Nguyên hàm các hàm hữu tỉ với đa thức bậc cao a.. Tìm các nguyên hàm bằng phương pháp từng phần a... Tích phân cơ bản a.. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến a.. Tính tích phân bằng
Trang 1Phần A NGUYÊN HÀM
Bài 1 Nguyên hàm cơ bản
1 dx (4 3x)
(2x 1)
f 3 dx
1 2x
12 dx (3x 4)
h e7 6x dx
i
3x 2
2x 3
2 3e
dx
e
Bài 2 Nguyên hàm các hàm hữu tỉ có mẫu là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai
x 2
2
dx
x 2
25 4x
4 dx
2x 1
dx
x 5
dx
2 2
dx
2 2
8x
dx
3 dx
x 4x 7
2 2
dx
3 2
x dx
x x 1
Bài 3 Nguyên hàm các hàm hữu tỉ với đa thức bậc cao
a 3dx
b 4 42 dx
c 4 2x2 dx
3
4 2
2x
dx
2
dx
x(x 1)
16 dx x(1 x )
g 2xdx4
2 3
dx
Bài 4 Tìm các nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
3 (log x) dx x
e 22 sin( )dx1
3
ln x
dx x(ln x 1)
i (cos x sin x)dx2
(sin x cos x)
2x x
2e dx
1 e
ℓ
x x
x x
dx
cos x
1 2
dx
x ln x
2 2
dx
Bài 5 Tìm các nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
x
5
6 3
x dx
3
1 x dx x
e x (1 x) dx2 5 f dx
2 sin x
i sin 2xdx2
1 3cos x
5
3 2
x dx (1 x )
1 cos x
Bài 6 Tìm các nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
a (2x 3)e dxx 1
e xe dxx
cos x
Trang 2i 2ln(x x24)dx j x ln1 x1 x dx k x sin 2xdx2 ℓ x e dx3 x2
2 2
dx
1 x
q
2
2
ln x
dx
x
sin x sin x
2 2
1 2x
dx
1 x
Bài 7 Tìm hàm số f(x) biết f′(x) = 2sin x – 3cos x và f(π/2) = 0
Bài 8 Tìm hàm số f(x) biết f′(x) = x + 1/x² và f(–1) = 1/2
Bài 9 Tìm hàm số f(x) thỏa mãn f″(x) = 12x² + 6x – 4; f(0) = 4; f(1) = 1
Bài 10 Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = x sin x biết F(0) = 0
Bài 11 Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = x3x2 biết F(0) = 18
Bài 12 Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) = 1 – 2/x + m/x² biết rằng F(x) đạt cực trị tại x = 2 và F(2) = 3
Phần B TÍCH PHÂN
Bài 1 Tích phân cơ bản
a
1
2
0
1
x 0
1
x 1
3
0
1
5
3 0
1 dx (x 4)
e
π/2
2
0
(2sin x sin 2x)dx
π/2
0
sin 2x cos xdx
π/4
2 0
sin 2x sin xdx
π/4 2 0
cos 2xdx
i
2
3
1
( x 1 2x)dx
1
2 0
x(2x 1) dx
2
2 2 1
2
x
1 2x 1 x 0
m
π/12
2
0
1
dx cos 3x
1 x 2
x 1 0
dx
e
2 2 2 3 1
(3 2x )
dx x
π/2
2 0
x
2
Bài 2 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến
a
2
2
0
1
4 0
x(2x 1) dx
3 2 0
x dx
π/2 4 0
sin x cos xdx
e
3 2
0
4 x
dx
x
π/3
0
dx cos x
ln 2 2x x 0
π/3
3 π/4
1 dx sin x cos x
i
π/2
0
1
dx
1 sin x
4 3 0
1
5 3 1
1
3 2 0
14x dx
m
3
e
1
1 ln x ln x
dx x
π/6
3 0
(cos x cos x)dx
π/2
0
2 2cos xdx
64
3 1
1 dx
Bài 3 Tính tích phân bằng phương pháp đặt hàm lượng giác
a
4
2
0
16 x dx
3
2 0
1 dx
4 x
1 2 0
dx
3 x
1
2 0
e
1
2 2
0
3
2 2 0
1 dx
3
0
2 x dx
2 x
4
2 3 0
1 dx (16 x )
i
2
2
1
1
dx
x 2x 2
4
2 3
dx
5 6x x
3 2 2
dx
x 4x 5
π
2 0
x sin x
dx
1 cos x
Bài 4 Tính các tích phân bằng phương pháp từng phần
a
1
x
0
(x 1)e dx
1
2 0
x ln(x 1)dx
π/2
0
x sin 2xdx
e 2 1
ln x dx x
e
1
2
0
x ln(x 1)dx
π/2 2x 0
e cos xdx
π/2 2 0
x sin 2xdx
2
e
0
( x ln x)dx
Trang 3i
1
0
ln(2x 1)dx
3
2
x 1
x 1
2
x 1
1 x ln x
e dx x
π/3
2 π/6
ln(sin x)
dx cos x
m
1 x
2
0
xe
dx
(x 1)
1
x 1/ x 1/2
1
x
Bài 5 Tính các tích phân
a
1
x 0
1 2 0
ln (x 1)dx
π/4
2 0
x tan xdx
π/4
0
x dx
1 cos 2x
e
1 2
x
0
x
dx
e
0
2
3x ln(4 2x x )dx
1 2
2 0
x dx
1 x
1
2 2 0
Bài 6 Tính các tích phân
1
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
π/3 4 π/6
dx sin x cos x
π/2
0
1 cos x
dx
1 cos x
π 2
2 2 0
sin x cos xdx
5
π
4
4
0
dx
cos x
π 4 4 0
cos xdx
π 2 3 0
sin xdx
π/2
3 0
sin 2x 1 sin xdx
π/2
sin x
π/4
π/2 3
0
cos x
dx cos x 1
11
π/2 4 π/4
1 dx sin x
12
2
2 2 1
13
π
2
4 4 0
cos 2x(sin x cos x)dx
π 3 2
0
4sin x
dx
1 cos x
15
1
3 2 0
16
1
5 2 0
17
1
0
x
dx 2x 1
π 4 3 0
tan xdx
19
2 2x x 0
e dx
6 2
2 3
dx
21
e
2
1
ln x
dx x(ln x 1)
22
2 3 0
x 1 dx 3x 2
23
2
3 2 0
(x 3) x 6x 8dx
1
2 2 3
dx
25
4
2 2
dx
x 16 x
26
1
0
1 dx
3 2x
27
π 3
0
dx cos x
28
e 3 2
1
ln x 2 ln x
dx x
ln 2 x
x 0
1 e dx
1 e
31
e 2
1
ln xdx x
ln 3 x 0
1 dx
e 1
33
3
0
3 x dx
x 1
34
2 3
2
5
dx
35
3 2 2 1
dx x
36
2
3 1
dx
x 1 x
37
1
2 3 0
(1 x ) dx
38
π
2
0
sin 2x
dx
1 cos x
39
1
2 1
1
dx
40
π 2
3 3 0
( cos x sin x )dx
41
π
2
0
sin x
dx sin x cos x
ln 5 2x x
ln 2
e dx
e 1
3 7
4 8 2
x
dx
1 2x x
π 2
0
sin x sin 3xdx
45
2
0
x
dx
2 x 2 x
1 2 0
ln(1 x)
dx
47
π
e
1
cos(ln x)dx
48
1 3 0
49
2
1
x
dx
1 x 1
3 2 2
51
4
1
dx
x 5 4
52
1
2 0
ln(1 x)
dx
1 x
53
2
π /4
0
sin xdx
8 3
1
x 1 dx x
55
3 2 2
1 dx
56
π/6
2 0
x cos xdx
Trang 457
1
2 x
1
1
dx
58
π
2 0
x sin x
dx
1 cos x
59
π /4
0
x cos xdx
60
1 4 x 1
x dx
1 2
61
π
2x 2
0
e sin xdx
62
π/2
π/2
dx 2cos x sin x 3
63
e
2 1/e
ln x dx (x 1)
64
π/2 4 4
0
sin x cos x
dx sin x cos x 1
65
π/2
0
(sin x 1) cos x
dx sin x 2
1 3
2 3 0
x dx (x 1)
67
4
2 1
(x 1) ln xdx
68
1
0
dx
69
π/2
0
sin x
dx cos x sin x
π
0
1 dx
2 cos 2x
71
1 3
2 0
x
dx
x 1 x
72
1 2 x
2 0
x e dx (x 2)
73
3
6 2
1
dx
x (1 x )
74
π 2 2 0
sin x
dx cos x 3
75
π 2
4 0
sin 2x
dx
1 cos x
76
π 2 x π
sin x dx
77
4
2
1
dx
x (x 1)
78
0
2 π
2
sin 2xdx (2 sin x)
79
1 3 0
4x dx (x 1)
80
π/3
0
sin x tan xdx
81
2
2 2
0
dx
(4 x )
82
π/3
2 2 π/3
dx sin x 9cos x
83
1 2 0
(3x 4x 1) ln(x 1)dx
84
π/2
0
1 sin x
dx
1 3cos x
85
π/2
0
cos x
dx sin x cos x 1
π/6 3
0
sin x
dx
1 cos 2x
87
3
2 1
dx 4x x
88
2 5
5
1
1 x
dx x(1 x )
89
1 2 2 0
x dx
90
π/2 4
4 4 0
cos x
dx cos x sin x