Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao: Phần 1 - Phạm Hiến Bằng

Đề cương bài giảng Giải tích hàm nâng cao: Phần 1 - Phạm Hiến Bằng

đại học thái nguyên

trường đại học sư phạm

phạm hiến bằng

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO

(TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN)

Thỏi Nguyờn, 2011

đại học thái nguyên

trường đại học sư phạm

phạm hiến bằng

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG

GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO

(TÀI LIỆU DÙNG CHO NCS NGÀNH TOÁN)

SỐ TÍN CHỈ: 3 (Lí THUYẾT: 30 THẢO LUẬN: 15)

Thỏi Nguyờn, 2011

MỞ ĐẦU

Mục đích của đề cương bài giảng này là trình bày những kiến thức cơ bản về lý thuyết các không gian lồi địa phương hạch đó là một lớp không gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng trong giải tích nói chung, đặc biệt giải tích phức nói riêng

Nội dung của đề cương gồm 3 Chương Chương 1 trình bày những kiến thức cơ bản về giải tích hàm làm cơ sở cho nội dung của các chương tiếp theo

Chương 2: phần đầu của chương đề cập đến các kiến thức về các họ khả tổng và e- tôpô cũng như p- tôpô Phần tiếp theo của chương này đề cập tới các dạng ánh xạ quan trọng mà tất cả những phần sau đều dựa trên nền kiến thức của chương này Đó là các ánh xạ khả tổng tuyệt đối, các ánh xạ hạch, ánh xạ tựa hạch, ánh xạ Hilbert- Schmidt Phần cuối của chương trình bày mối liên hệ giữa các loại ánh xạ nêu trên

Chương 3: trình bày về lớp không gian lồi địa phương hạch Các tiêu chuẩn nhận biết và các tính chất quan trọng của lớp không gian lồi địa phương hạch Phần cuối của chương trình bày các kết quả về tích tensor của một không gian hạch và một không gian lồi địa phương tuỳ ý, các kết quả về ánh xạ loại l p và loại s

Nội dung của đề cương bài giảng được dùng để giảng dạy cho nghiên cứu sinh ngành Toán giải tích của Đại học Thái Nguyên Các vấn đề trình bày

ở đây có thể là cơ sở cho đề tài của các luận văn Thạc sĩ, luận văn tốt nghiệp đại học cũng như đề tài nghiên cứu khoa học của sinh viên chuyên ngành toán

Chương 1 KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG

Lý thuyết 04 Thảo luận 02

Mục tiêu: Trang bị cho học viên những kiến thức cơ bản về giải tích hàm:

không gian lồi địa phương, không gian Banach, không gian Hilbert và ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian lồi địa phương làm cơ sở cho nội dung của các chương tiếp theo

1.1 Không gian lồi địa phương

1.1.1 Chuẩn và nửa chuẩn trên không gian véctơ

Giả sử E là không gian véc tơ thực hay phức Hàm thực p trên E gọi

là nửa chuẩn nếu nó thoả mãn

1.1.2 Tập lồi, cân, hút và phiếm hàm Minkowski

Tập con A trong không gian véctơ E gọi là

c hút nếu với mọi x Î E tồn tại e > 0 sao cho l x Î A với mọi l £ e

1.1.2.1 Rõ ràng nếu p là nửa chuẩn trên E thì

1.1.2.3 Một cách tổng quát nếu A là tập con lồi, cân của E và ( ) E A ký hiệu

không gian con véctơ sinh ra bởi A, thì công thức

xác định một nửa chuẩn trên ( )E A

1.1.3 Định nghĩa không gian lồi địa phương

1.1.3.1 Không gian lồi địa phương E là không gian véctơ E cùng với một

họ CSF( )E các nửa chuẩn trên E sao cho với mọi p1, ,p n Î CSF( )E đều tồn tại p Î CSF( )E để:

1.1.3.2 Rõ ràng mọi không gian lồi địa phương là không gian tôpô, với tôpô

xác định bởi V là lân cận của x Î E Û $U Î UF( )E : x +U Ì V

(H ¢ có nghĩa là tôpô xác định như trên là tôpô Hausdorff )

1.1.3.3 Dễ thấy rằng nửa chuẩn p trên E là liên tục khi và chỉ khi

{x Î E : ( )p x < 1} hay tương đương {x Î E : ( )p x < r},r > 0 là o- lân cận (lân cận của 0Î E )

1.1.4 Không gian con và không gian thương

1.1.4.1 Giả sử E là không gian lồi địa phương và F Ì E Ta nói F là không gian con của E nếu F là không gian con vectơ của E và F được xét với tôpô cảm sinh bởi tôpô của E

Như vậy F cũng là không gian lồi địa phương với tôpô xác định bởi

( )F = U = F ÇU U: Î U F( )E

F

1.1.4.2 Giả sử F là không gian con đóng của E Khi đó không gian vectơ

thương E F là không gian lồi địa phương với tôpô cho bởi

Rõ ràng mọi tập hoàn toàn bị chặn là bị chặn

1.1.5.2 Họ BF( )E các tập bị chặn gọi là họ cơ bản các tập bị chặn nếu với mọi tập bị chặn A Ì E tồn tại B Î BF( )E sao cho A Ì B

Do bao lồi cân của tập bị chặn A:

là tập bị chặn nên sau này các tập thuộc BF( )E ta luôn coi là lồi cân

1.1.5.3 Với U Î UF( )E , giả sử p U là phiếm hàm Minkowski kết hợp với U

Khi đó

{ : ( ) 0}

Ker p = x Î E p x =

là không gian con véctơ của E

1.1.5.4 Một dãy suy rộng trong E là một họ các phần tử { }x a a Î I với I là tập

lồi địa phương E gọi là đầy nếu mọi dãy Cauchy suy rộng đều hội tụ

Mệnh đề Mọi tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong một không gian lồi địa

phương đầy là compact

1.2 Không gian đối ngẫu với không gian lôi địa phương

1.2.1 Định lý (Hahn-Banach) Giả sử F là không gian con của không gian

véctơ E và p nửa chuẩn trên E Khi đó với mọi phiếm hàm tuyến tính f trên F sao cho

1.2.2 Định nghĩa Giả sử E là không gian lồi địa phương Không gian vectơ

E ¢ tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E gọi là đối ngẫu tôpô của

Ở đây ta viết x f thay cho ( ), f x

Rõ ràng s(E E¢, ) £ m(E E¢, )£ b(E E¢, ) và lần lượt là các tôpô hội tụ đều trên các tập hữu hạn, compact, bị chặn

1.2.4 Đổi vai trò E và E ¢ ta có thể xét trên E tôpô s(E E¢, ) xác định bởi họ các nửa chuẩn

gọi là pôla của M (trong E ¢)

Định lý (song pôla) Nếu M là tập lồi cân trong E thì M00là bao đóng của

1.2.7 Định lý (Alaoglu – Bourbaki) Nếu U là o- lân cận trong không gian

lồi địa phương E , thì U0 là ( s E E¢, ) – compact

1.3 Một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt

1.3.1 Giả sử E là không gian lồi địa phương Ta nói E là

)

a Tựa thùng nếu mọi tập bị chặn mạnh trong E ¢ là đồng liên tục

1.3.2 Nếu E là không gian lồi địa phương có một hệ cơ bản đếm được các

o- lân cận, thì E là khả mêtric hay còn gọi là mêtric Không gian lồi địa

phương mêtric đầy gọi là không gian Frechet hay ( )F - không gian

Mệnh đề Mọi không gian lồi địa phương mêtric là tựa thùng

1.3.3 Một không gian s - tựa thùng E trong đó có một dãy cơ bản các tập bị

chặn gọi là đối ngẫu mêtric Một không gian đối ngẫu mêtric đầy gọi là (F ¢ – )

không gian

1.3.4 Mối liên hệ giữa các không gian mêtric và đối ngẫu mêtric lồi địa

phương cho bởi mệnh đề sau

1.4 Không gian Banach

1.4.1 Không gian lồi địa phương E gọi là không gian định chuẩn nếu tôpô

của nó có thể xác định bởi một chuẩn Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là

không gian Banach

1.4.2 Định lý (Conmogorov) Không gian lồi địa phương E là không gian

định chuẩn nếu và chỉ nếu nó có một o – lân cận bị chặn

1.4.3 Định lý (Riesz) Không gian lồi địa phương E là hữu hạn chiều nếu nó

có một o – lân cận hoàn toàn bị chặn

1.5 Không gian Hilbert

1.5.1 Giả sử E là không gian véctơ phức Một hàm ( ) : E ´ E ® £ gọi là

nửa tích vô hướng nếu

H1)(a x + b y z)= a(x z)+ b(y z), với mọi a b Î £, và x y z, , Î E

H2) (x y)= (y x) với mọi x y, Î E

H3)(x x ³) 0 với mọi x Î E

Nếu (x x)= 0 Þ x = 0 thì ( .) gọi là tích vô hướng

Nếu ( .) là tích vô hướng trên E thì công thức

1 2

U

p x = x x x Î E xác định một chuẩn trên E gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng

1.5.2 Không gian Hilbert là không gian Banach với chuẩn sinh bởi tích vô

ì =ïï

= = í

¹ïïî

Nếu [e I i, ] là hệ trực chuẩn thì ta có bất đẳng thức sau

2

2

, ,

i I

1.6 Ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian lồi địa phương

1.6.1 Giả sử E và F là không gian lồi địa phương Ánh xạ T :E ® F gọi là tuyến tính liên tục nếu T là ánh xạ tuyến tính, nghĩa là

xác định ánh xạ T ¢:F¢® E¢ gọi là ánh xạ đối ngẫu của T

Nếu E và F là các không gian Hilbert, thì thay cho T ¢:F¢® E¢ ta xét ánh

xạ liên hợp T * :F ® E xác định bởi

x T y = T x y , x Î E , y Î F

1.6.3 Đối với hai không gian lồi địa phương E và F ta ký hiệu ( , )L E F là

không gian vectơ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F

1.6.4 Trên ( , )L E F thường xét tôpô hội tụ đều trên các tập bị chặn và ký hiệu

là Lb( , )E F Tôpô này xác định các họ nửa chuẩn

p T = sup p T x x Î A A Î B E V Î U F

ở đây ( )B E ký hiệu là họ tất cả các tập lồi cân bị chặn trong E còn U( )F là

họ tất cả các o- lân cận lồi cân trong F

Khi E và F là các không gian định chuẩn với các hình cầu đơn vị U

và V thì Lb( , )E F là không gian định chuẩn với chuẩn

L là không gian Banach

1.6.5 Ánh xạ T Î L( , )E F , trong đó E và F là hai không gian định chuẩn

được gọi là

a) Hữu hạn chiều nếu Im T là không gian con hữu hạn chiều của F

b) Compact nếu ( )T U hoàn toàn bị chặn, với U = {x Î E : x £ 1}

1.7 Không gian định chuẩn kết hợp với không gian lồi địa phương

1.7.1 Cho U là o- lân cận tùy ý trong không gian lồi địa phương E Khi đó

Giả sử A là một tập lồi, cân, đóng, bị chặn trong E Ký hiệu ( ) E A là

không gian con sinh bởi A Ta có

1.8.1 Giả sử M là không gian compact và (CM) ký hiệu là không gian

Banach các hàm thực hoặc phức liên tục trên M với chuẩn supremum, nghĩa

là nếu j Î C(M) thì

{ ( ) : }

sup x x M

1.8.2 Phiếm hàm tuyến tính liên tục m trên (CM) gọi là độ đo Radon trên

M Độ đo Radon m gọi là dương nếu

1.8.4 Giả sử m là độ đo Radon dương trên M Khi đó tồn tại duy nhất độ đo

(cũng ký hiệu là m) trên s - đại số

m

å sao cho,

Chương 2 ÁNH XẠ KHẢ TỔNG TUYỆT ĐỐI

Lý thuyết 12 tiết Thảo luận 04 tiết Kiểm tra 2 tiết

Mục tiêu: Trang bị cho học viên những kiến thức về ánh xạ khả tổng tuyệt

đối, ánh xạ hạch, ánh xạ tựa hạch, ánh xạ Hilbert- Schmidt, mối liên hệ giữa

các loại ánh xạ nêu trên

2.1 Các họ khả tổng

2.1.1 Họ số khả tổng

Cho I là tập chỉ số tuỳ ý Họ số [x i,I] đó là tập hợp các số thực hoặc phức x i, với i Î I Ký hiệu F ( )I là tập hợp tất cả các tập con hữu hạn của tập hợp I với quan hệ thứ tự theo bao hàm: s1 £ s2 khi và chỉ khi

2.1.1.1 Định nghĩa Nếu dãy suy rộng { }s s s Î F( )I có giới hạn hữu hạn s , thì

họ số [x i,I] được gọi là khả tổng và có tổng là s và ký hiệu là i

x £ r

å với mọi s Î F( )I , thì

4

i s

x £ r

å với mọi s Î F( )I

Từ đó { }s n là dãy Côsi nên hội tụ đến s Vì thế với mỗi d > 0, tồn tại số tự

nhiên n sao cho n 2

với mọi số tự nhiên n Vậy x = i 0 với mọi i Ï s0

2.1.1.5 Định nghĩa Họ số [a i,I] được gọi là hội tụ đến 0, nếu với mỗi số

0

d > tồn tại tập hợp s Î F0 ( )I sao cho a i £ d với mọi i Ï s0

Tập hợp c I tất cả các họ số như thế tạo thành không gian Banach đối với các phép toán

Ta cũng có khẳng định tương tự sau đây: không gian đối ngẫu với l được I1

đồng nhất với không gian Banach m I tất cả các họ số bị chặn

å Khi đó tồn tại dãy đơn điệu tăng các tập

hợp s Î F r ( )I bắt đầu với s = Æ0 sao cho 2

với mọi cặp họ số bình phương khả tổng Dễ chứng minh rằng l là không I2

gian đầy đủ trong tô pô lồi địa phương sinh bởi chuẩn

1/ 2 2

2.1.1.8 Bổ đề Nếu [a i,I] là họ số có tính chất

1 / 2 2

2.1.2 Họ khả tổng yếu trong không gian lồi địa phương

2.1.2.1 Định nghĩa Họ [x I i, ] các phần tử của không gian lồi địa phương E được gọi là họ khả tổng yếu, nếu i,

Từ định nghĩa trực tiếp suy ra tập hợp l E gồm tất cả các họ khả tổng yếu I1[ ]

[x I i, ] trong E tạo thành không gian tuyến tính đối với các phép toán

[ ] [ ] [x i + y i = x i + y I i, ] và a[ ] [x i = a y I i, ] Giả sử [x I i, ]Î l E I1[ ], tập hợp

với bất kỳ dạng tuyến tính liên tục a Î E ¢. Theo Định lý Macki 1.2.5 suy ra

A là tập bị chặn trong E Do đó với mỗi lân cận của không U Î U( )E tồn tại

số dương r sao cho

i i I

x U

a Î r

å với mọi I Î F ( )I và a i với a £ i 1

Nói riêng, sau khi chọn a i với a £ i 1 sao cho a á i x a i, ñ = áx a i, ñ với mỗi dạng tuyến tính liên tục a Î U0, ta nhận được

Dễ thấy rằng khi U chạy khắp U( )E , eU tạo thành hệ các nửa chuẩn trên

[ ]

1

I

l E , xác định tôpô lồi địa phương trong l E và được gọi là I1[ ] e - tô pô

2.1.2.2 Mệnh đề Nếu E là không gian đầy đủ thì l E là không gian đầy I1[ ]

2.1.3 Họ khả tổng trong không gian lồi địa phương

Giả sử E là không gian lồi địa phương và [x I i, ]Î l E I1[ ] Với mỗi ( )I

s Î F đặt

,( )

0,

i i

x i x

i

s s

s

Îìï

ï

= í

ï Ïïî

Khi đó ta nhận được dãy suy rộng { [x i( ),s I] }Ì l E I1[ ]

2.1.3.1 Định nghĩa Họ [x I i, ] các phần tử của không gian lồi địa phương E được gọi là họ khả tổng, nếu [x I i, ] lim[x i( ),I]

s

Từ định nghĩa suy ra tập hợp l E gồm tất cả các họ khả tổng I1( ) [x I i, ] trong E

tạo thành một không gian con tuyến tính của l E với các phép toán I1[ ]

[ ] [ ] [x i + y i = x i + y I i, ] và a[ ] [x i = a y I i, ]

1

( )

I

l E được xét với tô pô cảm sinh của l E I1[ ]

2.1.3.2 Mệnh đề Với mỗi không gian lồi địa phương E , không gian l E là I1( )

không gian con tuyến tính đóng của l E I1[ ]

Chứng minh Giả sử họ [x I i, ]Î l E I1[ ] thuộc vào bao đóng của l E Khi đó I1( )với mỗi lân cận của không U Î U( )E đều tồn tại họ [ ] 1

Chứng minh Nếu { }s s là dãy Côsi thì với mỗi lân cận của không U Î U( )E

đều tồn tại s Î F0 ( )I sao cho

14

s s - s s Î U với mọi s s Î F1, 2 ( )I , s s1, 2 ³ s0 Khi đó với bất kỳ a Î U0 và s Î F ( \I s0) ta có bất đẳng thức

Điều đó có nghĩa là với mọi s Î F( )I , s ³ s0 ta có

Vậy { }s s là dãy Côsi suy rộng đối với mọi họ khả tổng [x I i, ]

2.1.4 Họ khả tổng tuyệt đối trong không gian lồi địa phương

2.1.4.1 Định nghĩa Họ [x I i, ] các phần tử của không gian lồi địa phương E được gọi là họ khả tổng tuyệt đối, nếu

( )

I

p x < + ¥

å với mọi lân cận của không U Î U( )E ,

ở đây ký hiệu p U là nửa chuẩn kết hợp với U :

{ 0 : }

p = inf l > l Î U

Từ định nghĩa suy ra tập hợp l I1{ }E gồm tất cả các họ khả tổng tuyệt đối

[x I i, ] trong E tạo thành một không gian tuyến tính với các phép toán

ë û là dãy Côsi suy rộng tuỳ ý trong l I1{ }E Khi

đó với mọi i Î I , { }x i a a là dãy Côsi suy rộng trong E và do đó tồn tại phần

Vậy l I1{ }E là không gian đầy đủ

2.1.4.3 Mệnh đề Đối với mỗi họ khả tổng tuyệt đối [x I i, ] trong không gian lồi địa phương E ta có

Như vậy ánh xạ đồng nhất không gian l I1{ }E vào không gian l E là liên I1[ ]

tục Bây giờ nếu [x I i, ] là họ khả tổng tuyệt đối tuỳ ý trong E , thì từ hệ thức

2.1.5 Họ hoàn toàn khả tổng trong không gian lồi địa phương

2.1.5.1 Định nghĩa Họ [x I i, ] các phần tử của không gian lồi địa phương E được gọi là họ hoàn toàn khả tổng, nếu tồn tại tập bị chặn B Î B( )E sao cho

Từ định nghĩa suy ra tập hợp l E I1á ñ gồm tất cả các họ hoàn toàn khả tổng

[x I i, ] trong E tạo thành một không gian tuyến tính với các phép toán

Chứng minh Theo giả thiết tồn tại B Î B( )E sao cho

2.1.5.3 Mệnh đề Mọi họ hoàn toàn khả tổng trong không gian lồi địa

phương đều là khả tổng tuyệt đối

Chứng minh Giả sử [x I i, ] là họ hoàn toàn khả tổng trong không gian lồi địa

phương E Khi đó tồn tại B Î B( )E sao cho

2.1.5.4 Định nghĩa Ta nói rằng không gian lồi địa phương E có tính chất

( )B nếu với mỗi tập bị chặn B của l¥1 { }E , trong đó ¥ là tập hợp tất cả các

số tự nhiên, đều tồn tại tập hợp B Î B( )E sao cho

2.1.5.5 Mệnh đề Trong không gian lồi địa phương E có tính chất ( ) B , mọi

họ khả tổng tuyệt đối là hoàn toàn khả tổng

Chứng minh Giả sử [x I i, ]là họ khả tổng tuyệt đối tuỳ ý trong không gian lồi

địa phương E Khi đó với mỗi tập con hữu hạn s = ( , , )i1 i k các chỉ số của

2.1.5.6 Định lý Nếu E là không gian lồi địa phương khả metric thì E có

tính chất ( ) B

Chứng minh Giả sử { }U n là cơ sở lân cận của không trong E và B là tập con

bị chặn của l I1{ }E Khi đó với mỗi n ³ 1tồn tại r > n 0 sao cho

2.1.5.7 Định nghĩa Cho E là không gian lồi địa phương Ta nói rằng E là

đối ngẫu metric nếu E là s - tựa thùng và có một dãy cơ bản các tập bị chặn

Có thể chứng minh rằng nếu E là không gian lồi địa phương khả metric thì

E b¢ là đối ngẫu metric

2.1.5.8 Định lý Mọi không gian đối ngẫu metric E đều có tính chất ( ) B

Chứng minh Giả sử B1 Ì B2 Ì là dãy cơ bản các tập bị chặn trong E Giả

sử trong l I1{ }E có tập bị chặn B sao cho

( )

( ) 2

n n

Suy ra A là tập đếm được bị chặn trong E b¢ và do đó A là đồng liên tục vì E

là s - tựa thùng Như vậy tồn tại lân cận của không U Î U( )E để A Ì U0

Vì B bị chặn trong l I1{ }E nên tồn tại r > 0 sao cho

Để kết thúc mục này chúng ta đưa ra không gian lồi địa phương không

có tính chất ( )B Giả sử I là tập chỉ số không đếm được Xét không gian lồi