CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM 1... Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:1[r]
Trang 1CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM
1 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
1/ ( )c '=0
(c là hằng số) 2/ ( )x 'm =mxm 1
-3/ (sin x ') =cosx 4/ (cosx ') = - sinx
5/ ( ) 2
1 tanx '
cos x
=
1 cot x '
sin x
=
-7/ ( )a 'x =a lnax
8/ ( )e 'x =ex
9/ (lnx ') 1
x
=
2 Các nguyên hàm cơ bản:
n 1
n 1
+
-+
ò
ax b+ = a + +
ò
a
lna
ò
( )6 òsinxdx= - cosx c+ ( )6' sin ax b dx( ) 1cos ax b( ) c
a
ò ( )7 òcosxdx=sinx c+ ( )7' cos ax b dx( ) 1sin ax b( ) c
a
ò
dx
cos x = +
dx
sin x = - +
ò ( )10 òtanxdx= - ln cosx +c ( )10' òcot xdx=ln sinx +c
2 x 1
x 1
+
2a x a
x a
+
-ò
2
dx
ò
ò
ò
3 Tính chất:
1 ( ) ( )
2 ( ) ( ) ( ) ( )
kf x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
AD: Tìm nguyên hàm của các hàm số bằng định nghĩa.
Trang 21 f(x) = x2 – 3x + 1
x ĐS F(x) = x
3
3 −
3 x2
2 +ln x +C
2 f(x) = 2 x
4+3
x2 ĐS F(x) = 2 x
3
3 −
3
x+C
3 f(x) = x −1
x2 ĐS F(x) = lnx +
1
x + C
4 f(x) = ¿ ¿ ĐS F(x) = x
3
3 − 2 x +
1
x+C
5 f(x) = √x+√3x +√4 x ĐS F(x) = 2 x
3 2
3 +
3 x
4 3
4 +
4 x
5 4
5 +C
6 f(x) = 1
√x −
2
3
√x ĐS F(x) = 2√x −3√3 x2+C
7 f(x) = ¿ ¿ ĐS F(x) = x − 4√x +ln x+C
8 f(x) = x −13
√x ĐS F(x) = x53− x
2 3
+C
9 f(x) = 2 sin22x ĐS F(x) = x – sinx + C
10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C
11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = 12x+1
4sin2 x +C
12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13 f(x) = 1
sin2x cos2x ĐS F(x) = tanx - cotx + C
14 f(x) = cos 2 x
sin2x cos2x ĐS F(x) = - cotx – tanx + C
15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = −1
3cos3 x +C
16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = −1
5cos5 x −cos x +C
17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = 1
2e
2 x
− e x+C
18 f(x) = ex(2 + e
− x
cos2x ¿ ĐS F(x) = 2e
x + tanx + C
19 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = 1
3e
3 x+ 1
+C
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS f(x) = x2 + x + 3
2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 2 x − x3
3 +1
3 f’(x) = 4√x − x và f(4) = 0 ĐS f(x) = 8 x√x
3 −
x2
2 −
40 3
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = f [u(x )] u '(x )dx bằng cách đặt t = u(x)
1 Đặt t = u(x)⇒dt=u '(x )dx
2 I =
Trang 3f [u(x )] u '(x )dx=f (t )dt
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 (5 x −1)dx 2 dx¿ ¿¿ 3 √5 −2 x dx 4 dx
√2 x −1
5 ¿ ¿ 6 ¿ ¿ 7 √x2
+1 xdx 8 x2x
+5dx
9 3 x
2
√5+2 x3dx 10 dx
√x¿ ¿¿ 11 ln
3
x
x dx 12 x e x2
+1dx
13 sin4x cos xdx 14 sin xcos5x dx 15 cot gxdx 16 costgxdx2x
17 sin xdx 18 cos xdx 19 tgxdx 20 e√
x
√xdx
21 e
x
dx
√e x − 3 22 e
tgx
cos2x dx 23 √1 − x2 dx 24 dx
√4 − x2
25 x2
√1 − x2 dx 26 dx1+x2 27 x
2dx
√1− x2 28 dxx2
+x +1
29 cos3x sin2xdx 30 x√x −1 dx 31 dxe x+1 32 x3
√x2+1 dx
2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u (x) v ' (x)dx=u(x ) v (x )−v (x ) u '(x )dx
Hay:
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 x sin xdx 2 x cos xdx 3 (x2+5)sin xdx 4
(x2+2 x +3)cos xdx
5 x sin 2 xdx 6 x cos2 xdx 7 x e xdx 8 ln xdx
9 x ln xdx 10 ln2x dx 11 ln xdx
√x 12 e√xdx
13 x
cos2x dx 14 xtg2xdx 15 sin√x dx 16 ln(x2
+1)dx
17 e x cos xdx 18 x3e x2
dx 19 x ln(1+x2
)dx 20 2xxdx
21 x lg xdx 22 2 x ln(1+x)dx 23 ln(1+x) x2 dx 24 x2cos2 xdx
TÍCH PHÂN
1 Định nghĩa:
Cho hàm số f x( )
lên tục trên đoạn é ùê úa,b
, F x( )
là một nguyên hàm của f x( )
Tích phân của
( )
f x
trên đoạn é ùê úa,b
là một số thực Kí hiệu:
( )
b a
f x dx
ò
và được xác định bởi :
udv=uv −vdu
Trang 4( ) ( ) ( )
b a
f x dx=F b - F a
ò
Người ta thường dùng kí hiệu ( ) b
a
F x
ë û (hoặc ( )b
a
F x
) để chỉ F b( )- F a( )
Khi đó:
b
b a a
f x dx= êéëF x ùúû
ò
2 Các phương pháp tính tích phân:
a Dùng định nghĩa: Sử dụng công thức
b
b a a
f x dx= êéëF x ùúû
ò
b Phương pháp đổi biến.
Tính I = a b f u x u x dx[ ( )] '( )
bằng cách đặt u = u(x)
1 Đặt u = u(x) du u x dx '( )
2 Đổi cận:
x a b
u u(a) u(b)
3 I = a b f u x u x dx[ ( )] '( ) u a u b f u du
c Dùng công thức tích phân từng phần:
Ta kí hiệu: du=u'dx ; dv=v'dx
b a
udv=é ùê úuv - vdu
*Chú ý: Kí hiệu P x( )
là đa thức của x thì :
+ Nếu gặp
( )
x
sinx
P x cosx dx
e
ò
thì đặt u=P x( )
+ Nếu gặp òP x ln x dx( ) ( ) thì đặt u=lnx
Bài 1 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
1
3
0
(x x 1)dx
2
2 2 1
1 1
e
3
2
1
1
x dx
Trang 5
4
2
3
(2sinx 3cosx x dx)
5
1
0
(e xx dx)
6
1 3 0
(x x x dx)
7
2
1
( x1)(x x1)dx
8
2
3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
9
1
2
0
(e xx 1)dx
10
2
1
(x x x x dx)
11
2
1
( x1)(x x1)dx
12
3 3 1
x 1 dx ( ).
13 2
2
2
-1
x.dx
x
14
2
e
1
7x 2 x 5
dx x
15 x 2
5
2
dx
x 2
16
2
2
1
x 1 dx
x x x
( ).
ln
17
2 3 3 6
x dx x
cos sin
18
4 2 0
tgx dx x
cos
19
1 x x
0
e e
e e dx
20
0
e dx
e e
.
21
2
2 1
dx 4x 8x
22
3
0
dx
e e
ln
.
22
2
0
dx
1 sin x
24
−1
1
(2 x2+x+1)dx
25
0
2
(2 x3− x −2
3)dx 26
−2
2
−3
4
(x2− 4)dx
28.
1
2
(x12+ 1
x3)dx 29
1
2
x2− 2 x
x3 dx 30
1
e
1
√e
dx
x
31
1
16
1
e2
2√x +5 −7 x
x dx 33
1
8
(4 x − 1
3√3x2)dx
Trang 6BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN:
1
2
3
sin xcos xdx
2
2
3
sin xcos xdx
3
2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
3
4
0
tgxdx
4
4
6
cot gxdx
5
6
0
1 4sin xcosxdx
6
1
2
0
1
x x dx
7
1
2
0
1
x x dx
8
1
0
1
9
3
x
dx
x
10
1
0
1
11
2
3
1
1
1dx
x x
12
1
2
0
1
1x dx
13
1
2
1
1
2 2dx
14
1
2 0
1
1dx
x
15
1
2 2 0
1 (1 3 ) x dx
16
2 sin
4
x
e cosxdx
17
2
4
sin
cosx
18
2
1 2 0
x
e xdx
19
2
3
sin xcos xdx
20
2 sin
4
x
e cosxdx
21
2
4
sin
cosx
22
2
1 2
0
x
e xdx
23
2
3
sin xcos xdx
24
2
3
sin xcos xdx
25
2
0
sin
1 3
x dx cosx
26
4
0
tgxdx
27
4
6
cot gxdx
28
6
0
1 4sin xcosxdx
29
1 2 0
1
x x dx
30
1
2
0
1
x x dx
31
1
0
1
32
3
x dx
x
33
1
0
1
34
2
3 1
1
1dx
x x
35 1
1 ln
e x
dx x
36 1
sin(ln )
e x
dx x
37 1
1 3ln ln
e x x
dx x
38
2ln 1
1
e e x
dx x
39
2
2
1 ln ln
e
e
x dx
40
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx
41
2
x dx x
Trang 742
1
x
dx
x
43
1
0
1
x x dx
44
1
0
1
1 dx
45
1
0
1
1 dx
46
3
1
1
x
dx
x
47 1
1 ln
e
x
dx x
48 1
sin(ln )
e
x
dx x
49 1
1 3ln ln
e
dx x
50
2ln 1
1
e x
e
dx
x
51
2
2
1 ln
ln
e
e
x
dx
52
1
2 3
0
5
53
2
4
0
sin 1 cos
54
4
2
0
55
4
2
0
56
1
2
0 1
dx
x
57
−1
0
e 2 x+3dx
58 0
1
e − xdx
59
1
3 0
x dx (2x 1)
60
1
0
x dx 2x 1
61
1
0
x 1 xdx
62
1 2 0
4x 11 dx
x 5x 6
63
1 2 0
2x 5 dx
x 4x 4
64
2 0
x dx
x 2x 1
65
6
0
(sin x cos x)dx
66
3 2
0
4sin x dx
1 cosx
67
4 2 0
1 sin 2xdx cos x
68
2 4
0
cos 2xdx
69
2
6
1 sin 2x cos2xdx sin x cosx
70
1 x 0
1 dx
e 1
71 0
π
4
(cos4x −sin4x¿)dx¿
72 0
π
4
cos 2 x 1+2 sin2 xdx
73 0
π
2
sin 3 x
2 cos3 x+1dx
74 0
π
2
cos x
5 −2 sin xdx
75
75.
−2
0
2 x+2
x2+2 x −3dx
76
−1
1
dx
x2+2 x +5
77
2
0
cos xsin xdx
78
2 5
0
cos xdx
79
4
2 0
sin 4x dx
1 cos x
80
1
0
x 1 x dx
81
2
0
sin 2x(1 sin x) dx
82
4 4 0
1 dx cos x
83
e
1
1 ln xdx x
84
4
0
1 dx cosx
85
1
1 ln xdx x
86
1
0
x (1 x ) dx
Trang 8
87
6
2 0
cosx dx
6 5sin x sin x
88
0
tg x dx
cos2x
89
4
0
cos sin
3 sin 2
x
90
0
π
2
sin 2 x
√cos2x+4 sin2xdx
91
ln 3
ln 5
dx
e x+2 e− x − 3
92
0
π
2
sin 2 x
¿¿ ¿
93
π
4
π
3
ln(tgx)
sin 2 x dx
94
0
π
4
(1− tg8x)dx
95
π
4
π
2
sin x −cos x
√1+ sin2 x dx
96
0
π
2
sin 2 x+sin x
√1+3 cos x dx
97
0
π
2
sin 2 x cos x
1+cos x dx
98
0
π
2
(e sin x+cos x)cos xdx
99 1
2
x
1+√x −1dx
100 1
e
√1+3 ln x ln x
x dx
101 0
π
4
1− 2 sin2x
1+sin 2 x dx
102
1
2 0
1 x dx
103
1 2 0
1 dx
1 x
104
1
2 0
1 dx
4 x
105
1 2 0
1 dx
x x 1
106
1
0
x dx
x x 1
107
2
0
1
1 cosx sinx dx
108
2 2 2
2 0
x dx
1 x
109
2
1
x 4 x dx
110
2 3
2 2
1 dx
x x 1
101
2 1
9 3x dx x
112
1
5 0
1 (1 x dx)
x
113
2
2 2 3
1
1dx
x x
114
2
0
cos
7 cos2
x
115
6 0
1
1 x dx x
116 0 2
cos
1 cos
x
117
−1
0
dx
x2+2 x+ 2 upload.123doc.net
0
1
dx 1+√1+3 x
119 1
2
x√x − 1
x − 5 dx 120.
8
2 3
1
1dx
x x
121
x
122
3
0
1
123
ln2
x 0
1 dx
e 2
124
7 3
3 0
1
3 1
x
125
2
0
1
126
√ 5
2 √ 3
dx
x√x2+4
Trang 9Bài 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
1
3
3
1
ln
e
x
dx
x
2 1
ln
e
3
1
2
0
4
2
1
ln
e
5
3
3
1
ln
e
x
dx
x
6 1
ln
e
7
1
2
0
8
2
1
ln
e
9
2
0
( x c osx)sinx dx
10 1
1
e
x
11
2
2
1
ln( x x dx )
12
3
2
4
tan
13
2
3
ln(x2− x )dx
14
2
0
cos
15
1
0
x
xe dx
16 0
π
2
(x+cos3x)sin xdx
17 0
1
x e 3 xdx
18 0
π
2
(x − 1)cos xdx
19 0
π
6
(2 − x)sin 3 xdx
20 0
π
2
x sin 2 xdx
21 1
e
x ln xdx
22 1
e
(1− x2) ln x dx
23 1
3
4 x ln x dx
24 0
1
x ln(3+x2) dx
25 1
2
(x2+1).ex dx
26 0
π
x cos x dx 27.
0
π
2
x2.cos x dx
28 0
π
2
(x2
+2 x) sin x dx
29 0
2
(2 x +7)ln(x +1)dx
30
2 2
0
x cos xdx
31
1 x 0
e sin xdx
32
2
0
sin xdx
33
e 2
1
x ln xdx
34
3 2 0
x sin xdx cos x
35
2 0
xsin x cos xdx
36
4
2 0
x(2 cos x 1)dx
37
2 2 1
ln(1 x)dx x
38
1
2 2x
0
(x 1) e dx
39
e
2 1
(x ln x) dx
40
2
0
cosx.ln(1 cosx)dx
41
2 1
ln ( 1)
e
e
x dx
x
42
1 2 0
xtg xdx
43 0
1
(x − 2)e 2 xdx
44 0
1
x ln(1+x2
)dx
45 1
e
ln x
√x dx