Đáp án chuyên đề hình học không gian tọa độ

Câu 10.7: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình.. Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng AB sao cho MN song song với mặt phẳng P.. Véctơ nào sau đây không p

CHUYỀN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ (15 TIẾT)

Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho điểm (3; 1;1) A − Hình chiếu vuông góc của A trên mặt

Câu 10.3: (Đề 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (2;2;1)A Tính độ

dài đoạn thẳng OA

A OA=3 B OA=9 C OA= 5 D OA=5

Câu 10.4: (Đề 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ (2;1;0)ar

và( 1;0; 2)

Câu 10.6: (Đề 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

( ) :P x−2y z+ − =5 0 Điểm nào dưới đây thuộc ( )P ?

A Q(2; 1;5).− B P(0;0; 5).− C N( 5;0;0).− D M(1;1;6)

Câu 10.7: Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho đường thẳng ∆ có phương trình

Một trong bốn điểm được liệt kê ở bốn phương án , , ,A B C D dưới đây nằm trên

đường thẳng ∆ Đó là điểm nào?

Câu 10.10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(−1; 2;3 ,) N(0; 2; 1 − ) Tọa

độ trọng tâm của tam giác OMN là

, kr, cho điểm M(2; 1; 1− ) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A OMuuuur r r= + +k j 2 ri B OMuuuur=2kr r r− +j i C OMuuuur= − +2r r ri j k D.

y=

Câu 10.13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;1;0) , B(1;2;2) ,(1;1;0)

M và mặt phẳng ( )P x y z: + + −20 0= Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng AB

sao cho MN song song với mặt phẳng ( )P

Đường thẳng AB đi qua A và nhận uuurAB= −( 1;1;2) làm vectơ chỉ phương có

phương trình tham số là:

212

Câu 10.15: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1;1;1 ,) B(2;1; 1 ,− ) C(0; 4;6) .

Điểm M di chuyển trên trục Ox Tìm tọa độ M để P= MA MB MCuuur uuur uuuur+ + có giá trịnhỏ nhất

A (−2;0;0 ) B (2;0;0 ) C (−1;0;0 ) D (1;0;0 )

Hướng dẫn giải Chọn D

Gọi M x( ;0;0)∈Ox x,( ∈¡ )

Khi đó MAuuur= −(1 x;1;1 ,) MBuuur= −(2 x;1; 1 ,− ) MCuuuur= −( x;4;6)

Vậy GTNN của P= MA MB MCuuur uuur uuuur+ + là 72 , đạt được khi và chỉ khi x=1.

Do đó M(1;0;0) là điểm thoả mãn đề bài.

Câu 10.16:Cho hình bình hành ABCD với A(−2; 3; 1 ,) (B 3; 0; 1 ,− ) (C 6; 5; 0) Tọa độ đỉnh D

Khi đó theo giả thiết ta có: 13 11 20 (2;0;0)

Cách 1: Tính khoảng cách từ các điểm đến 2 mặt phẳng, nếu bằng nhau chọn.

D D

Câu 10.21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;1;0) , B(0; 1;0− ) ,(0;0; 6)

C − Nếu tam giác A B C′ ′ ′ thỏa mãn hệ thức uuur uuur uuuur rA A B B C C′ + ′ + ′ =0 thì tọa độ trọng tâm củatam giác đó là :

⇔ uuur uuur uuur+ + + uuuur uuuur uuuur+ + + uuuur r=

Nếu G G, ′ theo thứ tự lần lượt là trọng tâm tam giác ABC A B C, ′ ′ ′ nghĩa là

GA GB GC A G′ ′ B G′ ′ C G′ ′

⇔uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur+ + = + + thì ( )2 ⇔G Guuuur r′ = ⇔0 G′≡G

Tóm lại ( )1 là hệ thức cần và đủ để hai tam giác ABC A B C, ′ ′ ′ có cùng trọng tâm.

M là điểm thuộc tia đối của tia BA sao cho AM 2

BM = nên B là trung điểm AM

35

3

2

M

M M

M M M

x

x y

z z

Câu 10.23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Biết tọa

độ các đỉnh A(−3; 2;1), C(4;2;0), B′ −( 2;1;1) , D′(3;5;4) Tìm tọa độ điểm A′ của hình hộp.

A A′ −( 3;3;1) B A′ − −( 3; 3;3) C A′ − − −( 3; 3; 3) D A′ −( 3;3;3).

Lời giải Chọn D

Gọi I là trung điểm của AC 1;2;1

Gọi D a b c là chân đường phân giác kẻ từ đỉnh ( ; ; ) B

Câu 10.25: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, choA(2;0;0 0;3;1 ) (,B ) (,C −3; ; 46 ) Gọi M

là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC =2MB Độ dài đoạn AM là

Hướng dẫn giải Chọn B

⇒uuur uuur uuur = + −

Vậy bốn điểm ABCD đồng phẳng ⇔uuur uuur uuurAB AC AD,  = ⇔ +0 m 2k =3

Chú ý: Có thể lập phương trình (ABC) sau đó thay D để có kết quả

Câu 10.27:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho S(1;2;3) và các điểm A, B , C thuộc

các trục Ox , Oy , Oz sao cho hình chóp S ABC có các cạnh SA , SB , SC đôi một vuông góc

với nhau Tính thể tích khối chóp S ABC

Do SA , SB , SC đôi một vuông góc , nên: 1 1.7 .7 7 343

Thể tích khối hộp đa cho V =6V ABCD′= AB AC AD,  ′

uuur uuur uuuur

Ta có: uuurAB= − −( 1; 1; 4) , uuurAC= −( 6;0;8) và uuuurAD′ =(1;0;5)

Do đó: uuur uuurAB AC,  = − − − ( 8; 16; 6) Suy ra uuur uuur uuuurAB AC AD,  ′ = −38 Vậy V =38

Câu 10.29: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(0;1;1); B(1;1;0); C(1;0;1) vàmặt phẳng ( )P x y z: + − − =1 0 Điểm M thuộc ( )P sao cho MA MB MC= = Thể tích khối chóp

M ABC là

A 1

1

1

1.3

Hướng dẫn giải Chọn A

uuur uuur uuur uuur

uuuur uuur uuur uuuur

V = MA MB MCuuur uuur uuuur =

Câu 10 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ( )P x y z: + − + =1 0 và( )Q x y z: − + − =5 0 Có bao nhiêu điểm M trên trục Oy thỏa mãn M cách đều hai mặt phẳng

( )P và ( )Q ?

A 0 B 1 C 2 D 3

Lời giải Chọn B

Câu 10.31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có 1 1 1

Hướng dẫn giải: Ta có: C 0 2 m A C 0 2 m BC 1( ; ; ),uuuur1 ( ;− ; ),uuuur1(−2 2 m; ; )

Vì A C vuông góc với 1 BC nên 1 uuuuruuuurA CBC 1 1 =0⇔0.( ) ( )− + −2 2 2 m m 0 + = ⇔ =m 2 (vì m 0> )

M M lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các trục tọa độ Ox, Oy Vectơ nào dưới đây

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng M M ? 1 2

A ur2 =(1;2;0) B ur3 = (1;0;0) C ur4 = −( 1;2;0) D.

1 (0;2;0)

ur =

Câu 12.2:Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P x y: − + =3 0 Véctơ nào sau đây không

phải là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P ?

Lời giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d ⇒H(2;0;5)

Ta có d(∆,d) ≤AH Dấu bằng xảy ra khi AH ⊥ ∆

Câu 12.5: (Đề năm 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào sau đây là

một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy ?)

Câu 12 6: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai điểm A(4;2; 6− ) , B(2;4;1) Gọi d là

đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác ABO sao cho tổng khoảng cách từ các điểm A

, B , C đến đường thẳng d là lớn nhất Trong các véctơ sau, véctơ nào là một véctơ chỉ phương của đường thẳng d ?

A ur= −( 13;8; 6− ) B ur=(13;8; 6− ) C ur= −( 13;8;6) D.

(13;8;6)

Hướng dẫn giải Chọn A

Dấu " "= xẩy ra d cùng vuông góc với AG BG OG, , hay d ⊥(OAB)

Véctơ pháp tuyến của (OAB là ) nr=OA OBuuur uuur, =(26; 16;12− )

Trong các véctơ trên ur= −( 13;8; 6− ) cùng phương với nr=(26; 16;12− )

Câu 12 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(− −1; 2;2), B(− −3; 2;0) và

( )P x: +3y z− + =2 0 Vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ là giao tuyến của ( )P

và mặt phẳng trung trục của AB có tọa độ là:

A (1; 1;0− ) B (2;3; 2− ) C (1; 2;0− ) D (3; 2; 3− − )

Hướng dẫn giải Chọn D

Câu 12 8: (TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ - VĨNH PHÚC) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, cho mặt phẳng ( )Q : 2x+2y z− − =4 0 Gọi M , N , P lần lượt là giao điểmcủa mặt phẳng ( )Q với ba trục tọa độ Ox , Oy , Oz Đường cao MH của tam giác

Ta có: ( ) 1 (2;0;0) (; 0;2;0) (; 0;0; 4)

422042

2: x+ y−z− = ⇔ x + y − z = ⇒M N P −

t y x

220

Gọi H là chân đường cao từ M của ABC∆ ta có:

Câu 15.3: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;4;1) Mặt phẳng ( )P đi qua M và cắt các

trục Ox Oy Ozlần lượt tại các điểm , , A B C, , tương ứng với hoành độ, tung độ và cao độ dươngsao cho 4OA=2OB OC= Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

Câu 15.4: Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;3) Mặt phẳng ( )P đi qua M cắt 3 tia

B Mvà cắt các trục tọa độ Ox Oz, lần lượt tại A a( ;0;0 ,) (C 0;0;c c∈) ( ¢ sao cho thể tích khối)

tứ diện OABC bằng 3 Khi đó 2a c+ bằng:

Câu 24: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm ( 1;2;1) A − và (2;1;0)B Mặt phẳng qua A và

vuông góc với AB có phương trình là

A 3x y z− − − =6 0 B 3x y z− − + =6 0 C x+3y z+ − =5 0 D.

x+ y z+ − =

Lời giải: Ta có: uuurAB=(3; 1; 1 − − )

Mặt phẳng (P) vuông góc với AB nên nhận vecto ABuuur làm vecto pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với AB là:

Câu 24.1:Phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng :

− và cắt mặt cầu( )S x: 2+y2+ −z2 4x+6y+6z− =3 0 theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất là

A 6x y− +5z=0 B 6x y− −5z=0

C − +4x 11y+7z=0 D 4x−11y+7z=0

Lời giải Chọn C

Mặt cầu ( )S có tâm I(2; 3; 3− − ) và bán kính 2 ( ) ( )2 2

R= + − + − + = Gọi H là hình chiếu của tâm I lên đường thẳng Khi đó, mặt phẳng cần tìm sẽ vuônggóc với IH tại H

Câu 24.2: (Đề năm 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới

đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(3; 1;1)− và vuông góc với đường thẳng

A 2x y− +2z+22 0= B 2x y− +2z+ =13 0

C 2x y− +2z− =13 0 D 2x y+ +2z−22 0=

Câu 24.4: (Đề năm 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới

đây là phương trình của mặt phẳng (Oyz ?)

Câu 24.5: (Đề năm 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm (4;0;1) A

và ( 2; 2;3)B − Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng

1 1 1

x y z−

∆ = =

− .Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với ( )S , song song với

d và ∆ ?

A x z+ + =1 0 B x y+ + =1 0 C y z+ + =3 0 D x z+ − =1 0 Câu 24.7: (Đề năm 2016 - 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3; 1; 2)− −

và mặt phẳng ( ) : 3α x y− +2z+ =4 0 Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi

qua M và song song với ( )α ?

A 3x y+ −2z−14 0= B 3x y− +2z+ =6 0

C 3x y− +2z− =6 0 D 3x y− −2z+ =6 0

Câu 24.8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng ( )P song song và

cách đều hai đường thẳng 1: 2

d đi qua điểm B(0;1;2) và có VTCP ur2 =(2; 1; 1 − − )

Vì ( )P song songvới hai đường thẳng d và 1 d nên VTPT của 2 ( )P là

Ta có: Hai VTCP của hai đường thẳng là cùng phương nên hai đường thẳng luôn đồngphẳng

(0;0; 1) , (1; 2;0) (1; 2;1)

M − ∈d M′ ∈ ⇒d′ MMuuuuur′=

Véctơ chỉ phương của đường thẳng d là ur= − −(1; 2; 1)

Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )Q : nr=MM uuuuuuur′; r=(0; 2; 4− )

Phương trình mặt phẳng ( )Q y: −2z− =2 0

Câu 24.10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )α :x ay bz+ + − =1 0 và đường thẳng ∆:1x = y1= z−11.

− − Biết rằng ( )α // ∆ và ( )α tạo với các trục Ox Oz, các góc

giống nhau Tìm giá trị của a

i k

( ) ( )

( ) ( )

rr

r r , thế vào ( )∗ , ta được 2

0

a a

=



 =

Khi a=2 thì b= −1 (thỏa mãn), khi a=0 thì b=1 (không thỏa mãn)

Đường thẳng d đi qua điểm 1 A(1; 2;1− ) và có véctơ chỉ phương là uur1=(2;1; 2− ) Đường thẳng d đi qua điểm 2 B(1;1; 2− ) và có véctơ chỉ phương là uuur2 =(1;3;1)

( )P có VTPT là: nr =u uur uur1, 2=(7; 4;5− ) nên có phương trình:( )P : 7x−4y+ + =5z d 0

Câu 24.12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng ( )P chứa trục Ox và chứa tâm I

của mặt cầu (S):(x−2)2 +(y+2)2 +(z−2)2 =2 có phương trình là:

VTCP của d là ur=(2;1;3) , VTPT của ( )Q là nr=(2;1; 1− )

Mặt phẳng ( )P nhận VTPT là vr=[ ] (u nr r, = −4;8;0) = −4 1; 2;0( − )

và ( )P đi qua điểm A(1;0; 1− ) nên có phương trình tổng quát là: x−2y− =1 0

Câu 24.14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;0;1 ,) (B 6; 2;1− ) Viếtphương trình mặt phẳng ( )P đi qua A B, và ( )P tạo với mặt phẳng(Oyz góc α) thỏa mãn

Câu 24.15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 1;0− ) , B(1;1; 1− ) và mặtcầu ( )S x: 2+y2+ −z2 2x+4y−2z− =3 0 Mặt phẳng ( )P đi qua A, B và cắt mặt cầu ( )S

theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất có phương trình là

A x−2y+ − =3z 2 0 B x−2y− − =3z 2 0 C x+2y− − =3z 6 0 D.

2x y− − =1 0

Hướng dẫn giải Chọn B

Để ( )P cắt ( )S theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất thì ( )P phải qua

Gọi I là hình chiếu vuông góc của M(2;5;3) trên ∆, H

là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ( )P

( ) ( ) 0 2 1 2 5 2 1 2 0 1

m n

= −



 =

Vậy m n+ = −21

Câu 24.18 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

a b c d∈¢ và a b c d, , , <5) Khi đó tích a b c d bằng bao nhiêu?

A 120 B 60 C −60 D −120

Hướng dẫn giải Chọn D

Trên đường thẳng ∆ lấy điểm A(1;1;0) Gọi d là đường thẳng đi qua A và vuônggóc với mặt phẳng ( )α Ta có urd = −(1; 2; 2).

Trên đường thẳng d lấy điểm C bất kì khác điểm A

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng ( )P và đường thẳng

Hướng dẫn giải Chọn D

A − , cắt d tại 2 B(2;1;3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2: uuurAB(2 3− + − +t' t; 4 2t'+2 ;4t + −t t' )cùng phương với ur∆ =(1; 2;3)

Do dó ta có hệ pt:

' ' '

t t k

Câu 29.2 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;0;4), (1;2;3), (2;1;8)B C

Phương trình trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

A.

32342112

Câu 29 4: Cho hai điểm A(3; 3;1), B(0; 2;1), mặt phẳng ( )P x y z: + + − =7 0 Đường thẳng

d nằm trên ( )P sao cho mọi điểm của d cách đều hai điểm A , B có phương trình là

Lời giải Chọn A

Gọi ( )α là mặt phẳng trung trực của AB và d =( ) ( )α ∩ P Khi đó d chính là đường

thẳng thuộc mặt phẳng ( )P và cách đều hai điểm ,A B

uuur=nuuur uuurnα = − − = − − .

Mà d đi qua C(0;7;0) ( ) ( )∈ α ∩ P Vậy d có phương trình tham số là: 7 3

Câu 29 5: (Đề 2016 - 2017)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là

phương trình của đường thẳng đi qua điểm (2;3;0)A và vuông góc với mặt phẳng

− Phương trình nào dưới đây là phương

trình đường thẳng đi qua M, vuông góc với ∆ và ∆′

Câu 29 7 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : 3x−5y+2z+ =8 0 vàđường thẳng ( )

Gọi M(7; 7;6− )∈d Gọi N x y z là điểm đối xứng của ( ; ; ) M qua mặt phẳng ( )P và

Gọi M t t( ; ; 2− t) và N(− −1 2 ', ', 1t t − −t') Suy ra MNuuuur= − − −( 1 2 ' ; ' ; 1t t t t− − − +t' 2t).

Do đường thẳng d song song với ( )P nên 1 2 '− − − − + + + − = ⇔ = −t t t t' 1 t' 2t 0 t t'.Khi đó MNuuuur= − + − − +( 1 ; 2 ; 1 3t t t)⇒MN = 14t2− +8t 2

7

MN = ⇔ t − + = ⇔ = ∨ =t t t Với t=0 thì MNuuuur= −( 1;0; 1− ) ( loại do không có đáp án thỏa mãn )

Phương trình (Oxy z): =0 nên hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (Oxy là)

đường thẳng có phương trình tham số 1 21

Câu 41: Trong không gian Oxyz , cho điểm M(1;1;2) Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng ( )P đi qua

M và cắt các trục x Ox y Oy z Oz′ , ′ , ′ lần lượt tại các điểm , ,A B C sao cho

a+ a+ a = > cắt ba trục Ox Oy Oz, , lần lượt tại ba điểm A B C, , Tính

thể tích V của khối tứ diện OABC

Ta có: A a( ;0;0 ,) (B 0; 2 ;0 ,a ) (C 0;0;3a) ⇒OA a OB= , =2 ,a OC=3a

   

21

m n+ + = ( )P qua hai điểm M(1;8;0) nên 1 8 1

A 3 B 2 C 1 D 4.

Hướng dẫn giải Chọn A

Phương trình mặt phẳng ( ABC viết theo đoạn chắn là: ) x y z 1

a+ + =b c

Theo bài ra: 2 2 1 1

a b c− + = ⇒M(2; 2;1− ) (∈ ABC)Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng ( ABC khi đó: OH OM) ≤ nên OH lớn nhất bằng OM khi H ≡M Khi đó khoảng cách từ O đến ( ABC lớn nhất bằng)

Lời giải Chọn A

Gọi H là hình chiếu của O lên AB,

K là hình chiếu của O lên HC Ta có OK⊥( )P và

Do tứ diện OABC có ba cạnh OA OB OC, , đôi một vuông góc nên nếu H là trực

tâm của tam giác ABC dễ dàng chứng minh được OH ⊥(ABC) hay OH ⊥( )P Vậy mặt phẳng ( )P đi qua điểm H(1;2;3) và có VTPT OHuuur(1;2;3)

nên phương trình( )P là

(x− +1) (2 y− +2) (3 z− = ⇔ +3) 0 x 2y+ − =3z 14 0

Câu 41.6: Trong không gian Oxyz, cho M(1;9; 4) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm M và cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B , C (khác gốc tọa độ) sao cho OA OB= =2OC

Câu 41.7:Trong không gian Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng đi

qua điểm M(4;9;1) và cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C khác O sao cho thể tích

tứ diện OABC nhỏ nhất

A 9x+4y+1945z−2017 0= B − +9x 4y−36z+36 0=

C 9x+4y+36z−108 0= D 9x−4y z+ − =18 0