TOÁN CAO CẤP - PHẦN II. VI TÍCH PHÂN

Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x  X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x)  Y theo qui tắc f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Đơn ánh: x1, x2  X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2) Toàn ánh: Với mỗi y  Y, x  X: y = f(x) Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh Nếu f: XY là song ánh thì f-1: YX là ánh xạ ngược của f

PHẦN II VI TÍCH PHÂN

Chương 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

chương 3 HÀM NHIỀU BIẾN

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN

Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ Nếu x 

X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x)  Y theo qui tắc

f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y

Ký hiệu:

)x(fy

x

YX

• Toàn ánh: Với mỗi y  Y, x  X: y = f(x)

• Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định nghĩa hàm số: Với X  R, ta gọi ánh xạ f:XY là

một hàm số một biến Ký hiệu là y = f(x)

x: biến độc lậpy: biến phụ thuộc

Tập X: miền xác địnhTập f(X) = {f(x): x  X}: miền giá trị của f

Ví dụ: Tìm miền xác định, giá trị: y = 2x2 - 4x + 6

)x(

f)

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Hàm số hợp : Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u,

đồng thời u = g(x) là hàm số của biến x Khi đó

g  f sinx h ex

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Hàm số tuần hoàn : Cho hàm số f có miền xác định X

Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: T ≠ 0:

f(x+T) = f(x),  x  X

Số T0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu

kỳ cơ sở của hàm số f

Ví dụ : Hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos(x) tuần hoàn với

chu kỳ cơ sở là T0 = 2 Hàm số f(x) = tg(x), g(x) = cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0=

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Hàm số chẵn, lẻ : f có miền xác định X, với x, -x  X.

• f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x  X

• f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x  X

Ví dụ: Hàm số f(x) = cosx + x- x2 là Hàm số chẵn

)1x

xlg(

)x(

•  là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = x tại mọi x  0 nếu

 > 0 và tại mọi x > 0 nếu  < 0

2 PHÂN LOẠI HÀM SỐ

Đồ thị của y = x luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ (0,0) nếu  > 0, không đi qua góc toạ độ nếu

 < 0

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

3 Hàm số logarit: y = logax, a > 0, a ≠ 1

• Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0

• Hàm số logax tăng khi a > 1

• Hàm số logax giảm khi a < 1

• Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị

• Hàm số y = logax là hàm số ngược của số y = ax

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

)x(Log)

x(Log

)x

x(

a

b 

aLog

b

Logb

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

4 Hàm số lượng giác:

• y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2

• y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2

• y = tgx, mxđ  x ≠ (2k+1)/2, hàm lẻ, chu kỳ 

• y = cotgx, mxđ  x ≠ k, k  Z, hàm lẻ, chu kỳ 

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

5 Hàm số lượng giác ngược:

• Hàm số y = arcsinx: Miền xác định [-1,1], miền giá trị [-/2,/2] và là một hàm số tăng

• Hàm số y = arccosx: Miền xác định [-1,1] và miền giá trị [0,]

• Hàm số y = arctgx: Miền xác định R và miền giá trị

(-/2,/2) và là hàm số tăng

• Hàm số y = arccotgx: Miền xác định R và miền giá trị (0,) là hàm số giảm

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định nghĩa : Các hàm số hằng số, hàm số luỹ thừa, hàm

số mũ, hàm số logarit, hàm số lượng giác và các hàm số

ngược được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản.

3)

xsin(

2log

)x(

f

2

2 3

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

3 GIỚI HẠN HÀM SỐ

1 Giới hạn hữu hạn của hàm số:

Định nghĩa lân cận:

• x thuộc lân cận của x0   > 0: x-x0 < 

• x thuộc lân cận của +  A: x > A

• x thuộc lân cận của -  B: x < B

Mở rộng thêm:

• x thuộc lân cận của x0 và x ≠ x0   > 0: 0 <x-x0<

• x thuộc lân cận phải của x và x > x  x < x < x + 

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định nghĩa giới hạn: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng mở chứa x0 (riêng tại x0, f(x) có thể không tồn tại) Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x

x0, nếu  > 0 cho trước,  > 0:

0 < x – x0 <   f(x) – L <  Ký hiệu:

L)

x(f

1x

2(

lim

3

21

x

1

xlim 2

1





C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

L)

x(f

x(f

lim

0

0 , x x x

x(f

x(f

lim

0

0 , x x x

x







Định nghĩa giới hạn một bên:

• Giới hạn bên phải:  > 0,  > 0: x0 < x < x0 +   f(x) – L < 

• Giới hạn bên trái:  > 0,  > 0: x0 -  < x < x0  f(x) – L < 



L)

x(f

1

-0 x

khi

x)

x(f

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định lý: Nếu f là hàm số sơ cấp xác định trong lân cận của điểm x0 thì: lim f(x) f(x )

0 x

Định nghĩa giới hạn lân cận :

L)

x(f

lim

x   

nếu  > 0, N > 0 đủ lớn: x > N  f(x) - L < 

L)

x(f

lim

x   

nếu  > 0, N < 0 đủ nhỏ: x < N  f(x) - L < 

Ví dụ, chứng minh rằng lim 1 0

0

x x

lim

0

x x

N < 0 nhỏ tuỳ ý,  > 0: 0 < x – x0<   f(x) < N

Ví dụ : chứng minh x a(x a)2 

1lim

Ghi chú: Nếu gặp các dạng vô định 0/0, 0.,  - , 1

thì phải biến đổi để khử chúng

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Ví dụ : Tìm

1x

x3

x

sinlim

)

x  2  

1x

1

xlim

8

xlim

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định lý: Giả sử g(x)  f(x)  h(x) đối với mọi x thuộc

lân cận của x0 Nếu

x(hlim)

x(g

lim

0

x x

L)

x(f

lim 22

x

Ví dụ: Tìm

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

1x

11

)x1

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Ví dụ: Chứng minh:

1x

tgxlim

0

1x

x

arcsinlim

0

1x

arctgxlim

2

xlim

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình:

• Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, f(x) là VCB bậc cao hơn g(x)

• Nếu lim[f(x)/g(x)] = , f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x)

• Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc

• Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, f(x), g(x) là hai VCB tương

đương Ký hiệu f(x)~g(x)

• Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai

xarctgx

arcsinx

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định nghĩa: Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình:

• Nếu lim[F(x)/G(x)] = , F(x) là VCL bậc cao hơn G(x)

• Nếu lim[F(x)/G(x)] = 0, F(x) là VCL bậc thấp hơn G(x)

• Nếu lim[F(x)/G(x)] = A (A ≠ 0, A ≠ ), ta nói F(x), G(x)

là hai VCL cùng bậc

• Nếu lim[F(x)/G(x)] = 1, F(x), G(x) là hai VCL tương

đương Ký hiệu F(x)~G(x)

Ví dụ: Tìm

x6

xx

12

x6x

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

3 HÀM SỐ LIÊN TỤC

Định nghĩa: Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu:

)x(f)

x(f

x(f

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0

nếu nó không liên tục tại x0 Vậy x0 là điểm gián đoạn

của hàm số f(x) nếu:

- Hoặc f(x) không xác định tại x0

- Hoặc f(x) xác định tại x0 nhưng lim f(x) ≠ f(x0) khi x  x0

- Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x  x0

0 x

khi1

x)

x(f

x

1)

x(

C1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ

Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x0 thì các hàm số sau cũng liên tục tại x0: kf (k hằng số), f+g, fg, g/f (g(x0)≠0)

Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u0 và f liên tục tại u0 thì Lim f[u(x)] = f[lim u(x)] = f(u0)

Định lý: Nếu f liên tục trên (a,b) và f(a)f(b) < 0 thì x0  (a,b): f(x0) = 0

Định lý: Nếu f liên tục trên [a,b] thì f đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a,b]