bài tập cận dụng cao môn toán

Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cộtlà một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác đều có cạnh 20 cm; sau khi hoàn thiện bằng cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh mỗi cột là một

ĐỀ 2

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO

Câu 1. Gọi z z là các nghiệm phức của phương trình: 1; 2

z2−4z+ =5 0 Tính z 2017 z 2017

( −1) +( −1) ?

A 2 2017 B 2 C 1007 2 2009 D 2 1009

Câu 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x= 2+1;x=0 và

tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x= 2+1 tại điểm A 1;2 và trục Ox?( )

A 1

1.

2.

1. 4

Câu 3. Cho đường tròn nội tiếp hình

vuông cạnh a ( như hình vẽ bên) Gọi S là

hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và hình

vuông (phần nằm bên ngoài đường tròn và

bên trong hình vuông) Tính thể tích vật thể

tròn xoay khi quay S quanh trục MN?

A V a3

6

π

12

π

3

π

Câu 4. Cho các số thực a b c, , thỏa mãn − + − + >16 42 a b c a 2b c00

 + + + <

điểm của đồ thị hàm số y=2x3+ax2+bx c+ và trục hoành Ox là

Câu 5. Cho miếng tôn tròn tâm O bán kính R Cắt miếng tôn

một hình quạt OAB và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh O không đáy (OA trùng với OB ) Gọi S S, ' lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại Tìm tỉ số S

S

'

để thể tích khối nón lớn nhất ?

A 1

1. 3

x a

−

=

−

(a≠ 0; ; ; a b c∈¡ có dạng đồ thị như)

hình vẽ bên Mệnh đề nào dưới đây

đúng?

A a >0, b> 0, c ab− <0

B a> 0, b<0, c ab− <0

C a< 0, b> 0, c ab− < 0

D a<0, b< 0, c ab− > 0

Câu 7. Một đội xây dựng cần hoàn thiện một hệ thống cột tròn của một

cửa hàng kinh doanh gồm 10 chiếc Trước khi hoàn thiện mỗi chiếc cột

là một khối bê tông cốt thép hình lăng trụ lục giác đều có cạnh 20 cm; sau khi hoàn thiện (bằng cách trát thêm vữa tổng hợp vào xung quanh) mỗi cột là một khối trụ có đường kính đáy bằng 42 cm Chiều cao của mỗi cột trước và sau khi hoàn thiện là 4m Biết lượng xi măng cần dùng chiếm 80% lượng vữa và cứ một bao xi măng 50kg thì tương đường với 64000cm3 xi măng Hỏi cần ít nhất bao nhiêu bao xi măng loại 50kg để hoàn thiện toàn bộ hệ thống cột ?

A 25( )bao B 18( )bao C 28( )bao D 22( )bao

2 2

4

4 5

−

=

Câu 9. Cho tứ diện vuông OABC đỉnh O, và OA a= OB =b OC,   =c Đặt S OAB =S S1,  OBC =S S2,    OAC =S3 và S ABC =S Bán kính mặt cầu nội tiếp trong tứ diện OABC là

a b c

1 2 3

=

+ + B r S (a b c S S ) S

2

=

S S S S

r

a b c

1+ 2+ 3−

=

1 2 3 2

=

+ +

Câu 10. Cho số phức z thỏa mãn ( )1−i z− − =7 i 4 Tìm mô đun

lớn nhất của z ?

Câu 11. Một người thợ có một khối đá

hình trụ Kẻ hai đường kính MN, PQ của hai

đáy sao cho MN ⊥PQ Người thợ đó cắt khối

đá theo các mặt cắt đi qua 3 trong 4 điểm M,

N, P, Q để thu được một khối đá có hình tứ

diện MNPQ

Biết rằng MN =60cm và thể tích của khối tứ diện MNPQ bằng dm30 3.

Hãy tính thể tích của lượng đá bị cắt bỏ (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân)

A 111,4dm3 B 121,3dm3

C 101,3dm3 D 141,3dm3

Câu 12. Có 15 quả bi-a hình cầu nằm trên mặt bàn sao cho

chúng được dồn khít trong một khung hình tam giác đều có chu vi bằng 858( )mm Bán kính của mỗi quả bi-a là

A 11 4( − 2) ( )mm B 11 4( − 5) ( )mm

C 11 4( − 3) ( )mm D 11 4( − 7) ( )mm

Câu 13. Cho a b; >0;ab≠1 và thỏa mãn logab a =2 Giá trị của

ab

a

b

log bằng

A 3

3

Câu 14. Cho hàm số f x liên tục trên ¡ và thỏa( )

f x( ) 2 ( ) cos− + f x = x Giá trị của tích phân I 2 f x dx

2

( ) π

π

−

3

3

3

3

= − + − (1), với m là tham số

thực Gọi m0 là giá trị của tham số m để hàm số (1) đạt cực trị tại hai

điểm x x1, sao cho biểu thức P2 x x

x2 x2 1 2

9 9

8 8

= + − − đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm mệnh đề đúng ?

A m∈( )0; 1 B m∈ −( )1; 0 C m0∈( )1;3 D m0∈ − −( 3; 1 )

Câu 16. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A B C D ' ' ' ' đáy hình có cạnh

bằng a, đường chéo AC ' tạo với mặt bên (BCC B' ' một góc ) α (0< <α 45 0) Tính thể tích của lăng trụ tứ giác đều ABCD A B C D ' ' ' '

A a3 cot2α +1. B a3 cot2α −1.

C a3 tan2α +1. D a3 tan2α −1.

Câu 17. Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính

6m Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận O

làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng

m2

/ Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải đất đó

(số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)

đồng

Câu 18. Cho a b 0.> > Đường elip (E) có phương trình: x y

a b

2 + 2 =1

Tính diện tích của hình elip (E)

C 4πab(đvdt) D 1 (a2 b2)

2π + (đvdt)

Câu 19. Cho Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau đôi một Lấy A Ox∈ ,

B Oy∈ , C Oz∈ sao cho OA=a, OB=b, OC=c Giả sử A, B, C thay đổi nhưng luôn luôn có OA + OB + OC + AB + AC + BC = k không đổi Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện OABC?

3

3 486(1+ 2) B

k3

3 162(1+ 2) C

k3

3 108(1+ 2) D.

k3

3

54(1+ 2)

Câu 20. Cho hàm số ( )C y x

x

1 :

3

+

=

− + Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận

của đồ thị hàm số ( )C Đường thẳng d y x m: = + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt A,B tạo thành tam giác ABI có trọng tâm nằm trên ( )C Có hai giá trị của m thoả mãn yêu cầu bài toán Tổng hai giá trị của m là

Câu 21. Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một khoảng

tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng Hỏi số tiền người đó gửi hàng tháng là bao nhiêu?

A 635.000 B 535.000 C 613.000 D 643.000

Câu 22. Cho hình chóp SABC có SA SB SC, , vuông góc với

nhau đôi một với SA a SB= , =b SC, =c Bán kính mặt cầu ngoại tiếp

SABC là

A 1 a2 b2 c2.

2 + + B a b c2+ 2+ 2.

C 1 a2 b2 c2

3 + + D 1 a2 b2 c2.

4 + +

x

f x 2016

2016 2016

=

+ Tính giá trị biểu thức :

S ff 1 2 f 2016

Câu 24. Biết rằng hàm số y x= 4−2m x2 2 +m4+1 có 3 điểm cực trị

A Oy B C∈ , , sao cho 4 điểm A B C O, , , cùng nằm trên một đường tròn.

Tất cả giá trị của tham số m là

A m= ±1 B m 1.= C m 0.≠ D m= −1

Câu 25. Theo di chúc, bốn người con được hưởng số tiền là 1,05 tỷ đồng chia với tỷ lệ như sau: Người con đầu và người con thứ hai là 2

3; Người con thứ hai và người con thứ ba là 4

5; Người con thứ ba và người

con thứ tư là 6

7 Với mỗi số tiền nhận được, cả bốn người con đều gửi tiết kiệm ngân hàng trong thời hạn 5 năm với mức lãi suất như sau: Người con đầu gửi lãi suất 6% mỗi năm, người con thứ hai gửi lãi suất 3% mỗi 6 tháng, người con thứ ba gửi lãi suất 1,5% mỗi quý và người con thứ tư gửi lãi suất 0,5% mỗi tháng Tổng số tiền của bốn anh em sau 5 năm là bao nhiêu?

Câu 26. Một kim tự tháp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng

2500 trước Công Nguyên Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều

có chiều cao 150 m, cạnh đáy dài 220 m Diện tích xung quanh của kim tự tháp này là

A 2200 346( )m2 B 4400 346( )m2

C 2420000( )m3 D 1100 346( )m2

x

2 1

=

+ Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này vuông góc với đường phân giác của

góc phần tư thứ nhất khi m bằng

Câu 28. Giả sử viên phấn viết bảng có dạng khối trụ tròn xoay

đường kính đáy bằng 1( )cm , chiều dài 6( )cm Người ta làm hộp carton

đựng phấn hình dạng hình hộp chữ nhật có kích thước 6( ) ( ) ( )cm , 5 cm , 6cm

Muốn xếp 350 viên phấn vào 12 hộp , ta được kết quả nào trong các kết quả sau

Câu 29. Xét một hình lập phương và một mặt cầu Giả sử mặt

cầu có diện tích bằng S vaà hình lập phương có tổng diện tích tất cả

các mặt bằng cũng bằng S Gọi k là tỉ số thể tích giữa khối cầu và khối lập phương đó Giá trị k gần với số nào sau đây nhất?

Câu 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

cạnh a, SA a 3= , và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (P)

đi qua điểm A và vuông góc SC chia khối chóp thành hai khối đa diện Gọi V1 là thể tích của khối chứa đỉnh S và V2 là khối còn lại Tính tỉ số

V

V

1

2

?

A V

V

1

2

9. 7

V

1 2

11. 9

V

1 2

9. 11

V

1 2

27. 53

=

Câu 31. Cho số phức z, w khác 0 sao cho z w− =2z = w Phần thực của số phức u z

w

A a 1.

8

4

8

=

Câu 32. Một người nông dân có một tấm cót hình chữ nhật có

chiều dài 12πdm , chiều rộng m1 Người nông dân muốn quây tấm cót thành một chiếc bồ đựng thóc không có đáy, không có nắp đậy, có chiều cao bằng chiều rộng của tấm cót theo các hình dáng sau:

(I) Hình trụ

(II) Hình lăng trụ tam giác đều

(III) Hình hộp chữ nhật có đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng

(IV) Hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông

Hỏi theo phương án nào trong các phương án trên thì bồ đựng được nhiều thóc nhất (Bỏ qua riềm, khớp nối)

Câu 33. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu

( )S và mặt phẳng ( )P lần lượt có phương trình:

( ) (S : x−2) (2+ y+1) (2+ z−4)2 =10 và ( )P : 2− + +x y 5z+ =9 0 Gọi ( )Q là

tiếp diện của (S) tại M 5;0;4 Tính góc giữa ( ) ( )P và ( )Q ?

A 45 0 B 60 0 C 120 0 D 30 0

Câu 34. Cho hàm số f x xác định trên đoạn 1;1( ) − và thỏa mãn

( )

f 0 =1 và f x f x2( ) ( ) ′ = +1 2x+3x2 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x trên đoạn 1;1( ) −  lần lượt là M và m Tính tổng

M3+m3 ?

Câu 35. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để bất phương

trình (x x x ) m x

5 4

12 log− − 3

LỜI GIẢI ĐỀ 2

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO

Câu 1. Ta có: ∆ = − = − =' 4 5 1 i2 z z1 i i

2

2 2

 = −



Khi đó: (z1−1)2017+(z2−1)2017 =( )1−i 2016(1− + +i) ( )1 i 2016(1+i)

i 2 1008 i i 2 1008 i

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

=  −  − +  +  + =( )−2i 1008(1− +i) ( )2i 1008(1+i)

2 (1 ) 2 (1 ) 2

Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x= 2+1 tại điểm

1 2 0

1

1 2

3

A.

Câu 3. Khi quay quanh trục MN thì hình vuông quét thành khối trụ

(H)

bánkính a

2 và chiều cao a; đường tròn quét thành khối cầu (S) bán kính a

2 Thể tích vật thể tròn xoay bằng :

( )

H S

( )

4

π

    ⇒ Chọn B.

Câu 4. Ta có ff 1( )− > 0, 2( ) <0 và

x

xlimy ; limy

→−∞

→+∞ = +∞ = −∞ nên có ít nhất

3

nghiệm phân biệt do đó hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

⇒Chọn B.

Câu 5. Đặt góc ·AOB =α, 0( < <α 2π) , r 0> là bán kính đường tròn có

độ

dài AB, h 0> là chiều cao khối nón

Ta có: AB .R r R h OA2 r2 R 4 2 2

α

R

3

3 8

π

= − Khảo sát hàm trên, ta được thể tích lớn nhất khi

2 6

3

α = π Do đó: S R R S

S

'

Câu 6. Dựa vào đồ thị suy ra đồ thị hàm số đã cho có 1 tiệm cận

đứng x a 0= > và 1 tiệm cận ngang y b 0.= > Mặt khác, ta thấy dạng

đồ thị là đường cong đi xuống từ trái sang phải trên các khoảng xác

định của nó nên

( )

c ab

−

Câu 7. Lượng vữa cần dùng cho 1 cột chính là hiệu thể tích khối trụ

tròn với thể tích khối lăng trụ lục giác đều

Lượng xi măng cần dùng cho 10 cây cột sẽ là:

2 2

.10 400 .21 400 .6

100  π − 4 ÷÷

  Số bao xi măng cần dùng là:

2 2

.10 400 .21 400 .6 : 64000 17,3

100  π − 4 ÷÷ ≈

Câu 8. Tập xác định D = − 2;2 \ { }−1 Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang Ta có x x x x ( )l

4 5 0

5

 = −

=

Ta có

( )

x

x

2 2

1

4 lim

4 5

−

→ −

x

2 2

1

4 lim

4 5

+

→ −

− − nên x= −1 là tiệm cận đứng ⇒Chọn B.

Câu 9.

Áp dụng công thức

tp

V r S

3

Với V, Stp tương ứng là thể tích và

diện tích toàn phần của tứ diện

Thay V 1abc

6

= (do OABC là tứ diện

vuông đỉnh O) vào (1)

và có r = 2(S1 S abc2 S3 S)

abc S S S S

2

=

(2) Theo định lý Pytago trong không gian thì

S2 S2 S2 S2

ab c abc2 2 a bc2

= + + abc a b c= ( + + ) (3) Thay (3) vào (2) có r S S S

a b c

1+ 2+ 3

=

Câu 10.

Ta có ( )i z i i z i

i

7

1

+

Áp dụng tính chất z1 − z2 ≤ z1±z2 ≤ z1 + z2

( )

z 3 4i z 3 4i z 5 2 2

⇔ − + ≤ − + ⇒ − ≤ ⇒ z ≤ +5 2 2 ⇒Chọn B.

Câu 11. Áp dụng công thức diện tích tứ diện

MNPQ

V 1MN PQ d MN PQ, . ; .sin MN PQ; 30000 cm3

6

( )

2

1

.60 30000 50

6

⇔ = ⇒ = Khi đó lượng bị cắt bỏ là

T MNPQ

V =V −V =πr h2 −30 111,4= dm3 ⇒Chọn A.

Câu 12.

Gọi r là bán kính của mỗi quả bi-a Cạnh của tam giác đều ABC bằng

( )mm

858: 3 286=

Xét OBH∆ vuông tại H , ta có:

BH =OH.tan600 =r 3

Ta có: BC =BH +HK +KC =r 3 8+ r r+ 3 2 4= ( + 3 )r

Do đó:

r 286 143 4 3 11 4 3 mm

13

2 4 3

−

Câu 13.

Ta có ab a ab a ab a

2

= = 1 log( ab a2 logab ab) 1 2log( ab a 1)

Do đó, logab a=2 thì ab ( )

a b

log 2.2 1

2

( ) π

π

−

= ∫ − Đặt x= − ⇒t dx= −dt

Đổi cận: x t , x t

Suy ra: J 2 f x dx( ) 2f t dt( ) 2 f t dt( ) I

−

Do đó: I J I 2 f x f x dx 2 xdx 2 xdx

0

3

⇒Chọn C

y' 3= mx2−8x+9 P x x m

m

x2 x2 1 2

( )

Pmin m 4 2 1,89 3; 1

3

Câu 16. Ta có ·AC B' =α Tam giác ABC ' vuông tại B và

AC B' BC' acot

tan

α

Áp dụng định lý Pytago thì CC'= BC'2−BC2 =a cot2α −1

Thể tích khối lăng trụ V =BC CDCC '=a3 cot2α −1 ⇒Chọn B.

Câu 17. Chọn hệ trục tọa độ với O là gốc tọa độ, trục Oy song song

với bờ

dải đất Phương trình đường tròn: x2+y2 = 36⇒ = ±y 36−x2

Diện tích dải đất: S x dx

3

2 3

2 36

−

= ∫ − Suy ra số tiền cần dùng là:

S

70000 ≈4821322đồng ⇒Chọn D.

Câu 18. Ta có

x y

y

a

2

2

2

1

1









a x a t

a

x

a

sin 2

2

−

Câu 19. Ta có: k a b c= + + + a2+b2 + b2+c2 + c2+a2

abc ab bc ac abc 3 ab ac ca

suy ra k≥33abc +3 23abc =3(1+ 2)3abc

3abc k

3(1 2)

+

k abc

3 3

27(1 2)

+

Do đó OABC

k

3 3

1

6 162(1 2)

+ Vậy giá trị lớn nhất của thể tích OABC là k

3 3

162(1+ 2) khi a = b = c

Khi đó AB = AC = BC = a 2 thay vào ta được k=3a+3 2a ⇒

k

a b c

3(1 2)

= = =

+

Câu 20. Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( )C là:

x

2

3

− +

d cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt ⇒ ( )* có 2 nghiệm phân biệt khác 3

( ) ( )

d cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt A x x( 1; 1+m B x x) (, 2; 2+m) vớix x1, là2 nghiệm của ( )* Ta thấy I không nằm trên d nên tồn tại tam giác AIB.

Toạ độ trọng tâm G của tam giác AIB là

x

G

y

:





Do G nằm trên ( )C nên ta có

m

m

m

3

−

−

m

m

1 2

2

10

2

=

⇒ Chọn C.

Câu 21. Sau 1 tháng người đó có số tiền: T1 =(1+r T)

Sau 2 tháng người đó có số tiền:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

T2 = T +T1 1+r = 1+r T +T1 1+r = 1+r T + +1 r T2

Theo quy luật đo sau 15 tháng người đó có số tiền

( ) ( ) ( )

T15 =T  1+r + +1 r 2+ + + 1 r 15

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( r)

r

15

Thay các giá trị T15 =10,r = 0.006 , suy ra T ≈635.000⇒Chọn A

Câu 22.

Gọi I là trung điểm của AB, suy ra I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Vẽ ∆ ⊥(SAB) tại I, khi đó ∆ là trục của tam giác SAB

Trong mặt phẳng tạo bởi ∆ và SC (do∆//SC), vẽ trung trực của SC cắt∆ tại O, ta có OA=OB=OC=OD nên O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC

Ta có bán kính mặt cầu là

AB SC

R SO SI2 IO2 2 2 1 a2 b2 c2

Câu 23. Nhận xét 12017 2017+ 2016=1 và ff 1 2016 1

2017 2017

Ta có:

x

f x

1 1

2016

2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016 2016

−

−

2016 2016 2016 2016 2016

Khi đó , S có 1008 cặp (x;1−x) Suy ra S 1008= ⇒Chọn C

Câu 24. y′ =4x3−4m x2 ⇒ Hàm số có 3 cực trị ⇔m 0.≠ Khi đó 3 điểm cực trị của hàm số là A(0;m4+1 ;) B m( ) (;1 ;C −m;1)

Vì O A Oy, ∈ và B C , đối xứng nhau qua Oy⇒OBAC là tứ giác nội tiếp

⇔ tâm đường tròn là trung điểm I 0;m4 1

2

  của AO.

( )

m

1

 =

Câu 25. Gọi x,y,z,t lần lượt là số tiền của 4 người con theo thứ tự

x y z

Tổng số tiền của bốn anh em sau 5 năm:

( )5 ( )10 ( )20 ( )60

0,16 1 0,06+ +0,24 1 0,03+ +0,3 1 0,015+ +0,35 1 0,005+ =1,412810079 (tỷ đồng) ⇒Chọn A

Câu 26. Diện tích xung quanh của Kim tự tháp chính là tính diện

tích của 4 mặt bên của hình chóp tứ giác đều Gọi O là tâm của đáy của hình chớp tứ giác đều Theo bài ra ta có :

( )

SO ⊥ ABCD ⇒SD = SO2+OD2 =10 467

Để tính diện tích của 4 mặt bên hình chóp ta sử dụng công thức He-rông với tam giác SAD: S = p p SA p AD p SD( − ) ( − ) ( − )

với p SA SD AD S 1100 346

2

xq

S S 4.1100 346 4400 346

Câu 27. Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị:

( )

mx x m

x

1

2 1 '

Theo đề bài, ta có: m.1= − ⇒1 m= − ⇒1 Chọn C

Câu 28. Lấy hình vuông 6.6 làm đáy hộp, sẽ xếp vừa đủ 6 viên phấn lên hình vuông đó Tiếp tục xếp như vậy thành 5 tầng, cho

vừa đủ với chiều cao cm5 còn lại của hộp ta được tất cả 30 viên phấn cho 1 hộp Vậy, có tất cả 12.30 360= viên sẽ thiếu 10 viên để xếp vào 12 hộp ⇒Chọn B

Câu 29. Gọi V1, R lần lượt là thể tích và bán kính mặt cầu V2, r lần lượt là thể tích và bán kính khối lập phương Theo giả thiết ta có:

R2 r2 r R 2

3

π

3 1

3 2

4

6

π

Câu 30. Vẽ AH ⊥SB tại H, AL SC⊥ tại L Mặt phẳng (P) chính là

(AHL ,) ( )P ∩SD ={ }K , suy ra AK ⊥SD và V1 chính là thể tích khối

S AKLH

S ALK

+

Chọn B

Câu 31. Đặt u a bi= + với a b, ∈¡ Ta có hệ sau:

z u w

z w

u w

1 2 1





 −



