các bài tập vận dụng cao môn toán

Hãy tính diện tích xung quanh S và thể tích xq V cûa khối nĩn cĩ đỵnh là tâm O cûa hình vuơng ABCD và đáy là hình trịn nội tiếp hình vuơng ABC D’ ’ ’ ’.. Một cơng ty dự kiến làm một đườ

ĐỀ 7

ƠN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1 Cho số phức z thơa mãn: 1 2 i z i  3z 3i  0 Tìm mơ đun cûa số phức   

2

2z z 3i

A   13. B 106

13

13

Câu 2 Cho hình lập phương ABCD ABC D ’ ’ ’ ’ cĩ cänh là a Hãy tính diện

tích xung quanh S và thể tích xq V cûa khối nĩn cĩ đỵnh là tâm O cûa hình vuơng ABCD và đáy là hình trịn nội tiếp hình vuơng ABC D’ ’ ’ ’

;

;

3

;

3

2 5;

4





Câu 3 Một cơng ty dự kiến làm một đường ống thốt nước thâi hình trụ dài 1 km, đường kính trong cûa ống (khơng kể lớp bê tơng) bằng 1m; độ dày cûa lớp bê tơng bằng 10 cm Biết rằng cứ một mét khối bê tơng phâi dùng 10 bao xi măng Số bao xi măng cơng ty phâi dùng để xây dựng đường ống thốt nước gỉn đúng với số nào nhçt sau đåy ?

A 3456  bao B 3450 bao C 4000 bao . D 3000 bao

Câu 4 Trong khơng gian với hệ tộ độ Oxyz,cho  P :x 4y 2z 6 0

, Q :x 2y 4z  6 0 Lập phương trình mặt phẳng   chứa giao tuyến cûa   P , Q và cắt các trục tọa độ täi các điểm A B C, , sao cho hình chĩp

A.x    y z 6 0 B.x y z   6 0

Câu 5 Tìm tçt câ các giá trị thực cûa tham số m để đồ thị hàm sốy x 4 2mx2 3m 4cĩ các cực trị đều nằm trên các trục tọa độ

A m   1;0;4  B m 1;2;3

C m  1;0;1  D m ( ;0) 4

Câu 6 Bän A cĩ một độn dây dài 20 m Bän chia độn dây thành hai phỉn Phỉn đỉu uốn thành một tam giác đều Phỉn cịn läi uốn thành một hình vuơng Hơi độ dài phỉn đỉu bằng bao nhiêu để tổng diện tích hai hình trên là nhơ nhçt

A 40 m

180

120

60

9 4 3

Câu 7 Cho đường cong  C được vẽ bởi nét liền trong hình vẽ:

Hơi  C là däng đồ thị cûa hàm số nào?

3

3

Câu 8 Tìm tçt câ các giá trị thực cûa tham số m để đồ thị hàm số

y x3 3mx2 3m3 cĩ hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB cĩ diện tích bằng 48?

m

2 0

 

Câu 9 Trong khơng gian với hệ trục tộ độ Oxyz ,cho 3điểm

A 1;1; 1 ,B 1;1;2 ,C1;2; 2  và mặt phẳng  P :x 2y2z  1 0 Lập phương trình mặt phẳng   đi qua A, vuơng gĩc với mặt phẳng  P cắt đường thẳng BC täi I sao cho IB 2IC biết tọa độ điểm I là số nguyên

A   : 2x y 2z  3 0 B   : 4x 3y2z 9 0

C   : 6x2y z  9 0 D   : 2x 3y 2z 3 0

Câu 10 Tìm tçt câ giá trị thực cûa tham số m để bçt phương

trình mx x2

log  log 4 vơ nghiệm?

m

4 4

 

Câu 11 Cho ca c sơ thư c x, y thơa mãn x2 2xy 3y2 4 Giá trị lơ n

nhå t cu a biê u thức P x y2 là

A maxP  8 B maxP 12 C maxP 16. D maxP 4

Câu 12 Tìm các giá trị thực dương cûa m để đồ thị hàm số

x

y

2

2

4

2





  có đúng một tiệm cận đứng

A 0m8 B m 8. C m 8. D m  8

Câu 13 Từ một miếng tôn hình bán nguyệt có bán kính R 3, người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật có diện tích lớn nhçt Diện tích lớn nhçt có thể có cûa miếng tôn hình chữ nhật là

A 6 3 B 6 2 C 9 D 7

Câu 14 Trong tçt câ các cặp  x y; thôa mãn logx2 y2 24x 4y41 Tìm

m để tồn täi duy nhçt cặp  x y; sao cho x2 y2 2x 2y  2 m 0

10  2 và  2

Câu 15 Cho hai số thực x y, không âm và thôa mãn x  y 1 Tổng giá trị nhô nhçt và giá trị lớn nhçt cûa biểu thức P 4x2 3y4y2 3x25xy

là

A 25

4 B 135

16 C 191

16 D 391

16

Câu 16 Một bể nước có dung tích 1000 lít Người ta mở vòi cho nước chây vào bể, ban đæu bể cän nước Trong giờ đæu vận tốc nước chây vào bể là 1 lít/1phút Trong các giờ tiếp theo vận tốc nước chây giờ sau gçp đôi giờ liền trước Hôi sau khoâng thời gian bao lâu thì bể đæy nước ( kết quâ gæn đúng nhçt )

A 3,14 giờ B 4,64 giờ C 4,14 giờ D 3,64 giờ

Câu 17 Người ta đặt được vào một hình nón hai khối cæu có bán kính læn lượt là a và 2a sao cho các khối cæu đều tiếp xúc với mặt xung quanh cûa hình nón, hai khối cæu tiếp xúc với nhau và khối cæu lớn tiếp xúc với đáy cûa hình nón Bán kính đáy cûa hình nón đã cho là

A a

3

Câu 18 Tìm tçt câ các giá trị thực cûa tham số m sao cho phương trình

x3 3x2 9x m  0 có đúng 1 nghiệm?

A 27m 5 B m 5 hoặc m27

C m 27 hoặc m 5 D  5 m 27

Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P

đi qua điểm M 9;1;1  cắt tia Ox Oy Oz, , læn lượt täi A B C, , (A B C, , không trùng với gốc tọa độ) Thể tích tứ diện OABC đät giá trị nhô nhçt là

A 27

2

Câu 20 Học sinh A sử dụng một xô đựng nước

có hình däng và kích thước giống như hình vẽ, trong

đó đáy xô là hình tròn có bán kính 20cm, miệng xô

là đường tròn bán kính 30cm, chiều cao xô là

cm

80 Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước Hôi học

sinh A phâi trâ

30 cm

80 cm

20 cm

bao nhiêu tiền nước mỗi tháng, biết giá nước là 20 000 đồng/ m1 3 (số tiền được làm tròn đến đơn vị đồng)?

A 35 279 đồng B 38 905 đồng

C 42 116 đồng D 31 835 đồng

Câu 21 Đặt log 32 a , log 43 b. Hãy biểu diễn T  log 8 log 8127  256 theo

a và b?

a b ab2 2

2

 



 B

a b T

a b ab

4





a b2 ab2

2 2

 



 D

a b T

a b ab

4 2





Câu 22 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng có phương trình  P x 2y 2z  1 0 Q :x 2y z  3 0 và mặt cæu

  S : x 1 2  y22  z2 5.Mặt phẳng   vuông với mặt phẳng    P , Q

đồng thời tiếp xúc với mặt cæu  S

A x y2   1 0;2x   y 9 0 B x y2   1 0;2x y  9 0

C.x 2y  1 0;x2y  9 0 D x y2   1 0; 2x y  9 0

x 2

sin 2 ( )

(2 sin )



 Biết

h x

x

x 2

( )

2 sin (2 sin )



 Tìm a b, và tính I h x dx

2 0

( )



C a 2, b 4; I 1 4 ln3

Câu 24 Tìm tçt câ giá trị thực cûa tham số m để bçt phương

trình x2 x m

3

log 4  1 nghiệm đúng với mọi x ?

A.m 7 B.m 7 C.m  4 D.4m 7

Câu 25 Cho đồ thị  C y x x

x

:

1

 



 và đường thẳng d y: m Tçt câ các

giá trị tham số m để  C cắt d täi hai điểm phân biệt A, B sao cho

AB  2 là

Câu 26 Đặt log 602 a và log 155 b Tính P log 122 theo a và b

b

2 2

b

2

 

b

2

 

b

2

 

Câu 27 Anh An vay ngân hàng 2 tỷ đồng để xây nhà và trâ dæn mỗi năm

500 triệu đồng Kỳ trâ đæu tiên là sau khi nhận vốn với lãi suçt trâ chậm 9 một năm Hôi sau mçy năm anh An mới trâ hết nợ đã vay?

A 6 B.3 C.4 D.5

Câu 28 Cho f ,g là hai hàm liên tục trên 1;3  thôa mãn:

   

3

1

 , f x   g x dx

3 1

 Tính f x   g x dx

3 1

Câu 29 Chiều cao cûa khối trụ có thể tích lớn nhçt nội tiếp trong hình cæu

có bán kính R là

3 D 2R 3

3

Câu 30 Cho z

z

1 1

  Giá trị cûa z

z

2016

2016

1

A 1 B 2. C 2016. D 2017

Câu 31 Một công ty phâi gánh chịu nợ với tốc độ D t đô la mỗi  

năm, với D t' 90t 6 t2 12t trong đó t là số lượng thời gian (tính theo năm) kể từ công ty bắt đæu vay nợ Đến năm thứ tư công ty đã phâi chịu 1

626 000 đô la tiền nợ næn Hàm số biểu diễn tốc độ nợ næn cûa công ty này là

A f t 30 t2 12t3 C B f t 303t2 12t2 1610640

C f t  t2 t3

30 12 1610640

30 12 1610640

Câu 32 Cho số phức z  a bi a b    ,  thôa mãn phương trình

z   iz

i z

z

1 1

1





Tính a2 b2?

Câu 33 Năm 1992, người ta đã biết số p 2756839 1 là một số nguyên tố

(số nguyên tố lớn nhçt được biết cho đến lúc đó) Hãy tìm số các chữ số cûa p

khi viết trong hệ thập phân

A 227830 chữ số B 227831 chữ số

C 227832 chữ số D 227833 chữ số

Câu 34 Trong các số phức z thôa mãn điều kiện z  2 4i  z 2i Số

phức z có mô đun nhô nhçt là

A z  1 2i B z   1 i. C z  2 2i D z   1 i

Câu 35 Cho các điểm A(1;0;0), (0;1;0), (0;0;1), (0;0;0)B C D Hôi có bao nhiêu

điểm P cách đều các mặt phẳng (ABC),(BCD CDA DAB),( ),( ) ?

LỜI GIẢI ĐỀ 7

ÔN TẬP VẬN DỤNG - VẬN DỤNG CAO Câu 1 Đặt z  a bi với a b,    z a bi

Ta có: 1 2 i z i  3z3i 0

1 2i a bi i  3 a bi 3i 0

           a b 1 a2b1i 0

z2

i 2

3 2





i

2 3 2 3 2 3 9 5

13 13

3 2 3 2

Câu 2 Khối nón có chiều cao bằng a và bán

kính đáy r a

2

Diện tích xung quanh khối nón

là S xq rl a a a a



  (đvdt) Thể tích cûa khối nón là:

2



  (đvtt)

Câu 3 Bán kính trong cûa ống: 0,5(m) Bán kính cûa ống gồm lớp bê tông: 0,5 + 0,1 = 0,6(m) Thể tích lớp bê tông câ ống trụ dài 1 km là:

 2 2

.1000 0,6 0, 5

  Số bao xi măng cæn dùng là:

10 .1000 0,6 0,5 1100  3456 (bao) Chọn A

Câu 4 Chọn M6;0;0 , N 2;2;2 thuộc giao tuyến cûa   P , Q

Gọi A a ;0;0 , B 0; ;0 ,b  C 0;0;c læn lượt là giao điểm cûa   với các trục

a b c

a b c

6 1

2 2 2

1







 

   



Hình chóp O ABC là hình chóp đềuOA OB OC   a  b  c

Våy phương trìnhx    y z 6 0Chọn B

Câu 5 TH1 : Đồ thị chỵ cĩ một cực trị x  0 ab  0 m0

Ta cĩy(0)3m 4 (0;3m4)Oy

TH2: Đị thị cĩ 3 cực trịx 0;x   m ab  0 m  0

Ta cĩ y( m) m2 3m  4 ( m m; 2 3m4)Ox

3 4 0

4( / )

  

Câu 6 Gọi x là độ dài độn dây uốn thành tam giá đều  20x là độ

dài độn dây uốn thành hình vuơng Nên độ dài cänh tam giác đều là x m

3 và

độ dài cänh hình vuơng là 20 x m

4

 Tổng diện tích cûa tam giác đều và hình vuơng là S x x

3 20

Đặt   x  x

f x

2



  Xét hàm số f x  với a 0, ta cĩ



 Vì hàm số f x  là hàm số bậc hai cĩ hệ số a  0 nên đät giá trị nhơ nhçt täi x 180

9 4 3



 Chọn B

Câu 7 Đường cong đã cho được täo bởi đồ thị hàm số y=f(x) (nét đứt) qua phép đối xứng trục Oy.Ta thçy f(x) là hàm số bậc 3, cĩ hệ số cûa x3 dương nên lội đáp án A

Vì đường cong được täo bởi phép đối xứng qua trục tung nên nĩ là đồ thị hàm

số y  f x  Chọn D

Câu 8 y' 3x2 6mx  3x x 2m y ' 0  x

0 2

 

Đồ thị hàm số cĩ hai điểm cực trị khi và chỵ khi :2m  0 m  0 Khi đĩ, các điểm cực trị cûa đồ thị hàm số là A m3

2 ;

Ta cĩ: OA0;3m3  OA 3m3

Ta thçy A Oy  OA Oy  d B OA ,  d B Oy,  2m

OAB

S 1 OA d B OA m4

2



     Do đĩ: SOAB  48

3 48  m  2 (thơa mãn)Chọn D

IB IC

I

3;3; 6 2

1 5 2

; ; 2

3 3 3





Vì tọa độ điểm I là số nguyên nên I3;3; 6 

Lúc đó mặt phẳng   đi qua A I, 3;3; 6  và vuông góc với mặt phẳng  P

  : 2x y 2z 3 0

Câu 10

log   log 4   4   4 0

x2 mx  4 0vô nghiệm x2 mx    4 0 x R     0 4 m 4

Câu 11

P

2

1

Đê phương tri nh có nghiê m thì    ' 0 2y2 6y  0

     Chọn B

Câu 12 Để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận đứng: x2 mx m

   có

 

8 0

8

 





 Chọn C

Câu 13 Gọi O là tâm hình bán nguyệt MQ x OQ 2 x2

3

hcn MQO

       S hcn 9Chọn C

Câu 14 Ta có logx2 y2 24x 4y41x2 y2 4x 4y  6 0  1

Giâ sử M x y ; thôa mãn pt  1 , khi đó tập hợp điểm M là hình tròn  C1

tâm I 2;2  bán kính R1  2 Các đáp án đề cho đều ứng với m 0 Nên dễ

thçy x2 y2 2x 2y  2 m  0 là phương trình đường tròn  C2 tâm J 1;1

bán kính R2  m Vậy để tồn täi duy nhçt cặp  x y; thôa đề khi chî khi  C1

và  C2 tiếp xúc ngoài

IJ R1 R2 10 m 2 m 10 2 2

Câu 15 Từ giâ thiết: x y 2 xy 1 2 xy xy 1

4

Ta có P  x2 y y2 x xy x y2 2 x2 y3 xy xy

x y2 2 x y3 xy x y xy

Thay x  y 1 vào P , ta được

P 16x y2 2 12 1 3  xy34xy 16x y2 2 2xy12

Đặt t xy với t 0;1

4

 

  

  Khi đó P t t

2

16 2 12

Xét hàm số f t  t2 t

   trên 0;1

4

 

 

 , ta có

 

 

1 0;

4

1 0;

4

1 191 min

16 16

1 25 max

 

 

 

 

 

 

 





max

P +Pmin 391

16

 Chọn D

Câu 16 Gọi x 1 là khoâng thời gian cæn để nước chây đæy bể, ta có

x

1

60.2 60.2 60.2 60.2 1000 60 1000 2 1 4,14









Chọn C

Câu 17

Giâ sử thiết diện qua trục cûa hình nón là

ABC

 với A là đînh nón, BC là đường kính

đáy nón H là tåm đáy O O1, 2læn lượt là tâm

cûa mặt cæu lớn và nhô, D D1, 2 læn lượt là tiếp

điểm cûa AC với  O1 và  O2 Cæn tính r =

HC

H

O2

O1

C

A

B

D1 D2

Vì O D1 1//O D2 2 và O D1 1 2O D2 2nên O2là trung điểm

AO1 AO1 2OO1 2 2.3a 6a ; O D1 1 2 ,a AH AO1 O H1 8a

Chọn C

Câu 18 (1)m x3 3x2 9x  f x( ) Bâng biến thiên cûa f x trên

Từ đó suy ra pt có đúng 1 nghiệm khi m  27 hoặc m 5

Chọn C



y



5

27





Câu 19

Gọi A a ;0;0 , B 0; ;0 ,b  C 0;0;c a b c , , 0 Phương trình độn chắn mặt

phẳng  P : x y z

a b c

9 1 1

1

3

1   3  243 Suy ra V OABC 1abc 81

Câu 20

Thể tích cûa một xơ nước là:

.80 30 20 30.20 159174, 0278

 m3

0,1591740278

  Thể tích nước mỗi tháng A dùng hết là:

 

10 1,591740278 Vậy số tiền nước mà A phâi trâ mỗi tháng là:

1,591740278 20 000 31 834 đồng Chọn D

Câu 21

log 8 log 81 log 2 log 3 3 log 2 4 log 3

 

 

a b

2





a b ab

4 log 3.log 4 log 4 2  

  Chọn B

Câu 22 Mặt cỉu   S : x 1 2  y 22 z2 5 cĩ tâm I 1; 2;0   và bán

kính R 5 Gọi n là một vectơ pháp tuyến cûa mặt phẳng  

Ta cĩ : n n P n Q n   6;3;0  3 2; 1;0   3n1

Lúc đĩ mặt phẳng   cĩ däng :2x y m   0

Do mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cỉu

 S     m

5

m

1 9

 Phương trình mặt phẳng

  :2x   y 1 0hoặc 2x   y 9 0 Chọn D

Câu 23

h x

x

( )

2 sin



b

4 1

      



Vậy h x dx x x dx x

x

2

0

(2 sin )





2 ln 3 2 2 ln 2 2 ln

Câu 24

3

log 4    1  4     3 0    0 7

 Chọn A

Câu 25 Phương trình hoành độ giao điểm  C và d là x x m

x

2

1 1

x

x2 m x m

1

1 1 0 (1)

 





 C cắt d täi hai điểm phån biệt

 Phương trình  1 có hai nghiệm phån biệt khác 1



     

Hoành độ giao điểm x x1, là nghiệm cûa phương trình (1) nên theo Vi-et ta 2 có: x x m

x x m

1 2

1 1



 Khi đó: A x m 1; , B x m 2; , suy ra

AB  2AB2 2x2 x12 2x1 x22 4x x1 2  2 0 m

m

   



   



m

  



  



( thôa (*))

Vậy chọn m  1 6 m  1 6  Chọn B

Câu 26 Ta có P log 122 log2 60 log 60 log 52 2 a log 52

5

 

 

a b

2

2

60 log

log 5

log 15 log 15 log 15

    Chọn D

Câu 27 Kỳ trâ nợ đæu tiên là sau khi nhận vốn nên đåy là bài toán vay vốn trâ góp đæu kỳ

Gọi A là số tiền vay ngån hàng, B là số tiền trâ trong mỗi chu kỳ, d  r là lãi suçt trâ chậm (tức là lãi suçt cho số tiền còn nợ ngån hàng) trên một chu

kỳ, n là số kỳ trâ nợ

Số tiền còn nợ ngån hàng (tính câ lãi) trong từng chu kỳ như sau:

+ Đæu kỳ thứ nhçt là A B

+ Đæu kỳ thứ hai là A B(  )(1d)B A(1d)B(1d) 1 

+ Đæu kỳ thứ ba là

A(1 d) B (1 d) 1 (1 d) B A(1 d)2 B (1 d)2 (1 d) 1

……

+ Theo giâ thiết quy näp, đæu kỳ thứ n là

n

d

(1 )  (1 )  (1 ) 1 (1 )   

Vậy số tiền còn nợ (tính câ lãi) sau n chu kỳ là n d n

d

(1 )   

Trở läi bài toán, để sau n năm (chu kỳ ở đåy ứng với một năm) anh Bình trâ

hết nợ thì ta có

d

0, 09

Vậy phâi sau 5 năm anh Bình mới trâ hết nợ đã vay  Chọn D

Câu 28 Ta có f x  g x dx  f x dx  g x dx 

Tương tự f x   g x dx f x dx  g x dx 

Xét hệ phương trình u v u

, trong đó u f x dx 

3 1

  ,

 

3

1

  Khi đó f x   g x dx f x dx  g x dx 

4 2 6

Chọn C

Câu 29 Giâ sử 2x là chiều cao hình trụ (0 x R)

Bán kính cûa khối trụ là r  R2 x2

Thể tích khối trụ là: V (R2 x2)2x

Xét hàm số V x R2 x2 x x R

( )(  )2 , 0 

R

'( ) 2 ( 3 ) 0

3



R x

x

O