Các dạng bài tập tích phân

Tài liệu tham khảo các dạng bài tập liên quan đến các vấn đề trong tích phân. Đây là các dạng bài tập tích phân được trình bày theo hình thức tiếng Anh.

Chapter 5e Integral of Irrational Function

8/

dxI

2

2

bx

 

c

b a

dtt

     

2 2

dtt

2 3

2

2

bx

2

2 2

b 2a

2a

bx

2

2 2

ma

 

3 n

 with m, n, p is rational number The Russian mathematicant Trebushep

prove that the upper integral only can be expressed in elementary function in 3 follow cases:1/ p is an interger, when that, put x t with s is the least common multiple of m, n.s

*

 

1

n n

3 2

2

2 2

2

arctan 2 arctan 2

We have the follow figure:

We have: x cos     sin   arcsin x

I dx put x a.cos 2t dx 2a.sin2t.dt t arccos

x a a cos 2t 1 a 1 2sin t 1 2a.sin t

x a a 1 cos 2t a 1 2cos t 1 2a.cos t

I 2a sin2t.dt 2a 2sin t.cos t.dt

cos t2a.cos t

a x

put x a.cos 2t dx 2a.sin2t.dt t arccos

a x a 1 cos 2t a 1 1 2sin t 2a.sin t

a x a 1 cos 2t a 1 2cos t 1 2a.cos t

I 2a sin2t.dt 2a 2sin t.cos t.dt

cos t2a.cos t

1 cos 2t4a sin t.dt 4a dt 2a dt 2a cos 2t.dt

2a.x b b 4ac 2a.x b b 4ac

2 b 4ac 2a.x b b 4ac 2 b 4ac 2a.x b b 4ac

Check the solution :

2 2 2

x

bx

2

2 2

12a.x b b 4ac2a

b 4ac

2dx2a.x b b 4ac

ax bx c

.ln

2 2

ax n 1 bx.dx

ax b a n 1 n 2 ax b

ax n 1 bx.dx

n m 0

m m m

ax b

b ax b ln ax b b a ax b dx b ax b ln ax b abxI

ax ba

1 3

2 0

I a sin t a 1 sin t a cos t.dt a sin t.cos t.dt sin 2t dt

a 1 sin t a cos t.dt cos t.dt

 

2 2

2n 2 i

i 0 2n 2

 

 

2

2 2

1 3

1a

1

cos tx

3 2

acos t

1a

1

cos t

xsin 3arctan

2n 1

2k 1 k

 

2 3

       

n 1 2 2n 2

1 cos t d cos tsin t d cos t

C 1 cos t.d cos t1

k k

2k 1a

I b a sin t b a b a sin t 2 b a sin t.cos t.dt

2 b a sin t b a cos t b a sin t.cos t.dt

b asin 2t

put x a b a sin t dx 2 b a sin t.cos t.dt

x a b a sin t 0 sin t 0 t 0 x b sin t 1 t

b 2x a1

4

I b a sin t b a b a sin t 2 b a sin t.cos t.dt

2 b a sin t b a cos t b a sin t.cos t.dt

b asin 2t

7 0

* I x a b x dx put x a b a sin t dx 2 b a sin t.cos t.dt