Diện tích hình phẳng phần tô đậm trong hình là: A... 4 Diện tích hình phẳng cần tính là Câu 13... Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=xlnx, trục hoành và đường thẳng x=e là:..
Trang 11
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH – ĐÁP ÁN
Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ]a b; Diện tích hình thang cong
giới hạn bởi đồ thị củay= f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x=a x, = được tính theo công thức: b
b
a
S =òf x dx B ( )
b
a
S = -òf x dx C b 2( )
a
S = -òf x dx D b 2( )
a
S=òf x dx
Câu 2 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b; , trục
hoành và hai đường thẳng x=a x, = được tính theo công thức: b
A ( )
b
a
S =òf x dx B. ( )
b
a
S =òf x dx C b ( )2
a
S=òf x dx D ( )
b
a
S =pòf x dx
Câu 3 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y= f x( ),y=g x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b;
, trục hoành và hai đường thẳng x=a x, = được tính theo công thức: b
A ( ) ( )2
b
a
b
a
S =òéëf x -g x ùûdx
b
a
b
a
S =pòf x -g x dx
Câu 4 Cho đồ thị hàm số y= f x( ) Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:
A ( ) ( )
S f x dx f x dx
1 2
S f x dx
-=ò
C ( ) ( )
S f x dx f x dx
S f x dx f x dx
Trang 2
2
Câu 5 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y=x , trục hoành và hai đường thẳng x= , 1 3
x= là:
A 18 B 19 C 20 D 21
Hướng dẫn giải:
Ta có x3³ trên đoạn 0 [ ]1;3 nên
3 4
20 4
x
S=òx dx=òx dx= =
Câu 6 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x3-3x2, trục hoành và hai đường thẳng
1, 4
x= x= là:
A 53
51
49
25
2
Hướng dẫn giải:
Ta có x3-3x2 = Û = Î0 x 3 [ ]1;4 Khi đó diện tích hình phẳng là:
27 51
= - = - + - = ç - ÷ +ç - ÷ = + =
Câu 7 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x4-3x2- , trục hoành và hai đường thẳng 4
0, 3
x= x= là:
A 142
5 B
143
5 C
144
5 D
141
5
Hướng dẫn giải:
Ta có 4 2 [ ]
3 4 0 2 0;3
x - x - = Û = Îx Khi đó diện tích hình phẳng là:
3 4 ( 3 4) ( 3 4)
48 96 144
= ç - - ÷ +ç - - ÷ = + =
Câu 8 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= -x2+ , đường thẳng 4 x= , trục tung và trục 3
hoành là:
A 22
3 B
32
3 C
25
23
3
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình -x2+ = trên đoạn 4 0 [ ]0;3 có nghiệm x= 2
Trang 33
23
3
S=ò-x + dx+ -ò x + dx=
Câu 9 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=x3-4x, trục hoành và hai đường thẳng x= -3,
4
x= là:
A B C 201
5 D
201
4
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình x3-4x= trên đoạn 0 [-3; 4] có nghiệm x= -2;x=0;x= 2
201
4
-=ò - +ò - +ò - +ò - =
Câu 10 Kết quả của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= -x3+3x2- , trục hoành, trục tung 2
và đường thẳng x= có dạng 2 a
b (với a
b là phân số tối giản) Khi đó mối liên hệ giữa a và b là:
A a b- = 2 B a b- = 3 C a b- = - 2 D a b- = - 3
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình 3 2 1 3
3 2 0
1
x
x
é = ± ê
- + - = Û
ê = ë
5 5 5
4 4 2
S= -ò x + x - dx=ò x - x + dx+ò-x + x - dx= + =
Câu 11 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 1
2
x y x
+
= + , trục hoành và đường thẳng x= là: 2
A 3 2 ln 2+ B 3 ln 2- C 3 ln 2+ D 3 2 ln 2-
Hướng dẫn giải:
Ta có x+ = Û = - nên 1 0 x 1 2 2 ( )21
x
+
= = ç - ÷ = - + = -+ è + ø
Câu 12 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 4 12
x
= - đường thẳng y= - , đường thẳng 1 y= 1
và trục tung được tính như sau:
A
1
2 1
1 4
x
-æ ö
ç ÷
= ç - ÷
è ø
1 2 1
1 4
x
-=ò - C
1 1
1 4
S
y
-=
1 1
1 4
y
-=
Hướng dẫn giải:
( ) 2
4
4
= - Þ = = ±
-202
3
203 4
Trang 44
Diện tích hình phẳng cần tính là
Câu 13 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x , trục hoành và hai đường thẳng x= , 1
4
x= là:
A 4 B 14
5 C
13
14
3
Hướng dẫn giải:
Ta có x³ trên đoạn 0 [ ]1;4 nên
4 3
2
2 14
S=ò x dx=ò xdx= x =
Câu 14 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y= 3 x , trục hoành và hai đường thẳng x= , 1
8
x= là:
A 45
45
45
45
8
Hướng dẫn giải:
Ta có 3 x³ trên đoạn 0 [ ]1;8 nên
8 4
3 45
S=ò x dx=ò xdx= x =
Câu 15 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=sinx, trục hoành và hai đường thẳng x=p
, 3
2
x p
= là:
3
2
Hướng dẫn giải:
Ta có sinx£ trên đoạn 0 3
; 2
p p
é ù
ê ú
ê ú
ë û nên
3
2
sin sin cos 1
p p
=ò = -ò = =
Câu 16 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=cos 2x, trục hoành và hai đường thẳng
0, 2
= = là:
Hướng dẫn giải:
Ta có cos 2 0 0;
4 2
= Û = Î ê ú
ê ú
ë û
Trang 55
4 4
cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 1
p p
Câu 17 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2x
y=e , trục hoành và hai đường thẳng x= , 0 3
x= là:
A
2 2
e
2 2
e
- C
3 3
e
+ D
3 3
e
-
Hướng dẫn giải:
Ta có 2x 0
e ³ trên đoạn [ ]0;3 nên
2 2 2
S =òe dx=òe dx= e =
-Câu 18 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x
y=e + , trục hoành, trục tung và đường thẳng x x= 1 là:
A 1
2
2
S = -e C S = + e 1 D S = - e 1
Hướng dẫn giải:
1
0
x
S=òe +x dx
Ta thấy với 0
x> Þe + >x e + =
1 2 1
1
Þ = + =ç + ÷ = + =
Câu 19 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x 1
y= e + , trục hoành và hai đường thẳng x=ln 3,
ln 8
x= nhận giá trị nào sau đây:
A 2 ln2
3
S= + B 2 ln3
2
S = + C 3 ln3
2
S = + D 2 ln3
2
S = -
Hướng dẫn giải:
S=ò e + dx=ò e + dx
2
2
1
t
+ = Û + = Û = Û =
- Đổi cận: ln 3 2
ln 8 3
ì = Þ = ï
í
= Þ =
2
3
2
= = ç + ÷ =ç + ÷ = +
- è - ø è + ø
Câu 20 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=xlnx, trục hoành và đường thẳng x=e là:
Trang 66
A 2 1
2
2
4
4
e +
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình lnx x= trên nửa khoảng 0 (0;e có nghiệm ] x=1
1
ln
e
S x xdx
Þ =ò
Đặt ln 2
2
dx du
v
ì
= ï
ì =
Þ
=
ï î
2
1
ln
e
=ç ÷ - = - = -ç - ÷=
Câu 21 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số 3( )
0
y=ax a> , trục hoành và hai đường thẳng
x= - x=k k> bằng 17
4a Tìm k
A k= 1 B 1
4
2
k= D. k= 2
Kim Liên – Hà Nội – Lần 2
Hướng dẫn giải:
Tọa độ của đồ thị hàm số 3
y=ax với trục hoành: ax3= Û = 0 x 0
( )
0
0
17
k k
-= -ò +ò = + = + = Þ + = Û =
Câu 22 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x3+11x-6,y=6 ,x x2 =0, x= 2
A 4
5
8
18
23
Hướng dẫn giải:
( )
1
11 6 6 6 11 6; 0 2
3
x
é = ê ê
= + - - = - + - = Ûê =
ê = ë Bảng xét dấu:
( )
Trang 77
6 11 6 6 11 6
= - - + - + - +
= -ç - + - ÷ +ç - + - ÷ =
Câu 23 Hình phẳng ( )H được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=x2+ -x 2,y= + và hai đường thẳng x 2
2; 3
x= - x= Diện tích của ( )H bằng:
A 87
87
87
87
5
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình (x2+ -x 2)-(x+2)= Û0 x2- = Û = ± 4 0 x 2
87
3
-=ò - +ò - =
Câu 24 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y=1,y= và đồ thị hàm số x
2
4
x
y= trong miền
0, 1
x³ y£ là a
b Khi đó b a- bằng:
Hướng dẫn giải:
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
x- = Þ =x x- = Þ =x - = Þ = x
5 1
S æx ödx æ ödx
= ç - ÷ + ç - ÷ =
Trang 88
Câu 25 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )
:
1
x x
C y - + x
-=
- , tiệm cận xiên của ( )C và hai đường thẳng x=0,x=a a( <0) có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng:
Hướng dẫn giải:
TCX: y= - + x 3
0
5 0
0
ln 1 ln 1 ln 1 5 1
a
a a
= ç- ÷ = ç ÷ = - = - Þ - = Û =
Câu 26 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )P :y=x2+3, tiếp tuyến của ( )P tại điểm có hoành độ x= và 2
trục tung bằng:
A 8
4
3 C 2 D 7
3
Hướng dẫn giải:
PHƯƠNG TRÌNHTT của ( )P tại x= là 2 y=4x+ 3
Phương trình hoành độ giao điểm: ( 2 ) ( ) 2 0
3 4 3 0 4 0
2
x
x
é = ê + - + = Û - = Û
ê = ë
2 3
8
x
= - + = - + = ç - + ÷ =
Câu 27 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )P :y=x2-2x+ , tiếp tuyến với nó tại điểm 2 M( )3;5 và
trục Oy là giá trị nào sau đây?
A S= 4 B. S = 9 C S=12 D S=27
Hướng dẫn giải:
' 2 2
y = x-
Tiếp tuyến của ( )P tại điểm M( )3;5 có hệ số góc k= y' 3( )= 4
Phương trình tiếp tuyến: y=4(x-3)+ Û =5 y 4x- 7
Phương trình hoành độ giao điểm: x2-2x+ =2 4x- Û7 (x-3)2= Û = 0 x 3
3 3 3
2
0
0
3
3
x
Câu 28 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 2 ,x y= -4 x và trục Ox được tính bởi công thức:
Trang 99
2xdx+ 4-x dx
2xdx+ 4-x dx
2x- +4 x dx
4- -x 2x dx
Chuyên Lam Sơn – Lần 2
Hướng dẫn giải:
Ta có: 2x= Û =0 x 0; 4- = Û =x 0 x 4; 2x= - Û = 4 x x 2
Þ =ò +ò
-Câu 29 Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là:
A 8
3 B
11
3 C
7
10
3
Hướng dẫn giải:
Phương trình tung độ giao điểm: 2 1
2
2
y
y y
y
é = -ê
= + Û
ê = ë
2
2 0
10 2
3
S=ò y+ -y dy=
Trang 1010
Câu 30 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x 1+x2 , trục hoành và đường thẳng x= là: 1
A 1
3
S= B 2 2 1
3
-= C 2 2 1
3
= D S =2( 2 1- )
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: 2
2
0
1 0
x
x
é = ê + = Ûê Û =
+ = ë
Diện tích hình phẳng:
2 2 1
3
-=ò + =ò + =
Câu 31 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=x3+2x và y=3x2 được tính theo công
thức:
A 2( 3 2 )
0
3 2
S =ò x - x + x dx-ò x - x + x dx
C 2( 3 2 )
0
3 2
S=ò-x + x - x dx D 1( 3 2 ) 2( 3 2 )
S =ò x - x + x dx+ò x - x + x dx
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 ( 2 )
0
2
x
x
é = ê ê + = Û - + = Û =
ê
ê = ë
S=òx + x- x dx=ò x - x + x dx+ò-x - x+ x dx=ò x - x + x dx-ò x - x + x dx
Câu 32 Kết quả của việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )C :y=x4-2x2+ và trục Ox gần nhất 1
với giá trị nào sau đây?
A 1
2
2
S = D S = 2
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình x4-2x2+ = Û1 0 (x2-1)2 = Û = ± 0 x 1
1
5 3 15 15 15
= - + = - + =ç - + ÷ = - =
Câu 33 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y=x2- và 4 y= - x 4
A 43
6
6
6
6
S =
Trang 1111
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 0
1
x
x
é = ê
- = - Û - = Û
ê = ë ( ) ( )
1
6
Þ =ò - - - =ò - =
Câu 34 Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=x y3, =2x-x2, một học sinh tính
theo các bước sau:
Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2
0
2
x
x
é = ê ê
= - Û =
ê
ê = -ë
Bước 2: 1 3 ( 2)
2
2
-=ò - -
Bước 1: ( ) ( )
1
2
9 2
4
-=ò + - = Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A Bước 3 B Đúng C Bước 2 D Bước 1
Chuyên Trần Phú – Lần 2
Hướng dẫn giải:
Lời giải đúng đến bước 2 Bước 3 sai vì:
37
12
-=ò - - =ò + - +ò - - =
Câu 35 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=x y3, =4x là:
A 8 B 9 C 12 D 13
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: 3
2
2
x
x
é = -ê ê
= Û =
ê
ê = ë
Þ = - + - = ç - ÷ +ç - ÷ =
Câu 36 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y= -2 x2 và đường thẳng y= -x là:
A 7
2 B
9
4 C 3 D.
9
2
Hướng dẫn giải:
Trang 1212
Ta có 2 1
2
2
x
x
é = -ê
- = - Û
ê = ë
và 2-x2³ - " Î -x, x [ 1;2]
2
2
2
9 (2 ) 2
2 3 2
x x
= + - =ç + - ÷ =
ò
Câu 37 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=2x3-3x2+ và 1 y=x3-4x2+2x+ là: 1
A 37
13 B.
37
12 C 3 D 4
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 3 2
2
1
x
x
é = -ê ê
- + = - + + Û =
ê
ê = ë
37
= + - = + - + + - = ç + - ÷ +ç + - ÷ =
Câu 38 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y2-2y x+ =0,x y+ = là: 0
A 9
9
7
11
2
Hướng dẫn giải:
Biến đổi về hàm số theo biến số y là: x= -y2+2 ,y x= - y
Phương trình tung độ giao điểm: ( 2 ) ( ) 0
3
y
y
é = ê
- + - - = Û
ê = ë
9
2
S=ò-y + y dy=ò-y + y dy=
Câu 39 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong có phương trình x-y2 = và 0 x+2y2-12 0=
bằng:
A S =15 B S =25 C S =30 D. S =32
Hướng dẫn giải:
Phương trình tung độ giao điểm: y2 =12 2- y2Ûy2= Û = ± 4 y 2
2
-=ò - =ò- + = - + = - - =
Câu 40 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=x2+ và 2 y=3x là:
Trang 1313
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 ( )( ) 1
2
x
x
é = ê + = Û - - = Û
ê = ë
2
= + - = - + - = -ç + - ÷ = - - -ç ÷=
è ø
Câu 41 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3
y=x - và đồ thị hàm số x y= -x x2
12
4
12
S = D S =13
Đề minh họa 2017 – Lần 1
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 3 2
0
2
x
x
é = ê ê
- = - Û + - = Û =
ê
ê = -ë
1 0
0 2
8 5 37
=ç + - ÷ -ç + - ÷ = + =
Câu 42 Hình phẳng ( )H được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y= x2-1 ,y= x + Diện tích của 5 ( )H bằng:
A 71
73
70
74
3
Hướng dẫn giải:
Xét phương trình x2- =1 x+ có nghiệm 5 x= -3, x= 3
-1 - 5 2 -1 - 5
S=ò x x+ dx= òx x+ dx
Bảng xét dấu x2- trên đoạn 1 [ ]0;3
73
3
S= ò-x - -x dx+òx - -x dx =
Câu 43 Hình phẳng ( )H được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y= x2-4x+3 ,y= + Diện tích của x 3 ( )H
bằng:
A 108
109
109
119
6
Trang 1414
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 0
4 3 3
5
x
x
é = ê
- + = + Û
ê = ë
109
6
S=ò-x + x dx+ò x - x+ dx+ò-x + x dx=
Câu 44 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y= x và y= 3 x là:
12 B
1
13 C
1
14 D
1
15
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: 3 0
1
x
x
é = ê
= Û
ê = ë Nên
1
3
Câu 45 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x và x-2y= bằng với diện tích hình nào sau 0
đây:
A Diện tích hình vuông có cạnh bằng 2
B Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt 5 và 3
C Diện tích hình tròn có bán kính bằng 3
D. Diện tích toàn phần khối tứ diện đều có cạnh bằng 2 34
3
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm là 0 2 0
4
2 4
x x
x
x x
ì ³ é =
= Ûí Û
ê =
=
î
4
0
ç ÷
= - = ç - ÷ =ç - ÷ =
Câu 46 Gọi ( )H là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số (1 x) , (1 )
y= +e x y= +e x Diện tích của
( )H bằng:
A 1
2
2
2
2
e+
Hướng dẫn giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: (1 ) ( 1) ( ) 0 0
1
e x e x x e e
x
é = ê + = + Û - = Û
ê =
Trang 1515
S=òx e -e dx=òx e e- dx
Đặt
dv e e dx v ex e
Þ
î
1 2 1
1
0 0
0
2 1
=êë - úû - - = -ç + ÷ = - + - =
Câu 47 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số
2
, , 27
x
x
= = =
A S =234 B. S =27 ln 3 C 26
3
S = D 27 ln 3 26
3
Sở GD–ĐT Hải Dương
Hướng dẫn giải:
Tọa độ giao điểm giữa các đồ thị:
2
2
2
27 0;0 : ; 9;0 : ; 3;0 : 27
27 ln 3 27 ln 3
y
x
y
x
ì
î
î
Þ = - + - = +ç - ÷=
Câu 48 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2 1 2 27
27
x
= = = bằng:
A 27 ln 2 B 27 ln 3 C 28ln 3 D 29ln 3
Hướng dẫn giải:
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
- = Û = - = Û = - = Û =
Trang 1616
2
27
27 ln 3
x
= ç - ÷ + ç - ÷ =
Câu 49 Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y=8 ,x y= và x
đồ thị hàm số 3
y=x là a
b Khi đó a b+ bằng:
A 65 B 66 C 67 D 68
Hướng dẫn giải:
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
1
2 2
x x
- = Û = - = Û - = Û
ë
Trang 1717
Nên 1( ) 2 2( 3)
63
4
S =ò x x dx- +ò x-x dx=
Câu 50 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng ,
2,
x neu x 1 y
x neu x>1
ï
= í
3
y= x x- là a
b Khi
đó a+2b bằng:
A 15 B 16 C 17 D 18
Hướng dẫn giải:
Xét các phương trình hoành độ giao điểm:
3 x-x = - Û =x x 3 x-x = - Û = x x
2
S æ x x x dxö æ x x x ödx
= ç - + ÷ + ç - - + ÷ =