TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 2 ĐÁP ÁN Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt Câu 1.. Nếu đổi biến số x=2sint thì:... Hướng dẫn giải:... Hướng dẫn giải: Đặt t=sinxÞdt=cosxdx... Hướng dẫn giải:.
Trang 1
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 2
ĐÁP ÁN Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt
Câu 1 Đổi biến số x=2sint của tích phân
2
2 0
4
I =òx -x dx ta được:
0
16 sin cost tdt
p
0
8 sin cost tdt
p
0
4 sin cost tdt
p
0
2 sin cost tdt
p
Hướng dẫn giải:
2 2 2sin , 2 cos
x t t é p p ù d x td t
- Þ =
ê ú
ê ú
ë û
= Î Đổi cận:
0 0 2
2
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
2sin 4 4sin 2cos 8 sin cos
Câu 2 Đổi biến số x=4sint của tích phân
8
2 0
16
I =ò -x dx, ta được:
0
16 cos
p
= - ò B 4( )
0
8 1 cos 2
p
= ò +
C 4 2
0
16 sin
p
= ò D 4( )
0
8 1 cos 2
p
= ò -
Hướng dẫn giải:
Đặt x=4sint, suy ra:
4cos
16 16 16sin 16cos 4 cos
dx tdt
ì =
ï
í
î
Đổi cận:
0 0
8
4
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
Khi đó 4 4 2 4( )
16 cos cos 16cos 8 1 cos 2
=ò =ò = ò +
Câu 3 Cho tích phân
1
2
dx I
x
=
-ò Nếu đổi biến số x=2sint thì:
Trang 22
A 6
0
I dt
p
=ò B 6
0
I tdt
p
=ò C 6
0
dt I t
p
=ò D 3
0
I dt
p
=ò
Hướng dẫn giải:
Đặt x=2sint, suy ra 2 cos2 2 2
4 4 4sin 2 cos 2 cos
dx tdt
ì = ï í
ï - = - = = î
Đổi cận:
0 0 1
6
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
Vậy 6 6 6
2cos 2cos
2cos 2 cos
=ò =ò =ò
Câu 4 Tìm a thỏa mãn 2
0
0 4
a
dx I
x
= =
A a=ln 2 B. a= 0 C a=ln 3 D a= 1
Hướng dẫn giải:
Vì ( ) 0 0
k
k
f x dx= Þ =a
Câu 5 Giá trị của tích phân 2 2 2 ( )
0
0
a
dx
a x
= >
-ò là:
A.
6
4
3
2
p
Hướng dẫn giải:
2 2 sin ,
x a t t é p pù d x a t d t
- Þ =
ê ú
ê ú
ë û
Đổi cận:
0 0
2 6
a
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
cos
0
6 6 sin
a tdt
Câu 6 Giá trị của tích phân
1 2
2 0
1 1
x
=
-ò là:
A
6
4
3
2
p
Trang 3Hướng dẫn giải:
Đặt sin , ; cos
2 2
x t t é p pù dx tdt
= Î -ê úÞ =
ê ú
ë û Đổi cận :
0 0 1
2 6
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
2
cos cos
0
1 sin
t t
Câu 7 Tích phân 2 2
0
4 x dx
-ò có giá trị là:
A
4
3
2
p
Hướng dẫn giải:
Đặt 2sin , ; 2cos
2 2
x t t é p pù dx tdt
= Î -ê úÛ =
ê ú
Đổi cận:
0 0 2
2
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
4 x dx 4 4sin 2cost tdt 4 cos tdt
p
Câu 8 Giá trị của tích phân
2 1
2 2 2
1 x
x
-=ò là:
A 1
4
p
+ B. 1
4
p
- C
4
4
p
-
Hướng dẫn giải:
Đặt si , ; \ 0{ } c s
2
ê ú
ê ú
ë û
Đổi cận:
2
2 4 0
2
p p
ì
ï = Þ = ï
í ï
= Þ = ï
î
2
4
cos 1 sin 1
1 cot 1
p p
p
æ ö
-ç ÷
= = = ç - ÷ = + =
-è ø
Trang 44
Câu 9 Giá trị của tích phân
2 1
2
x
x
=
-ò bằng ap -b 3 Giá trị của ab bằng:
A 2
3 B
2 3
- C. 1
6 D
1 6
-
Hướng dẫn giải:
Đặt [ ]0; \ 2sin
2
2 cos ,
p ì üï ïí ýÞ =
-ï -ï
î þ
Đổi cận:
0
2 1
3
p p
ì
= Þ = ï
ï í
ï = Þ = ï
î
2
2
2 1 2 cos 2 sin 2
t tdt
t
p
p
= - = - + = - ê + ú =
Câu 10 Giá trị của tích phân
2
0
4
I =òx -x dx là:
A
6
4
2
p
Hướng dẫn giải:
Đặt ; 2 cos
2 2 2sin ,
x t t é p p ù dx tdt
- Þ =
ê ú
ê ú
ë û
Đổi cận:
0 0 2
2
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
1 16sin cos 4 sin 2 2 1 cos 4 2 sin 4 2 0
p
p
ç ÷
= = = - = ê - ú = ç - ÷=
Câu 11 Giá trị của tích phân
2 3 2
2
x dx I
x
=
-ò bằng a b+ 2 Giá trị của a
b bằng:
A 8
5 B.
8 5
- C 5
8 D
5 8
-
Hướng dẫn giải:
Trang 52 2 sin , dx td
ç- ÷Þ =
ç ÷
è ø
Đổi cận:
0 0 2
2 4
ì = Þ = ï
í
ï = Þ = ï
3
sin cos
sin sin sin cos
1 2 5 2
1 cos cos cos cos
3 3 12
t t
t
= - - = -ç + ÷ =
ò
Câu 12 Giá trị của tích phân
2 2 2
2
x dx I
x
=
-ò bằng
4
ap b
- Giá trị của a
b bằng:
2 D
1 2
-
Hướng dẫn giải:
2 2 sin , dx td
ç- ÷Þ =
ç ÷
è ø
Đổi cận:
0 0 2
2 4
ì = Þ = ï
í
ï = Þ = ï
2
2
sin 1 cos 2 sin 2
t tdt
t
p
Câu 13 Giá trị của tích phân 1 2 2
0
4 3
I =òx - x dx bằng 2 3 1
p
+ Giá trị của a
b bằng:
A. 9
4 B
9 4
- C 8
9 D
8 9
-
Hướng dẫn giải:
2 2
sin ,
x t t é p pù d x tdt
- Þ =
ê ú
ê ú
ë û
Đổi cận:
0 0 1
3
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
Trang 66
sin 4 4sin cos sin 2
1 cos 4 sin 4
4 27 12
p
= - = ê - ú = +
ò
Câu 14 Giá trị của tích phân
1
2 1
2
1
-=ò - bằng:
A 3
3 8
p
- + B 3
3 8
p
- C 3
3 8
p
+ D 3
3 8
p
- -
Hướng dẫn giải:
Đặt ;
2 2 sin , cos
x t t é p p ù d x t t d
- Þ =
ê ú
ê ú
ë û
Đổi cận:
1
1
2
p p
ì
= - Þ = -ï
ï í ï
= Þ = ï
2
6
cos (1 cos 2 ) sin 2
p
p
= = - = ê - ú = +
Câu 15 Giá trị của tích phân 1
dx I
=
-ò bằng:
A. 3
6 B.
3 6
- C. 3
3 D.
3 3
-
Hướng dẫn giải:
2 2 2sin , cos
x t t æ p pö dx tdt
ç- ÷Þ =
ç ÷
è ø
Đổi cận:
3
3 1
6
p p
ì
= Þ = ï
ï í ï
= Þ = ï
î
2
3
cot
4 sin 4 6 4sin 4 4sin
t
p
Trang 7
Câu 16 Giá trị của tích phân
1 2
5 2 0
3 1
dx I
x
=
-ò bằng:
A 10 3
27 B
10 3 27
- C 10 3
9 D
10 3 9
-
Hướng dẫn giải:
Đặt ;
2 2 sin , cos
x t t æ p p ö dx tdt
ç- ÷Þ =
ç ÷
è ø
= Î Đổi cận:
0 0 2
6
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
2
tan 1 cos cos
1 sin 1 sin
Đặt tan 2
cos
dt
t
= Û = Đổi cận:
0 0
3
6 3
x p t
ì = Þ = ï
í
ï = Þ = ï
3 3
3 2
10 3
1 3 3
u
ç ÷
= + = ç + ÷ =
è ø
ò
Câu 17 Giá trị của tích phân 2 2 2
0
a
I =òx a -x dx bằng:
A.
4
16a B.
4
8
4
16
8
ap
Hướng dẫn giải:
2 2 sin , cos
x a t t é p pù d x a t d t
- Þ =
ê ú
ê ú
ë û
= Î Đổi cận:
0
2
x a t p
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
4
sin sin cos sin cos sin 2
4 1
1 cos 4 sin 4
a
p
= - = ç - ÷ =
ò
Trang 88
Câu 18 Giá trị của tích phân
5 2
2 1
1
9 1
x
=
-
-ò bằng:
A.
18
9
6
3
p
Hướng dẫn giải:
Đặt 1 3sin , 3
2 2; cos
x t t æ p p ö d x t d t
ç- ÷Þ =
ç ÷
è ø
- = Î Đổi cận:
1 0 5
2 6
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
6 2
1 3cos
6
9 9sin
t
Câu 19 Giá trị của tích phân 3
0
cos
2 cos 2
x
x
p
= +
ò là:
A.
2
p
- B.
4 2
2 2
2
p
Hướng dẫn giải:
Đặt t=sinxÞdt=cosxdx Đổi cận :
0 0
3
3 2
x p t
ì = Þ = ï
í
ï = Þ = ï
Vậy
2
2 cos 2 3 2 2 3
2
t
p
Đặt 3cos 3sin
t= uÞdt= - udu Đổi cận :
0
2 3
2 4
p p
ì
= ® = ï
ï í ï
= ® = ï
î
, suy ra
4
3 sin
1 cos
udu dt
p
p
p
Câu 20 Đổi biến số x= 3 tant của tích phân
3 2 3
1 3
x
= +
ò , ta được:
Trang 9A 3
4
3
p
p
= ò B 3
4
3 3
dt I
t
p
p
= ò C 3
4
3 3
p
p
= ò D 3
4
3 3
p
p
= ò
Hướng dẫn giải:
Đặt x= 3 tant, suy ra dx= 3 1 tan( + 2t dt)
Đổi cận:
3
4 3
3
p p
ì
= Þ = ï
ï í
ï = Þ = ï
î
Khi đó 3 ( 2 ) 3
2
3 1 tan 3
3 tan 3 3
t dt
t
+
+
Câu 21 Giá trị của tích phân 3
2
dx I
=
+
ò nếu đặt tan , ; \ 0{ }
2 2
x t t æ p pö
ç ÷
= Î -ç ÷
è ø thì ta được:
A 3
4
cos
dt
I
t
p
p
=ò B 3
4
sin
dt I
t
p
p
=ò C. 4
3
cos
dt I
t
p
p
=ò D 4
3
sin
dt I
t
p
p
=ò
Hướng dẫn giải:
Đặt tan , ; \ 0{ } 2
2 2 cos
dt
t
p p
æ ö
ç ÷
= Î -ç ÷ Þ =
Đổi cận:
1
4 3
3
p p
ì
= Þ = ï
ï í
ï = Þ = ï
î
2
cos tan cos sin
I
=ò =ò
Câu 22 Giá trị của tích phân 2 2( )
0
0
a
dx
x a
= >
+
ò là:
A.
4a
4a
2
4a
p
- D
4a
p
-
Hướng dẫn giải:
Đặt tan ; ; (1 tan2 )
2 2
x a t t æp pö dx a t dt
ç ÷
= Îç - ÷Þ = +
è ø Đổi cận
0 0
4
x a t p
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
Trang 10
10
Vậy 4 ( 2 ) 4
1 tan 1
p
+
+
Câu 23 Giá trị của tích phân 2 2 ( )
0
0
a
dx
a x
= >
+
ò là:
A ln 3 2 2( + ) B. ln 1( + 2) C aln 3 2 2( + ) D aln 1( + 2)
Hướng dẫn giải:
Đặt ; (tan2 1)
2 2 tan , dx a t d
ç- ÷Þ = +
ç ÷
è ø
= Î Đổi cận:
0 0
4
x a t p
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
2
2
tan 1
cos 1 sin tan
-+
Đặt sint= Þu costd t=d u. Đổi cận:
0 0
2
4 2
x p t
ì = Þ = ï
í
ï = Þ = ï
2
ln ln 1 2
- è + - ø
Câu 24 Giả sử k> và 0 3 2 ( )
0
ln 2 3
dx I
x k
+
ò Giá trị của k bằng:
Hướng dẫn giải:
Đặt ; \ 0{ } 2
2 2
tan ,
cos
k dt
t d
p p
æ ö
ç- ÷ Þ =
ç ÷
è ø
= Î Đổi cận:
0 0
3
3 arctan
k
ì = Þ = ï
í
ï = Þ = ï
2
2
cos cos 1 sin tan
sin 1 1 1 1 sin 1
sin ln
1 sin 2 sin 1 sin 1 2 sin 1
I
k t k
-+
Thay các đáp án vào ta thấy k= thỏa mãn 1
Trang 11Câu 25 Biết rằng 2 2
0
a
dx
A
x a = +
0
2
b
dx B
p
=
ò (với ,a b> ) Khi đó giá trị của biểu thức 40
2
B aA b
+ bằng:
A p B. 2p C 3p D 4p
Hướng dẫn giải:
+Tính 2 2
0
a
dx
x +a
ò
Đặt tan , ; (1 tan2 )
2 2
t a x a æp pö dx a t dt
ç ÷
= Îç - ÷Þ = +
Đổi cận :
0 0
4
x a t p
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
Vậy
2
(1 tan ) 1
dt dt
p
+
= = +
+Tính:
0
2 2
b
dx b
p
p
=
ò , suy ra
2
B
b=p
2
B aA
b p
Þ + =
Câu 26 Giá trị của tích phân 1 2
01
dx I
x
= +
ò là:
A
2
I p
= B 3
4
I p
= C.
4
I p
= D 5
4
I p
=
Hướng dẫn giải:
Đặt tan , ; (tan2 1)
2 2
x t t æ p pö dx t dt
ç ÷
= Î -ç ÷Þ = +
Đổi cận
0 0 1
4
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
2
2
tan 1
1 tan 4
t
t
p
+
+
Câu 27 Giá trị của tích phân 2 2
0
1
2 2
=
- +
ò bằng:
2
3
4
p
Hướng dẫn giải:
Trang 1212
2 2
2 2 1 1
- + - +
Đặt 1 tan , 2
cos
;
2 2
dt
t dx
p p
æ ö
ç- ÷Þ =
ç ÷
è ø
- = Î Đổi cận:
0
4 2
4
p p
ì
= Þ = -ï
ï í
ï = Þ = ï
î
4
4
1 tan 1 cos 2
dt
p p
p
+
Câu 28 Giá trị của tích phân
3 1 2
dx I
-=
+ +
ò là:
A 5
12
I p
= B
6
I p
= C 3
12
I p
= D.
12
I p
=
Hướng dẫn giải:
2 2
I
+ + + +
Đặt 1 tan ; (tan2 1)
2 2
ç ÷ + = Î -ç ÷Þ = +
è ø Đổi cận
0
4
3 1
3
p p
ì
= Þ = ï
ï í
ï = - Þ = ï
î
2
3 2
4
tan 1
1 tan 12
t
t
p p
p
+
+
Câu 29 Giá trị của tích phân
3 1 8
01
x
x
= +
ò bằng:
A.
16
8
4
2
p
Hướng dẫn giải:
( )
2
Trang 13Đặt 4 3
2
4cos
tan x dx dt
t
x = tÞ = Đổi cận:
0 0 1
4
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
ỵ
1 tan 4 cos 4 4 16
dt
p
+
Câu 30 Giá trị của tích phân 1 ( )
2 0
ln 1 1
x
x
+
= +
ị là:
A ln 3
8
I p
= B ln 2
4
I p
= C ln 3
8
I p
= D. ln 2
8
I p
=
Hướng dẫn giải:
Đặt x=tantÞdx=(1 tan+ 2t dt) Đổi cận:
0 0 1
4
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
ỵ
2 2
ln 1 tan
1 tan ln 1 tan
1 tan
t
t
+
+
Đặt
4
t p u dt du
= - Þ = - Đổi cận:
0
4 0 4
p p
ì
= Þ = ï
ï í ï
= Þ = ï
ỵ
0 4
0
4
ln 1 tan ln 1 tan
4
1 tan 2
ln 1 ln ln 2 ln 1 tan ln 2
u
p
p
p
p
é ỉ ứ
ê ç ÷ú
Þ = + = - + ç - ÷
ê è øú
= ç + ÷ = ç ÷ = - + =
Vậy ln 2
8
I p
=
Câu 31 Giá trị của tích phân
1
2
0 1
dx I
x
= +
ị bằng ln(a b+ 2). Giá trị của ab bằng:
Hướng dẫn giải:
2
tan ,
cos
2 d
dt t x
x t t ỉ p pư
ç- ÷Þ =
ç ÷
è ø
= Ỵ Đổi cận:
0 0 1
4
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
ỵ
Trang 1414
2
cos cos 1 sin
1 tan
I
t
-+
Đặt sint= Þu costd t=d u. Đổi cận:
0 0
2
4 2
x p t
ì = Þ = ï
í
ï = Þ = ï
2
ln ln 1 2
- è + - ø
Câu 32 Giá trị của tích phân
3
2 2
2 3 2
9 2x
x
+
=ò bằng a 2+ +b c 2 ln( 6- 3) Giá trị của
a b c+ + bằng:
Hướng dẫn giải:
Đặt 3 tan , ; { } 3 2
c s
\
o
2 2 0 2
t
t
p p
é ù
ê ú
ê ú
ë û
Đổi cận:
3
6 2
3
4 2
p p
ì
ï = Þ = ï
í ï
= Þ = ï
ï
2
2
3 1 1 3
cos cos 2
9 cos tan cos sin 1 sin .sin tan
2
t
Đặt sint= Ûu costdt =du Đổi cận:
1
6 2
2
4 2
p p
ì
= Þ = ï
ï í ï
= Þ = ï
î
2
1
2
1
2 2 2 2 ln 6 3
= - -
Trang 15Câu 33 Giá trị của tích phân
2 1
3 2
0 1
x dx I
x
= +
ò bằng:
A
4
8
16
32
p
Hướng dẫn giải:
2
tan ,
cos
2 d
dt t x
x t t æ p pö
ç- ÷Þ =
ç ÷
è ø
Đổi cận:
0 0 1
4
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
2
2
sin cos sin 2
1 tan
1 cos 4 sin 4
t dt
t t
p
+
= - = ç - ÷ =
ò
Câu 34 Giá trị của tích phân
2 3
2 1
1 x
x
+
=ò bằng 2 3 ln 7 4 3
3 2 2
æ - ö
ç ÷ + + ç ÷
-è ø
Giá trị của
a b c+ - bằng:
A 1
6
- B 1
6 C
5 6
- D. 5
6
Hướng dẫn giải:
Đặt ; \ 0{ } 2
2 2
tan ,
cos
dt
t
p p
æ ö
ç- ÷ Þ =
ç ÷
è ø
= Î Đổi cận:
1
4 3
3
p p
ì
= Þ = ï
ï í
ï = Þ = ï
î
2
tan cos sin cos sin 1 sin
+
Đặt sint= Þu cost dx=du Đổi cận:
2
4 2
3
3 2
p p
ì
ï = Þ = ï
í ï
= Þ = ï
ï
Trang 1616
2
2
2
1 1 1 1 1 1 1
ln
1
2 1 7 4 3
2 3 ln
3 2 3 2 2
é æ öù æ - ö
ê ç ÷ú
= = - ç - ÷ = -ç + ÷
æ - ö
ç ÷
= - - ç ÷
-è ø
Câu 35 Giá trị của tích phân
1
3 2
dx I
x
=
+
ò bằng:
A. 2
Hướng dẫn giải:
2
tan ,
cos
2 d
dt t x
x t t æ p pö
ç- ÷Þ =
ç ÷
è ø
= Î Đổi cận:
0 0 1
4
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
î
4
3 2
cos sin
tan 1
dt
t t
p
+
Câu 36 Cho tích phân
2 2 3 1
1
x
x
-=ò Nếu đổi biến số 1
sin
x t
= thì:
A 4 2
2
cos
p
p
=ò B 2 2
4
cos
p
p
=ò C 2 2
4
sin
p
p
=ò D 2( )
4
1
1 cos 2 2
p
p
= ò -
Hướng dẫn giải:
Đặt 1
sin
x t
= , suy ra
2
2 2
cos sin
cos
1 cos
sin sin sin
t
t
t t
x
ì
= -ï ï í ï
- = - = = ï
ï Đổi cận:
1
2 . 2
4
p p
ì
= Þ = ï
ï í ï
= Þ = ï
Khi đó:
Trang 172
cos cos sin cos sin cos 1 cos 1 cos 2
1 sin 1 sin 2 sin sin
= -ò =ò =ò = ò +
Câu 37 Giá trị của tích phân 2
2 2
dx I
x x
=
-ò bằng:
A
2
3
6
12
p
Hướng dẫn giải:
sin 0; \
1 ,
tdt
t t
p
p ì üï ïí ýÞ =
ï ï
î þ
Đổi cận:
2
6 3
2
4
p p
ì
= Þ = ï
ï í ï
= Þ = ï
î
4 6
sin sin cos cos
1
cos cos cos cos
t
p p
p
Câu 38 Giá trị của tích phân 6
2
2 3
1 9
x x
=
-ò bằng:
A.
3
6
18
36
p
Hướng dẫn giải:
3
; \ 0
2 2
,
t x
x
t d
t
p p
-ç- ÷ Þ =
ç ÷
è ø
= Î Đổi cận:
2 3
3 6
6
p p
ì
= Þ = ï
ï í ï
= Þ = ï
î
6
2
3 3 18
3 9 9 sin sin
cos sin
t d
t dt t
p
p
Trang 18
18
Câu 39 Giá trị của tích phân
2 2 2 2 3
1
x
x
=
-ò bằng ln 7 4 3 3
3
æ + ö
ç ÷ + +
ç ÷
è ø
Giá trị của
a b c+ + bằng:
A. 19
12 B.
17
12 C.
13
12 D.
11
12
Hướng dẫn giải:
Đặt ; \ 0{ } 2
2 2
,
t
p p
-ç- ÷ Þ =
ç ÷
è ø
= Î Đổi cận:
2
3 3
2
6
p p
ì
= Þ = ï
ï í ï
= Þ = ï
î
2
3
2
2
1
1 sin sin .
sin
cos
sin cos 1
sin
tdt t
I
t
t dt t
Đặt cost= Þu sintdt= -d u Đổi cận:
3
6 2
1
3 2
p p
ì
ï = Þ = ï
í ï
= Þ = ï
î
3
2
3 2 1 2
4 1 1
1
1 1 1 1 1 7 4 3 1
u
u
æ ö
ç ÷
= ç - - ÷ = ç ÷+
+
Câu 40 Giá trị của tích phân
2 2 0
1 1
x
x
+
=
-ò bằng 2
2
ap b c
+ + Giá trị của a b c+ + bằng:
A 3
4 B. 1 C
7
4 D 2
Hướng dẫn giải:
Đặt cos 2 0; 2sin
2 , dx tdt
x t t æ pö
ç ÷ Þ =
-ç ÷
è ø
Trang 19Đổi cận:
0
4 2
2 8
p p
ì
= Þ = ï
ï í ï
= Þ = ï
î
2
2
2
8
1 cos 2 2 cos cos
2 sin 2 2 sin 2 2 sin 2
1 cos 2 2sin sin
2 2sin cos 2 2cos 1 cos 2 2 sin 2 1
t
t
p
p
+