Bài giảng xác suất thống kê

Tuy nhiên ta có thể dùng tính chất đặc trưng nào đó để mô tả nó, từ đó có thể xác định được một phần tử có thuộc tập hợp này hay không... Tập hợp - Giải tích tổ hợpQuy tắc cộng Giả sử để

Bài Giảng Môn học Xác Suất và Thống Kê

Mai Hoàng Bảo Ân

Khoa Toán - Tin Học Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM

Ngày 8 tháng 9 năm 2011

Thông tin môn học

Điểm bài tập:

Điểm gk: 3

Điểm ck: 7

Nội dung

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Tập hợp

Giải tích tổ hợp

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Khái niệm về tập hợp

• Khái niệm tập hợp là một khái niệm không có định nghĩa,

tương tự như khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học

hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó

Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp

• Ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C , để kí hiệu tậphợp Nếu a là phần tử thuộc tập A ta kí hiệu a ∈ A Ngượclại, a không thuộc A ta kí hiệu a /∈ A

• Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng Kí hiệu ∅

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Khái niệm về tập hợp

• Khái niệm tập hợp là một khái niệm không có định nghĩa,

tương tự như khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học

• Tập hợp có thể hiểu tổng quát là một sự tựu tập của một số

hữu hạn hay vô hạn các đối tượng nào đó

Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp

• Ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C , để kí hiệu tậphợp Nếu a là phần tử thuộc tập A ta kí hiệu a ∈ A Ngượclại, a không thuộc A ta kí hiệu a /∈ A

• Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng Kí hiệu ∅

Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp.

• Ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C , để kí hiệu tậphợp Nếu a là phần tử thuộc tập A ta kí hiệu a ∈ A Ngượclại, a không thuộc A ta kí hiệu a /∈ A

• Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng Kí hiệu ∅

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Biểu diễn tập hợp

• Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của nó

Không phải mọi tập hợp đều có thể liệt kê rõ ràng từng phần tử

Tuy nhiên ta có thể dùng tính chất đặc trưng nào đó để mô tả nó,

từ đó có thể xác định được một phần tử có thuộc tập hợp này hay

không

Ví dụ

Tập hợp các số thực lớn hơn 0 và bé hơn 1 là

C = {x |x ∈ R và 0 ≤ x ≤ 1}

Biểu diễn tập hợp

• Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của nó

Không phải mọi tập hợp đều có thể liệt kê rõ ràng từng phần tử.Tuy nhiên ta có thể dùng tính chất đặc trưng nào đó để mô tả nó,

từ đó có thể xác định được một phần tử có thuộc tập hợp này haykhông

Ví dụ

Tập hợp các số thực lớn hơn 0 và bé hơn 1 là

C = {x |x ∈ R và 0 ≤ x ≤ 1}

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Quan hệ giữa các tập hợp

• Tập hợp con

Cho 2 tập hợp A và B Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc

tập hợp B, thì ta nói tập hợp A là con tập hợp B và kí hiệu A ⊂ B

hoặc B ⊃ A

Ta viết

A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

• Tập hợp bằng nhauCho 2 tập hợp A và B Nếu mỗi phần tử của A đều thuộc B vàngược lại, mỗi phần tử của B đều thuộc A thì ta nói hai tập hợp A

và B bằng nhau và kí hiệu A = B

Ta viết

A = B ⇔ (A ⊂ B và B ⊂ A)

Quan hệ giữa các tập hợp

• Tập hợp con

Cho 2 tập hợp A và B Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộctập hợp B, thì ta nói tập hợp A là con tập hợp B và kí hiệu A ⊂ Bhoặc B ⊃ A

Các phép toán trên các tập hợp

• Giao của hai tập hợp

Giao của hai tập hợp A và B đã cho là

Các phép toán trên các tập hợp

• Giao của hai tập hợp

Giao của hai tập hợp A và B đã cho là

• Hợp của hai tập hợp

Hợp của hai tập hợp A và B đã cho làtập hợp các phần tử thuộc ít nhất mộttrong hai tập hợp này, kí hiệu là A ∪ B

• Hợp của hai tập hợp

Hợp của hai tập hợp A và B đã cho làtập hợp các phần tử thuộc ít nhất mộttrong hai tập hợp này, kí hiệu là A ∪ B

Các phép toán trên các tập hợp

• Hiệu của hai tập hợp

Hiệu hai tập hợp A và B đã cho là tập

hợp các phần tử thuộc A mà không

thuộc B, kí hiệu A \ B

Ta viết

A \ B = {x |x ∈ A và x /∈ B}

Các phép toán trên các tập hợp

• Hiệu của hai tập hợp

Hiệu hai tập hợp A và B đã cho là tập

hợp các phần tử thuộc A mà không

thuộc B, kí hiệu A \ B

Ta viết

A \ B = {x |x ∈ A và x /∈ B}

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Quy tắc cộng

Giả sử để chọn một đối tượng ta có thể chọn một trong n đối

tượng khác nhau, x1, , xn, trong đó mỗi xi có mi cách chọn với

i = 1, , n Khi đó ta có m1+ m2+ + mncách chọn đối tượng

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Quy tắc cộng

Giả sử để chọn một đối tượng ta có thể chọn một trong n đối

tượng khác nhau, x1, , xn, trong đó mỗi xi có mi cách chọn với

i = 1, , n Khi đó ta có m1+ m2+ + mncách chọn đối tượng

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Quy tắc cộng

Giả sử để chọn một đối tượng ta có thể chọn một trong n đối

tượng khác nhau, x1, , xn, trong đó mỗi xi có mi cách chọn với

i = 1, , n Khi đó ta có m1+ m2+ + mncách chọn đối tượng

Quy tắc nhân

Giả sử để hoàn thành một công việc thì phải thực hiện k giai đoạn.Giai đoạn thứ nhất có n1 cách thực hiện, giai đoạn thứ hai có n2cách thực hiện, , giai đoạn thứ k có nk cách thực hiện Khi đó

ta có

n = n1n2 nk

cách hoàn thành công việc

• Nhóm không lặpCác phần tử của nhóm chỉ có mặt một lần trong nhóm.

• Nhóm không lặpCác phần tử của nhóm chỉ có mặt một lần trong nhóm.

• Các chữ số không lặpCông việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn.Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 4 cách chọn.Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 3 cách chọn.Vậy có n = 4.4.3 = 48 số.

• Các chữ số không lặp

Công việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn.Công việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 4 cách chọn.Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 3 cách chọn.Vậy có n = 4.4.3 = 48 số

Chỉnh hợp

Định nghĩa

Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm có thứ tựgồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho

Gọi Akn là số chỉnh hợp chập k của n phần tử Khi đó,

Akn= n.(n − 1) (n − k + 1) = n!

(n − k)!

A212= 12.11 = 132

cách chọn thỏa yêu cầu

A212= 12.11 = 132

cách chọn thỏa yêu cầu

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Chỉnh hợp lặp

Trong định nghĩa chỉnh hợp ta đòi hỏi mỗi phần tử chỉ được có

mặt trong nhóm không quá một lần Nếu bỏ đi điều kiện này, ta

có chỉnh hợp lặp

Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm kphần tử được chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử cóthể có mặt hơn một lần trong nhóm

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Chỉnh hợp lặp

Trong định nghĩa chỉnh hợp ta đòi hỏi mỗi phần tử chỉ được có

mặt trong nhóm không quá một lần Nếu bỏ đi điều kiện này, ta

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Tổ hợp

Định nghĩa

Tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm không phân

biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho

Gọi Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử Khi đó,

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Tổ hợp

Định nghĩa

Tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm không phân

biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho

Gọi Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử Khi đó,

Tổ hợp

Định nghĩa

Tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm không phânbiệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho.Gọi Cnk là số tổ hợp chập k của n phần tử Khi đó,