Đây là bài tập nguyên hàm tích phân gửi đến các bạn học sinh tham khảo để củng cố kiến thức toán 12.
Trang 1I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
(x x 1)dx
2
2 2 1
e
x x
2
3
1
2
x dx
3
2 1
1
x dx
2
3
(2sinx 3cosx x dx)
5
1 0
(e xx dx)
6
1
3 0
(x x x dx)
7
2 1
( x1)(x x1)dx
8
2
3
1
x
9
1
2 0
(e xx 1)dx
10
2
1
(x x x x dx)
11
2 1
( x1)(x x1)dx
12
3
3 1
x 1 dx
2
2 -1
x.dx
x
14
2
e
1
7x 2 x 5
dx x
5
2
dx
x 2
16
2
2 1
x 1 dx
ln
17
3 6
x dx x
cos sin
18
4
2 0
tgx dx x
cos
19
0
20
0
e dx
.
21
2 2 1
dx 4x 8x
22
3
0
dx
ln
.
22
2
0
dx
1 sin x
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
Trang 21
2
3
sin xcos xdx
2
2
3
sin xcos xdx
3
2
0
sin
1 3
x dx cosx
3
4 0
tgxdx
4
4
6
cot gxdx
5
6 0
1 4sin xcosxdx
6
1
2 0
1
x x dx
7
1
2 0
1
x x dx
8
1
3 2
0
1
x x dx
9
3
x dx
x
10
1
0
1
x x dx
11
2 3 1
1
1dx
x x
12
1
2 0
1
1x dx
13
1 2 1
1
14
1
2 0
1
1dx
x
15
1
2 2 0
1 (1 3 ) x dx
16
2
sin 4
x
e cosxdx
17
2 4
sin
cosx
18
2 1
2 0
x
e xdx
19
2
3
sin xcos xdx
20
2
sin 4
x
e cosxdx
21
2 4
sin
cosx
22
2 1
2 0
x
e xdx
23
2
3
sin xcos xdx
24
2
3
sin xcos xdx
25
2 0
sin
1 3
x dx cosx
Trang 3
26
4
0
tgxdx
27
4 6
cot gxdx
28
6
0
1 4sin xcosxdx
29
1 2 0
1
x x dx
30
1
2 0
1
x x dx
31
1
3 2 0
1
x x dx
32
3
x dx
x
33
1
0
1
x x dx
34
2
3 1
1
1dx
x x
35 1
1 ln
e x
dx x
36 1
sin(ln )
e x
dx x
37 1
1 3ln ln
e x x
dx x
38
2ln 1 1
e e x
dx x
39
2 2
1 ln ln
e
e
x dx
x x
40
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx cos x
41
2
x dx x
42
1
x dx
x
43
1 0
1
x x dx
44
1
0
1
x x
45
1 0
1
x x
46
3
1
1
x dx x
1 ln
e x
dx x
47 1
sin(ln )
e x
dx x
48 1
1 3ln ln
e x x
dx x
49
2ln 1 1
e x
e dx x
50
2 2
1 ln ln
e
e
x dx
x x
51
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx cos x
52
1
0
5
Trang 453
2
4 0
sin 1 cos
54
4
2 0
4 x dx
55
4
2 0
4 x dx
56
1
2
0 1
dx x
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần :
b a
x d u x v x v x u x dx
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
cos
@ Dạng 2:
( )ln( )
f x ax dx
Đặt
ln( ) ( )
( )
dx du
dv f x dx
v f x dx
@ Dạng 3:
sin
e ax cosax ax dx
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
1 2
2
0( 1)
x
x e
dx
x
đặt
2
2
x
u x e
dx dv
x
b/
3 8
2( 1)
x dx
x
đặt
5
3
u x
x dx
dv
x
Trang 5c/
1 2
1
Tính I1
1 2
01
dx x
bằng phương pháp đổi biến số
Tính I2 =
1 2
2 2
0(1 )
x dx x
bằng phương pháp từng phần : đặt (1 2 2)
u x
x
x
Bài tập
1
3 3 1
ln
e
x dx x
2 1 ln
e
x xdx
3
1
2 0
x x dx
4
2 1 ln
e
x xdx
5
3 3 1
ln
e
x dx x
ln
e
x xdx
7
1
2 0
x x dx
8
2 1 ln
e
x xdx
9
2
0
10 1
1
e
x xdx x
11
2
2 1
ln( x x dx )
3
2
4
tan
x xdx
13
2
5 1
ln x
dx x
14
2
0
cos
x xdx
15
1
0
x
xe dx
2
0
cos
x
e xdx
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
Trang 61
5
3
1
2
dx x
x
x
b
a
dx b x a
( 1
1
0
3
1
1
dx x
x
x
4
dx x
x x
1 0 2
3
1 1
1
0
3
2
)
1
3
x
1 0
2
2( 3) )
2 (
1
dx x
x
7
2
1
2008
2008
) 1
(
1
dx x
x
x
8
0 1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
3
2
2
2
4
)
1
x
1 0 2
3 2
) 1
x
n n
2
1
2 4
2
) 2 3
(
3
dx x
x
x
x
2 1
4) 1 (
1
dx x x
13
2
0
2
4
1
dx
1 0 4
x
15
dx x
x
2
0
1
1 0
3
2) 1
x
4
2
2
3 2
1
dx x x
3 2 3
2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
19
2
1
4
2
1
1
dx
x
x
20
1 0 3
1
1
dx x
1
0
6
4 5
6
1
2
dx x
x x
x
22
1 0 2
4
1
2
dx x x
23
1
0
6
4
1
1
dx
x
x
24
1 2 0
4 11
x
dx
x x
25
1
2
dx
x x
26
Trang 739 40
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1
xdx
2
0
2 cos sin
2 0
3
2 cos sin
xdx x
3
dx x x
2
0
5
4 cos sin
2 0
3
3 cos ) (sin
dx x
2
0
4
(sin 2 cos
dx x x
x
2 0
2
2 sin cos cos ) sin
2 (
dx x x
x x
7
2
3
sin
1
dx x
2 0
4 4 10
(sin
dx x x x
x
9
2
0 2 cos
x
dx
10
2
0 2 sin 1
dx x
11
2
0
2
3
cos 1
sin
dx x
x
12
3 6
4 cos sin
dx
4
0
2
2 2sin cos cos sin
x x
x x
dx
14
2
01 cos cos
dx x x
15
2
0 2 cos
cos
dx x
x
16
2
0 2 sin sin
dx x x
17
2
0
3
cos 1
cos
dx x
x
2
0 sin cos 1
1
dx x x
19
2
3
2
) cos 1 (
cos
xdx
20
2 2
3 cos 2 sin
1 cos sin
dx x x
x x
21
4
0
3
xdx tg
22
dx x g
4 6
3
cot
Trang 823
3
4
4
xdx
tg
4
01 1
dx tgx
25
4
4 cos(
cos
x x
dx
2
0 4sin 5cos 5
6 cos 7 sin
dx x x
x x
2
0
sin
4
0 2sin 3cos 13
x x
dx
29
4
0
4
3
cos
1
sin
4
dx x
x
2
0 sin cos
2 sin 2 cos 1
dx x x
x x
31
2
01 cos
3
sin
dx x
x
32
2 4
sin 2 sin
dx
33
4
0
2
3
cos
sin
dx
x
x
2 0
3
2 ) sin 1 ( 2 sin
dx x x
35
0
sin
36
3 4
3
sin
sin sin
dx xtgx
x x
2
01 sin cos
x x
dx
2
0 2sin 1
x dx
39
2
4
5
3 sin
cos
xdx x
40
4 0
2
cos 1
4 sin
x xdx
2
0 5sin 3
x
dx
2
6 6
4 cos sin
dx
43
3
6 sin(
sin
x x
dx
4
3
4 cos(
sin
x x dx
Trang 945
3
4
6
2
cos
sin
xdx
46
dx x
6 (
3 6
3
0
3
) cos
(sin
sin
4
x x
xdx
48
0 2
2
) sin 2 (
2 sin
x
49
2
0
3
sin
dx
x
50
2 0
2cos
xdx x
2
0
1 2
2
sin
dx e
x x
52
dx e x
x x
2
01 cos
sin 1
53
4
6
2 cot
4 sin
3
sin
dx x g tgx
x x
2 0
2 5sin 6 sin
2 sin
x x
xdx
55
2
1
)
cos(ln dx x
56
3 6
2
cos
) ln(sin
dx x x
57
dx x x
2
0
2
cos
)
1
2
(
58
0
2
cos
x
59
4
0
2
xdx
xtg
60
0
2
e x
61
2
0
3 sin2 sin cos
xdx x
e x
4 0
) 1 ln(
dx tgx
4
0
2
) cos 2
(sin
x x
dx
2 0
2 ) cos 2 )(
sin 1 (
cos ) sin 1 (
dx x x
x x
65
2
2
sin 2 sin 7
66
2
0
Trang 1067
0
4sin
x
68
V TÍCH PHÂN HÀM Vễ TỶ:
b
a
dx x f x
R( , ( ))
Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x, a x
x a
) Đặt x = a cos2t, t ]
2
; 0
+) R(x, a 2 x2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t
+) R(x,
n
d cx
b ax
) Đặt t =
n
d cx
b ax
+) R(x, f(x)) = (axb) x2 x
1
Với (x2x
)’ = k(ax+b)
Khi đó đặt t = x2x
, hoặc đặt t = ax b
1
+) R(x, a 2 x2 ) Đặt x = a tgt, t [ 2;2]
+) R(x, x 2 a2 ) Đặt x = x
a
cos , t [0; ]\{2}
+) R n 1 n 2 n i
x ; x ; ; x
Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni)
Đặt x = tk
3
2
5 x x2 4
dx
2
2 3
2 x x2 1
dx
3
2
1
2
1(2x 3) 4x2 12x 5
dx
4
2
1 x x3 1
dx
Trang 115
2
1
x
6
2
1 x2 2008
dx
7
1
0
2
2 1 x dx
x
8
1 0
3
2) 1
9
3
1 2 2
2
1
1
dx x
x
x
10
2 2
0 1
1
dx x x
11
1
0 (1 x2)3
dx
12
2 2
0 (1 x2)3
dx
13
1
0
2
14
2 2
2
1 x
dx x
15
2
0 7 cos2
cos
x
xdx
2 0
2
cos cos
sin
dx x x
x
17
2
0 2 cos2
cos
x
xdx
18
2
0 1 3cos
sin 2 sin
dx x
x x
19
7
03 2
3
1 x
dx x
20
3 0
2
3 10 x dx x
21
1
0 2x 1
xdx
22
1
3
1
x x
dx x
23
7
2 2x 1 1
dx
24
dx x x
1 0
8
15 1 3
25
2
0
5
61 cos3 sin cos
xdx x
x
26
3 ln
0 e x 1
dx
27
1
11 x x2 1
dx
28
2 ln 0
2
1
x
x
e
dx e
29
1
4
5
2 8 4
30
e
dx x
x x
1
ln ln 3 1
31
3
3 5
x x
32
dx x x x
4 0
2
3 2
Trang 1233
0
1
3
x x
3 ln 2 ln
2
1 ln
ln
dx x x x
35
3
0
2
2
cos
3 2 cos
2 cos
dx x
tgx x
x
36
2 ln
0 ( x 1)3
x
e
dx e
37
3
0 2 cos2
cos
x
xdx
38
2
0 1 cos2 cos
x xdx
39
dx x
x
7
03 3
2
40
a
dx a x
2 0
2 2
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:
a
a
a
dx x f x f dx
x
f
0
)]
( ) ( [
)
(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- 2
3
; 2
] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x
2
cos
2
Tính:
2 3
2 3
) (
dx x f
+) Tính
1 1
2
4
1
sin
dx x
x x
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:
a
a
dx x
f( )
= 0.
Ví dụ: Tính:
1 1
2) 1
2 2
2) 1 ln(
cos
dx x x
x
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:
a
a
dx x
f( )
= 2
a
dx
x
f
0
)
(
Trang 13Ví dụ: Tính
1 1
2
x
dx x
2
2 2
cos
4 sin
x
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:
a
a
a
x dx f x dx
b
x
f
0
) ( 1
)
(
(1b>0, a)
Ví dụ: Tính:
3 3
2
2 1
1
dx
x
2 2
1
5 cos 3 sin sin
dx e
x x x
x
Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0; 2
], thì
2 0
2 0
) (cos )
(sin
dx x f x f
Ví dụ: Tính
2 0
2009 2009
2009
cos sin
sin
dx x x
x
2
sin
dx x x
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:
0 0
) (sin 2
)
xf
Ví dụ: Tính
01 sinx dx
x
0 2 cos
sin
dx x
x x
Bài toán 6:
b
a
b
a
dx x f dx x b a
b b
dx x f dx x b f
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính
0
2
cos 1
sin
dx x
x x
4 0
) 1 ln(
4 sin
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
a
a
dx x f dx x f
0
) ( )
(
T nT
dx x f n dx x f
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính
2008 0
2 cos
Các bài tập áp dụng:
1
1
1
2
2 1
1
dx
x
x
2
4 4
4
3 5 7
cos
1
dx x
x x x x
Trang 143
1
1
2) 1 )(
1
dx
x
4
2 2
2
sin 4
cos
dx x
x x
5
2
1
2
1
) 1
1 ln(
2
x
x x
6.
dx nx)
x sin(sin
2 0
7
2
2
5
cos 1 sin
dx x
x
8
1 ) 1 ( 1
cot
ga
e
tga
e
x x
dx x
xdx
(tga>0)
VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1
3
3
2 1dx
x
2
2 0
2 4x 3dx x
3
2
0
2 x dx
1 0
dx m x x
4
2 2
sin
dx x
5
dx x
sin 1
6
3 6
2
dx x g x
tg
7
4
3
4
2 sin
dx x
8
2 0
cos
9
5
2
) 2 2
10
3 0
4
11
3
2
3
cos cos
cos
dx x x
x
12