Bài 29 nguyên hàm tích phân từng phần

* Để tính nguyên hàm òf x dx bằng từng phần ta làm như sau: Bước 1.. Tức là trong hàm số dưới dấu tích phân hợp bởi 2 trong 4 hàm số trên thì ta đặt u theo thứ tự ưu tiên như trên, còn

Trang 1

1

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

TỪNG PHẦN Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Phương pháp

a) Nguyên hàm từng phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [ ]a b và có đạo hàm liên tục trên đoạn ; [ ]a b ;

Khi đó: òudv=uv-òvdu ( )*

Để tính nguyên hàm òf x dx( ) bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1 Chọn u v, sao cho f x dx( ) =udv (chú ý dv=v x dx'( ) ) Sau đó tính v=òdv và '

du=u dx

Bước 2 Thay vào công thức ( )* và tính vduò

b) Tích phân từng phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên [ ]a b và có đạo hàm liên tục trên ; [ ]a b ;

Khi đó:

b

a a a

Để tính tích phân

b

a

udv

ò bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1 Chọn u v, sao cho f x dx( ) =udv (chú ý dv=v x dx'( ) ) Sau đó tính v=òdv và '

du=u dx

Bước 2 Thay vào công thức ( )* và tính

b

a

vdu

2 Một số dạng thường dùng phương pháp nguyên hàm, tích phân từng phần

( ) sincosx

x

é ù

ê ú

=

ê ú

ë û

ò , trong đó P x là đa thức ( )

( )

sin cos

x

ì = ï

é ù í

ê ú

= ï

ê ú

ï ë û î

( ) ax b

ax b

ì = ï í

ï = î

( ) (ln )

I =òP x mx n dx+ , trong đó P x là đa ( )

thức

( )

ln

ì = + ï

í

= ï

Trang 2

2

sin cos

x

é ù

ê ú

=

ê ú

ë û

ò

sin cos

x

x u

x

ï =ê ú

ï

ï = î

( )ln ( )

b a

é ù

ë û

ln

ì = é ù

ï ë û í

ï = î

( )

sin cos

ax

e

b

a

ò

( )

sin cos

ax

e

ì = ï

ï é ù

ï ê ú í

ê ú

= ï

ê ú ï

ê ú

ï ë û î

sin cos

ax ax

ax

b a

é ù

ê ú

ë û

ò

sin cos

ax

ax u

ax

ï

ï = î

Ưu tiên đặt u theo quy tắc ''nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ''

Tức là trong hàm số dưới dấu tích phân hợp bởi 2 trong 4 hàm số trên thì ta đặt u theo thứ tự

ưu tiên như trên, còn lại thì đặt là dv

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Để tính òxln 2( +x dx) theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

A

ln 2

u

x

d

ì =

ï

í

= +

ï B u ln 2( x)

dv x x d

ì = + ï

í

ï = î

C u ln 2( x)

x

ì = + ï

í

ï = î

D u ln 2( x)

ì = + ï

í

ï = î

Câu 2 Để tính òx2cosx dx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

A

cos

ì =

ï

í

=

ï B

2

cos

ì = ï í

=

ï C u cos2x

ì = ï í

=

2cos

ì = ï í

=

Câu 3 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) x

f x = x e

C ( ) ( 1) x

Chuyên Lam Sơn – Lần 2

Câu 4 Biết ( ) ( 2 ) x

f x =x e Tính

,

a b và c

A a=1,b=2,c= -2 B a=2,b=1,c= -2 C a= -2,b=2,c=1 D a=1,b= -2,c=2

Kim Liên – Hà Nội – Lần 2

Trang 3

3

Câu 5 Tính ( )F x =òxsinxdx bằng:

A. F x( ) sin= x-xcosx C+ B F x( )=xsinx-cosx C+

C. F x( ) sin= x x+ cosx C+ D F x( )=xsinx+cosx C+

Câu 6 Tính òxln2 xdx Chọn kết quả đúng:

2ln 2ln 1

4x x- x+ +C

2ln 2ln 1

2x x+ x+ +C

Câu 7 Tính ( )F x =òxsin cosx xdx Chọn kết quả đúng:

A. ( ) 1sin 2 cos 2

x

F x = x+ x C+ B. ( ) 1sin 2 cos 2

x

C. ( ) 1cos 2 sin 2

x

F x = x- x C+ D. ( ) 1sin 2 cos 2

x

Câu 8 Tính ( ) 3

x

F x =òxe dx Chọn kết quả đúng

A ( ) 3( 3) 3

x

F x = x- e +C B ( ) ( 3) 3

x

( )

3

x

( )

3

x

= +

Câu 9 Tính ( ) 2

cos

x

=ò Chọn kết quả đúng

A. F x( )= -xcotx+ln | cos |x +C B. F x( )= -xtanx+ln | cos |x +C

C. F x( )= -xcotx-ln | cos |x +C D F x( )=xtanx+ln | cos |x +C

Câu 10 Tính F x( )=òx2cosxdx Chọn kết quả đúng

A F x( )=x2sinx-2 cosx x+2sinx C+ B F x( ) (= x2-2)sinx+2 cosx x C+

C. F x( ) 2 sin= x2 x x- cosx+sinx C+ D F x( ) (2= x x+ 2) cosx x- sinx C+

Câu 11 Tính ( )F x =òxsin 2xdx Chọn kết quả đúng

A. ( ) 1(2 cos 2 sin 2 )

4

F x = x x- x +C B. ( ) 1(2 cos 2 sin 2 )

4

C. ( ) 1(2 cos 2 sin 2 )

4

F x = - x x- x +C D. ( ) 1(2 cos 2 sin 2 )

4

Câu 12 Tính 1 ln(2x 1)dx

x

ò Khẳng định nào sau đây là sai?

Trang 4

4

A 1 ln( 1) ln

1

C

+ +

+ B 1 ln( 1) ln

1

C

- + +

+

C x 1(1 ln(x 1)) ln | |x C

x

+

Câu 13 Tính ( ) (2 1) 1 x 1 x( )

F x =ò x- e- dx=e- Ax B+ +C Giá trị của biểu thức A B+ bằng:

A –3 B 0 C 3 D 5

Câu 14 Tính ( ) xcos x( cos sin )

F x =òe xdx=e A x B+ x +C Giá trị của biểu thức A B+ bằng:

A –2 B –1 C 1 D 2

Câu 15 Tính F x( )=òln(x+ 1+x2)dx Chọn kết quả đúng

A F x( ) ln= (x+ 1+x2)-x 1+x2 +C B

2

1 ( )

1

x

+

( ) ln 1 1

Câu 16 Hàm số f x( ) có đạo hàm 3 2

'( ) x

f x = x e và đồ thị hàm số f x( ) đi qua gốc tọa độ O

Chọn kết quả đúng

( )

x x

( )

x x

( )

x x

( )

x x

Câu 17 Tính F x( )=ò x2-1dx bằng:

Câu 18 Tính 3 3 2

x x

x e dx=e ax +bx +cx d+ +C

ò Giá trị của a b c d+ + + bằng :

A –9 B –2 C 2 D 10

Câu 19 Tính F x( )=òxln(x2+3)dx= A x( 2+3) ln(x2+3)+Bx2+C Giá trị của biểu thức

A B+ bằng:

A –1 B 0 C 1 D 2

Câu 20 Tính òx3ln 2xdx= x A4( ln 2x B+ )+C Giá trị của 5A+4B bằng:

Trang 5

5

A 1 B –1 C 1

1 4

-

Câu 21 Tính ( ) ln1

1

x

+

=

-ò Chọn kết quả đúng:

A.

( ) ln

2 1

1

x

+

( ) ln

2 1

1

x

+

C.

2 1 1

( ) ln

2 1

x

+ +

2 1 1 ( ) ln

2 1

x

- +

-

Câu 22 Hàm số ( ) ( 1) x

f x = x- e có một nguyên hàm F x là kết quả nào sau đây, biết ( )

nguyên hàm này bằng 1 khi x= ? 0

A. ( ) ( 1) x

F x = x- e B. ( ) ( 2) x

C. ( ) ( 1) x 1

F x = x+ e + D. ( ) ( 2) x 3

Câu 23 Tính nguyên hàm ln ln x( )

x

=ò được kết quả nào sau đây?

A. I =ln ln lnx ( )x +C B. I =ln ln lnx ( )x +lnx C+

C. I =ln ln lnx ( )x -lnx C+ D. I =ln ln( )x +lnx C+

Câu 24 Tính nguyên hàm sin x

I =ò x e dx, ta được:

A 1( sin cos )

2

x x

2

x x

C xsin

Câu 25 Một nguyên hàm của f x( )= xlnx là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt

tiêu khi x= ? 1

F x = x x+ x + D. Một kết quả khác

Câu 26 Ta có tích phân ( ) 2

1

4 1 ln

e

I = òx + x dx=a e +b, với a b, là các số nguyên Tính

( )

4

A M = - 5 B M = - 2 C. M = 5 D M = - 6

Sở GD–ĐT Hải Dương

Trang 6

6

Câu 27 Cho tích phân 2

1

ln

e

I =òx xdx Mệnh đề nào sau đây đúng?

1 1

1

2

e e

1 1

ln 2 ln

e e

C 2 2

1 1

ln e e ln

1 1

1

2

e e

Chuyên Đại học Vinh – Lần 4

Câu 28 Biết rằng 1 3 1 2

0

x a

b

+

=ò = , với a b, là các số thực thỏa mãn a b- = Tính tổng 2

S = + a b

A S =10 B S= 5 C S= 4 D S = 7

Chuyên Phan Bội Châu – Lần 3

Câu 29 Biết 2 ( ) 4 2

0

x x

ò , với a b c, , là các số hữu tỉ Tính S a b c= + +

A S= 2 B S= - 4 C S= - 2 D S = 4

Chuyên Thái Bình – Lần 3

Câu 30 Tính tích phân

2 1

ln

I =ò tdt Chọn khẳng định sai?

A. I =2 ln 2 1- B. I ln4

e

= C. I =ln 4 log10- D. I =ln 4e

Câu 31 Biết 2

1

ln 1 1

ln 2

2 2

a

x

=ò = - Giá trị của a bằng:

A. 2 B. ln 2 C. 4 D. 8

Câu 32 Kết quả của tích phân 3 ( 2 )

2

ln

I =ò x -x dx được viết ở dạng I =aln 3- với b a b, là

các số nguyên Khi đó a b- nhận giá trị nào sau đây?

A. –1 B. 0 C. 1 D. 2

Câu 33 Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả 3

1

3 1 ln

a e

e

b

+

=

A ab=64 B ab=46 C a b- =12 D a b- = 4

Câu 34 Kết quả của tích phân 1 ( 2)

0

ln 2

I =òx +x dx được viết ở dạng I =aln 3+bln 2+ với c

, ,

a b c là các số hữu tỉ Hỏi tổng a b c+ + bằng bao nhiêu?

Trang 7

7

Câu 35 Cho

1

ln

e

k

x

=ò Xác định k để I < - e 2

A k < + e 2 B k e< C k > + e 1 D k< - e 1

Câu 36 Tính tích phân 1

0

2x

I =òx dx

A. 2ln 2 12

ln 2

Câu 37 Kết quả tích phân 1( )

0

2 3 x

I =ò x+ e dx được viết dưới dạng I ae b= + với a b, Î Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. a b- = 2 B. a3+b3 =28 C. ab= 3 D. a+2b= 1

Câu 38 Tích phân ( )

2 2

0

3 1

4

a

x e

ò Giá trị của a> bằng: 0

Câu 39 Tính tích phân 4

0

sin 2

p

2

4

Câu 40 Cho tích phân 2 sin

0

sin 2 x

p

=ò Một học sinh giải như sau:

Bước 1: Đặt t=sinxÞdt=cosxdx Đổi cận 1

0

0 0

2 1

2

t

ì = Þ = ï

Þ = í

= Þ = ï

î

ò

Bước 2: Chọn u t t du t dt

Þ

Suy ra

1

t t t t

Bước 3: 1

0

2 t 2

I = òte dt=

Hỏi bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Bài giải trên sai từ Bước 1 B. Bài giải trên sai từ Bước 2

C. Bài giải trên sai từ Bước 3 D Bài giải trên hoàn toàn đúng

Trang 8

8

cos , sin

=ò =ò và

0

cos 2

x

p

=ò Khẳng định nào đúng

trong các khẳng định sau?

(I). I+ =J ep (II). I J- = K (III). 1

5

e K

p

-=

A. Chỉ (I) B. Chỉ (II) C. Chỉ (III) D. Cả (II) và (III)

Câu 42 Tích phân

0 2

x

-=ò có giá trị bằng:

A -e2+1 B 3e2-1 C -e2-1 D -2e2+1

0

cos

4

ç + ÷

ç ÷

è ø

ò có giá trị bằng:

A ( ) 2

2

p

- B ( 2) 2

2

p

- - C ( ) 2

2

p +

D ( 2) 2

2

p

- +

Câu 44 Cho hai số thực a và b thỏa mãn a b< và b sin

a

ò , đồng thời cosa a= và 0 cos

b b= - Tích phân cosp

b a

xdx

A. 145

12 B. p C. - p D. 0

Câu 45 Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1;2]

Biết rằng F(1) 1= , F(2) 4= , (1) 3

2

G = , G(2) 2= và 2

1

67 ( ) ( )

12

ò Tích phân

2

1

( ) ( )

F x g x dx

A 11

145 12

12

1

(2 5) ln

e

ò bằng:

A 2

1 1

( 5 ) ln ( 5)

e e

- - -ò - B 2

1 1

( 5 ) ln ( 5)

e e

C 2

1 1

( 5 ) ln ( 5)

e e

1 1

( 5) ln ( 5 )

e e

Trang 9

9

Câu 47 Giá trị của tích phân 2 2

6

1 ln(sin ) sin

x

p

=ò là:

A 3 ln 2 3

3

p

- + + B 3 ln 2 3

3

p + - C 3 ln 2 3

3

p

- - - D 3 ln 2 3

3

p

Câu 48 Biết rằng

0

6 6

b

dx=

ò và

0

a x

xe dx=a

ò Khi đó biểu thức b2+a3+3a2+2a có giá trị bằng:

A. 4 B. 5 C 6 D 7

Câu 49 Cho 2

0

m

p

-ò = Khi đó 9m2-6 bằng:

A. 3 B. 30 C. –3 D –30

Câu 50 Cho tích phân 2 ( ) 2

0

p

=ò + = + Giá trị của tham số m là:

A 3 B 4 C 5 D 6

C ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

B B C D A B D A D B C A A C C B B B B A

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

A D C A D C D A D D A C A A B A D A C D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

D C D D A C D D B C

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	297,04 KB