NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tài liệu: Võ An ThưCÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM 1... NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tài liệu: Võ An Thư AD: Tìm nguyên hàm của các hàm số bằng định nghĩa... NGUY
Trang 1NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tài liệu: Võ An Thư
CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM
1 Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
1/ ( )c '= (c là hằng số)0 2/ ( )x 'm =mxm 1 - 3/ (sinx ') =cosx 4/ (cosx ') = - sinx 5/ ( ) 2
1 tanx '
cos x
1 cot x '
sin x
= -7/ ( )a 'x =a lnax 8/ ( )e 'x =ex 9/ (lnx ') 1
x
=
2 Các nguyên hàm cơ bản:
n 1
+
-+
ò ( )3 dx ln x c
ò ( )4 òe dxx =ex+c ( ) ax b 1 ax b
a
lna
ò
( )6 òsinxdx= - cosx c+ ( )6' sin ax b dx( ) 1cos ax b( ) c
a
ò ( )7 òcosxdx=sinx c+ ( )7' cos ax b dx( ) 1sin ax b( ) c
a
ò
dx
dx
ò ( )10 òtanxdx= - ln cosx +c ( )10' òcot xdx=ln sinx +c
+
+
-ò
2
dx
ò
( )13 x2 1dx x x2 1 1ln x x2 1 c
ò
( )14 x2 kdx x x2 k kln x x2 k c
ò
3 Tính chất:
1.kf x dx k f x dx( ) ( )
Trang 2NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tài liệu: Võ An Thư AD: Tìm nguyên hàm của các hàm số bằng định nghĩa.
1 f(x) = x2 – 3x +
x
1
ĐS F(x) = x x lnxC
2
3 3
2 3
2 f(x) = 2
4 3
2
x
x
ĐS F(x) = C
x
x
3 3
2 3
3 f(x) = 21
x
x
ĐS F(x) = lnx +
x
1 + C
4 f(x) = 2
2
2 1)
(
x
x
ĐS F(x) = C
x x
x
2 3
3
5 f(x) = x 3 x 4 x ĐS F(x) = x x x C
5
4 4
3 3
5 3
4 2 3
6 f(x) = 1 32
x
x ĐS F(x) = 2 x 33 x2 C
7 f(x) =
x
x 1 ) 2
ĐS F(x) = x 4 x lnxC
8 f(x) = 3 1
x
x
ĐS F(x) = x x3 C
2 3 5
9 f(x) =
2 sin
ĐS F(x) = x – sinx + C
10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C
11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = x sin 2xC
4
1 2
1
12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13 f(x) =
x
x 2
2 cos sin
1
ĐS F(x) = tanx - cotx + C
14 f(x) =
x x
x
2
2 cos sin
2 cos
ĐS F(x) = - cotx – tanx + C
15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = cos 3x C
3
1
16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = cos 5x cosxC
5 1
17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = e x e x C
2
2
1
18 f(x) = ex(2 + )
cos2x
ex
ĐS F(x) = 2ex + tanx + C
19 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e x C
1 3
3 1
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS f(x) = x2 + x + 3
2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 1
3
2 x3
x
3 f’(x) = 4 x x và f(4) = 0 ĐS f(x) =
3
40 2 3
x x x
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
Trang 3NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tài liệu: Võ An Thư
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = f[u(x)].u' (x)dx bằng cách đặt t = u(x)
1 Đặt t = u(x) dt u' (x)dx
2 I =
f[u(x)].u' (x)dxf(t)dt
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 ( 5x 1 )dx 2 ( 3 2x) 5
dx
3 5 2x dx 4
2x dx 1
5 ( 2x2 1 ) 7xdx 6 (x3 5 ) 4x2dx 7 x2 1 xdx
8 x2x5dx
9
dx x
x
3 2
2 5
3
10 x( 1 x) 2
dx
11 dx
x
x
3
ln
12 x e x2 1dx
.
13 sin 4 x cos xdx
14 cos5x x dx
sin
15 cotgxdx 16 costgxdx2 x
17 sindx x 18 cosdx x 19 tgxdx 20 e x dx
x
21
3
x x
e
dx e
22 e x dx
tgx
2
cos 23 1 x 2 dx 24
dx
25 x2 1 x2 dx 26 1 x 2
dx
27
2
dx x
28 x2 x1
dx
29 cos 3xsin 2 xdx 30 x x 1 dx 31 e x 1
dx
32
dx x
x3 2 1
2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u(x).v' (x)dxu(x).v(x) v(x).u' (x)dx
Hay:
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 x sin. xdx 2 x cos xdx 3 (x2 5 ) sinxdx
4
(x2 2x 3 ) cosxdx
5 xsin 2xdx 6 xcos 2xdx 7 x.e x dx 8 lnxdx
9 x ln xdx 10 ln2 x dx 11 lnxdx x 12 e x dx
13 cosx2 x dx 14 xtg2xdx
15 sin x dx 16 ln(x2 1 )dx
17 e x cosxdx 18 x3e x2dx 19 xln( 1 x2 )dx
20 2x xdx
21 x lg xdx 22 2xln( 1 x)dx 23 x2 x dx
) 1 ln(
24
udvuv vdu
Trang 4NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tài liệu: Võ An Thư
TÍCH PHÂN
1 Định nghĩa:
Cho hàm số f x( ) lên tục trên đoạn é ùê úa,b, F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) Tích phân của
( )
f x trên đoạn é ùê úa,b là một số thực Kí hiệu: b ( )
a
f x dx
ò và được xác định bởi :
b
a
f x dx=F b - F a ò
Người ta thường dùng kí hiệu ( ) b
a
F x
ë û (hoặc ( )b
a
F x ) để chỉ F b( )- F a( )
Khi đó: b ( ) ( ) b
a a
f x dx= êéëF x ùúû
ò
2 Các phương pháp tính tích phân:
a Dùng định nghĩa: Sử dụng công thức b ( ) ( ) b
a a
f x dx= êéëF x ùúû
ò
b Phương pháp đổi biến.
Tính I = a b f u x u x dx[ ( )] '( ) bằng cách đặt u = u(x)
1 Đặt u = u(x) du u x dx '( )
2 Đổi cận:
x a b
u u(a) u(b)
3 I = a b f u x u x dx[ ( )] '( ) u a u b f u du
c Dùng công thức tích phân từng phần:
Ta kí hiệu: du=u'dx ; dv=v'dx
b a
udv=é ùê úuv - vdu
*Chú ý: Kí hiệu P x( ) là đa thức của x thì :
+ Nếu gặp ( )
x
sinx
P x cosx dx
e
ò thì đặt u=P x( )
+ Nếu gặp òP x ln x dx( ) ( ) thì đặt u=lnx
Trang 5NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tài liệu: Võ An Thư
Bài 1 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
1
3
0
(x x 1)dx
1
1 1
e
x x
2
1 1
x dx
4 2
3
(2sinx 3cosx x dx)
1
0
(e xx dx)
1 3 0
(x x x dx)
7
2
1
( x1)(x x1)dx
2
3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
1
2 0
(e xx 1)dx
10
2
1
(x x x x dx)
2
1
( x1)(x x1)dx
3 3 1
x 1 dx
13
2
2
2 -1
x.dx
x
2
e
1
7x 2 x 5
dx x
x 2
5
2
dx
x 2
16
2
2 1
x 1 dx
( ).
ln
3 6
x dx x
cos sin
2 0
tgx dx x
cos
19
0
e e dx
0
e dx
.
2 2 1
dx 4x 8x
22
3
0
dx
ln
.
0
dx
1 sin x
1
1
2
25
2
0
3
2 2
2
2
) 3
4
3
2 4 )
x x
2
1
3 2
1 1
29
2
1 3
2 2
dx x
x x
e e
x dx
1
1
31
16
1
.dx
x
x x
e
2
1
7 5 2
x
x
8
1 4
Trang 6NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tài liệu: Võ An Thư
BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN:
1
2
3
sin xcos xdx
2
2
3
sin xcos xdx
3 2
0
sin
1 3
x
dx
cosx
3 4
0
tgxdx
4
4
6
cot gxdx
5 6
0
1 4sin xcosxdx
6
1
2
0
1
x x dx
7
1
2
0
1
x x dx
8
1
3 2
0
1
x x dx
9
3
x
dx
x
10
1
0
1
x x dx
11
2
3
1
1
1dx
x x
12
1
2
0
1
1x dx
13
1
2
1
1
2 2dx
14
1
2 0
1
1dx
x
15
1
2 2 0
1 (1 3 ) x dx
16
2 sin
4
x
e cosxdx
17
2
4
sin
cosx
18 2
1 2 0
x
e xdx
19
2
3
sin xcos xdx
20
2 sin
4
x
e cosxdx
21 2 4
sin
cosx
22 2
1 2
0
x
e xdx
23
2
3
sin xcos xdx
24
2
3
sin xcos xdx
25 2 0
sin
1 3
x dx cosx
26 4 0
tgxdx
27
4
6
cot gxdx
28 6 0
1 4sin xcosxdx
29
1 2 0
1
x x dx
30
1
2
0 1
x x dx
31
1
3 2 0
1
x x dx
32
3
x dx
x
33
1
0 1
x x dx
34
2
3 1
1
1dx
x x
35
1
1 ln
e
x dx x
36
1
sin(ln )
e
x dx x
37
1
1 3ln ln
e
x x dx x
38
2ln 1
1
e e x
dx x
39
21 ln2 ln
e e
x dx
x x
40
2
2
1 (1 ln )
e e
dx cos x
41
2
x dx x
Trang 7NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tài liệu: Võ An Thư
42
1
0 2 1
x
dx
x
43
1
0
1
x x dx
44
1
0
1
x x
45
1
0
1
x x
46
3
1
1
x
dx
x
47
1
1 ln
e
x
dx x
48
1
sin(ln )
e
x
dx x
49
1
1 3ln ln
e
x x dx x
50
2ln 1
1
e x
e
dx
x
51
1 ln
ln
e
e
x
dx
x x
52
1
0
5
x x dx
2
4
0
sin 1 cos
x xdx
54
4
2 0
55
4
2 0
56
1
2
0 1
dx
x
x
0
3
2
58
1
0
dx
e x
59
1
3 0
x dx (2x 1)
60
1
0
x dx 2x 1
61
1
0
x 1 xdx
62
1 2 0
4x 11 dx
x 5x 6
63
1 2 0
2x 5 dx
x 4x 4
64
2 0
x 2x 1
0 (sin x cos x)dx
66.2 3 0
4sin x dx
1 cosx
67.4
2 0
1 sin2xdx cos x
2 4 0 cos 2xdx
69
2
6
1 sin 2x cos2xdx sin x cosx
70
1 x 0
1 dx
e 1
71 4(cos x sin x ) dx
0
4 4
72
4
01 2 sin 2
2 cos
dx x
x
73
2
1 3 cos 2
3 sin
dx x x
74
2
05 2 sin cos
dx x
x
75
75.
0
2
2 2
x x
x
76
1
dx
77 2 3 2 0
cos xsin xdx
78 2 5 0 cos xdx
79 4
2 0
sin 4x dx
1 cos x
80
1
0
x 1 x dx
0 sin 2x(1 sin x) dx
82 4
4 0
1 dx cos x
83
e
1
1 ln xdx x
84 4 0
1 dx cosx
85
1
1 ln xdx x
86 1
5 3 6 0
x (1 x ) dx
87 6
2 0
6 5sin x sin x
88
3 4
0
tg x dx cos2x
Trang 8NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tài liệu: Võ An Thư
89 4
0
cos sin
3 sin 2
x x dx
x
90
2
0 cos2 4sin2
2 sin
dx x x
91
5
ln
3
ln ex 2 e x 3
dx
92
2
0(2 sin )2
2
sin
dx x x
93
3
4
2
sin
) ln(
dx x
tgx
94 4
0
8 )
1
(
dx x
tg
95
2
4 1 sin 2
cos
sin
dx x
x x
96
2
0 1 3cos
sin 2
sin
dx x
x
97
2
0 1 cos
cos 2
sin
dx x
x
x
98 2
0
sin cos ) cos
(
xdx x
e x
99
2
11 x 1dx
x
x
x x
1
ln ln
3
1
101
4 0
2
2 sin 1
sin 2 1
dx x x
102
1
2 0
1 x dx
103
1 2 0
1 dx
1 x
104
1
2 0
1 dx
4 x
105
1 2 0
1 dx
x x 1
106
1
4 2 0
x x 1
107 2 0
1
1 cosx sinx dx
108
2 2 2
2 0
1 x
109
2
1
x 4 x dx
110
2 3
2 2
1 dx
x x 1
101
2 1
9 3x dx x
112
1
5 0
1 (1 x dx)
x
113
2
2 2 3
1
1dx
x x
114 2 0
cos
7 cos2
x dx x
115
6 0
1
1 x dx x
0
cos
1 cos
x dx x
117
0
dx
118
1
01 1 3x
dx
119
2
1
dx x
x
8
2 3
1
1dx
x x
121
0 1
x dx x
122
3
0 1
x x dx
123
ln2
x 0
1 dx
e 2
124
7 3 3 0
1
x
125
2
2 3 0
1
x x dx
126
3 2
5 x x2 4
dx
Trang 9
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tài liệu: Võ An Thư
Bài 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
1
3
3
1
ln
e
x
dx
x
2
1
ln
e
x xdx
3
1
2
0
ln( 1)
4 2
1
ln
e
5
3
3
1
ln
e
x
dx
x
6
1
ln
e
x xdx
7
1
2
0
ln( 1)
8 2
1
ln
e
9 2
0
( x c osx)sinx dx
10
1
1
( ) ln
e
x
11
2
2
1
ln( x x dx )
12
3
2
4
tan
13
3
2
ln( x x dx
14
2
0
cos
15
1
0
x
xe dx
16 2 0
3 ) sin cos
(
xdx x
x
17
1
0
3
.e dx
x x
18
2
0
cos ) 1 (
xdx x
19
6
0
3 sin ) 2 (
xdx
x
20
2
0
2 sin
xdx
x
21
e
xdx x
1
ln
22
e
dx x x
1
2).ln 1
23
3
1
ln
4x x dx
24
1
0
2 ).
3 ln(
25
2
1
2 1)
26
0
cos
2
0
2.cos
dx x
28
2
0
2 2 ).sin (
dx x x x
2 0
) 1 ln(
) 7 2 ( x x dx
30 2 2 0
x cos xdx
31
1 x
0
e sin xdx
32
2
0 sin xdx
33
e 2
1
x ln xdx
34 3
2 0
x sin xdx cos x
0 xsin x cos xdx
36 4 2 0
x(2 cos x 1)dx
37
2 2 1
ln(1 x)dx x
38
1
2 2x 0
(x 1) e dx
39
e
2
1
(x ln x) dx
40 2 0 cosx.ln(1 cosx)dx
1
ln ( 1)
e e
x dx
x
42
1 2 0
xtg xdx
43
1 0
2
) 2 ( x e xdx
44
1 0
2) 1 ln( x dx
x
45
e
dx x
x
1
ln