CHUYÊN đề NGUYÊN hàm TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG

Sau đây là bài tập chuyên đề Nguyên Hàm – Tích Phân có đầy đủ lời giải chi tiết để học sinh rèn luyện khi dùng sách: Các bạn có thể đặt sách online trên megabook.vn, tiki.vn, newshop.vn

Xin gởi lời chân thành cám ơn đến quý thầy cô và các em học sinh đã sử dụng sách của tác giả Trần Công Diêu Chúc mọi người luôn hạnh phúc và thành công trong cuộc sống Sau đây là bài tập chuyên đề Nguyên Hàm – Tích Phân có đầy đủ lời giải chi tiết để học sinh rèn luyện khi dùng sách:

Các bạn có thể đặt sách online trên megabook.vn, tiki.vn, newshop.vn xin cám ơn!

Hiện này cũng đã có Mega Luyện Đề Toán 2017 cac thầy cô và học sinh có thể vào megabook.vn để đặt sách Sách được tặng kèm 30 đề minh họa giải chi tiết:

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM Bài 1: Hàm số f x( ) có nguyên hàm trên Knếu:

A f x( ) xác định trên K B f x( ) có giá trị lớn nhất K

C f x( ) có giá trị nhỏ nhất trên K D f x( ) liên tục trên K

Bài 2 Mệnh dề nào sau đây sai?

A Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên ( ; )a b và C là hằng số thì  f x dx( ) F x( )C

B Mọi hàm số liên tục trên ( ; )a b đều có nguyên hàm trên ( ; )a b

C F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên ( ; )a b F x'( ) f x( ), x ( ; ).a b

D  '

f x dx  f x



Bài 3 Xét hai khẳng định sau:

(I) Mọi hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b đều có đạo hàm trên đoạn đó

(II) Mọi hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b đều có nguyên hàm trên đoạn đó

Trong hai khẵng định trên:

A Chỉ có (I) đúng B Chỉ có (II) đúng

Bài 4 Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm cũa hàm số f x( ) tục trên đoạn [ ; ]a b nếu:

A Với mọi x( ; )a b , ta có F x'( ) f x( )

B Với mọi x( ; )a b , ta có f x'( )F x( )

C Với mọi x[ ; ]a b , ta có F x'( ) f x( )

D Với mọi x( ; )a b , ta có F x'( ) f x( ), ngoài ra F a'( ) f a( ) và F b'( ) f b( )

Bài 5 Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên khoảng D, câu nào là sai?

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

(I) F là nguyên hàm của f trên D nếu và chĩ nếu  x D F x: '( ) f x( )

(II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D

(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số

A Không có câu nào sai B Câu (I) sai

Bài 6 Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoãng ( ; )a b Giả sử G x( ) cũng là một nguyên hàm cũa f x( ) trên khoãng ( ; )a b Khi đó:

A F x( )G x( ) trên khoãng ( ; )a b

B G x( )F x( )C trên khoãng ( ; )a b , với C là hằng số

C F x( )G x( )C với mọi x thuộc giao cũa hai miền xác định, C là hằng số

D Cả ba đều sai

Bài 7 Xét hai câu sau:

(I)  f x( )g x dx( )  f x dx( ) g x dx( ) F x( )G x( )C, trong đó F x( ) và G x( ) tương ứng là nguyên hàm cũa f x g x( ), ( )

(II) Mô̂i nguyên hàm a f x ( ) là tích của a với một nguyên hàm cũa f x( )

Trong hai câu trên:

A Chỉ có (I) đúng B Chỉ có (II) đúng

Bài 8 Câu khẵng định nào sau đây là sai?

Bài 10 Trong các khẵng định sau, khẵng định nào sai?

A Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) thì mọi nguyên hàm của f x( ) đều có dạng

D F x( ) 5 cosx là một nguyên hàm của hàm số f x( )sinx

Bài 11 Trong các khẵng định sau, khẵng định nào sai?

( 1)( )

Bài 14 Tính e e x x1dx ta được kết quã nào sau đây?

A e e x x1C B 1 2 1

2

x

e  C C 2e2x1C D Một kết quã khác

Bài 15 Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm của hàm số f x( )(x3)4?

A

5( 3)

Bài 19 Nếu

3( )

A ( ; ; )a b c (1;2;0) B ( ; ; )a b c  (1; 2;0)

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

x Đễ hàm số

C a1,b2,c 1,d  2 D Kết quã khác

Bài 29 Một nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )sin2x là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này

1 4

2

x x

s inx - cosxsinx 3cosx D

3 s inx + cosx2sinx cosx

x C

1 cos 22

C x

 (n nguyên dương), trong phương pháp tính tích phân từng phần,

cách đặt nào dưới đây thích hơp?

A u x dv n, sin xdx B.usin x ,dx dv x dx n

C.u xwww.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 sinx,dv x dx n1

Câu 8: Gọi V và x V lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi phép quay hình elip y

4

x J

1 tan

dxtan 2

x J

Bài giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai ở đâu?

A.Đúng B Sai từ bước 1 C Sai từ bước 2 D Sai ở bước 3

Câu 22: Bằng cách đặt tcos 3x, tích phân

6

12

1dxsin 3x

 Bằng cách đặt ttanx, tích phân Ađược biến đỗi

thành tích phân nào sau đây

1dt4

t 

1 2 0

1dt2

t 

1 2 0

1dt2

5 5 83

5 5 83

Câu 25: Tính

4

2 0

8 sin c osx

dx

x I

1dxsin

1dxcos2

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A Đúng B Sai từ bước 1 C Sai từ bước 2 D Sai

từ bước 3

Câu 30: Tính 2

0

tan3

Câu 41: Tính

2 2 0

Câu 42: Biết 3  

0

53

f x dx

0

53

x dx

6 tan

xdx I

4

1

3 t  dt C 1  

2 0

21

3 t  dt

1 2 0

4

3t dt



BÀI TẬP ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 1 (1) Cho y f (x) là một hàm liên tục trên đoạn  a;b thì diện tích S H  của hình thang cong H giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f x ( ) , trục hoành và các đường thẳng x a , y=b được cho bởi công thức

Trong hai câu trên:

A Chỉ có (1) đúng B Chỉ có (2) đúng

C Cả hai câu đều đúng D Cả hai câu đều sai

Câu 2 Diện tích hình L tạo bởi đồ thị hàm sốyx31 , đường thẳng x2 , trục tung và trục hoành là:





www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

 và  , với a      b, là các nghiệm của phương trình f x1( )  f x2( )  0 Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng và đồ thị của được cho bởi công thức

A (1) đúng nhưng (2) sai B (2) đúng nhưng (1) sai

C Cả (1) và (2) đều đúng D Cả (1) và (2) và đều sai

Câu 7 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đườngy  x, trục hoành và đường thẳng y   4 x là:

  D 1

1

e e

Câu 15 Xét hai phát biểu:

(1) Cho hai hàm y  f x ( )vày  g x ( ) có đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B Giả sử a, b tương ứng là hoành độ các giao điểm A, B( với a  b ) Khi đó diện tích hình phẳng nằm giữa hai đồ thị ấy bằng ( ) b ( ( ) ( ))

a

(2) Giả sử S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm

có hoành độ x Khi đó, thể tích V(B) của phần vật thế giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với Ox

tại các điểm a và b là V B ( ) b S x dx ( )

a

  Trong hai câu trên

A Chỉ có (1) đúng B Chỉ có (2) đúng

C Cả hai câu đều đúng D Cả hai câu và đều sai

Câu 16 Gọi K là hình giới hạn bởi paraboly   2 x2 và đường thẳngy   x Khi đó, K có diện tích bằng:

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Bài 23 Viết công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn bỡi đồ thị hàm số y f x( ), trục hoành

và hai đường thẳng xa x, b a( b) là:

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

b là phân số tối giản)

Khi đó mối liên hệ giư̂a a và b là:

A a b 2 B a b 3 C a b  2 D a b  3

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Câu 28 Kết quã cũa việc tính diện tích hình phẵng giới hạn bỡi đồ thị ( ) :C y x42x21, trục Ox

gần nhất với giá trị nào sau đây?

A Diện tích hình vuông có cạnh bằng 2

B Diện tích hình chư̂ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt là 5 và 3

C Diện tích hình tròn có bán kính bằng 3

D Diện tích toàn phần khối tứ diện đều có cạnh bằng

4

2 3.3

Lời Giải Chi Tiết

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM Bài 1: Hàm số f x( ) có nguyên hàm trên Knếu:

A f x( ) xác định trên K B f x( ) có giá trị lớn nhất K

C f x( ) có giá trị nhỏ nhất trên K D f x( ) liên tục trên K

Đáp án D

Hướng dẫn giải

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Đễ hàm số f x( ) có nguyên hàm trên K khi và chĩ khi f x( ) liên tục trên K

Bài 2 Mệnh dề nào sau đây sai?

A Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên ( ; )a b và C là hằng số thì  f x dx( ) F x( )C

B Mọi hàm số liên tục trên ( ; )a b đều có nguyên hàm trên ( ; )a b

C F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) trên ( ; )a b F x'( ) f x( ), x ( ; ).a b

Hướng dẫn giải

Sữa lại “Tất cã nguyên hàm cũa f x( )trên ( ; )a b đều có đạo hàm bằng f x( )”

Bài 3 Xét hai khẳng định sau:

(I) Mọi hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b đều có đạo hàm trên đoạn đó

(II) Mọi hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [ ; ]a b đều có nguyên hàm trên đoạn đó

Trong hai khẵng định trên:

A Chỉ có (I) đúng B Chỉ có (II) đúng

Đáp án B

Hướng dẫn giải

Vì hàm số có đạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0, nhưng nếu hàm số liên tục tại x0 thì chưa chắc đã có đạo hàm tại x0 Chẵng hạn xét hàm số f x( ) | | x tại điểm x0

Bài 4 Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm cũa hàm số f x( ) tục trên đoạn [ ; ]a b nếu:

A Với mọi x( ; )a b , ta có F x'( ) f x( )

B Với mọi x( ; )a b , ta có f x'( )F x( )

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

C Với mọi x[ ; ]a b , ta có F x'( ) f x( )

D Với mọi x( ; )a b , ta có F x'( ) f x( ), ngoài ra F a'( ) f a( ) và F b'( ) f b( )

Đáp án D

Hướng dẫn giải

Với mọi x( ; )a b , ta có F x'( ) f x( ), ngoài ra

'( ) ( )

F a  f a và F b'( ) f b( )

Bài 5 Trong các câu sau đây, nói về nguyên hàm của một hàm số f xác định trên khoảng D, câu nào là sai?

(I) F là nguyên hàm của f trên D nếu và chĩ nếu  x D F x: '( ) f x( )

(II) Nếu f liên tục trên D thì f có nguyên hàm trên D

(III) Hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số

A Không có câu nào sai B Câu (I) sai

Đáp án A

Bài 6 Giả sử F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên khoãng ( ; )a b Giả sử G x( ) cũng là một nguyên hàm cũa f x( ) trên khoãng ( ; )a b Khi đó:

A F x( )G x( ) trên khoãng ( ; )a b

B G x( )F x( )C trên khoãng ( ; )a b , với C là hằng số

C F x( )G x( )C với mọi x thuộc giao cũa hai miền xác định, C là hằng số

D Cả ba đều sai

Đáp án B

Hướng dẫn giải

vì hai nguyên hàm trên D của cùng một hàm số thì sai khác nhau một hằng số

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Bài 7 Xét hai câu sau:

(I)  f x( )g x dx( )  f x dx( ) g x dx( ) F x( )G x( )C, trong đó F x( ) và G x( ) tương ứng là nguyên hàm cũa f x g x( ), ( )

(II) Mô̂i nguyên hàm a f x ( ) là tích của a với một nguyên hàm cũa f x( )

Trong hai câu trên:

A Chỉ có (I) đúng B Chỉ có (II) đúng

D  f x1( ) f x dx2( )  f x dx1( )  f x dx2( )

Đáp án B

Hướng dẫn giải

( )' 1 2 x   x  F x '( )  f x ( )  F x ( )  x không phãi là nguyên hàm cũa hàm số ( )f x 2 x

Bài 10 Trong các khẵng định sau, khẵng định nào sai?

A Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) thì mọi nguyên hàm của f x( ) đều có dạng

C F x( ) 1 tanx là một nguyên hàm của hàm số f x( ) 1 tan2x

D F x( ) 5 cosx là một nguyên hàm của hàm số f x( )sinx

Hướng dẫn giải

Vì kết quả này không đúng với trường hợp   1

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Hướng dẫn giải

Ta thế hàm số ( ) 1

  nên có nguyên hàm trên khoãng này

Bài 13 Một nguyên hàm cũa hàm số

3 2

( 1)( )

Hướng dẫn giải

Bài 23 Tìm số thực m để hàm số F x( )mx3(3m2)x24x3 là một nguyên hàm số của hàm số

m

m m

C C

Vậy m1 là giá trị cần tìm

Bài 24 Cho hàm số f x( ) x e2 x Tìm a b c, , để  2 

F x  ax bx c e là một nguyên hàm của hàm số f x( )

x Đễ hàm số

Đáp án C

Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có F x'( ) f x( )

Lại có F x'( )(ad)cosxcxcosx (c b)sinxaxsinx

Đễ F x'( ) f x( ),  x  (ad)cosccxcosx (c b)sinxaxsinxxcos ,x  x 

A

3sin

Nguyên hàm của s inx + cosx

sinx cosx là ln sinx cosx C 

Câu 32: Tìm một nguyên hàm của

2

2 2

tan2

1 4

2

x x

2

2 2

s inx - cosxsinx 3cosx D

3 s inx + cosx2sinx cosx

x C

1 cos 22

C x

  mà klà số nguyên dương nên chọn k 1; 2

Câu 4: Kết quả của  2 

 (n nguyên dương), trong phương pháp tính tích phân từng phần,

cách đặt nào dưới đây thích hơp?

A u x dv n, sin xdx B.usin x ,dx dv x dx n

C.u x sinx,dv x dx n1

Giải: Chọn A

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Câu 8: Gọi V và x V lần lượt là thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi phép quay hình elip y

1

x

a y

Câu 10: Kết quả của tích phân

Câu 13: Tính

4 3 0

4

x J

1 1

24

1 tan

dxtan 2

x J

Bài giải trên đúng hay sai, nếu sai thì sai ở đâu?

A.Đúng B Sai từ bước 1 C Sai từ bước 2 D Sai ở bước 3

 Bằng cách đặt ttanx, tích phân Ađược biến đỗi

thành tích phân nào sau đây

1dt4

t 

1 2 0

1dt2

t 

1 2 0

1dt2

5 5 83

5 5 83

Giải:

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

8 sin c osx

dx

x I

1dxsin

Đặt 2

1sincot

1dxcos2

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

B Đúng B Sai từ bước 1 C Sai từ bước 2 D Sai

Câu 42: Biết 3  

0

53

f x dx

0

53

f u du f x dx

35

x dx

6 tan

xdx I

4

1

3 t  dt C 1  

2 0

21

3 t  dt

1 2 0

32

Trong hai câu trên:

A Chỉ có (1) đúng B Chỉ có (2) đúng

C Cả hai câu đều đúng D Cả hai câu đều sai

Đáp án B

Hướng dẫn giải:

chỉ có (2) đúng (1) đúng nếu thêm giả thuyết f x    0 trên đoạn  a;b

Câu 2 Diện tích hình L tạo bởi đồ thị hàm sốyx31 , đường thẳng x2 , trục tung và trục hoành là:

Câu 3 Diện tích miền giới hạn bởi hai đường yx21 và y 3 là

 x   x  =

883

    -

883

Câu 6 (1) Choy1  f x1( ) và y2  f x2( ) là hai hàm số liên tục trên đoạn   a b ; Giả sử:

 và  , với a      b, là các nghiệm của phương trình f x1( )  f x2( )  0 Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng và đồ thị của được cho bởi công thức

A (1) đúng nhưng (2) sai B (2) đúng nhưng (1) sai

C Cả (1) và (2) đều đúng D Cả (1) và (2) và đều sai

Tương tự như thế đối với 2 tích phân còn lạ vì vậy, hai công thức (1) và (2) là như nhau

Câu 7 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đườngy  x, trục hoành và đường thẳng y   4 x là:

Diện tích hình M là:

  D 1

1

e e

 

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

3 0

(1) Cho hai hàm y  f x ( )vày  g x ( ) có đồ thị cắt nhau tại hai điểm A, B Giả sử a, b tương ứng là hoành độ các giao điểm A, B( với a  b ) Khi đó diện tích hình phẳng nằm giữa hai đồ thị ấy bằng ( ) b ( ( ) ( ))

a

(2) Giả sử S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm

có hoành độ x Khi đó, thể tích V(B) của phần vật thế giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với Ox

tại các điểm a và b là V B ( ) b S x dx ( )

a

  Trong hai câu trên

A Chỉ có (1) đúng B Chỉ có (2) đúng

C Cả hai câu đều đúng D Cả hai câu và đều sai

Đáp án D

Hướng dẫn giải:

Cả hai đều sai, vì giả thuyết

Câu (1), phải giả thuyết thêm: f(x) > g(x) với mọi x a;b

Câu (2), phải giả thuyết thêm: S(x) là một hàm liên tục trên đoạn  a;b

Câu 16 Gọi K là hình giới hạn bởi paraboly   2 x2 và đường thẳngy   x Khi đó, K có diện tích bằng: