NTT các bài toán hay và khó 2 (1)

Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx3mx22mx1 đều là đồ thị của hàm số bậc nhất đồng biến trên.. Trong các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng?. Hỏi phải thả bao nhiêu

Câu 1 Tìm m để đồ thị hàm số y 1 x42x2 cắt đường thẳng y4m tại 6 điểm phân biệt

A 0 1

2

m

  B 0 m 1 C 1 m 2 D m0

Câu 2 Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx3mx22mx1 đều là đồ thị của hàm số bậc

nhất đồng biến trên

A m 6 B m0 C 0 m 6 D   6 m 0

Câu 3 Khi nói về hàm số 3 2

y x  m x  m m x có đồ thị ( )C , ta có các phát biểu sau:

(1) Với  m , hàm số luôn đạt cực trị tại x x1, 2 thỏa mãn x2x1 1

(2) Gọi A là điểm cực đại thuộc ( ) C , khi đó A thuộc đồ thị hàm số y2x33x21 (3) Khi m0 thì hàm số đồng biến trên 1;

(4) Khi m0 thì đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của ( )C có phương trình x  y 1 0 Trong các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng?

A 1 B 2 C 3 D 4

Câu 4 Cho hàm số 2

1

x y x





 có đồ thị  C

Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng 1

:

2

d y  xm cắt đồ thị  C tại 2 điểm nằm về hai phía của trục tung

A m2 B m2 C m2 D 0 m 2

Câu 5 Một hợp tác xã nuôi cá trong hồ Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung

bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng ( )P n 480 20 n (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị

diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

A 10 B 11 C 12 D 13

Câu 6 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x37x m 2x1 có hai nghiệm thực

phân biệt

A 15 B 16 C 18 D Vô số

Câu 7 Cho ,a b là các số thực thuộc khoảng 0;

2



  và thỏa mãn điều kiện cotacotb a b Giá trị của biểu thức P 3a 11b

a b





 bằng

A 5 B 7 C 8 D 9

Câu 8 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x  x2 1 m có nghiệm?

CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG

Câu 9 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số sin2

cos

y

x



 nghịch biến trên 0;

6



 

A m1 B 5

2

m C 5

4

m D m2

Câu 10 (Chuyên Ngữ) Cho n là số tự nhiên chẵn và a là số thực lớn hơn 3 Phương trình sau đây có

bao nhiêu nghiệm (n1)x n23(n2)x n1a n20

A 0 B 1 C 2 D 4

ĐÁP ÁN

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1 Tìm m để đồ thị hàm số 4 2

y  x  x cắt đường thẳng y4m tại 6 điểm phân biệt

A 0 1

2

m

  B 0 m 1 C 1 m 2 D m0

Hướng dẫn giải

Xét hàm số f x( )x4 2x2 với x

Ta có '( ) 4 3 4 4 ( 2 1) 0 0

1

x

x





        

 Khi đó ta có bảng biến thiên:

y = 1+ f(x)

f(x)

f(x)

f'(x)

x

2

+∞

+∞

y = 0

y = 0

1 1

0

0 0

0

+ +

1 0

∞

Để 4 2

y  x  x cắt đường thẳng y4m tại 6 điểm phân biệt thì :

1 4 2 20 22 21 0 2 1 0 1

2

Câu 2 Tìm m để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx3mx22mx1 đều là đồ thị của hàm số

bậc nhất đồng biến trên

A m 6 B m0 C 0 m 6 D   6 m 0

Hướng dẫn giải

Hàm số bậc nhất có dạng yax b đồng biến trên  a 0

Do đó yêu cầu bài toán tương đương: 2

  ' m26m    0 6 m 0Đáp án D

Câu 3 Khi nói về hàm số 3 2

y x  m x  m m x có đồ thị ( )C , ta có các phát biểu

sau:

(1) Với  m , hàm số luôn đạt cực trị tại x x1, 2 thỏa mãn x2x1 1

(2) Gọi A là điểm cực đại thuộc ( ) C , khi đó A thuộc đồ thị hàm số y2x33x21 (3) Khi m0 thì hàm số đồng biến trên 1;

(4) Khi m0 thì đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của ( )C có phương trình x  y 1 0 Trong các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu đúng?

A 1 B 2 C 3 D 4

Hướng dẫn giải

2

1





  x2x1 1(1) đúng

hàm số y2x33x21(2) đúng

Khi m0 hàm số có dạng y2x33x21 ; 1 1

y

  



     

Suy ra hàm số đồng biến trên (1;) và do hàm số liên tục tại x1 nên hàm số đồng biến trên 1;

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị (0;1)A và (1;0)B là: x   y 1 0 (3), (4) đều đúng

Vậy cả 4 phát biểu đều đúngĐáp án D

Câu 4 Cho hàm số 2

1

x y x





 có đồ thị  C

Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng 1

:

2

d y  xm cắt đồ thị  C tại 2 điểm nằm về hai phía của trục tung

m+1 m

1 0

Yêu cầu bài toán tương đương phương trình 2 1

x

x

 có hai nghiệm trái dấu

2  

      (vì x 1 không là nghiệm) ac 4 2m  0 m 2Đáp án C

Câu 5 Một hợp tác xã nuôi cá trong hồ Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì

trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng ( )P n 480 20 n (gam) Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên

một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

A 10 B 11 C 12 D 13

Hướng dẫn giải

Nếu mỗi đơn vị diện tích mặt hồ có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ cân

nặng là:

2

( ) ( ) 480 20

f n n P n  n n với n *

Cách 1: Xét hàm số f x( )480 20 x2 với x0;

Ta có f x'( )480 40 ; x f x'( )  0 x 12

Trên khoảng (0;) hàm số ( )f x đạt giá trị lớn nhất tại x12

Suy ra trên tập * hàm số ( )f n đạt giá trị lớn nhất tại n12

Hay số cá thỏa mãn là bài toán là 12Đáp án C

Cách 2: f n( )480n20n2  20(n12)228802880

Suy ra f n lớn nhất với ( ) n12 Đáp án C

Câu 6 Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình x37x m 2x1 có hai nghiệm thực

phân biệt

A 15 B 16 C 18 D Vô số

Hướng dẫn giải

1



(*)

Xét hàm số f x( )  x3 4x23x1 với 1

2

x

Ta có f x'( ) 3x28x3;

3

3

x

f x

x







 

  



Để (*) có 2 nghiệm thực phân biệt thì :

27

19 4;5;6; ;17;18

8

m

f(12)

+∞

+

0

f(x)

f'(x) x

1 2

1 3

27 8

∞

∞

+

x f'(x)

f(x)

19

3 0

+∞

Câu 7 Cho ,a b là các số thực thuộc khoảng 0;

2



  và thỏa mãn điều kiện cotacotb a b Giá trị của biểu thức P 3a 11b

a b





 bằng

A 5 B 7 C 8 D 9

Hướng dẫn giải

Cách 1: Ta có cotacotb   a b a cota b cotb (*)

Xét hàm số ( )f x  x cotx với 0;

2

  Ta có '( ) 1 12 0

sin

f x

x

2

 f x đồng biến trên ( ) 0;

2



  Suy ra (*) f a( ) f b( ) a b

14 7 2

a P a

   đáp án B

Cách 2: Dựa vào các phương án ta nhận thấy P cho một giá trị cụ thể, nghĩa là ta chỉ cần tìm ra một điều

kiện của ,a b thỏa mãn cotacotb a b (*) là được Dễ thấy ab thì (*) luôn đúng nên thay ab vào P ta được P7 đáp án B

Câu 8 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x  x2 1 m có nghiệm?

A m0 B 0 m 1 C m1 D m 1 2

Hướng dẫn giải

Đặt t x 0, khi đó phương trình có dạng: 2

1

t t  m (*)

Xét hàm số f t( ) t t21 với t0

Ta có

2

1

t

f t

t

 ,  t 0 f t( ) đồng biến trên 0; Suy ra ( )f t  f(0) 1

Ta có lim ( )f t

   Do đó để phương trình (*) có nghiệm thì m1đáp án C

Chú ý: Ở câu hỏi này các bạn có thể lập bảng biến thiên

để nhìn rõ hơn được điều kiện m1 thỏa mãn bài toán

Câu 9 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số sin2

cos

y

x



 nghịch biến trên 0;

6



 

A m1 B 5

2

m C 5

4

m D m2

Hướng dẫn giải

2

x



 

 

 

   

  Vì sin x đồng biến trên 0;6



  nên bài toán được phát biểu

+∞

+∞

1

0

f(t) f'(t) t

Khi đó

2

t

      

 

2

1 ( ) 2

t

t



2

0;

2

t

 

 

 



  Xét hàm

2

1 ( )

2

t

g t

t



 với 0;1

2

t 

  (do hàm số liên tục tại

1 2

t )

Ta có:

2

     , suy ra hàm số nghịch biến biến trên 0;1

2

Suy ra

1

0;

2

t

g t g

 

 

 



 

  

  Vậy

5 4

m Đáp án C

Câu 10 (Chuyên Ngữ) Cho n là số tự nhiên chẵn và a là số thực lớn hơn 3 Phương trình sau đây có

n x   n x  a  

A 0 B 1 C 2 D 4

Hướng dẫn giải

Cách 1 : Xét hàm số f x( )(n1)x n23(n2)x n1a n2

Khi đó ta có f x'( )(n1)(n2)x n13(n1)(n2)x n

(n1)(n2)x x n( 3)

f x'( )  0 x 3 hoặc x0 (nghiệm bội chẵn)

Dựa vào bảng biến thiên ta có ( )f x 0 Do đó phương trình

f x( )0 vô nghiệmĐáp án A

Cách 2 : Việc ra các phương án nghiệm là 0 ; 1; 2; 4 chứng tỏ bài toán đúng với n a, miễn sao n là số

tự nhiên chẵn và a là số thực lớn hơn 3 Do đó ta chọn 0

4

n a





 

 , khi đó phương trình có dạng:

x26x160, phương trình vô nghiệmĐáp án A

Giáo viên : Nguyễn Thanh Tùng Nguồn : Hocmai.vn

+∞

∞

a n +2 3n +2 > 0

x f'(x)

f(x)

0 3

+∞ +∞ +