Chuyên đề nguyên hàm, tích phân ứng dụng

Câu 6.1 Thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=a x; =b, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x a £ £x b là một hìn

(với a≠0)

20)∫ ( 1+ )d =sin ax b x

(với a≠0)10)∫tan dax x=

cos ax b x

(với a≠0)

3) Công thức tính thể tích khối tròn xoay.

II PHÂN TÍCH ĐỀ THI THAM KHẢO BGD

Đề thi tham khảo THPT QG 2018_BGD

A DẠNG 1: CÁC CÂU HỎI LÝ THUYẾT

Câu 6 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b Gọi ; D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm

số y= f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x a x b a b= ; = ( < ) Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức

d

b a

b a

V = π∫ f x x C 2 2( )

d

b a

V =π ∫f x x D 2 ( )

d

b a

V =π ∫f x x

Câu 6.1 Thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=a x; =b, biết rằng thiết diện của vật thể bị

cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x a( £ £x b) là một hình có diện tích là( )

f x là hàm số liên tục trên đoạn[ ]a b được tính theo công thức;

A ( )

b a

S = ∫ f x dx B 2( )

b a

S=π∫ f x dx C ( )

b a

V =∫ f x dx D ( )

b a

S =π∫ f x dx Câu 6.2 Cho hàm số f x g x( ), ( ) liên tục trên đoạn [ ]a b và thỏa mãn ; f x( )>g x( ) 0> với mọi x∈[ ]a b;

Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

( ) :C y= f x C( );( ') :y=g x x a x b( ); = , = Khi đó V được tính bởi công thức:

ứng dụng

A =π ∫ 2( )− 2( )

b a

2

( ) ( )

b a

C =π∫ ( )− ( )

b a

V f x g x dx. D =∫ 2( )− 2( )

b a

A ∫f x( ) +g x( )dx=∫ f x x( )d +∫g x x( )d B ∫f x( )+g x( )dx=∫ f x x( )d +∫g x x( )d

C ∫f x x′( )d = f x( ) +C với C là hằng số. D ∫kf x x k f x x( )d = ∫ ( )d , với k là hằng số.

Câu 6.5 Xét hai mệnh đề

( )1 : Tồn tại nguyên hàm của hàm số y=tanx trên (0;π) ;

( )2 : Tồn tại nguyên hàm của hàm số 1

1

y

x

=

− trên (1;+∞); Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Cả ( )1 và ( )2 đều đúng B Cả ( )1 và ( )2 đều sai

Câu 9.2 Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) =cos 3x−2x là

A 3sin 3x x− +2 C B sin 3x x− +2 C C 1sin 3 2

3 x x− +C D 1sin 3 2

ứng dụng

C f x( ) =πx.lnπ D f x( ) = −πx.lnπ

Lời giải Chọn B

Câu 9.9 Phát biểu nào sau đây là đúng

A ∫e xsin dx x= −e xcosx+∫e xcos d x x B ∫e xsin dx x e= xcosx−∫e xcos d x x

C ∫e xsin dx x e= xcosx+∫e xcos d x x D ∫e xsin dx x= −e xcosx−∫e xcos d x x

Hướng dẫn giải Chọn A

3

1sin

4

1sin

Câu 9.13 Một nguyên hàm của hàm số f x( )=x 1+x2 là

2

12

ứng dụng

Lời giải Chọn D

2

x y

x x e

x

x e−

++

d d3

1

2

x x

ứng dụng

Lời giải Chọn A

Câu 9.21 Biết F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 2 ln

x

x

x x

−+

A 4 ln15+ B 2 ln15+ C 3 ln15+ D ln15

Câu 37.3 Biết F x là một nguyên hàm của hàm số( ) ( ) 2( )2

2 11

S=F +F +F + ×××+F

A

2 2

f x

x

=+ và thỏa mãn F( )0 =0 Biết( ) ( ) ( )1 2 3 (2018) a

Ta có x x( +1) (x+2) (x+ + =3) 1 (x2+3x x) ( 2+3x+ +2) 1 ( 2 ) 2

3 1

= x + x +  Đặt t x= 2+3x , khi đó dt=(2x+3 d) x

Tích phân ban đầu trở thành ( )2

1

1 = − +

++

ứng dụng

Vậy g x( ) =x2+ +3x 1

3 52

3 52

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng −3

Câu 37 8 Nguyên hàm của hàm số f x( ) =ln(x+ x2+1) là

A F x( ) =xln(x+ x2+ +1) x2+ +1 C B F x( ) =xln(x+ x2+ −1) x2+ +1 C

C F x( ) =xln(x+ x2+ +1) C D F x( ) =x2ln(x+ x2+ +1) C

Lời giải Chọn B.

Câu này đề chưa chặt, phải là “Biết một nguyên hàm của hàm số y= f ( )2x là ….”

Ta có

2

2 1

1 1

2 3

a b

2d

3 1ln

2 3

3213

a b

2

0

.2 dx

I =∫x x.

∫ và (sinx cosx x n)d

α β

∫ Giả sử sin x 6 dx am bn

α β

4

Lời giải Chọn B.

Ta có: (sinx cosx x m)d ( )1

α β

∫ và (sinx cosx x n)d ( )2

α β

2 0

sin cos

dxcos 1

d

ln 3sin

x

a b x

n x

1tan 2 1 tan

1 sin1

x

x

e dx e cosx

ứng dụng

Câu 32.12 Giá trị của tích phân

1 2 0

d1

x x x

sindcos

x x x

0

sindycosy

Đặt x=sin2 y ta có dx=d sin2 y ⇔dx=2sin cos dy y y

Đặt

22

2

I = − = →Chọn đáp án D.

( )

0

d

a x I

Đặt

2ln

Ta có: ( ( ) )2 ( ) ( ) 4

f x′ + f x f′′ x = x + x

Mà f ( )0 =1 nên ta có C2 =1 Vậy f2( )x =x6+4x3+2x+1 suy ra f2( )1 =8.

Câu 50.6 Cho hàm số f x liên tục trên R và ( ) f x( ) ≠0 với mọi x∈¡ ; ( ) ( ) ( )2

2 1

f x′ = x+ f x và( )1 0,5

4.

π π

ứng dụng

0 2

Câu 31 Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi parabol y= 3x2,

cung tròn y= 4−x2 (với 0≤ ≤x 2) và trục hoành (phần tô đậm

như hình vẽ) Diện tích của ( )H bằng

Câu 31.2 (SGD – HÀ TĨNH ) Ta vẽ hai nửa đường tròn như hình

vẽ bên, trong đó đường kính của nửa đường tròn

lớn gấp đôi đường kính của nửa đường tròn nhỏ

Biết rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện

tích là 8π và BAC· = °30 Tính thể tích của vật

thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình ( )H

(phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB

Gọi V1, V2, V3, V4 lần lượt là thể tích khối tròn xoay khi quay tam giác AHC , ALD và đa giác

LID , HBC quanh AB Gọi R , r lần lượt là bán kính đường tròn lớn và nhỏ.

2

16 12 21

32

2 2

ứng dụng

2 3

y x= − x +m có đồ thị ( )C với m là tham số thực Giả sử m ( )C cắt trục Ox m

tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ :

Gọi S , 1 S và 2 S là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ Tìm m để 3 S1+S2 =S3

Giả sử x b= là nghiệm dương lớn nhất của phương trình x4−3x2+ =m 0 Khi đó ta có

4 3 2 0

b − b + =m (1)Nếu xảy ra S1+S2 =S3 thì

4

m= (đến đây ta đã chọn được đáp án, không cần giải tiếp)

Chú ý: nếu là giải tự luận phải kiểm lại xem phải phương trình y=0 có 4 nghiệm phân biệt,đồng thời 5

2

x= là nghiệm dương lớn nhất hay không

y= − m x + Tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị

của hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu, đồng thời đường thẳng cùng phương với trục hoànhqua điểm cực đại tạo với đồ thị một hình phẳng có diện tích bằng 64

± ± 

Hướng dẫn giải Chọn B

2 4

2 2

00

2

x x

Câu 31.5 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) của hàm số y=6x x− 2 và trục hoành Hai đường

thẳng y m y n= , = chia hình (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau Tính

Cách 1: (Dùng công thức diện tích theo biến y)

y = n

O

y = m

y = 6x – x2

6

9 y

x

Cách 2: (Dùng công thức diện tích theo biến x)

Từ điều kiện bài toán ta có : 0<m n, <9

Xét các phương trình hoành độ giao điểm : 6x x− =2 0

3 9

39

Câu 31.6 (THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp) Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng

4 5 (m) Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol

có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn(phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4(m), phần còn lại của khuôn viên (phần không tômàu) dành để trồng cỏ Nhật Bản

Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/m2 Hỏicần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàngnghìn)

Vậy số tiền cần có là S trongxo ×100000 1.948.000≈ (đồng).đồng.

Câu 31.7 Cho ( )H là hình phẳng giới hạn bởi các đường ( )C1 :y= x, ( )d :y= −2 x và trục hoành

Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi cho ( )H quay quanh Ox

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

22

2

1

x x

Đồ thị ( )C cắt trục Ox tại điểm có hoành độ 1 x= 0

Đồ thị ( )d cắt trục Ox tại điểm có hoành độ x= 2

Vậy hình phẳng ( )H được chia làm hai phần như hình vẽ bên Vậy thể tích của khối tròn xoay

Hướng dẫn giải Chọn C

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ

x

I =∫x x= =

ứng dụng

Tính

1

2 0

π

S S

π

= .

Hướng dẫn giải Chọn D

Cách 1: Gọi T là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi elip và hai trục tọa độ bên góc phần tư thứ nhất Khi đó

1 0

2

19

x

ứng dụng

Cách 2( tổng quát): Diện tích của elip ứng với hai bán trục a và b là S1 =πab Hình thoi có

các đỉnh là đỉnh của elip có bán trục a và b có độ dài hai đường chéo là 2a và 2b nên có diện

tích là 2

1.2 2 22

Thử với b=1 :

Thử với b=2 : Mode + 7

sin 1 1 sin cos

cos cos cos cos

ứng dụng

2 2

2 2 0

2 2 0

6d1

A (0, 4;0,5 ) B (0,5;0, 6 ) C (0, 6;0, 7 ) D (0,7;0,8 )

Câu 31.14 (THPT CHUYÊN BIÊN HÒA) Để trang trí toà

nhà người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi

cạnh hình lục giác đều có cạnh là 2 dm là một cánh hoa

hình parabol mà đỉnh parabol ( )P cách cạnh lục giác là

3dm và nằm phía ngoài hình lục giác, 2 đầu mút của

cạnh cũng là 2 điểm giới hạn của đường ( )P đó Hãy

tính diện tích hình trên (kể cả lục giác)

Xét 1 cánh hoa hình parabol như mô tả; đặt hệ trục như hình vẽ:

ứng dụng

Khi đó ta được phương trình của parabol là y= −3x2+3

⇒ diện tích mỗi cánh hoa là: 1( ) ( )1 ( )

Câu 31.15. Bên trong hình vuông cạnh a, dựng hình sao bốn cạnh đều như hình vẽ bên (các kích

thước cần thiết cho như trong hình) Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó

Xét phần gạch chéo quay xung quanh trục xy

Thể tich khối nón cụt tạo thành khi cho hình thang EDCG quay xung quanh trục xy là:

1

7

1

a

V = FG CGπ =π .

Vậy thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục xy là:

3 3

52

48

a

Câu 31.16 (THCS, THPT Nguyễn Khuyến – Tp HCM năm 2016 – 2017) Trong không gian

Oxyz cho vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0 và x=π , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt

bởi mặt phẳng vuông góc với trục ( )Ox tại điểm có hoành độ bằng x, 0( ≤ ≤x π) là một tam

giác đều cạnh là 2 sin x Tính thể tích của vật thể đó.

A V =2 3π B V =8 C V =2 3 D V =8π

Lời giải Chọn C.

Diện tích tam giác đều: ( ) 4sin 3 3 sin

Câu 31.17 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Tp HCM năm 2016 – 2017) Cho hình trụ có bán kính

đáy bằng R Tính thể tích vật thể tạo thành bởi đáy của hình trụ và mặt phẳng qua đường kính đáy, biết

mặt phẳng tạo với đáy một góc 450

A

3

83

R

3

23

R

Lời giải Chọn C.

Gọi BC là đường kính đáy

Điểm A là điểm thuộc mặt phẳng cắt khối trụ sao cho OA OB⊥

D là hình chiếu vuông góc của A trên (BCD Ta có: ) (¼(ABC) (; BCD) ) =450 ⇒·AOD

Gắn trục tọa độ ( )Ox như hình vẽ.

Gọi ( )P là mặt phẳng vuông góc với trục ( )Ox

Cắt khối vật thể theo một thiết diện là hình chữ nhật FGHI

đường kính trong lòng đáy cốc là 6 cm

chiều cao trong lòng cốc là 10 cm

đang đựng một lượng nước Bạn A

nghiêng cốc nước, vừa

lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy

mực nước trùng với đường kính đáy

Tính thể tích lượng nước trong cốc

A 15 cmπ 2 B 60 cmπ 2 C 60cm 2 D 70cm 2

Lời giải Chọn C.

y=x y= vàx=1 Biết mỗi thiết diện vuông góc

với trục Ox là một hình vuông (như hình vẽ)

Câu 1 Cho f x là một hàm số bất kỳ, xác định và có một nguyên hàm là ( ) F x trên K Biểu thức nào ( )

sau đây là sai?

C ∫ f x( )2 2 dx x F x= ( )2 +C D ∫ f (sinx)cos dx x F= (sinx)+C.

Câu 4 Kết quả của nguyên hàm ( 2 )

9 C

19

9 D

1.9

+) Dùng MTBT: ( ) 1 ( )2

1 3

F k =m Khi đó tổng a0+ + + +a1 a2 a n là: 1( )nd

k

ax b+ x m+

Câu 8 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A Nếu ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x thì òf x dx F x( ) = ( )+C với C là một hằng số

B Mọi hàm số xác định trên tập K đều có nguyên hàm trên K.

37 | P a g e

( ).

f x

D Nếu ( ), ( )F x G x là hai nguyên hàm của hàm số ( ) f x thì ( ) F x - G x( )= , với C C là một hằng số

Câu 9 Nguyên hàm của hàm số f x( ) = x+1 là kết quả nào dưới đây?

Câu 17: Cho tích phân

2 0

dx I

++

S=∫ f x − f x x

Câu 23: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=3x3+4 ,x y=0, x a a= ( >0) có diện tích bằng 99

Vậy giá trị của a là số bao nhiêu?

A a=3 B 95

3

a= C a= 11. D a=9

Câu 24:Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng

hình Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cường

lực cho vòm cửa này Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp

vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m (như hình vẽ)

Các phương án nhiễu:

A HS tính tích phân sai

4 2 4

Câu 25 (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định lần 8 năm 2016 – 2017) Cho phần vật thể B

giới hạn bởi hai mặt phẳng có phương trình x=0 và x=2 Cắt phần vật thể B bởi mặt phẳng vuông góc

với trục ( )Ox tại điểm có hoành độ x (0≤ ≤x 2), ta được thiết diện là một tam giác đều có độ dài cạnhbằng x 2−x Tính thể tích V của phần vật thể B

Diện tích tam giác đều: S x( ) x2(2−4x) 3

40 | P a g e

co t(2 1)

1sin (2x 1)

−+

∫ trong đó a,b nguyên dương và a

b là tối giản Khi đó ab bằng:

.1

A. =( + ) + − B =( + ) + +

C 1 ( 2 ) 2

1 1 1 3

I =  a + a + + 

1 1 1 3

Câu 15: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y x= 2;x=1; trục hoành Quay hình (H) quanh trục Ox ta

được khối tròn xoay có thể tích là:

Câu 16 3

2 0

Đặt

2

ddcos

u x

x v

Xét phương trình hoành độ giao điểm: 2 1

2

42 | P a g e

Câu 19: Một cái tô hình tròn xoay có thiết diện qua trục là một parabol Biết bán kính đường tròn miệng

tô bằng 10cm, chiều sâu của tô bằng 15 cm Tính thể tích lượng nước có thể chứa đầy tô

A 0,75π (lít) B 0,36π(lít)

C 3,6π(lít) D 7,5π(lít)

Câu 20: Biết

2 2 4

cos

2sin

14

37

−

ĐỀ SỐ 3 Câu 1: Nguyên hàm của hàm số f x( ) x2 x1 1

y

x là

43 | P a g e

2 0

ln( 1)d a ln 2

b

∫ (với , ,a b c là các sô nguyên; b>0; a

b là phân số tối giản)

Câu 12: Thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

3

f x dx=

∫ Tích phân( )

dx x

31

Câu 20 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (P) của hàm số y=6x x− 2 và trục hoành Hai đường

thẳng y m y n= , = chia hình (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau Tính

45 | P a g e

Lời giải Chọn A

Cách 1: (Dùng công thức diện tích theo biến y)

Cách 2: (Dùng công thức diện tích theo biến x)

Từ điều kiện bài toán ta có : 0<m n, <9

Xét các phương trình hoành độ giao điểm : 6x x− =2 0

46 | P a g e

2 0

3 9

39

Câu 21 Cho F x( )=x2 là một nguyên hàm của hàm số f x e( ) − 2x Tìm nguyên hàm của hàm số

f t t x= πx

∫ Tính f ( )4

A 1

Đạo hàm hai vế ta được: 2xf x( )2 =cos( )πx −πx.sin( )πx

Thay x=2 vào hai vế ta có: 4 ( )4 1 ( )4 1

C g( )3 >g( )− >3 g( )1 D g( )1 >g( )3 >g( )−3

Lời giải Chọn D

3 3

1 1

3 3