Bài tập nguyên hàm và tích phân

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Trần Xuân Huyến Phone:01235775838 I/ NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN 1/ Tìm nguyên hàm các hàm số sau a. b. c. d. e. f. g. h. 2/ Tìm các nguyên hàm sau

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Trần Xuân Huyến

Phone:01235775838

I/ NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN

1/ Tìm nguyên hàm các hàm số sau

a 5 4

2

x

y x 

b f x( ) 2 x43x31

( ) (3 2 )(5 1)

f x  x x x

3

x

e ( ) ( 52 2)(4 1)

3

x

f

1 3 2

5 ( )

2

f x x

x



g ( ) 20f x  x

h f x( ) e2x 1



2/ Tìm các nguyên hàm sau

3

( x x dx)



3

dx x





c c x dxos

d 1 osx

3

c

dx





e

2 5

3

dx x





f  1 x2(3x5).dx

g 2 31 5

x x x

 dx

h 3 2

x x

e dx



i  lnxlgx dx

log x log x log x dx



II/ DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐỂ TÍNH NGUYÊN HÀM

1/ Tính các nguyên hàm sau

a sin 2  x dx

b.cos5x.dx

c sin(3 x 7).dx

d os( x+17).dx2

3

c



e e5x1.dx



f 32x5.27 x dx



gsin2xcos x dx

hcosmxsin x dx

i.e csinx osx.dx

k.5cos2xsin 2 x dx

l.cos (5x-7)sin(59 x 7).dx

m. 3x 8 7 dx

2/ Tìm các nguyên hàm sau

a  7x10 5 dx

b  2x2 3x 3 2008.dx

c 22

1

x

dx

x 



d

9

10

5

1

x

x 



e 2 (x x2 34) 5dx

f lnx.dx x



g

7

8

3 1

x dx

x 



h 2 1

1

x x

e dx e







i ln ln ln

x dx

x x



k

ln ln ln

dx



III/ TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC :

(Chúng ta hãy lưu ý rằng để làm tốt nguyên hàm của các hàm lượng giác thì cần phải sử dụng thành thạo các công thức lượng giác đã được học ở lớp 11 Phải coi chúng như bảng cửu chương hoặc như là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ Trước hết chúng ta xét những dạng bài tập cơ bản)

1/ Tính nguyên hàm

2

a sin 2x dx

b cos 2x dx

c t anx.dx

d cot  x dx

e tan 2 x dx

f cot x dx2

g sin x.sinx dx

h sin x c os x.dx

i c os x.cos x.dx

2/ Tính các nguyên hàm

a sin 4x dx

b cos 4x dx

c tan 4 x dx

d cot 4x dx

e tan 6 x dx

f sin 7 os15x.dx x c

g cos7x.cos9x.dx

i sin 2 sin 6  x x dx

3/ Tìm các nguyên hàm sau

a sin osx.dx3x c

b sin 5 x dx

c cos 7x dx

d sin os 5 x c 10x dx

e 2

os (7x-10)

dx

c



f

osx

dx

c



g

sinx

dx



h

1 osx

dx c





i

1 sinx

dx





k sinx 3+cosx.dx

sin( 1)sin( 3)

dx

dx

x x



sin(2 7) os(2x+3)

dx

dx

x c



p osx.sin23

1 sin

dx x





IV/ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ (HÀM PHÂN THỨC)

(Lớp nguyên hàm của bài toán này khá dễ, để tìm được nguyên hàm của những lớp hàm này chúng ta lưu

ý những điểm sau:

i Quan sát bậc đa thức trên tử và bậc dưới mẫu, nếu bậc đa thức trên tử lớn hơn hoặc bằng bậc đa

thức dưới mẫu thì thực hiện phép chía đa thức

ii Quan tâm tới nghiệm của đa thức dưới mẫu số )

1/ Tìm các nguyên hàm sau

a

( 9)( 10)

dx

x x



b

( 2)(7 )

dx

x  x



c

(2 5)( 3)

dx

x x



d 2

xdx

x  x



e 22

xdx

x  x



dx

x  x  x

g 33 1 4

x dx

x x







h 5 3 4 8

4

x x

dx

 





i 2

1

x x

e dx

e 



2/ Tìm nguyên hàm các hàm hữu tỉ sau

a 4 2

xdx

x  x 

x dx

x  x 



3

c 6 5 3

2

x dx

x  x 



d

3

2



e

2

2

( 2)

x

dx





f 2

( 2)

dx

x x 



dx

x  x 



h

2

( 1)( 9)

x dx

x  x 



i ( 24 1)

1

x







k

dx

e e





V/ NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

(Mục đích của việc nguyên hàm từng phần là chuyển một nguyên hàm rất khó tính bằng các phương pháp đã biết về một nguyên hàm dễ tính hơn, Vậy những bài toán như thế nào thì phải dùng nguyên hàm từng phần?

Đó là những bài toán có dạng như sau;

i P x( ).sinmx dx ; P x c( ) osmx.dx; (P(x là một đa thức nào đó vd: (x21)sin 3 x dx)

ii P x e dx( ) mx ; P x a dx( ) nx ; vd: (3 x 5)5 x dx

iii e mx.sin nx dx….) a cx os x.dx vd: e2xsinx.dx

iv P x( ) ln x dx P x( ) log a x dx vd: x3ln x dx )

1/ Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp toàn phần

a (2x21)e3x.dx

b x2ln x dx

c e2xsin 2 x dx

d cos 2x e dx x

e ln  x dx

f lg  x dx

VI NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ

(Tổng thể nguyên hàm của một hàm vô tỉ là một nguyên hàm có chứa căn thức Đây là lớp bài toán tương đối khó Phương pháp chung để giải quyết chúng là dùng phương pháp đổi biến số)

1/ tìm các nguyên hàm

a 3 1 .

x

dx

x







x dx

x



c dx3

x x



d x 3 x.dx

e

3

3 4

x dx x



f

3

2

2

x dx

x 



1

dx

x x 



dx

x x  x



dx

x x  x



k

dx

x  x



l 1 1 1

x dx

x x







m

dx



4

ÔN TẬP

1/ Tính các nguyên hàm sau

a ( 3x2  5 x)dx









dx x

x

4 3 5

2

c (sinx cosx 5x 2x3 )dx

x x

x x

















2

2

7 7

cos

5

e  7x e xdx

f e x dx

x

x











5 4















dx x x

x

x

5 2

2

4 7

4

2/ Tìm a để cho F(x) là nguyên hàm của f(x)

F(x) = 6x3 7x2 3x



 ; f(x) 18x2 14x 5a







3/ Tìm c để F(x) là nguyên hàm của f(x)

F(x) = 2xlnx 3x2 sinx



 f(x) = 2 lnx 6x cosxc

4/ Tìm nguyên hàm của các hàm số sau

x x













1

b x x dx

3 .22

c cot 2 x dx



d tan 2 x dx



5/ Tìm các nguyên hàm sau

x x

x













2

2

x

x x

x

  2 

2 3

c   dx

x x

x

2

2 1

d   x3 x5 x4dx

6/ Tìm các nguyên hàm sau

a cos2 x dx.sin2 x

b cosco2 x.xsindx2 x

2

x

x

11coscos2

2

d x.dx

2 sin



7/ Cho hàm yx 3  2x Tìm a, b, c để cho là nguyên hàm của hàm số y