BÀI TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN CÓ LỜI GIẢI

Tổng hợp một số bài tập nguyên hàm và tích phân có lời giải chi tiết, bài tập được sắp xếp từ cơ bản đến nâng cao giúp người đọc dễ dàng nắm vững các kiến thức và phương pháp giải bài tập một cách nhanh nhất.

CHUYÊN Đ : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ề: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Đ nh nghĩa ịnh nghĩa Cho hàm s ố y f x  

xác đ nh trên t p K (kho ng, n a kho ng, đo nịnh trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn ập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn ảng, nửa khoảng, đoạn ửa khoảng, đoạn ảng, nửa khoảng, đoạn ạn

c a R) N u ta có hàm s F(x) xác đ nh trên K sao cho ủa R) Nếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho ếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho ố ịnh trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn F ' x  f x 

thì F(x) được c

g i là nguyên hàm c a hàm s ọi là nguyên hàm của hàm số ủa R) Nếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho ố f x  trên K.

Đ nh lí 1 ịnh nghĩa N u F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) trên K thì v i m i ếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho ột nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi ủa R) Nếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho ố ới mỗi ỗi

h ng s C, hàm s ằng số C, hàm số ố ố G x  F x C cũng là m t nguyên hàm c a f(x) trên K.ột nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi ủa R) Nếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho

Đ nh lí 2 ịnh nghĩa N u F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) trên K thì m i ếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho ột nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi ủa R) Nếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho ố ọi là nguyên hàm của hàm số nguyên hàm c a f(x) trên K đ u có d ng ủa R) Nếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho ều có dạng ạn G x  F x C v i C là h ng s ới mỗi ằng số C, hàm số ố

Đ nh lí 3 ịnh nghĩa M i hàm s f(x) liên t c trên K đ u có nguyên hàm trên K.ọi là nguyên hàm của hàm số ố ục trên K đều có nguyên hàm trên K ều có dạng

Tính ch t c a nguyên hàm: ất của nguyên hàm: ủa nguyên hàm:

- f ' x dx f x    C

- kf x dx k f x dx     

- f x g x f x dx    f x dx  g x dx 

B ng nguyên hàm ảng nguyên hàm

Chú ý: Công th c tính vi phân c a f(x) là ức tính vi phân của f(x) là ủa R) Nếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho d f x   f ' x dx  Ví dục trên K đều có nguyên hàm trên K

du u '.dx , dt t '.dx v i u, t là hàm theo bi n x.ới mỗi ếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho

V i u là m t hàm s ới mỗi ột nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi ố

Các ph ương pháp tính nguyên hàm ng pháp tính nguyên hàm

 Ph ương pháp 1 Sử dụng bảng nguyên hàm: ng pháp 1 S d ng b ng nguyên hàm: ử dụng bảng nguyên hàm: ụng bảng nguyên hàm: ảng nguyên hàm:

Ví d 1: ụ 1: Tính

4 2

1

x dxcos x

trên kho ng ảng, nửa khoảng, đoạn 0; 

L i gi i ời giải ảng nguyên hàm

 trên kho ng ảng, nửa khoảng, đoạn   ; 

L i gi i ời giải ảng nguyên hàm

 Ph ương pháp 1 Sử dụng bảng nguyên hàm: ng pháp 2 Đ i bi n s ổi biến số ến số ố

 Khi nguyên hàm có d ng tích hai hàm nhân nhau ta thạn ường sử dụngng s d ngửa khoảng, đoạn ục trên K đều có nguyên hàm trên K

phương pháp nguyên hàm từng phần.ng pháp nguyên hàm t ng ph n.ừng phần ần

 Th t đ t u là logarit, đa th c, lức tính vi phân của f(x) là ức tính vi phân của f(x) là ược ng giác, mũ (đ c t t là lô đa lọi là nguyên hàm của hàm số ắt là lô đa lượng mũ), ược ng mũ),sau khi đ t u thì toàn b lột nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi ược ng còn l i đ t là dv.ạn

  , áp d ng công th c nguyên hàm t ng ph n ta đục trên K đều có nguyên hàm trên K ức tính vi phân của f(x) là ừng phần ần ược c:

Chú ý: Khi đ t dv f x dx   ta tính v theo công th c ức tính vi phân của f(x) là vf x dx  , ch c h n nhi u ắt là lô đa lượng mũ), ẳn nhiều ều có dạng

em sẽ h i sau khi tính xong sẽ có thêm h ng s C nh ng t i sao các ví d trên ằng số C, hàm số ố ư ạn ở các ví dụ trên ục trên K đều có nguyên hàm trên K

l i không th y C, th t ra là ngạn ấy C, thật ra là người ta đã chọn ập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn ường sử dụngi ta đã ch n ọi là nguyên hàm của hàm số C 0

2 TÍCH PHÂN

Đ nh nghĩa ịnh nghĩa Cho hàm s ố y f x   th a mãn:

 Liên t c trên đo n ục trên K đều có nguyên hàm trên K ạn a; b

 F(x) là nguyên hàm c a f(x) trên đo n ủa R) Nếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho ạn a; b Lúc đó hi u s ệu số ố F b  F a  được ọi là nguyên hàm của hàm số c g i là tích phân t a đ n b và kí hi u là ừng phần ếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho ệu số

Chú ý: Đ tính tích ph n t a đ n b, ta ti n hành tìm nguyên hàm r i sau ể giải quyết ần ừng phần ếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho ếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho ồi sau

đó thay c n vào theo công th c ập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn ức tính vi phân của f(x) là      



C.

253I7



D.

253I15



L i gi i ời giải ảng nguyên hàm

Đ t t x24 Suy ra t2 x24 Do đó tdt xdx

C.

4I9



D.

5I9



D.

710

L i gi i ời giải ảng nguyên hàm





L i gi i ời giải ảng nguyên hàm

L i gi i ời giải ảng nguyên hàm

L i gi i ời giải ảng nguyên hàm

C.

2

eI3



D.

2

eI2

V y ập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn

2

xdxI

 

D.

3I

 

D.

3

I e2

0 0

   

1 1



C.

5I6



D.

11I6

1

0 0

1 1

Ch n đáp án D ọn đáp án C

Ví d 39: ụ 1: Tính tích phân

1

x 2 0

1

dxdu

v2

C DI N TÍCH HÌNH PH NG VÀ TH TÍCH KH I TRÒN XOAY ỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY ẲNG VÀ THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY Ể TÍCH KHỐI TRÒN XOAY ỐI TRÒN XOAY

Th tích kh i tròn xoay ể tích khối tròn xoay ối tròn xoay

* Quay quanh tr c Ox: ụng bảng nguyên hàm: Cho hình ph ng gi i h n b i các đẳn nhiều ới mỗi ạn ở các ví dụ trên ường sử dụngng

 

y f xOx

a

Ví d 41: ụ 1: Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i các đệu số ẳn nhiều ới mỗi ạn ở các ví dụ trên ường sử dụngng sau đây: y x 2 x 1

và y x 4 x 1

D. S 5

L i gi i ời giải ảng nguyên hàm

Ta th y hình ph ng gi i h n b i hai đấy C, thật ra là người ta đã chọn ẳn nhiều ới mỗi ạn ở các ví dụ trên ường sử dụngng y x 2 x 2 và y x 4 x 1

nên ch a áp d ng đư ục trên K đều có nguyên hàm trên K ược c công th c tính ngay, ta c n ph i tìm thêm hai đức tính vi phân của f(x) là ần ảng, nửa khoảng, đoạn ường sử dụngng

x a, x b  đây a, b là nghi m c a phỞ đây a, b là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ệu số ủa R) Nếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho ương pháp nguyên hàm từng phần.ng trình hoành đ giao đi m.ột nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi ể giải quyết

Ví d 43: ụ 1: Tính th tích c a kh i tròn xoay để giải quyết ủa R) Nếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho ố ược ạnc t o thành khi cho hình ph ng ẳn nhiều

gi i h n b i các đới mỗi ạn ở các ví dụ trên ường sử dụngng y sin x , tr c hoành, hai đục trên K đều có nguyên hàm trên K ường sử dụngng th ng ẳn nhiều x 0; x 4



quay quanh tr c hoành?ục trên K đều có nguyên hàm trên K

Hình ph ng gi i h n b i các đẳn nhiều ới mỗi ạn ở các ví dụ trên ường sử dụngng

y sin xOx

x 0x4

0 0

Ví d 46: ụ 1: Tính th tích kh i tròn xoay khi quay hình ph ng (H) quanh tr c Ox, ể giải quyết ố ẳn nhiều ục trên K đều có nguyên hàm trên K.

bi t (H) đếu ta có hàm số F(x) xác định trên K sao cho ược c gi i h n b i đ th hàm s ới mỗi ạn ở các ví dụ trên ồi sau ịnh trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn ố

3 2

1 cos xy





C.

3V2





D.

3 5V2