Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?. Mệnh đề nào dưới đây đúng?. Mệnh đề nào sau đây là đúng?. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai.. Hướng dẫn giải: Đặt t=3xÞdt=3dx?.
Trang 11
TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN DẠNG 1
ĐÁP ÁN Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt
Câu 1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu f là hàm số chẵn trên thì
-=
B Nếu
-=
ò ò thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1]-
C Nếu 1
1
( ) 0
f x dx
-=
ò thì f là hàm số lẻ trên đoạn [ 1;1]-
D Nếu
1
1
( ) 0
f x dx
-=
ò thì f là hàm số chẵn trên đoạn [ 1;1]-
Hướng dẫn giải:
Hàm số 3
2
x
y=x - thỏa
-=
1 1
( ) 0
f x dx
-=
ò , nhưng nó là hàm lẻ trên [ 1;1]-
Hàm số 2 1
3
y=x - thỏa
1 1
( ) 0
f x dx
-=
ò , nhưng nó làm hàm chẵn trên [ 1;1]-
Còn khi f là hàm chẵn trên
2 3
2 2 1
3
8
+ ò + thì ( )f x = f( )-x với mọi
xÎ Đặt t = - Þx dt= -dx và suy ra
Câu 2 Cho tích phân
2 3 2 1
1 x
x
+
=ò Nếu đổi biến số
2 1
x t x
+
= thì:
A
2
2
3
2
2 1
t dt
I
t
=
-ò B
2 3 2
2 1
t dt I
t
= +
2 2 3 2
2 1
t dt I
t
=
-ò D 3 2
2 1
tdt I
t
= +
ò
Hướng dẫn giải:
1
1 1
+
+
Trang 2Đặt
1
t
ì
= -ï ï
ï
-î Đổi cận:
2 3
3
ì = Þ = ï
í
ï ï
Suy ra
2 2 3 2
2 1
t
t
=
Câu 3 Cho 2 2
0
sin cos
p
=ò và u=sinx Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. 1 2
0
0
2
1
0
I = -òu du
Kim Liên – Hà Nội – Lần 2
Hướng dẫn giải: Đặt 1 2
0
Câu 4 Cho tích phân 2
0
1 3cos sin
p
=ò + Đặt u= 3cosx + Khi đó I bằng: 1
A 3 2
1
2
3òu du B 2 2
0
2
3òu du C.
2 3 1
2
3 2 1
u du
ò
Hướng dẫn giải:
Đặt u= 3cosx+1Þ2udu= -3sinxdx Khi 0 2; 1
2
Khi đó
2 2
Câu 5 Giá trị của tích phân
3
8 1
dx
-=
A. ln2
3 B 2 C. ln 2- D. 2ln 2
Hướng dẫn giải:
Đặt t= 1- Þ = -x x 1 t2 Þdx= -2tdt Đổi cận 8 3
ì = - Þ = ï
í
= - Þ =
Trang 33
Vậy
3
2
1
Câu 6 Cho tích phân
4 0
2 ln 3
dx
x
ò với ,a b là các số nguyên Mệnh đề nào sau
đây là đúng?
A a b+ = 3 B a b- = 3 C a b- = 5 D. a b+ = 5
Chuyên Đại học Vinh – Lần 4
Hướng dẫn giải:
Đặt
2 1
2 1
2
t
1
1 1
tdt
Câu 7 Biết
1 2 0
3ln
dx
-+ +
ò , trong đó a b là các số nguyên dương và , a
b là phân số tối
giản Tính giá trị của biểu thức T ab=
A T =10 B T= 9 C. T =12 D T =30
Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 3
Hướng dẫn giải:
2 2
Đặt x+ = Û = - Û3 t x t 3 dx=dt
3 6
Câu 8 Biết
3 1 2 0
ln 2
x dx
A. a= 1 B a= 2 C a= 0 D a= - 1
Kim Liên – Hà Nội – Lần 2
Hướng dẫn giải:
2
dt
x + = Ût x = - Ût xdx=
1
Trang 4
Câu 9 Tích phân
7 1
2 5
0(1 )
x dx x
+
A
3
2
4
1
1 ( 1)
2
t
dt
t
3 2 5 1
1 ( 1) 2
t dt t
3 3 5 1
( 1)t dt t
3 4 4 1
3 ( 1) 2
t dt t
Hướng dẫn giải: Đặt t= +1 x2Þdt=2xdx Vậy
3 2
1
t
t
Câu 10 Tích phân
4 3 4 1
1 ( 1)
x x
=
+
A ln3
1 3 ln
1 3 ln
1 3 ln
4 2
Hướng dẫn giải: Đặt t=x2 Þdt=2xdx Vậy 3 2
1
ln
t
+
Câu 11 Tích phân
1
8ln 1
e x
x
+
A 2- B. 13
3
ln 2 4
- D ln 3 3
5
-
Hướng dẫn giải:
Đặt t 8lnx 1 tdt 4dx
x
3
ì = Þ = ï
í
= Þ =
Vậy
3 3
1
3 1
2
t
Câu 12 Tích phân
1
2 3 0
5
I=òx x + dx có giá trị là:
A 4 6 10 3
3 - 9
Hướng dẫn giải:
Ta có t=x3+ Þ5 dt=3x dx2 Khi x= thì 0 t= ; khi 5 x= thì 1 t= 6
1 1
2
+
-+
Trang 55
Câu 13 Tích phân
1 2 0
1
I=òx x + dx có giá trị là:
A 3 2 1
3- B 2 2 1
3- C 2 2 1
2- D 3 2 1
2-
Hướng dẫn giải:
Đặt t x2 1 t2 x2 1 x2 t2 1 dx tdt
x
Vậy
3 2
2 1
2 2 1 2
t
Câu 14 Tích phân
0 3 1
1
-=ò + có giá trị là:
A. 9
28
28
9
28
Hướng dẫn giải:
Đặt t= 3 x+ Þ1 t3 = + Þx 1 dx=3t dt2
Vậy 1 3(3 ) 7 4
0
0
Câu 15 Giá trị của tích phân
2 1 0
2
x dx I
=
A. 16 10 2
3
4
4
3
Hướng dẫn giải:
Đặt t= x+ Þ1 t2 = + Þx 1 2tdt=dx
3
Câu 16 Giá trị của tích phân 1 5( 3)6
0
1
A. 1
1
1
1
165
Hướng dẫn giải:
2
3
dt
x
-= - Þ = - Þ = , ta có:
Trang 61
7 8
1
Câu 17 Giá trị của tích phân
2 3 0
1
x
+
-=
+
A. 54
53
52
51
5
Hướng dẫn giải:
Đặt x+ = Þ =1 t x t2- Þ1 dx=2tdt
4 2
2 5
3 1
t t
t
Câu 18 Giá trị của tích phân ( )
1
5 0
2x+1 dx
A. 301
1 60
2 30
2 60
3
Hướng dẫn giải:
2
du
Do đó: ( )
6
3
1
u
Câu 19 Giá trị của tích phân 1 2
0
1
x dx
+ + +
A. ln 2 B. ln 3 C. 2ln 2 D. 2ln 3
Hướng dẫn giải:
Đặt u=x2+ + Þx 1 du=(2x+1)dx
Do đó:
2
3
2ln | | 2(ln 3 ln1) 2 ln 3
1 1
+
+ +
Câu 20 Giá trị của tích phân
2
2
1(2 1)
dx
x
Trang 77
A. 1
1
1
2
3
Hướng dẫn giải:
2
du
Do đó
3
( 1) 1
Câu 21 Giá trị của tích phân 3
0
3
x
dx
-+ -+ -+
A. 3 3ln3
2
2
2
2
- +
Hướng dẫn giải:
Đặt u= x+ Þ1 u2- = Þ1 x 2udu=dx; đổi cận: 0 1
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
3
2
2
3
2
+ + +
Câu 22 Giá trị của tích phân: I
4
2 0
1
1 1 2
x
dx x
+
= + +
A. 2ln 2 1
2
- B. 2ln 2 1
3
- C. 2ln 2 1
4
- D. ln 2 1
2
-
Hướng dẫn giải:
Đặt
2 2
2
2
3
3 4ln 2 ln 2
t
t
Câu 23 Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
A. 1 1
sin(1-x dx) = sinxdx
0
(1 )x 0
x dx
Trang 8C.
2
2
x
p p
=
1
2 (1 )
2019
Hướng dẫn giải:
Đặt
t= - Þx dt= -dxÞò -x dx= -ò tdt=ò tdt Đặt
2
1
p p
1
2018 2019 2018 2019 2018 2019 1
2017
(1 )
2018 2019 2018 2019 2018 2019 2019
ò
Vậy
1 0
(1 )x 0
x dx
Câu 24 Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y=x3sin5x trên khoảng (0; +¥ Khi đó )
tích phân 2 3 5
1
81x sin 3xdx
ò có giá trị bằng:
A 3éF( )6 -F( )3 ù
ë û B. F( )6 -F( )3 C. 3éF( )2 -F( )1 ù
ë û D F( )2 -F( )1
Hướng dẫn giải: Đặt t=3xÞdt=3dx
3 5
81x sin 3x dx= 3x sin 3 x 3dx= t sin t dt=F 6 -F 3
Câu 25 Xét tích phân
3 0
sin 2
1 cos
x
x
p
= +
ò Thực hiện phép đổi biến t=cosx , ta có thể đưa I về
dạng nào sau đây:
A.
4
0
2
1
t
t
p
=
-+
4 0
2 1
t
t
p
= +
1 2
2 1
t
t
= -+
1 2
2 1
t
t
= +
Hướng dẫn giải:
Ta có t=cosxÞdt= -sinxdx Đổi cận
1
ì = Þ = ï
í
ï î
0
1
Trang 99
Câu 26 Giá trị của tích phân
2 3
3
2 cos 3
3
p
p
p
A. 3
3
3
3
3
-
Hướng dẫn giải:
du
3 3
p p
ò
Câu 27 Giá trị của tích phân 2
0
sin
1 cos
x
p
= +
A.
2
2
2
6
2
8
2
4
p
Hướng dẫn giải:
2
2
Câu 28 Giá trị tích phân 2
0
sin
1 3cos
x
x
p
= +
A. 2ln 2
2
ln 4
1
ln 4
1
ln 2
3
Hướng dẫn giải:
1
ln
t dt
Câu 29 Giá trị của tích phân 2 6 3 5
1
2 1 cos sin cos
I = ò - x x xdx là:
A. 21
12
21
12
19
Hướng dẫn giải:
Trang 10Đặtt=61-cos x3 Ût6= -1 cos x3 Þ6t dt5 =3cos2xsinxdxÞcos2xsinxdx=2t dt5
1
6 6 0
1 12
0
Câu 30 Giá trị của tích phân I =
2
3
sin sin cos
0
xdx
p
A. 1
1
1
1
6
Hướng dẫn giải:
Đặt:
2
= - Þ = -
sin
cos 2
sin cos
u du
xdx I
ê çç - ÷÷+ çç - ÷÷ú
2
tan
2
4
0
x
p p
Câu 31 Giá trị của tích phân 4
6 6 0
sin 4 sin cos
x
p
=
+
A 1
2
4
5
3
Hướng dẫn giải:
4
sin 4 3
1 sin 2 4
x
x
p
=
1
1 4
1 1
4
t
Trang 1111
Câu 32 Giá trị của tích phân
2007 2
2007 2007 0
sin sin cos
x
p
=
+
A.
4
2
4
4
=
Hướng dẫn giải:
Đặt
2
= - Þ = -
2007
2007
2007 2007
2 2 0
sin
cos 2
sin cos
2
t
t
p
p p
p
ò
Câu 33 Tích phân 3 2
0
sin tan
p
=ò có giá trị bằng:
A ln 3 3
5
- B ln 2 2- C. ln 2 3
8
- D ln 2 3
4
-
Hướng dẫn giải:
2
2
sin (1 cos )sin sin
1 2 2 1
ln 2 8
u
u
Câu 34 Giá trị của tích phân
2
ln 5
ln 2 1
x
x
e dx I
e
=
A 2
5
10
20
3
Hướng dẫn giải:
1
2 20
1
ò
Câu 35 Giá trị của tích phân ln 2
0
1
x
I =ò e - dx là:
A 4
3
p
2
p
3
p
2 p
-
Trang 12Hướng dẫn giải:
2
1
x
+
2
2 1
t
p
Câu 36 Giá trị của tích phân
ln 3
3
0 1
x
x
e
e
=
+
A. 2 1- B 2 2 1- C 2 2- D 2 2 2-
Hướng dẫn giải:
Đặt
2 2
3 2
2 1
2
Câu 37 Giá trị của tích phân:
2
ln 3
ln 2 1 2
x
e dx I
=
A 2 ln 2 1- B. 2ln 3 1- C ln 3 1- D ln 2 1-
Hướng dẫn giải:
1
2 ln 3 1
-ø
Câu 38 Cho tích phân
1
1 3ln
e
x
x
+
=ò Đặt t= 1 3ln+ x Khẳng định nào sau đây đúng?
A 2
1
2
3
e
2 1
2 3
2 2 1
2 3
1
2 3
e
I = òtdt
Chuyên Trần Phú – Lần 2
Hướng dẫn giải: Đặt
1 3ln ln
x
2
Câu 39 Bài toán tính tích phân
1
ln 1ln
e
x
+
=ò được một học sinh giải theo ba bước sau:
Trang 1313
I Đặt ẩn phụ t=lnx+ , suy ra 1 1
x
= và đổi cận: 1 1
2
ì = Þ = ï
í
= Þ =
2
ln 1ln
1
e
x
+
2 2
5
2
t
Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A Bài giải đúng B Sai từ Bước I C Sai từ Bước II D. Sai từ Bước III
Hướng dẫn giải:
Bước III sai Phép tính đúng là 2 ( ) 2 ( )
5 3
1
Câu 40 Cho tích phân:
1
1 ln 2
e
x
x
-=ò Đặt u= 1 ln- x Khi đó I bằng:
A.
0
2
1
0 2 1
2 0
1 2
u
1 2 0
I = -òu du
Hướng dẫn giải:
Đặt u= 1 ln- xÞu2 = -1 lnx dx 2udu
x
0
ì = Þ = ï
í
= Þ =
Khi đó
0 2 1
I = -òu du
Câu 41 Cho hàm số f liên tục trên thỏa ( )f x + f( )-x = 2 2cos 2+ x , với mọi x Î Giá
trị của tích phân 2
2
( )
p
p
-=ò là:
Hướng dẫn giải:
0
0
Tính 1 0
2
( )
p
-=ò Đặt x= - Þt dx= -dt 1 2 2
=ò - =ò -
Thay vào (1), ta được:
Trang 14Câu 42 Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y sin x
x
= trên khoảng (0;+¥ Khi đó )
2
1
sin 3x
dx x
ò có giá trị bằng:
A. 3éëF( )6 -F( )3 ùû B. F( )6 -F( )3 C. 3éëF( )2 -F( )1 ùû D F( )2 -F( )1
Hướng dẫn giải: Đặt t=3xÞdt=3dx
( ) ( )
3
Câu 43 Cho hàm số f x( ) có nguyên hàm trên Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
1
0
2
a
-=
C ( ) ( )
p
=
1 2
Hướng dẫn giải:
Đặt t= - Þ1 x dt= -dx Đổi cận 1 0
ì = Þ = ï
í
= Þ = ï
Câu 44 Cho hàm số f x( ) có nguyên hàm trên Xét các mệnh đề:
1 2
sin 2 x f sinx dx f x dx
p
=
2
x
2
3 2
1 2
Các mệnh đề đúng là:
A Chỉ I B Chỉ II C Chỉ III D Cả I, II và III
Hướng dẫn giải:
sin 2 x f sinx dx 2 sin x f sinx cosxdx
=
Trang 1515
Đặt t=sinxÞdt=cosxdx Đổi cận
1 2
ì = Þ = ï
í
ï î
2
2 sin x f sinx cosxdx 2 t f t dt 2 x f x dx
p
Xét II Đặt x
t=e và kết luận II đúng
Xét III Đặt t=x2 và kết luận III đúng
Câu 45 Cho hàm số y= f x( ) lẻ và liên tục trên đoạn [ 2; 2]- Trong các đẳng thức sau, đẳng
thức nào luôn đúng?
A. 2
2
( ) 0
f x dx
-=
(
-=
C.
2
-=
(
=
Hướng dẫn giải: Đặt t= - Þx dt= -dx
Câu 46 Cho hàm số f liên tục trên và hai số thực a b< Nếu ( )
b
a
ò thì tích phân
( )
2
2
2
b
a
ò có giá trị bằng:
A.
2
a B. 2a C. a D. 4a
Hướng dẫn giải: Đặt t=2xÞdt=2dx
Câu 47 Cho hàm số f(x) liên tục trên và f x( )+ f( ) cos-x = 4x với mọi xÎ Giá trị của
tích phân 2
2
( )
p
p
-=ò là:
Trang 16A. - 2 B. 3
16
p C. ln 2 3
4
5
-
Hướng dẫn giải:
4
16
Þ =
Câu 48 Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn ( )
2 0
6
ò Giá trị của tích phân
2
0
2sin cos
p
Hướng dẫn giải: Đặt t=2sinxÞdt=2 cosxdx
1
f t
p
Câu 49 Cho m là số thực dương thỏa mãn
0
3 16 1
m x dx x
= +
ò Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A 3;7
2
Î ç ÷
è ø B 0;3
2
Î ç ÷
è ø C 3;3
2
Î ç ÷
è ø D 7;5
2
Î ç ÷
è ø
Sở GD–ĐT Hải Dương
Hướng dẫn giải:
Ta có
2
0
1
m
+
Mà
2
2 2
m
+
Do m là số thực dương nên m= 1
Câu 50 Cho số thực m thỏa mãn
1
1 ln
0
e
dt t
+
=
ò Các giá trị tìm được của m thỏa mãn điều kiện
nào sau đây?
Trang 1717
A 5- £m£ 0 B m³ - 1 C 6- <m< - 4 D m< - 2
Chuyên Lam Sơn – Lần 2
Hướng dẫn giải:
( )
1
2 1
1
ln
2
e
e e
m
+
= Û + = Û =