tích phân biến đổi taylor maclaurint taylor_maclaurint

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

KHAI TRIỂN TAYLOR - MACLAURIN

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016.

N ỘI DUNG

Công thức Taylor

Công thức Maclaurin

Khai triển Taylor bằng khai triển

Maclaurin của hàm một biến

Giả sử hàm f (x, y) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp(n + 1) trong lân cận của điểm

(x0, y0).Khi đó trong lân cận của (x0, y0) luôn

có công thức

f (x, y) = f (x0, y0) + 1

1!df (x0, y0)+1

R n(∆x,∆y) = 1

(n+1)! d n+1 f (x0+ α∆x, y0+ α∆y) Phần dư này có thể viết dưới dạng R n = o(ρ n)

Công thức Taylor và ứng dụng Công thức Taylor

Công thức Taylor và ứng dụng Công thức Taylor

Công thức Taylor và ứng dụng Công thức Taylor

Công thức Taylor và ứng dụng Công thức Taylor

f (x, y) = 8 + (x − 2) + 5(y − 1) + (x − 2)2

−(x − 2)(y − 1) + (y − 1)2+ (x − 2)3+ o(ρ3)

Công thức Taylor và ứng dụng Công thức Taylor

VÍ DỤ 1.2

Tìm khai triển Taylor trong lân cận của

VÍ DỤ 1.2

Tìm khai triển Taylor trong lân cận của

z = f (x,y) là hàm ẩn được xác định bởi

Vi phân cấp hai củaz = f (x,y)tại điểm (1, 1) là

d2f (1, 1) = f xx00(1, 1)dx2+ 2f xy00(1, 1)dxdy + f yy00(1, 1)dy2=

= f xx00(1, 1)(x − 1)2+ 2f xy00(1, 1)(x − 1)(y − 1) + f yy00(1, 1)(y − 1)2, trong đó

f xx00 =

µ

2z 3z2− 2x

Công thức Maclaurin là công thức Taylor khai triển tại điểm (x0, y0) = (0,0).

Công thức Taylor và ứng dụng Công thức Maclaurin

Công thức Taylor và ứng dụng Công thức Maclaurin

= f (0, 0) + f x0(0, 0)x + f y0(0, 0)y+

12![f

5![f

(5)

xxxxx (0, 0)x5+ 5f xxxxy(5) (0, 0)x4y + 10f xxxyy(5) (0, 0)x3y2+ +10f xxyyy(5) (0, 0)x2y3+

5f xyyyy(5) (0, 0)xy4+ f yyyyy(5) (0, 0)y5] + o(ρ5)

Công thức Taylor và ứng dụng Công thức Maclaurin

5![f

(5)

xxxxx (0, 0)x5+ 5f xxxxy(5) (0, 0)x4y + 10f xxxyy(5) (0, 0)x3y2+ +10f xxyyy(5) (0, 0)x2y3+

5f xyyyy(5) (0, 0)xy4+ f yyyyy(5) (0, 0)y5] + o(ρ5)

Công thức Taylor và ứng dụng Công thức Maclaurin

5![f

(5)

xxxxx (0, 0)x5+ 5f xxxxy(5) (0, 0)x4y + 10f xxxyy(5) (0, 0)x3y2+ +10f xxyyy(5) (0, 0)x2y3+

5f xyyyy(5) (0, 0)xy4+ f yyyyy(5) (0, 0)y5] + o(ρ5)

Công thức Taylor và ứng dụng Công thức Maclaurin

5![f

(5)

xxxxx (0, 0)x5+ 5f xxxxy(5) (0, 0)x4y + 10f xxxyy(5) (0, 0)x3y2+ +10f xxyyy(5) (0, 0)x2y3+

5f xyyyy(5) (0, 0)xy4+ f yyyyy(5) (0, 0)y5] + o(ρ5)

Cách 2. Sử dụng công thức khai triển

Maclaurin của hàm một biến đối với hàm

Tìm khai triển Taylor bằng công thức rất

mất thời gian, nên trong đa số trường hợp

ta sử dụng cách sau:

1 ĐặtX = x − x0, Y = y − y0

2 Tìm khai triển Maclaurin của hàm f (X , Y )

bằng việc khai triển Maclaurin của hàm một biến

3 Đổif (X , Y ) sang f (x, y)

4 Sắp xếp theo thứ tự tăng dần của các bậc của x − x0, y − y0

VÍ DỤ 1.4

Tìm khai triển Taylor của hàm

z = f (x,y) = e x+y ở lân cận của điểm (1, −1)đến

số hạng bậc 3.

Giải.

Đặt X = x − 1,Y = y + 1

Tìm khai triển Maclaurin của hàm f (X , Y )

bằng việc khai triển Maclaurin của hàm

một biến

Cách 1

f (X , Y ) = e X +1+Y −1 = e X .e Y = µ

Sắp xếp theo thứ tự tăng dần của các bậc

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI