Bài 30 ứng dụng tích phân tính diện tích

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt A... Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị củay= f x , trục hoành và hai đường thẳng x=a x, = được tính theo cô

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 

TÍNH DIỆN TÍCH  

Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt 

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định lí

Cho hàm số y= f x( ) liên tục, không âm trên đoạn [ ]a b Khi đó diện tích S của ;

hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành và hai đường

thẳng x=a x, = là b ( )

b

a

S=òf x dx

2 Bài toán 1

Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b Khi đó diện tích S của hình phẳng ; ( )D giới hạn bởi đồ thị

hàm số y= f x( ); trục hoành Ox y( =0) và hai đường thẳng x=a x; = là b ( )

b

a

S=òf x dx

3 Bài toán 2

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y= f x( ); y=g x( ) và hai đường

đường thẳng x=a x; = là b ( ) ( )

b

a

S =òf x -g x dx

Chú ý:

 Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau:

‒ Giải phương trình f x( )=g x( ) tìm nghiệm x x1, , ,2 x nÎ( )a b; (x1<x2 < <x n)

‒ Tính 1 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

1

S=ò f x -g x dx+ò f x -g x dx+ ( ) ( )

n

b

x f x g x dx

-( ) -( )

( ) ( ( ) ( ) )

1

n

Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối

 Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm sốy= f x( ), ( )

y=g x

Khi đó, ta có công thức tính như sau ( ) ( )

1

n

x

x

S=òf x -g x dx Trong đó x và 1 x tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình n f x( )=g x( )

y = f(x) y

x

y = g(x)

y = f(x) y

x

B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ]a b; Diện tích hình thang cong

giới hạn bởi đồ thị củay= f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x=a x, = được tính theo công thức: b

A ( )

b

a

S =òf x dx B ( )

b

a

S = -òf x dx C b 2( )

a

S = -òf x dx D b 2( )

a

S=òf x dx

Câu 2 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b; , trục

hoành và hai đường thẳng x=a x, = được tính theo công thức: b

A ( )

b

a

S =òf x dx B ( )

b

a

S =òf x dx C ( )2

b

a

b

a

Câu 3 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y= f x( ),y=g x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b;

, trục hoành và hai đường thẳng x=a x, = được tính theo công thức: b

A ( ) ( )2

b

a

S=òf x -g x dx B ( ) ( )

b

a

S =òéëf x -g x ùûdx

C ( ) ( )

b

a

b

a

Câu 4 Cho đồ thị hàm số y= f x( ) Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là:

A ( ) ( )

S f x dx f x dx

1

2

S f x dx

C ( ) ( )

Câu 5 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3

y=x , trục hoành và hai đường thẳng x= , 1 3

x= là:

Câu 6 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x3-3x2, trục hoành và hai đường thẳng

1, 4

x= x= là:

A 53

51

49

25

2

Câu 7 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x4-3x2- , trục hoành và hai đường thẳng 4

0, 3

x= x= là:

A 142

143

144

141

5

Câu 8 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= -x2+ , đường thẳng 4 x= , trục tung và trục 3

hoành là:

A 22

32

25

23

3

Câu 9 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=x3-4x, trục hoành và hai đường thẳng x= -3,

4

x= là:

201

4

Câu 10 Kết quả của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= -x3+3x2- , trục hoành, trục tung 2

và đường thẳng x= có dạng 2 a

b (với a

b là phân số tối giản) Khi đó mối liên hệ giữa a và b là:

A a b- = 2 B a b- = 3 C a b- = - 2 D a b- = - 3

Câu 11 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 1

2

x y x

+

= + , trục hoành và đường thẳng x= là: 2

A 3 2 ln 2+ B 3 ln 2- C 3 ln 2+ D 3 2 ln 2-

Câu 12 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 4 12

x

= - đường thẳng y= - , đường thẳng 1 y= 1

và trục tung được tính như sau:

A

1

2 1

1 4

x

= ç - ÷

ò B

1 2 1

1 4

x

1

1 4

S

y

-=

-ò D 1

1

1 4

y

-=

Câu 13 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y= x , trục hoành và hai đường thẳng x= , 1

4

x= là:

202

3

203 4

A 4 B 14

13

14

3

Câu 14 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y= 3 x , trục hoành và hai đường thẳng x= , 1

8

x= là:

A 45

45

45

45

8

Câu 15 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=sinx, trục hoành và hai đường thẳng x=p

, 3

2

x p

= là:

3

2

Câu 16 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=cos 2x, trục hoành và hai đường thẳng

0, 2

x x p

= = là:

Câu 17 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 2x

y=e , trục hoành và hai đường thẳng x= , 0 3

x= là:

A 6 1

2 2

e

2 2

e

3 3

e

3 3

e

-

Câu 18 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x

y=e + , trục hoành, trục tung và đường thẳng x x= 1 là:

A 1

2

S= +e B 1

2

S = -e C S = + e 1 D S = - e 1

Câu 19 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x 1

y= e + , trục hoành và hai đường thẳng x=ln 3,

ln 8

x= nhận giá trị nào sau đây:

A 2 ln2

3

S= + B 2 ln3

2

S = + C 3 ln3

2

S = + D 2 ln3

2

S = -

Câu 20 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y=xlnx, trục hoành và đường thẳng x=e là:

A

2

2

4

4

e +

Câu 21 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=ax3(a>0), trục hoành và hai đường thẳng

( )

x= - x=k k> bằng 17

4a Tìm k

A k= 1 B 1

4

2

k= D k= 2

Kim Liên – Hà Nội – Lần 2

Câu 22 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x3+11x-6,y=6 ,x x2 =0, x= 2

A 4

5

8

18

23

Câu 23 Hình phẳng ( )H được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=x2+ -x 2,y= + và hai đường thẳng x 2

2; 3

x= - x= Diện tích của ( )H bằng:

A 87

87

87

87

5

Câu 24 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y=1,y= và đồ thị hàm số x

2

4

x

y= trong miền

0, 1

x³ y£ là a

b Khi đó b a- bằng:

Câu 25 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( )

:

1

x x

C y - + x

-=

- , tiệm cận xiên của ( )C và hai đường

thẳng x=0,x=a a( <0) có diện tích bằng 5 Khi đó a bằng:

A 1 e- 5 B 1 e+ 5 C 1 2e+ 5 D 1 2e- 5

Câu 26 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )P :y=x2+ , tiếp tuyến của 3 ( )P tại điểm có hoành độ x= và 2

trục tung bằng:

A 8

4

3

Câu 27 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )P :y=x2-2x+ , tiếp tuyến với nó tại điểm 2 M( )3;5 và

trục Oy là giá trị nào sau đây?

A S= 4 B S = 9 C S =12 D S =27

Câu 28 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 2 ,x y= -4 x và trục Ox được tính bởi công thức:

2xdx+ 4-x dx

2xdx+ 4-x dx

ò ò C ò04( 2x- +4 x dx) D ò20(4- -x 2x dx)

Chuyên Lam Sơn – Lần 2

Câu 29 Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là:

A 8

11

7

10

3

Câu 30 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x 1+x2 , trục hoành và đường thẳng x= là: 1

A 1

3

3

3

= D S =2( 2 1- )

Câu 31 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=x3+2x và y=3x2 được tính theo công

thức:

A 2( 3 2 )

0

S=ò x - x + x dx B 1( 3 2 ) 2( 3 2 )

S =ò x - x + x dx-ò x - x + x dx

C 2( 3 2 )

0

S=ò-x + x - x dx D 1( 3 2 ) 2( 3 2 )

S =ò x - x + x dx+ò x - x + x dx

Câu 32 Kết quả của việc tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )C :y=x4-2x2+ và trục Ox gần nhất 1

với giá trị nào sau đây?

A 1

2

S= B S = 1 C 3

2

S = D S = 2

Câu 33 Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y=x2- và 4 y= - x 4

A 43

6

6

6

6

S =

Chuyên Chu Văn An – Lần 2

Câu 34 Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y=x y3, =2x-x2, một học sinh tính

theo các bước sau:

Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2

0

2

x

x

é = ê ê

ê

ê = -ë

Bước 2: 1 3 ( 2)

2 2

1

3 2 2

9 2

4

S x x x dx dvdt

Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

Chuyên Trần Phú – Lần 2

Câu 35 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=x y3, =4x là:

Câu 36 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol 2

2

y= -x và đường thẳng y= -x là:

A 7

9

9

2

Câu 37 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=2x3-3x2+ và 1 y=x3-4x2+2x+ là: 1

A 37

37

Câu 38 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số 2

y - y x+ = x y+ = là:

A 9

9

7

11

2

Câu 39 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong có phương trình x-y2 = và 0 x+2y2-12 0=

bằng:

A S=15 B S =25 C. S =30 D S =32

Câu 40 Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=x2+ và 2 y=3x là:

A S= 2 B S = 3 C 1

2

6

S =

Câu 41 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3

y=x - và đồ thị hàm số x y= -x x2

A 37

12

4

12

S = D S =13

Đề minh họa 2017 – Lần 1

Câu 42 Hình phẳng ( )H được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y= x2-1 ,y= x + Diện tích của 5 ( )H bằng:

A 71

73

70

74

3

Câu 43 Hình phẳng ( )H được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y= x2-4x+3 ,y= + Diện tích của x 3 ( )H

bằng:

A 108

109

109

119

6

Câu 44 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y= x và y= 3 x là:

A 1

1

1

1

15

Câu 45 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x và x-2y= bằng với diện tích hình nào sau 0

đây:

A Diện tích hình vuông có cạnh bằng 2

B Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng lần lượt 5 và 3

C Diện tích hình tròn có bán kính bằng 3

D Diện tích toàn phần khối tứ diện đều có cạnh bằng 2 34

3

Câu 46 Gọi ( )H là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số (1 x) , (1 )

y= +e x y= +e x Diện tích của

( )H bằng:

A 1

2

2

2

2

Câu 47 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số

2

27

x

x

A S =234 B S =27 ln 3 C 26

3

S = D 27 ln 3 26

3

S = -

Sở GD–ĐT Hải Dương

Câu 48 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 2 1 2 27

27

y x y x y

x

A 27 ln 2 B 27 ln 3 C 28ln 3 D 29ln 3

Câu 49 Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi các đường thẳng y=8 ,x y= và x

đồ thị hàm số 3

y=x là a

b Khi đó a b+ bằng:

Câu 50 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng ,

2,

x neu x 1 y

x neu x>1

ï

= í

3

y= x x- là a

b Khi

đó a+2b bằng:

C ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

A B C D C B C D D B D C D B A A B B B D

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

D B C A A A B B D B B B C A A D B B D D

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

A B C A D B B B C C