Các biến thể tương đương của tích phân Riemann trong toán phổ thông

Các biến thể tương đương của tích phân Riemann trong toán phổ thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG

KHOA SƯ PHẠM

W X

MAI QUANG VINH

LỚP DH2A1

CỦA TÍCH PHÂN RIEMANN TRONG TOÁN PHỔ

THÔNG

Giáo viên hướng dẫn:Th.S Lê Thái Duy

An Giang, tháng 06 năm 2004

MỤC LỤC

D E

Chương 3: Một số sai lầm thường thấy ở học sinh phổ thông

L ỜI N ÓI Đ ẦU

D E Tích phân Riemann là lý thuyết có một vai trò quan trọng trong Giải tích toán học, đặc biệt là trong chương trình toán học phổ thông

Đề tài này giới thiệu các hình thức khác nhau của tích phân Riemann đối với lớp hàm liên tục trên một đoạn và làm rõ bản chất tương đương của chúng Nội dung đề tài có ý nghĩa thiết thực đối với học sinh phổ thông và sinh viên ngành sư phạm toán,

Nội dung đề tài gồm 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận

Chương 2: Các biến thể của tích phân Riemann và mối quan hệ

Chương 3: Một số sai lầm thường thấy ở học sinh phổ thông khi giải toán tích phân

Để giúp người đọc dễ hiểu, phần chứng minh các bổ đề, định lý,nhận xét được trình bày một cách chi tiết và chặt chẽ Ngoài ra trong chương 2, định nghĩa 4 của

tích phân Riemann được giới thiệu như là sự mô phỏng của tích phân Lebesgue

đối với lớp hàm liên tục trên tập có độ đo hữu hạn

Mong rằng đề tài này sẽ giúp ích được phần nào cho các bạn hiểu nhiều thêm

về tích phân Riemann

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê Thái Duy đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình nghiên cứu, các thầy cô trong Khoa Sư phạm và Ban Giám hiệu nhà trường đã tạo điều kiện cho em học tập cũng như nghiên cứu đề tài này

Do thời gian hạn hẹp và còn ít kinh nghiệm nên rất khó tránh khỏi những thiếu sót Mong được các thầy cô và các bạn góp ý để đề tài được hoàn chỉnh hơn

An Giang, tháng 06 năm 2004

Mai Quang Vinh

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

D E Chương này trình bày một số kiến thức toán học thích hợp làm cơ sở cho đề tài: định nghĩa dãy các đoạn thắt, định nghĩa hàm bậc thang, tích phân của hàm bậc thang,bổ đề Bolzano – Weierstrass và một số định lý - thể hiện tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn và các tính chất của tích phân của hàm bậc thang

2

1 a a n b k

a ≤ ≤ ≤ ≤ ≤trong đó là một số nguyên dương nào đó Dãy {ak n} tăng và bị chặn trên cho nên

n [a;b]

1

∆ (nếu cả hai đều chứa vô số phần tử của dãy thì gọi một trong hai đoạn ấy là ∆ ) Lại chia 1 thành hai đoạn bằng nhau; ít nhất một trong chúng phải chứa vô số phần tử của , ta gọi đoạn

ấy là ,……Tiếp tục mãi quá trình trên ta được dãy đoạn thắt:

1

∆}{u n

+∞

→ +∞

n n

Ta rút dãy con của {u } như sau: trong ∆ lấy một phần tử bất kỳ, ký hiệu là

m

được điều đó vì rằng trong

∆ có vô số phần tử; tiếp tục mãi quá trình đó, ta được

n

m

n n

n n

δ (n=1,2, ), thế thì δn →0khi Khi đó với

=

n x

x n − 'n <1 nhưng :

0

)'()(x n − f x n ≥ε

0 0

0

1'

m x x x x x x

n n

n n

n m

m m

giới hạn là Từ tính chất liên tục của hàm số tại điểm thuộc [ ], suy ra:

}'{

)

n n

dần tới 0 khi n dần tới vô hạn Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức (1).Vì vậy,

hàm số phải thỏa mãn kết luận của định lý f

Định lý được chứng minh

1.4 Định nghĩa hàm bậc thang:

1.4.1 Định nghĩa:

Hàm số xác định trên đoạn được gọi là hàm bậc thang, nếu đoạn được chia thành hữu hạn khoảng

x x

,1)(

χ

Nhờ đó, hàm bậc thang có thể biểu diễn dưới dạng:

)()

(

1

x x

f

i

i n

x x

a= 0 < 1 < 2 < < n−1 < n = Hiển nhiên:

n

a b x x

),()(

1

1 0

1

n i

x x x x f

x x x x f x f

i i

i n

minh dãy này thỏa mãn kết luận của định lí

}

Thật vậy, vì hàm số liên tục trên đoạn f [a;b], nên theo định lí 1 với số dươngε

cho trước nhỏ tùy ý, tìm được số dương δ sao cho với hai điểm bất kỳ thuộc

Khi đó với số dương δ tìm được tồn tại số nguyên dương sao cho với mọi

1

)()

xác định trên đoạn [a;b] Ký hiệu ∆ là độ dài của khoảng Ta gọi tích phân lấy x i

f( )

Vì vậy

∫b

a dx x

n

i

x x

x f

j i

1 ' 1

)()

()

a

1 1

']

;[

)'(

)'(]

;[

j

1 1

)'(

)(']

;[''

và các khoảng ∆ij =∆iI∆'j (i=1,2, ,n;j =1,2, ,m)đôi một không giao nhau,

ký hiệu độ dài tương ứng của chúng là ∆x ij Ta có:

j

n

i m

j

ij i ij

i n

i

i

1 1 1 1 1

)

αα

Bằng cách tương tự ta cũng có:

j j

j

1 1 1 1 1

)(

j

ij j n

i m

i

i i b

a

x x

dx x f

1 1

')

a

dx x g q dx x f p dx x qg x

i

x f

j i

1 ' 1

)()

(,)()

i i n

i

p x pf

j i

i

1

' 1

1

)()

(,

)()

()

j

j

p x

qg x pf

j i

)()

()

()(

I

χβα

ký hiệu ∆x i,∆'x j,∆x ij là độ dài tương ứng của các khoảng ∆ ,i ∆'j,∆iI∆'j

Theo định nghĩa tích phân:

∑∑

∫

= =

∆+

=

i m

j

ij j i b

a

x q p dx

x qg x pf

1 1

)(

)]

()(

n

i m

j ij

∆

j

j j n

'

βα

∫

a b

a

dx x g q dx x f

p ( ) ( )

Định lý được chứng minh

1.5.2.2 Định lý 4:

Đối với mọi hàm bậc thang xác định trên đoạn f [a;b] ta đều có:

∫

b

a b

a

dx x f dx x

i

1

)()

i

i

1 1

αα

do đó:

∫

a b

a

dx x f dx x

a

dx x g dx x

i

x f

j i

1 ' 1

)()

(,)()

Lặp lại chứng minh nhận xét sau định nghĩa, ta được:

i x

), ,2,1

j

ij i n

i

i i b

a

x x

dx x f

1 1 1

j

ij j m

j

j j b

a

x x

dx x g

1 1 1

')

a

dx x g dx x

f( ) ( )

Định lý được chứng minh

1.5.2.4 Định lý 6:

Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn , và là hai dãy hàm bậc

]

;[a b f n(x)→→ f(x) g n(x)→→g(x) n→+∞ trên đoạn [a;b] Khi đó:

Trước hết ta chứng minh tồn tại các giới hạn trong hệ thức (5) Từ giả thiết, ta

có với số dương ε cho trước nhỏ tùy ý, tìm được số nguyên dương sao cho

a b x

f x

a b x

f x

b x

f x f x f x

−

)(2)(2)()()()( Theo các định lý 3,4,5 ta được:

b

a

b

a m

a

m

a b dx x f x

f ( ) ( )

f x g x f x

−

)(2)(2)()()()( Theo các định lý 3,4,5 ta được:

b

a

b

a n

a

n

a b dx x g x

f ( ) ( )

Điều này chứng tỏ: → +∞∫ = → +∞∫b

a

n n

b

a

n

nlim f (x)dx lim g (x)dx Định lý được chứng minh

CHƯƠNG 2: CÁC BIẾN THỂ CỦA TÍCH PHÂN RIEMANN

VÀ MỐI QUAN HỆ

D E

Ngoài định nghĩa quen thuộc như đã biết ở toán phổ thông hiện hành, khái niệm tích phân Riemann còn được định nghĩa dưới dạng nào khác không? Trong chương này, chúng ta sẽ phát hiện được một số biến thể của tích phân Riemann

và mối quan hệ giữa chúng

2.1 Các biến thể của tích phân Riemann trong toán phổ thông:

2.1.1 Định nghĩa:

hiện các bước sau:

)(x f

b x x x

x x

1 i n x

f

1

)()

(

Tổng S n được gọi là tổng tích phân của hàm số trên đoạn f [a;b]

sao cho dần tới 0 Nếu tồn tại giới hạn:

]

;[a b

i x

∆max

i 0 1 maxlim (ξ )

và giới hạn này không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a;b] và cách chọn các điểm

i

ξ trên đoạn [ , thì giới hạn đó được gọi là tích phân của hàm số lấy trên

f( )

∫b

a dx x

i 0 1 maxlim (ξ )

gọi là cận trên của tích phân, gọi là biểu thức xác định hàm dưới dấu tích phân, gọi là biến số tích phân

∫b

a

dx x

f( ) a b f(x)dx a

)(x f

i 0 1 maxlim (ξ )

x x

a= 0 < 1 < 2 < < n−1 < n =

và đặt:

a b x x

1

)(

Nói cách khác:

∫b

a dx x

f( ) = ∑

= +∞

→ n ∆

i

i i

1

)(lim

→ n ∆

i

i i

1

)(

f( )]b

trong đó F(x) là biểu thức xác định một nuyên hàm nào đó của f

Dấu ∫ gọi là dấu tích phân, hàm số gọi là hàm số dưới dấu tích phân f

Ta đặt:

)()(

3 F b F a

I = −

2.1.4 Định nghĩa 4:

Cho hàm số liên tục trên đoạn Theo định lý 2, tồn tại dãy hàm bậc

Ta gọi tích phân lấy từ đến của hàm số là số thực xác định bởi hệ

f( )

a

n n

a

dx x f dx

Riemann theo các định nghĩa (đn) 1,2,3,4 tương đương với nhau

ε cho trước nhỏ tuỳ ý, tìm được số dương δ sao cho với hai điểm bất kỳ

',x x

]

;[a b x− 'x <δ, ta có

a b x f x f

−

<

)'()(

Chia đoạn [a;b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia:

b x x x

x x

a= 0 < 1 < 2 < < n−1 < n =sao cho:

x i i i i (i=1,2, ,n)

i i i

)()()()()()

∆

i

i i n

n n

c f

1 1 1 1

()

(

Nhưng, vì , thuộc c i x i [x i−1;x i] nên c i −x i ≤∆x i <δ , do đó:

a b x f c

Vì vậy,

i i i

i

i i i

1 1

)()()]

()([)

()

i

a b

x a

f b F

1

)()

()(Bất đẳng thức này chứng tỏ:

0])()

()([lim

→

n

i

i i

hay

∑

= +∞

a F b F

1

)(lim)()(

đoạn này Theo định lý 1, với số dương

ε cho trước nhỏ tuỳ ý, tìm được số dương

δ sao cho với hai điểm bất kỳ x,x' thuộc đoạn [a;b] mà x− 'x <δ, ta có :

a b x f x f

−

<

)'()(

Chia đoạn [a;b] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia:

b x x x

x x

a= 0 < 1 < 2 < < n−1 < n =sao cho:

),()(

1

1 0

1

n i

x x x x f

x x x x f x f

i i

i n

}

)()(x f x

b

a

dx x f dx

(

Do đó:

∑

∫

= +∞

i

i i n

b

a

x x f dx

x f

1

)(lim)

(

i i i

)()()()()()

∆

i

i i n

n n

c f

1 1 1 1

()

(

Nhưng, vì , thuộc c i x i [x i−1;x i] nên c i −x i ≤∆x i <δ , do đó:

a b c f x

n

i

i i i

n

i

i i n

1 1

)()()]

()([)

()

i

a b

x a

(

1

a F b F x x f n

i

i i

Bất đẳng thức này chứng tỏ:

0)]

()()

([

]

;

[a b x− 'x <δ, ta có

a b x f x f

−

<

)'()(

điểm chia:

]

;[a b

b x x x

x x

a= 0 < 1 < 2 < < n−1 < n =sao cho max∆x i <δ với ∆x i =x i −x i−1 (i =1,2, ,n)

Trên mỗi đoạn [x i−1;x i], ta lấy một điểm tuý ý ξi (i=1,2, ,n)và lập tổng:

S

1

)(ξMặt khác, ta đặt:

),()(

1

1 0

1

n i

x x x x f

x x x x f x f

i i

i n

}

)()(x f x

b

a

dx x f dx

b

a

x x f dx

x f

1

)(lim)

( Nhưng, vì ,x i ξithuộc[x i−1;x i]nên ξ − ≤ ∆ <δ

= n i i i

, 1

a b x f

n

i

i i i

n

i

i i n

1 1

)()()]

()([)

()

i

a b

x a

([lim

1 0 max ∑ ∆ −∫ =

i

i i

i

ξ

hay

i

i i

i

)(lim)

(lim

1 0 max ξ

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG THẤY Ở HỌC SINH PHỔ THÔNG

KHI GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN

¾Lời giải sai:

)1( +

du dx

2)1(

+

=

⇒ Khi x=−2 thì u =1, còn x=0 thì u =1 Do đó:

12

)1

u

udu dx

¾Nhận xét:

đổi biến, đổi cận như lời giải trên được Nếu muốn đổi biến thì phải viết tích phân cần tính thành tổng của hai tích phân mà đơn điệu Lời giải trên còn sai lầm khi viết:

2

)1( +

= x

2

)1( +

= x

u u

du x

du dx

2)1(

+

)1( +

=+

2

2 2

)1()

1()

)1

2

−

=

⇒ Khi x=−2 thì u =1, còn x=−1 thì u=0 Do đó:

1

3

132

2

u du u u

udu I

)1

2

= Khi x=−1 thì u=0, còn khi x=0 thì u =1 Do đó :

2

3

132

2

u du u u

udu I

2 0

2

2

3

)1()1()1()

1(

1(3

Ví dụ 2:

0

3 2

)1()2

¾Lời giải sai:

Đặt u =x2 −2x ⇒du =2(x−1)dx

2)

1(x− dx= du

)1()2

0

3

02

1

du u

¾Nhận xét :

không thể đổi biến, đổi cận như trên đuợc Nếu muốn đổi biến như trên thì phải

x x

]2

)1()2

0

3 2

)1()2

2

1

3 2

)1()2

0

3 2

)1()2

Đặt u= x2 −2x ⇒du=2(x−1)dx

2)

1(x− dx= du

1

8

18

2

du u J

1

3 2

)1()2

Đặt u =x2 −2x ⇒ du=2(x−1)dx

2)

1(x− dx= du

2

8

18

2

du u J

8

18

chỉ muốn điều chỉnh việc đổi biến chứ không phải là lời giải tốt Các bạn có thể giải đơn giản như sau

=

J ∫2 − −

0

3 2

)1()2

0

2 3 2

)2()2(2

1

x x d x x

8

)2

0

4 2

=

−

¾Lời giải sai :

π

π

dx x

x K

3ln(

)2

1ln(

ln

2 1

2 3

2 1

du K

2

3ln(

),2

∫ = x +C x

3ln2

3ln2

1lnln

2 1

2 3

2 1

du K

π

π

dx x

sinlnsin

)(sin

π

π

π π

x x

x d

.

2

3ln2

3ln2

1

=

Ví dụ 4:

0

cos 3

sin

π

xdx e

2 3

1

u

du u

Nguyên nhân dẫn đến cái sai của lời giải trên là việc sử dụng sai công tính

nguyên hàm của hàm số hợp (

u e u

2

3

11

3

u

du u

e

3131

3

1 0 3

0

cos 3

)cos3(3

1sin

π π

x d

e xdx

3 2 cos

3

4

)12()

12

=+

M

204

+

∫ α αα 11

)1(α ≠−

82

u du

u M

108

0

3

8

)12()

12

Ví dụ 6 :

01 sinx

dx N

¾Lời giải sai :

Đặt :

2

x tg

−

)1()1(2)1(

2sin1

2

u

du x

dx

x tg

−

=

21

21

122

12

0

tg tg

x tg

N

+

++

−

=+

)42(cos2

1)2

cos2

dx x

x

dx N

.2)4

(4

)42(

)42(cos

)42(

πππ

π π

tg tg

x tg

x

x d

Chú ý :

Các bạn đọc là sinh viên lưu ý rằng trong chương trình toán phổ thông không trình bày về tích phân suy rộng

¾Lời giải sai :

Đặt : x=sint ⇒dx=costdt

Khi x=0 thì t=0, còn khi x=3 thì không có t để Do vậy tích phân

du u xdx

2 2

23

32

2

3)2

3

u P

.845

))2(1(8383

4

1

2 4

0

3 2

)1(1

)1(321

3

0

3 4 2

KẾT LUẬN

W X

Do khuôn khổ và thời gian thực hiện đề tài còn hạn hẹp nên em chỉ xem xét và trình bày được một số biến thể của tích phân Riemann trong toán phổ thông và một ít kiến thức liên quan Tuy nhiên cũng thu được một số kết quả đáng chú ý: ) Tập hợp đựoc một số các kiến thức toán học thích hơp ( định nghĩa dãy các đoạn thắt, định nghĩa hàm bậc thang, tích phân của hàm bậc thang, bổ đề về dãy các đoạn thắt, bổ đề Bolzano – Weierstrass, bốn định nghĩa của tích phân Riemann,……)

) Chứng minh được mối quan hệ tương đương giữa các định nghĩa của tích phân Riemann đối với lớp hàm liên tục trên một đoạn

Ngoài ra, trong đề tài này còn có một số ví dụ để minh hoạ cho những sai lầm thường thấy ở học sinh phổ thông khi giải toán tích phân Đây là phần rất bổ ích đối với học sinh phổ thông và sinh viên ngành sư phạm toán

Mặc dù chỉ là một đề tài nhỏ nhưng nó cũng phần nào giúp ta nhìn về tích phân Riemann trong toán phổ thông một cách đầy đủ hơn

Bên cạnh các kết quả đạt được trên, vịêc khảo cứu các biến thể của tích phân Riemann trên lớp hàm khả tích khác còn làm cho em không ít trăn trở Hy vọng với một ít thời gian nữa, nó sẽ được giải quyết thành công

TÀI LIỆU THAM KHẢO

W X

[1] Nguyễn Vĩnh Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang – Sai lầm phổ biến

khi giải toán, NXB GD 2002

[2] Nguyễn Phụ Hy – Tích phân trong toán phổ thông, NXB GD 1998

[3] Ngô Thúc Lanh (chủ biên) - Giải tích 12, NXB GD 2003

[4] Vũ Tuấn, Phan Đức Thành, Ngô Xuân Sơn - Giải tích toán học Tập 1, NXB

GD 1987

[5] Dương Thủy Vỹ, Vũ Long, Tạ Văn Đỉnh - Hướng dẫn giài bài tập toán Giải

tích, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp 1977

[6] Johann Baumeis, Nguyễn Phụ Hy (biên dịch) – Tích phân Riemann, NXB

GD 1999

[7] Jean Marie Monier - Giải tích 1: Giáo trình và 300 bài tập có lời giải, NXB

GD 2001