Chuyên đề phép biến hình

Phép tịnh tiến biến đườ T0rng thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đ

Phép biến hình

4 tiết

(40 câu)

Phép tịnh tiến Phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm 1

TIẾT 1 PHÉP TỊNH TIẾN, PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC, PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

A Kiến thức cơ bản

I Phép tịnh tiến

1 Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho véc tơ vr Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho M Muuuuur r'=v , được gọi là phép tịnh tiến theo véc tơ vr

Ký hiệu:

v

Tr vr

là véc tơ tịnh tiến

v

T Mr =M ⇔M Muuuuur r=v

+) là phép đồng nhất

2 Tính chất.

*) Tính chất 1 Nếu T M vr( )=M T N', ( )vr =N' thì M Nuuuuuur uuuur' '=M N và từ đó suy ra ' '

M N =MN

Nói cách khác, phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

*) Tính chất 2 Phép tịnh tiến biến đườ T0rng thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng

nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

3 Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M x y và véc tơ ( ; ) vr=( ; ).a b Gọi M'=T M vr( ), '( '; ')

M x y Ta có:

'

'

x x a

y y b

 = +

 Đây là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo véc tơ v

r

II Phép đối xứng trục

1 Định nghĩa: Cho đường thẳng d PhéMM'p biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn , được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d

Ký hiệu: Đd , d được gọi là trục của phép đối xứng hay đơn giản là trục đối xứng.

Đ d( )M =M'⇔d là trung trực của MM’.

2 Tính chất.

*) Tính chất 1 Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

*) Tính chất 2 Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng

thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

3 Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục qua trục Ox

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M x y Gọi Đ( ; ) Ox( )M =M', M x y Ta có:'( '; ') '

'

x x

 =

 = −

 Đây là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox.

III Phép đối xứng tâm

1 Định nghĩa: Cho điểm I Phép biến hình biến mỗi điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm

M khác I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn MM', được gọi là phép đối xứng tâm I

Ký hiệu: ĐI, I là tâm đối xứng

2 Tính chất.

*) Tính chất 1 Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

*) Tính chất 2 Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc

trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng

nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

B Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1 NB Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nếu có phép tịnh tiến biến M( )4;2 thành

( )

' 4;5

M thì nó biến điểm A( )2;5 thành điểm :

A. A' 2;8( ). B A' 5;2( ) C A' 1;6( ) . D A' 2;5( )

Câu 2 NB Trong mặt phẳng, hình nào sau đây có vô số tâm đối xứng:

A Hình tròn B Hình vuông C Đường thẳng D.Tam giác.

-Câu 3 NB Cho 2 đường thẳng d và d’ song song Có bao nhiêu phép đối xứng trục

biến đường thẳng d thành đường thẳng d’?

Câu 4 TH Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình

( ) (2 )2

x− + y+ = Hỏi phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy và phép tịnh tiến theo véctơ vr(2;3)

biến đường tròn (C) thành đường tròn nào trong các đường tròn có phương trình sau?

A ( ) (2 )2

x− + y− =

C ( ) (2 )2

Câu 5 TH Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Phép tịnh tiến theo véc tơ ur( )4;6

biến đường thẳng a có phương trình x y+ –1 0= thành đường thẳng có phương trình nào sau đây ?

A. x y+ +9 0= B x y+ –11= 0 C +x y− =3 0 D x y+ +1 0=

Câu 6 TH Trong mặt phẳng, cho hình vuông ABCD, gọi E, F theo thứ tự là trung

điểm cạnh AB, CD Gọi O là giao điểm của AC và BD, thì qua phép đối xứng tâm O

A DFuuur

biến thành EBuuur B uuurFD

biến thành BEuuur

C FEuuur

biến thành DBuuur D DFuuur

biến thành

Câu 7 VD Cho f là một phép dời hình có duy nhất điểm bất động O và giữ bất biến

các đường thẳng đi qua O, f là phép dời hình nào sau đây?

Câu 8 VD Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn :

( ) 2 2

C +y − − y− = Gọi ( )C là ảnh của 2 ( )C qua phép tịnh tiến theo véc tơ1

( )1;2

ur

Gọi I( )a;b , R lần lượt là tâm và bán kính của ( )C Tính 2 S a b R= + +

Giải

Đáp án D

( )C có tâm (1;2)1 J , bán kính R= 3 Gọi J là tâm đường tròn ( )C2

( )C là ảnh của 2 ( )C qua phép tịnh tiến theo véc tơ 1 ur( )1;2

( )

3

u

u

T J I

R

=





r

Câu 9 VDC Trong mặt phẳng cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kínhR Kẻ đường kính AOA’ Gọi M là trung điểmBC Gọi G là trọng tâm, H là trực tâm, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , J là trung điểm AB Phép đối xứng tâm

M biến A’ thành điểm nào sau đây?

A H B G C I D J

Giải Đáp án A.

/ / ' '

⊥



Tương tự BH / /CA'

Nên tứ giác BHCA’ là hình bình hành, do đó hai đường

chéo BC và HA' cắt nhau tại trung điểm mỗi đường Suy

ra M là trung điểm của HA'

Vậy Phép đối xứng tâm M biến A’ thành điểm H

Đáp án A.

Câu 10 VDC Trong mặt phẳng Oxy , cho (1;3)A và B( )5;1 Điểm M thuộc Ox để

(MA MB+ ) ngắn nhất, khi đó M có tọa độ là:

A.M(1; 3 − ) B M(5; 1 − ) C M( )4;0         D 10;0

3

TIẾT 2 PHÉP QUAY

A Lý thuyết cơ bản

1.Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác α Phép biến hình biến mỗi điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho '

OM =OM và (OM OM, ')=α , được gọi là phép quay tâm O, góc quay α

Ký hiệu: Q( , )Oα O là tâm quay, α là góc quay

Ta viết: ( , )

' ( ) '

( , ')

O

OM OM

=





+)Q( , 2 )O k π là phép đồng nhất

2 Tính chất.

*) Tính chất 1 Nếu Q( , )Oα ( )M =M Q', ( , )Oα ( )N =N' thì M N' '=MN

Nói cách khác, phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

*) Tính chất 2 Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành

đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

B Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 11 NB Điểm nào sau đây là ảnh của điểm M(1; 2)qua phép quay tâm O( )0;0 góc quay 90 0

A. M'( 2;1)− B. M'(2; 1)− C. M'(1; 2)− D M'( 1; 2 )−

-Câu 12 NB Cho tam giác đều ABC với trọng tâm G Phép quay tâm G với góc quay nào sau đây biến tam giác ABCthành chính nó?

A. 30 0 B. 45 0 C. 60 D.0 120 0

-Câu 13 NB Giả sử phép quay tâm O , góc quay α là Q( , )Oα biến điểm M thành

điểm M’ Chọn câu SAI trong các câu sau:

A. Q( , )Oα là một phép dời hình. B. Q( , )Oα có O là một điểm bất động

C.Ta luôn có OMuuuur uuuuur=OM ' và MOM· '=α. D Ta luôn có OM =OM' và

(OM OM, ') =α

Câu 14 TH Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng : 2d x y+ + =5 0 và ': 2 3 0

d x− y− = Nếu có phép quay biến đường thẳng này thành đường thẳng kia thì số

đo của góc quay ϕ là:

A. 90 0 B. 45 0 C. 60 D.0 120 0

-Câu 15 TH Biết B nằm giữa A và C; trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳngAC , dựng các tam giác đềuABE BCF Gọi , , M N lần lượt là trung điểm của các

đoạn thẳngAF CE Để chứng minh tam giác , BMN đều, một học sinh chứng minh qua 3 bước như sau:

Bước 1 Thực hiện phép quay Q( ,60 )B 0 biến E thànhA , biến C thànhF.

Bước 2 Do đó Q( ,60 )B 0 biến đoạn thẳng EC thành đoạn thẳng AF Như thế, Q( ,60 )B 0 biến trung điểm N của EC thành trung điểm M củaAF

Bước 3 Từ kết quả trên suy ra: ( , ) 600 · 600

BMN

BM

M



=

=

Hỏi cách chứng minh trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A.Sai từ bước 1 B Sai từ bước 2.

Câu 16 TH Cho hình vuông tâm O , có bao nhiêu phép quay tâm O , góc quay

, 0 2

α < <α π biến hình vuông thành chính nó

-Câu 17 VD Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M x y Phép quay ( ; ) Q( , )Oα ,

biến điểm M thành điểm M' có tọa độ là:

A. M x'( cos ; sin ).α y α B M x'( cosα −ysin ; sinα x α +ycos ).α

C. M y'( cos ; sin ).α x α D M x'( cosα +ysin ; sinα x α−ycos ).α

-HưhớHướng dẫn giải

'( cos sin ; sin cos )

M x α −y α x α +y α

Theo tính chất của phép quay ta có: OM= OM’

Đặt (Ox OM, )=β, thế thì

cos , sin

x OM= β y OM= β

Gọi M x y '( '; ')

Ta có: (Ox OM, ')= +α β Do đó:

*) ' 'cos( )

(cos cos sin sin )

cos sin

x OM

OM

α β

*)

(sin cos cos sin )

sin sin

y OM

OM

α β

Vậy M x'( cosα−ysin ; sinα x α+ycos ).α

Đáp án B

Câu 18 VD Cho bốn đường thẳng , , ’, ’a b a b trong đó / / ’, / / ’ a a b b và a cắt b

Có bao nhiêu phép quay biến các đường thẳng a và b lần lượt thành các đường thẳng ' a ;

vàb’ ?

A Không có phép nào B Có một phép duy nhất

C Chỉ có hai phép D Có vô số phép

Đáp án B

Phép quay góc quay 180 , tâm quay là tâm hình bình hành tạo bởi bốn đường thẳng đã0 cho

Câu 19 VDC Cho tam giác ABC vuông tại B và có góc · 0

60

BAC= ( các đỉnh của

tam giác như hình vẽ) Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác ACD Ảnh của cạnh BC qua

phép quay Q( ,60 )A 0 là:

A.AD

B. AI với I là trung điểm của CD

C. CJ với J là trung điểm của AD.

D.KD với K là trung điểm của AC

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết suy ra tam gáic ABC là nửa tam giác đều, do

đó AC = 2AB.

Phép quay Q( ,60 )A 0 biến B thành K, C thành D

Vậy ảnh của BC là KD.Từ gi

Câu 20 VDC Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O, biết OA = a Phép quay Q( ;180 )O 0 biến

A thành A’, biến B thành B’ Độ dài đoạn thẳng A’B’ là:

A. 2 sin 36a 0 B. 2 cos36a 0 C. a.sin 720 D a.cos 720 Hướng dẫn giải

Phép quay Q( ;180 )O 0 biến A thành A’, biến B thành B’

' '

A B AB

ABCDE là ngũ giác đều nên · 3600 0

72 5

0

2 cos 72 2 (1 cos 72 ) 4 sin 36

2sin 36

AB

TIẾT 3 PHÉP VỊ TỰ

A Kiến thức cơ bản

1.Định nghĩa: Trong mặt phẳng điểm O và số thực k≠0 Phép biến hình biến mỗi điểm

M thành điểm M’ sao cho OMuuuuur'=kOMuuuur, được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k

Ký hiệu: V( , )O k hoặc k

O V

O là tâm vị tự, k là tỉ số vị tự

+) V( , )O k ( )M =M'⇔OMuuuuur'=kOMuuuur

( , )O k ( ) , 0

V O = ∀ ≠O k

+) V( ,1)O là phép đồng nhất

+) V( , 1)O− là phép đối xứng tâm O

+) ' ( , )O k ( ) ( , )1 ( ')

O k

M =V M ⇔M V= M

2 Tính chất.

*) Tính chất 1 Nếu V( , )O k ( )M =M V', ( , )O k ( )N =N' thì M Nuuuuuur' '=k M Nuuuur và M N' '= k MN

Nói cách khác, phép vị tựbảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ

*) Tính chất 2 Phép vị tự tỉ số k:

- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy

- Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia; biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

- Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó

- Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính k R

Câu 21 NB Trong mặt phẳng điểm O và số thực k≠0 Gọi M’ là ảnh của M qua phép vị tự tâm O tỉ số k Khi đó trong các khẳng định sau đâu là khẳng định sai?

A. Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó B OMuuuuur'=kOMuuuur

C.Khi k = 1 phép vị tự là phép đối xứng tâm.

( , )

O k

M =V M ⇔M V= M .

-Câu 22 NB Mệnh đề nào sau đây Sai về phép vị tự

A.Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy

B Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

C Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó.

D -Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có cùng bán kính

Câu 23 NB Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A( )3;2 Ảnh của A qua phép vị tự tâm

O tỉ số k = −1 có tọa độ là:

Câu 24 TH Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp O Phép vị tự tâm G, biến H thành O có tỉ số là:

2 3

2

−

Câu 25 TH Cho hai đường tròn có bán kính bằng nhau ( ; )C O R và '( '; ) C O R với tâm O và O’ phân biệt Có bao nhiêu phép vị tự biến ( ; ) C O R thành '( '; ) C O R

A.0 B.1 C.2 D.Vô số.

-Câu 26 TH Thực hiện liên tiếp phép dời hình và phép vị tự chỉ số (-2) ta được phép

đồng dạng tỉ số:

-Câu 27 VD Ảnh của đường thẳng : 2d x−5y+ =3 0 qua phép vị tự tâm (1;2)I tỉ số 3

k= − là:

A. 2x−5y+23 0= B 2x−5y− =9 0 C.2x−5y− =41 0 D 2x−5y+29 0= Giải

Lấy M x y( ; )∈d Gọi M x y là ảnh của M qua phép vị tự tâm (1;2)'( '; ') I tỉ số k = −3

( 1; 2); ' ( ' 1; ' 2)

IM = −x y− IM = x − y −

,

( , 3)

4 '

3

I

x x

y

−

−

 =



− = − +



uuuur uuur

Do M x y( ; )∈d nên n2x−5y+ =3 0 ⇔ 2.4 ' 5.8 ' 3 0 2 ' 5 ' 23 0

' ': 2 5 23 0

⇒ ∈ − + = nĐáp án A.áp áa

Câu 28 VD Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) : (x 2)C − 2+ −(y 2)2 =4 Phép vị tự tâm I(1;-1) tỉ số k=4 biến ( )C thành đường tròn nào sau đây.

( ') : (x 5)C − + −(y 11) =8 B 2 2

( ') : (x 5)C − + −(y 11) =64

C ( ') : (x 2)C + 2+ −(y 4)2 =16 D ( ') : (x 5)C + 2+ +(y 11)2 =64 Giải

Lấy M x y( ; ) ( )∈ C Gọi M x y là ảnh của M qua phép vị tự tâm (1; 1)'( '; ') I − tỉ số k=4 ( 1; 1); ' ( ' 1; ' 1)

IM = −x y+ IM = x− y +

,

( ,4)

' 3

4

I

x x

y

+

 =





uuuur uuur

Do M x y( ; ) ( )∈ C nên n 2 2

(x 2)− + −(y 2) = ⇔4

' ( ') : (x 5) (y 11) 64

⇒ ∈ − + − = nĐáp án B.áp á-Gi

Câu 29 VDC Cho hai đường tròn ( ) : (x 3)C − 2+ −(y 3)2 =9 và

( ') : (x 10)C − + −(y 7) =4 Tâm vị tự trong của phép vị tự biến (C) thành (C’) có tọa độ

A. 36 27;

5 5

29 23

;

5 5

 . C. (24;15 D.) 32 24;

5 5

Giải

(C) có tâm I( )3;3 bán kínhR=3 , (C’) có tâm I’ 10;7 ,( ) bán kính R’ 2=

Gọi J là tâm vị tự trong của 2 đường tròn Ta có

2

( , )

3

3

J

−

uuur uur

Đáp án A

Phương án nhiễu

- Đáp án B nhầm ( , 2)

3

29

23 3

5

J

x

y

−

 =



 =



uur uuur

Câu 30 VDC Cho hai đường tròn ( ) : (x 1)C − 2+ −(y 2)2 =1và

( ') : (x 4)C − + −(y 2) =4. Tâm vị tự ngoài của phép vị tự biến (C) thành (C’) có tọa độ

A. ( )2; 2 B. (2; 2− ) C. (−2; 2) D (3; 1− )

- Giải

(C) có tâm I( )1;2 , bán kính = 1R , (C’) có tâm I’ 4;2 ,( ) bán kính R’ 2=

Gọi J là tâm vị tự ngoài của 2 đường tròn Ta có

( , )

J

R

uuur uur

Đáp án

C. -TIẾT 4 PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG

Câu 31 NB Tính chất nào sau đây không phải là tính chất của phép dời hình?

A Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của ba điểm

đó

B Biến đường tròn thành đường tròn bằng nó.

C Biến tam giác thành tam giác bằng nó.

D Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài gấp k lần đoạn thẳng ban đầu (k≠1)

Câu 32 NB Trong các phép biến hình sau đây, phép nào không phải là phép dời

hình?

A Phép chiếu vuông góc lên một đường thẳng B Phép đồng nhất.

Câu 33 NB Xác định mệnh đề sai:

(I): Phép đồng dạng là phép dời hình.

(II): Phép dời hình là phép đồng dạng

(III): Phép vị tự là phép đồng dạng

(IV): Phép tịnh tiến là phép đồng dạng

A.(I) B.(II) C (III) D.(IV)

Câu 34 TH Phép đồng dạng tỉ số 2 biến đường tròn có bán kính 6 thành đường tròn

có bán kính là:

Câu 35 TH Phép dời hình không bảo toàn yếu tố nào sau đây?

Câu 36 TH Trong hệ trục tọa độ Oxy cho điểm M( )2; 2 Phép đồng dạng là hợp thành của phép vị tự tâm I(− −2; 3) tỉ số k =4 và phép tịnh tiến theo véc tơ vr=(2; 1)− sẽ

biến điểm M thành điểm M’ có tọa độ là

A

Câu 37 VD Trong hệ trục tọa độ Oxy cho đường thẳng : d x+2y=0 Phép đồng dạng là hợp thành của phép vị tự tâm I(1; 2− ) tỉ số k=3 và phép quay tâm O góc quay

2

π

sẽ biến đường thẳng d thành đường thẳng có phương trình là:

A 2x y− − =6 0 B x+2y− =6 0 C.2x y− + =6 0 D 2x y− − =3 0

Lời giải

Đáp án C

Lấy M x y( ; )∈d Gọi M x y là ảnh của M qua phép vị tự tâm (1; 2)'( '; ') I − tỉ số k =3 ( 1; 2); ' ( ' 1; ' 2)

IM = −x y+ IM = x − y +

,

( ,3)

' 2

3

I

x x

y

+

 =





uuuur uuur

Do M x y( ; )∈d nên nx+2y=0 ⇔ ' 2 2 ' 4 0 ' 2 ' 6 0

' ' : 2 6 0

Lấy (0;6)M ∈d N'; (12;0)∈d'

( ) ', ( ) ' '(0;6), '( 3;0)

( , )

2

( ') '' ', ' ''

O

Q π d =d ⇒M N ∈d ⇒ '':d x+2y− =6 0

Câu 38 VD Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho I( )1;1 và đường tròn tâm I bán kính 2.

Phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng

cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc 45 và phép vị tự tâm O, tỉ số 2 là:0

x− +y = B x2+ −(y 2)2 =8 C.( )2 2

x− +y = D ( )2

2

x− +y =