bài tập cận dụng cao môn toán

Gọi hình chiếu của B trên mặt phẳng đáy chứa đường trịn O là B.. Hình chiếu vuơng gĩc của A' trên ABC là trung điểm của AB... Cæn phâi làm cái cửa sổ mà, phía trên là hình bán nguyệ

ĐỀ 3

ƠN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1 Cho hàm số y x x

x

2

2 cos cos 1

cos 1



 Gọi M là giá trị lớn

nhçt và m là giá trị nhơ nhçt của hàm số đã cho Tính M 2m?

Câu 2 Biết log 527 a , log 78 b , log 32 c Tính log 35 theo 12 a b c, , ?

A b ac

c

3

2



ac c

3 2

1



ac c

3 2

2



b ac

c

3

1





Câu 3 Nếu z là số phức thực sự và thơa mãn

1

 cĩ phỉn thực bằng 4

thì mơđun của số phức z là

A z 1

4

8

16



Câu 4 Cho hình trụ T cĩ trục OO Trên hai đường trịn đáy

O và O lỉn lượt lçy 2 điểm A và B sao cho AB avà

đường thẳng AB täo với đáy hình trụ gĩc 600 Gọi hình

chiếu của B trên mặt phẳng đáy chứa đường trịn O là

B Biết rằng AOB 120 0 Tính không cách d giữa hai

đường thẳng AB và OO

A d a 3

8

 B d a 3

12



C d a 3

4

 D d a 3

16



Câu 5 Số mặt phẳng đối xứng của đa diện đều lội  4; 3 là

Câu 6 Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng ba mặt phẳng

 P :x    y z 1 0,  Q : 2x my 2z  3 0 và  R : x 2y nz 0 Tính tổng m 2n, biết rằng    P  R và    P / / Q

Câu 7 Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' cĩ đáy ABC là tam giác

đều cänh bằnga Hình chiếu vuơng gĩc của A' trên ABC là trung điểm của AB Mặt phẳng AA C C' '  täo với đáy một gĩc bằng 45 Tính thể tích V

của khối lăng trụ ABC A B C ' ' '?

3 3 16

3 3 8

3 3 4

3 3 2



Câu 8 Gọi S t  là diện tích hình phẳng giới hän bởi các đường

y

1



  , y 0, x 0, x t t( 0) Tìm tlimS t ?



A ln 2 1

2

  B ln 2 1

2

2  D ln 2 1

2



Câu 9 Cho số phức

m

i z

i

2 6

, 3

  m nguyên dương Có bao nhiêu

giá trị m 1;50 để z là số thuæn âo?

Câu 10 Cho hai số phức z z1, thôa mãn 2 z1 z2  8 6i và z1 z2 2

Tìm giá trị lớn nhçt của P  z1  z2 ?

Câu 11 Cho hai số thực dương x y, thôa mãn điều kiện

x y

xy

1

3

 

    Giá trị nhô nhçt của biểu thức P xy là

A 1

9 B 1

3 C 1 D 9

Câu 12 Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho A 1;2; 2   và

 P : 2x 2y z  5 0 Viết phương trình mặt cæu (S) tâm A, cắt (P) theo

giao tuyến là đường tròn có chu vi là 8 ?

A.x 1 2  y 2 2  z 22 25 B x 1 2  y 2 2  z 22 5

C x 1 2  y 2 2  z 22 9 D x 1 2  y2 2  z 22 16

Câu 13 Biết đồ thị  C m của hàm số m x m  

( 1)

0

 luôn đi

qua một điểm M cố định khi m thay đổi Tọa độ điểm M khi đó là

A M 1; 1

2

 

Câu 14 Tìm tçt câ các giá trị thực của tham số m sao cho mọi

nghiệm của bçt phương trình: x2 x

3 2 0

   cũng là nghiệm của bçt phương trình mx2 m 1x m  1 0?

7

7

  D m  1

Câu 15 Cæn phâi làm cái cửa sổ mà, phía

trên là hình bán nguyệt, phía dưới là hình chữ

nhật, có chu vi là a m( )(a chính là chu vi hình

bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ đi độ

dài cänh hình chữ nhật là dây cung của hình bán

nguyệt) Hãy xác định các kích thước của nó để

diện tích cửa sổ là lớn nhçt?

A chiều rộng bằng a

4   , chiều cao bằng

a

4  

B chiều rộng bằng a

4   , chiều cao bằng

a

4  

C chiều rộng bằng a(4  ), chiều cao bằng a2 (4  )

D Đáp án khác

Câu 16 Cho hình nón đînh S, đường cao SO Gọi A B, là hai

điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoâng cách từ O đến AB

bằng a và SAO 30 ,0 SAB 600 Độ dài đường sinh của hình nón bằng

A a. B a 2. C a 3. D 2 a

Câu 17 Để đồ thị hàm số y x x mx

x

1

  



 có đường tiệm cận đứng thì giá trị m là

Câu 18 Cho hai mặt phẳng  P ,  Q có phương trình

phẳng  P và tiếp xúc với mặt phẳng  Q täi điểm M , biết rằng M thuộc mặt phẳng  Oxy và có hoành độ x M 1, có phương trình là:

A x 21 2  y5 2  z 102 600

B x 19 2  y 15 2  z102 600

C x 21 2  y5 2  z 102 100

D x 21 2  y5 2  z 102  600

Câu 19 Cho hình chóp cụt với hai bán kính đáy læn lượt là 6  cm

và 10  cm , độ dài đường sinh 16  cm Thể tích hình nón cụt là

A 783 15. B 784 15



Câu 20 Cho hai hình vuơng cĩ cùng cänh bằng 5 được xếp chồng

lên nhau sao cho đỵnh X của một hình vuơng là tâm của hình vuơng cịn läi (như hình vë) Tính thể tích V của vật thể trịn xoay khi quay mơ hình trên xung quanh trục XY

V 125 1 2

6





B.V 125 5 2 2 

12





V 125 5 4 2

24





D.V 125 2 2

4





Câu 21 Cho hình chĩp tứ giác đều S ABCD Gọi M N, lỉn lượt là

trung điểm của SB SD, Mặt phẳng AMN cắt  SC täi E Gọi V2 là thể tích của khối chĩp S AMEN và V1 là thể tích khối chĩp S ABCD Khẳng định nào sau đåy đúng ?

A V2 1V1

3

 B V2 1V1

4

 C V2 1V1

8

 D V2 1V1

6



Câu 22 Cho hình chĩp S ABC cĩ SA SB a SC  ,  3 ,a CSA 900

ASB CSB 600 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Khi đĩ không cách SG

bằng

A a 15

Câu 23 Cho một mặt cỉu bán kính bằng 1 Xét các hình chĩp tam

giác đều ngội tiếp mặt cỉu trên Hơi thể tích nhơ nhçt của chúng là bao nhiêu?

Câu 24 Hàm số y  45 20 x2  2x 3 cĩ giá trị nhơ nhçt bằng:

Câu 25 Tìm tçt câ các giá trị thực của tham số m để bçt phương

trình x2  mx2 x m

1 log 1  log 4  cĩ nghiệm đúng x.

A m2;3  B m  2;3 C.m 2;3 D.m  2;3 

Câu 26 Một nguyên hàm F x( ) của hàm sốf x( ) a bcos2x thơa

X

Y

mãn F(0)

2



 , F

 



 



A F x( ) 2x 7 sin 2x



C F x( ) 2x 7 sin 2x

Câu 27 Cho hình chĩp S ABCD cĩ đáy là hình vuơng cänh 2 2 ,

cänh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SA 3 Mặt phẳng   qua A

và vuơng gĩc với SC cắt cänh SB, SC, SD lỉn lượt täi các điểm M , N , P Thể tích V của khối cỉu ngội tiếp tứ diện CMNP

3



3



3



6





Câu 28 Cho một tçm nhơm hình vuơng cänh 6 cm Người ta

muốn cắt một hình thang như hình vë Tìm tổng x + y để diện tích

hình thang EFGH đät giá trị nhơ nhçt?

y cm

2 cm

A

B E

F H

G

A 7 B 5 C 7 2

2 D 4 2 Câu 29 Tìm tçt câ các giá trị thực của tham số m để bçt phương

trình 9x 2m 1 3 x  3 2m 0 nghiệm đúng với mọi x

2

3

2

Đặt t  3 ,x t 0 t2 2m1t  3 2m   0, t 0

t

2 2 3

2 2

 

2

f t 1 t 3 ,f t 1 0, t 0

       hàm số đồng biến trên 0,

Vậy ycbt m f t , t 0 m f 0 3

2

Câu 30 Đặt a  log 11,7 b  log 72 Hãy biểu diễn 3 7

121 log

8 theo a và b

A a

b

3 7

b

3 7

121 2 9 log

8  3 

b

3 7

121

8  

Câu 31 Cho hình chóp tam giác đều S ABC Gọi M N, læn lượt là

trung điểm của BC SM, Mặt phẳng ABN cắt SC täi E Gọi V2 là thể tích của khối chóp S ABE và V1 là thể tích khối chóp S ABC Khẳng định nào sau đåy đúng?

A V2 1V1

3

 B V2 1V1

4

 C V2 1V1

8

6



Câu 32 Cho điểm I 1;1; 2   đường thẳng d :x 1 y 3 z 2

    

Phương trình mặt cæu  S có tâm I và cắt đường thẳng d täi hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều là

A.x 1 2  y 1 2  z 22 24 B x 1 2  y 1 2  z 22 24

C x 1 2  y 1 2  z22 18 D.x 1 2  y 1 2  z 22 18

Câu 33 Cho I f x dx 

1 0

5

   Tính I f  x dx

1 0 4

A I 2 B I 1

2

4

 D I 10

Câu 34 Hình hộp chữ nhật (không phâi là hình lập phương) có

bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Câu 35 Để đâm bâo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô

tô khi dừng đèn đô phâi cách nhau tối thiểu 1m Một ô tô A đang chäy với vận tốc 16 /m s bỗng gặp ô tô B đang dừng đèn đô nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dæn đều với vận tốc được biểu thị bởi công thức

 

A

v t 16 4 t (đơn vị tính bằng m s/ ), thời gian tính bằng giây Hôi rằng để

2 ô tô A và B đät khoâng cách an toàn khi dừng läi thì ô tô A phâi hãm phanh khi cách ô tô B một khoâng ít nhçt là bao nhiêu?

LỜI GIẢI ĐỀ 3

ƠN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1 Tập xác định: D 

Đặt t  cos , 0x  t 1 y f t t t t

t

2

1

 



f t

t

2

2

( )

( 1)



t

f t

t

0 ( ) 0

2 0;1

 

  



f(0) 1, (1) 2f

Vậy miny 1, maxy 2M 2m  4 Chọn A

Câu 2 Ta cĩ:

1

log 5 log 5 log 5 3

3

    , log 78 1log 72 b log 72 3b

3

 

2

log 7.5 log 7 log 5 log 7 log 3.log 5 3 .3 3

log 3.2



Câu 3 Ta cĩ:

2 2

 

 

z z

8 2

 

Chọn B

Câu 4 Từ B kê đường sinh BB’ của khối trụ Cĩ

Ta thçy AB’ là hình chiếu của AB trên (AOB’)

Khi đĩ: AB AOB; '  AB AB; 'BAB' 600

AB

0 '

2

trung điểm của AB’ Suy ra IA a

4

 và

OI

Câu 5 Đa diện đều lội  4; 3 là hình lập phương, gọiABCD A B C D    , cĩ

9 mặt phẳng đối xứng, bao gồm: 3 mặt phẳng trung trực của 3 cänh AB,

AD, AA và 6 mặt phẳng mà mỗi mặt phẳng đi qua hai cänh đối diện

Chọn D

Câu 6  P :x    y z 1 0 cĩ VTPT a  1;1;1

 Q : 2xmy2z  3 0 có VTPT b  2; ;2m 

 R : x 2y nz 0 có VTPT c   1;2;n

   P  R a c    0 n 1     m

1 1 1

Vậy m2n  2 2 1   0 Chọn C

Câu 7

Go i H, M, I lå n lươ t la trung điê m

cu a ca c đoa n thă ng AB, AC, AM

V ' ' ' S 'A H S ABC a

2 3 4



Ta có IH la đươ ng trung bi nh của tam

giác AMB , MB la trung tuyê n của tam

giác đều ABC

Do đo : IH // MB IH AC

'



Mà:

' ( ' ')







A IH'

 là góc gữa hai mặt phẳng AA C C' ' 

và ABCDA IH'  45

Trong tam giác A HI' vuông ta i H, ta co : A H o

A H IH HI

' tan 45   '  tan 45

a

2 3 3 3 3

Câu 8 Diện tích hình phẳng:

 

x

x

1





t t

x dx

ln





Vì

1

2

 

C’

C

M

I

H

a

Nên t   t t

S t

 

Cách 2: Dùng Máy tính

Cho t 100 ta bçm máy

x x  dx

100

2 0

1

0,193



Chọn B

Câu 9 Ta có:

m

i

i

2 6

(2 ) 2 3



z là số thuæn âo khi và chî khi m 2k 1, k Vậy có 25 giá trị m thôa yêu

cæu đề bài Chọn B

Câu 10 Đặt z1  a bi z, 2  c di a b c d   , , ,  

Ta cóz z i a c b d i i a b

c d

1 2

8

6

  





Mà 2a2 b2 c2 d2 a b  2  b d  2  a b  2  b d 2

a2 b2 c2 d2 2 2 2

2 2

2 2

1 2 1 2

2 100

52



1 2 2 1 2 2 26

Tổng quát: Cho hai số phức z z1, thôa mãn 2 z1 z2 m ni và z1 z2  p Tìm giá trị lớn nhçt của P  z1  z2 là P  m2 n2 p2

Câu 11 Từ giâ thiết, ta có lnx  y 1 3 x  y 1 ln 3 xy 3.3xy  * Xét hàm f t lnt 3t trên 0;, ta có f t  t

t

1 '   3 0,  0

Do đó  *    x y 1 3xy 3xy   1 x y 2 xy 3xy2 xy  1 0

Suy ra xy  1 xy 1 Chọn C

Câu 12 C 8 2r  r 4 Ta có: d A P   

2 2

2 2.2 2 5

  Như vậy bán kính của hình cæu là 5Chọn B.

Câu 13 Gọi M x y( ; ) là điểm cố định cæn tìm 0 0

Ta có y m x m m x y my mx x m m

0

0

( 1)



m y( 0 x0 1) x y0 0 x0 0, m 0

x y x

0 0

0 0 0

1 0 0

   





x y

0 0

0 1

 



  

Chọn B

Câu 14 Bçt phương trình x2 3x  2 0   1 x 2

Bçt phương trình mx2 m1xm  1 0

x

2

2

2

1

 

 

Xét hàm số f x x

x2 x

2 ( )

1

 



  với 1 x 2

2

4 1

Yêu cæu bài toán

[1;2]

m max f x( )

7

   Chọn C

Câu 15

Gọi x là bán kính của hình bán nguyệt Ta có chu vi của hình bán nguyệt là

x

 , tổng ba cänh của hình chữ nhật là ax

Diện tích cửa sổ là:

2

2

1 2

2

2 2





Dễ thçy S lớn nhçt khi x a x

2 2





hay x a

4 



Vậy để S max thì các kích thước của nó là: chiều cao bằng a

4   ; chiều rộng

bằng a

4    Chọn A

Câu 16

Gọi I là trung điểm AB, suy ra

OI AB SI, AB và OI a

Trong tam giác vuông SOA, ta có

SA

2

  Trong tam giác vuông

SIA, ta có IA SA.cosSAB SA

2

Trong tam giác vuông OIA, ta có

I

A

O

S

B

OA2 OI2 IA2 3SA2 a2 1SA2 SA a

2

Chọn B

Câu 17 Xét phương trình x2   x 1 mx 0

Nếu phương trình không có nghiệm x 1thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x 1

Nếu phương trình có nghiệm x 1hay m  1

Khi đó xét giới hän:

2

trường hợp này đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứng Vậy

Câu 18 Vì M  Oxy và có hoành độ bằng 1 nên M1; ;0y 

Mặt cæu tiếp xúc với mặt phẳng  Q nên M  Q M 1; 5;0  

Gọi I a b c ; ;  là tåm của mặt cæu ( )S cæn tìm

Ta có ( )S tiếp xúc với mp  Q täi M nên IM  Q

Mặt phẳng  Q có vectơ pháp tuyến n 2;1; 1 

1 2

  



  



Bán kính mặt cæu Rd I Q ;  10 6

+ Vậy phương trình mặt cæu   S : x 21 2  y 5 2  z 102 600

Chọn A

Câu 19

Kê đường cao A H của hình thang vuông OAA O   Ta

có: AH AO A O   10 6 4  cm

Trong tam giác vuông HAA có:

A H 2 AA2 AH2 256 16 240

 

   chiều cao hình nón cụt

 

H

A' O'

Ta có công thức thể tích hình nón cụt: h 

3



 

V 4 15 100 36 60 784 15





Câu 20

Y X

Khối tròn xoay gồm 3 phæn:

Phæn 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng 5

2 có thể tích:

V

2

1

5



  

Phæn 2: khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng 5 2

2 có thể tích:

V

2 2



  

Phæn 3: khối nón cụt có thể tích là:

V

3



Vậy thể tích khối tròn xoay là

V V1 V2 V3 125 125 2 125 2 2 1 125 5 4 2

Cách 2 :

Thể tích hình trụ được täo thành từ hình vuông ABCD là V T R h2 125

4





Thể tích khối tròn xoay được täo thành từ hình vuông XEYF là

N

2

Thể tích khối tròn xoay được täo thành từ tam giác XDC là

N

V 1 R h2 125





  

V V V2 V 125 5 4 2

24







Câu 21

1 2

Qua O dựng OK // AE

Xét AEC : OK AE

/ / 1 2



 Suy ra: K là trung điểm EC

Xét SOK: IE OK

/ / 1 2



 

 Suy ra: E là trung

điểm SK Vậy SE

SC

1 3



K I

O

E

M N

S

B A

Ta có: S AMEN S AME

6

  hay V2 1V1

6

 Chọn D

Câu 22 Áp dụng công thức tổng quát: Cho hình chóp S ABC có

SA a SB , b SC, c và có ASB ,BSC  ,CSA Gọi G là trọng tâm

J

H I

C

B A

S

2 cos 2 cos 2

Chứng minh: Ta có: SG 1SA SB SC

3

SA SB SC  2 SA2 SB2 SC2 2SASB 2SASC 2SB SC

Khi đó SG 1 a2 b2 c2 ab ac bc

2 cos 2 cos 2

Áp dụng công thức trên ta tính được SG a 15

3

 Chọn A

Câu 23 Gọi cänh đáy của hình chóp là a Ta có SIJ ~ SMH

a

a

2

2 2 2

1

2

12 12



ABC

a

a

4 2

2 4

Ta có

a2 a4

1 12 1

48

   S 8 3

Chọn A

Câu 24 Áp dụng bçt đẳng thức B.C.S ta có:

45 20  5 9 4  2 1 3 (2 )  2.3 1.2  6 2

Suy ra y  6 2x  2x 3 Áp dụng bçt đẳng thức a b  a b ta được:

6 2  2   3 6 2  3 2  6 2  3 2   9 9

y 45 20x2 2x 3

     có giá trị nhô nhçt bằng 9Chọn C

Câu 25 Bçt phương trình tương đương

5 1  4   0,  

 

x

mx x m

2 2

(*),





m 0 hoặc m 5 : (*) không thôa  x

m 0 và m 5: (*)  

m

m m

m

2 2

2 3

0

  





 





    



m

   Chọn A

Câu 26 Ta cĩ F x( ) ax b sin 2x C

2

C F

2 (0)

7

2

12 3





 





Vậy F x( ) 2x 7 sin 2x

    Chọn A

Câu 27

Ta cĩ: CB SAD AM, SABAM CB  1

  SC AM,    AM SC  2

Từ    1 , 2 AM  SBCAM MC

   Chứng minh tương tự ta cĩ

APC 90 Cĩ AN SC ANC 90

Ta cĩ: AMC APC APC 90

C

B

S

M

 khối cỉu đường kính AC là khối cỉu ngội tiếp tứ diện CMNP

Bán kính cỉu này là r AC 2

2

  Thể tích cỉu: V 4 r3 32





  Chọn A

Câu 28 Ta cĩ SEFGH nhơ nhçt   S SAEH  SCGF SDGH lớn nhçt

Tính được 2S2x3y (6 x)(6 y) xy 4 x 3 y 36   (1)

Mặt khác AEH đồng däng CGF nên AE AH xy 6

CG  CF   (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2S 42 (4 x 18)

x

   Ta cĩ 2S lớn nhçt khi và chỵ khi4 x 18

x



nhơ nhçt

Biểu thức 4 x 18

x

 nhơ nhçt 4 18 3 2 2 2

2

x

Câu 29 Đặt t  3 ,x t  0 t2 m t m t

t

2

2 3

2 2

 

2

f t 1 t 3 ,f t 1 0, t 0

       hàm số đồng biến trên 0,

Vậy ycbt m f t , t 0 m f 0 3

2

Câu 30 Ta cĩ : 3 1

7

7

121 121 log log 6 log 11 3 log 8

2

9

6 log 11 9 log 2 6 log 11

log 7

b

3 7

8   Chọn A