ) ( sin(

) ( sin(

|

2

1

ds s y t s

x

t

1

0

| ) ( )

(

|

2

1

ds s y

s

 1

0 [0,1]

| ) ( ) (

| max 2

1

ds s y s x s

= 

1

0

)

,

(

2

1

ds

y

x

2

1

d(x,y)

| Ax(t)-Ay(t)| 

2

1

d(x,y) 

] 1 , 0 [

max



t | Ax(t)-Ay(t)| 

2

1

d(x,y)

d(Ax,Ay) 

2

1

d(x,y)

2

1





Vậy Ax là ánh xạ co Theo nguyên lý ánh xạ co thì tồn tại x0 sao

cho Ax0=x0 Vậy phương trình có nghiệm trong C[0,1]

b Làm như câu a

c Ax(t)=

t

ds s s

x

0

) sin(

)

( trong C[0,1]

-C[0,1] đầy

- CM tồn tại ánh xạ A: C[0,1]  C[0,1]

 CM Ax C[0,1], x C[0,1]

Ax liên tục trên [0,1]

Thật vậy

Xét với 0t1,t21 khi đó:

| Ax(t1)-Ax(t2)| =|

1

0

) sin(

) (

t

ds s s

2

0

) sin(

) (

t

ds s s

=|

2

1

) sin(

) (

t

ds s s

2

1

| ) (

|

t

ds s

2

1

| ) (

| max

] 1 , 0 [

t s

ds s x

= ||x||.| t1 - t2 | Như vậy với   >0,

||

|| x





 >0 sao cho | t1 - t2 | < 

| Ax(t1)-Ax(t2)| <||x|| | t1 - t2 | =||x||

||

|| x



=

Vậy Ax liên tục đều trên [0,1] hay Ax C[0,1]

- CM Ax2 là ánh xạ co Xét với x,y  C[0,1], t [0,1] khi đó

| Ax(t)-Ay(t)| = |

t

ds s s x

0

) sin(

)

t

ds s s y

0

) sin(

)

t

ds s s y s x

0

) sin(

)]

( ) (

t

ds s y s x

0

| ) ( ) (

|



t

s x s y s ds

0 [0,1]

| ) ( ) (

|

| Ax2 (t)-Ay2 (t)| = | 

t

ds s s Ax

0

) sin(

)

t

ds s s Ay

0

) sin(

)

t

ds s Ay s Ax

0

| ) ( ) (

t

ds y x d s

0

) , (

2

2

t

d(x,y)

 2

1

d(x,y)

2

1





  : d(Ax2,Ay2)  d(x,y) Vậy Ax2 là ánh xạ co  tồn tại x0 sao cho Ax0=x0 Vậy phương trình có nghiệm trong C[0,1] (theo tc bài 1)

d Ax(t)= 

t

ds ts s x

0

) cos(

) ( trong C[0,1]

Làm tương tự câu c với lưu ý:

| Ax(t1)-Ax(t2)| = |

1

0

1 ) cos(

) (

t

ds s t s

2

0

2 ) cos(

) (

t

ds s t s

1

0

2

)[cos(

(

t

ds s t s

t s

2

1

) cos(

)

t

t

ds s t s

1

0

2

1 ) cos( ) | cos(

|

| ) (

|

t

ds s t s

t s

2

1

) cos(

| ) (

t

t

ds s t s

x



1

0

2 1 ]

1 , 0

max

t

s x s t t s ds+  

2

1

| ) (

| max

] 1 , 0 [

t

t s

ds s x

= ||x||.| t1 - t2 |

2

2 1

t

+ ||x||.| t1 - t2 |

2

3

||x||.| t1 - t2 |

12