28 Bai Tich Phan Doi Bien

Về vấn đề làm bài tập: Đây là vấn đề rất quan trọng vì nó giúp ta vận dung được kiến thức, rèn luyên sự nhanh trí và kỹ năng làm bài. Học toán mà không làm bài tập thì sẽ không giỏi được. Nhưng để có nhiều thời gian làm bài tập, ta cần phải làm tốt vấn đề học thêm. Cần làm hết những bài tập trong sách giáo khoa, những bài thầy cô cho trên lớp. Phài làm hết bài tập ở nhà, không được lên trường rồi mới làm. Để học giỏi môn toán lớp 10 phải nắm vững lý thuyết thì mới làm bài tập, đối với các công thức toán khó thuộc ta có thể nghĩ ra những cách nhớ riêng dễ thuộc hơn như đặt ca dao, tục ngữ, làm thơ,…

Trang 1

GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan

BÀI

I f g x  ( ),n g x ( ) '( )  g x dx





 



0

(8 6 1)

x x x

x x

 



2 (4 1)

tdt x dx

x x t

 



        

  



i c n: x  0 t 1 và x  1 t 2

Khi đó

2

t



2

V y 1 14 12 ln4

i c n thì

V y 2 34

27

I 

2

0

sin 2 s inx

1 3cos

x

dx x





2

3

1 cos

3

t x







: 0 2

x 

: 2 1

t 

2 2

0

(2 cos 1) sin

1 3cos

x





 





2

1

t

 

 

ÁP ÁN 28 CÂU TÍCH PHÂN I BI N

GV: Nguy n Thanh Tùng

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Trang 2

 I3 

i c n thì

Khi đó

2

2 3

t

3

I 



ln 3

4

x

e dx I





Khi đó

2

I

        V y I4  2 1

NH N XÉT

Khi g p tích phân có d ng I f g x ( ),n g x( ) '( ) g x dx





Sau đó th c hi n các b c c b n c a m t phép đ i bi n ch a c n ( l y th a, vi phân hai v và đ i

c n) ta s thu đ c m t tích phân d ng c b n Có th minh h a qua s đ :

 2n, 2 







V y I1 

t

3

ln 2 3

2

3

1

3 2 ln

1 2 ln

e

x dx





2

1 2 ln 1 2 ln

2 ln 1

dx tdt

x t

 





3

:1

2

t e     t e tdte dx x: 0ln 3 t: 22

( )

n

2

1

0

4

I x x dx x2 sint ;

2 2

t   

2 cos





 





1

sin 4 2

4 sin 2 cos 2 cos 4 sin 2 2 (1 cos 4 ) 2

t

1

x



cos

x

t

t     

   

2 2

sin cos

1 tan

tdt dx

t

 



 



:1 2

3

t 

2

cos cos

t t



cos

1 sin

t

dt tdt t



Trang 3



2

cos (1 sin )(1 sin ) 2 1 sin 1 sin 3

cos cos

t t

V y 3 3 2 3

ln 2

.

Chú ý:

Ngoài cách đ i bi n nh trên, có th đ c tính b ng cách s d ng k thu t vi phân nh sau:

NH N XÉT

,

n

I x ax bx c dx





giác c b n i u này có th minh h a qua s đ :

2

dx I

x x



 

dx x



 



1 3 tan

2 2

t    

2

3 cos

3 ( 1) 3

cos

dx dt

t x

t







 

   



: 0 2

6 3

t  

3

6

1 1 sin 3 2 3

x x





3

I

2

1 ( 1) 3

1 ( 1) 3 ( 1) 3 1 ( 1) 3 ( 1) 3 1 ( 1) 3

d x x

dx

   

2 2 0

3 2 3

ln 1 ( 1) 3 ln

3

2

t ax bx c

2

ax bx c

u k

Trang 4

I f e dx ( )x





 



3 2

1

1 1

x

e







 t te xdte dx x ; i c n x  1 t e và x   3 t e3

Khi đó

1 1

x

x x

1

e

e e e



I e   e e  e



+) Khi đó:

+) V y 2 23

3

I 



+) Khi đó:

+) V y 3 1ln29

3 10

NH N XÉT

N u d i d u tích phân ch ch a hàm m d ng I f e dx( )x





tích phân v d ng c b n i u này có th minh h a qua s đ :

ln 5 2

2

ln 2 1

x

e dx I

e







2

1

x



 

 x: ln 2ln 5 t:12

2 2

1

x x x

t e



ln 2 3 2

0

2

2 (1 )

x

e e e

e



 



3

t e dt e e dxe e dx x: 0ln 2 t: 827

27

8

ln 2

3 10

x

te kx

e tae xb n x

t ae b

Trang 5

f (ln ) x

x





  ho c d i d ng t ng quát (ln ) '

u u





 

 t và thì

V y 1 1 ln3

I   

V y 2 116

135

I 

ln 2

3

t

V y

2 3

ln 2 12

NH N XÉT

N u d i d u tích phân ch ch a hàm logarit có d ng I f(ln )x dx

x





… Sau đó đ a tích phân v d ng c b n i u này có th minh h a qua s đ :

1

ln (2 ln )

e

x





ln 2

dx dt

x t

 



   

  



:1

x e t: 23

3

ln

t

        

 

2

1

1 3ln ln

e

x x dx x





2

:1

x e t:12



2

4 2 2

1

2 0

3 ln 3 9

x

x dx x





ln

Trang 6

(tan )2

cos

dx x





sin

dx x







10 3 1

ln 2 3

27 2



3 4

0

sin sin 2 3cos

x







0

cos (tan 2 tan 3)

x

dx









5

7 ln 2 6 ln 3 2



3

6 sin sin

6

dx I





  

2



V y 3 2 ln3

2

I 



3

4

sin cos

dx I





+) Khi đó

3

4

ln 2

        

V y 4 1 1ln 3

2

4 6

1

0

tan cos2

x



cos sin cos (1 tan )

2

tan

cos

dx

x

6

: 0

3

t 

4

t

3

0

3 3

ln

t



10 3 1

ln(2 3)

27 2

2

tan

cos

dx

x

4

x  t: 01

1 2

0

2 6 ln 3 ln 1 2

t

5

7 ln 2 6 ln 3

2 

3

3 6 6

3 cot

x x





2

tan

cos

dx

x

4 3

x  

1

1 ln 3 2



Trang 7

NH N XÉT

cos

f x

x





 (5*1) ho c (cot )2

sin

f x

x





 (5*2) thì ta dùng ph ng pháp đ i

kg x ( ) f g x  ( ) '( )  g x

gx







 



4

1

0

sin ( 1) cos sin cos



 





1

4 0

cos



2

     



1 2

2

0

( ) x

x

x x e

x e







x

x e



2

1

e t



2 3

1

1 ( 1) ln

1 ln

e







Thay (1), (2) vào (*), suy ra

2 3

1 ln( 1) 2

e

2

cos x sin x2

tan

t x tcotx

4

0

cos sin cos

x x

x x x







 txsinxcosxdtxcosxdx : 0

4



2 1

2

2 4

1

2 4 1 1

2

dx

x



 

 



1

e

1

ln 1 ln ln( 1)

e

Trang 8



2

1

ln

e







1

V y I4  e ln(e1)

NH N XÉT

( )

kg x f g x g x

g x







có th bi u di n thành t ng c a hai thành ph n Trong đó :

+) Thành ph n th hai đ c c u t o b i tích hai hàm C th m t hàm bi u di n theo và m t hàm là

Khi đó ta tách d ng tích phân này thành 2 tích phân ng v i m i thành ph n c u t o trên t trên Trong đó tích phân th nh t đ a v d ng c b n (th ng có luôn trong b ng nguyên hàm) và tính tích phân th hai đ c tính

i u này có th minh h a qua s đ :

CHÚ Ý:

0 là h ng s 1) và hàm (đa th c, m )…

th c hi n phép chia c t và m u cho m t l ng thích h p

+) N u bi u th c d i d u tích phân đ n gi n, các b n có th b qua b c đ i bi n b ng k thu t vi phân

2

1

e

x

( )

g x

( )

0; 1; 2; ;

k   x x

( )

g x

( )

g x f g x( ( )) '( )g x f g x( ( ))

( )

t g x

( )

g x

( ) 3sin

g x  x x

( ) 1 x

( ( )) '( ) ( )

g x







Trang 9

I f (sin ) cos x xdx









x





 

 Ta bi n đ i

+) Tính

Khi đó :

V y 1 8

15 4

I  



2

0

(2 sin 3) cos 2sin 1

x











+) t ; i c n ;

1 2 ln 2 1 1 2 ln 3

t

+) V y I2  1 2 ln 3



2

3

0

sin 2

3 4sin cos 2

x





+) Khi đó

2

t

2



4

0

(sin cos ) sin 4 sin cos











4 4 0

3 cos 4

5 3cos 4

x











Khi đó

1

2

1

0

(cos 1) cos



1

cos cos

I xdx xdx A B

2

cos (1 cos 2 ) sin 2



2 5 0

cos



 m0;n5 tsinx dtcosxdx : 0

2

x 

: 0 1

1

0

t

2

x  t

2

x  t





cos 4 4sin 4 sin 4

4

dt

4

x   t

Trang 10

NH N XÉT

(sin ).cos

I f x xdx





 (7*1) (ho c tích c a và m t hàm ch a có d ng I f(cos ).sinx xdx





 (7*2) )





2) Khi g p tích phân mà hàm d i d u tích phân có c u trúc c a tích gi a và hay tích phân có d ng

sinm cosn





++) N u khác tính ch n, l ( ch n, l ho c l , ch n) ta s đ i bi n theo hàm mang m ch n

++) N u cùng tính ch n, l ( , cùng ch n ho c , cùng l ) thì ta có hai tr ng h p:

Tr ng h p 1: cùng l , khi đó ta nên đ i bi n theo hàm có s m l n h n

Tr ng h p 2: cùng ch n, khi đó ta s “linh ho t” s d ng m t trong các cách sau:

Cách 1: Dùng các công th c l ng giác đ bi n đ i bi u th c d i d u tích phân v d ng c b n

có trong b ng nguyên hàm và th ng hay s d ng công th c h b c

Cách 2: Chuy n v d ng (5*1) ho c (5*2) đ đ t ho c

CHÚ Ý:

+) D ng (7*1) và (7*2) là m t ph n m r ng c a d ng (7*)

+) N u bi u th c d i d u tích phân đ n gi n, các b n có th b qua b c đ i bi n b ng k thu t vi phân

sin

sin x cos x sin x cos x

,

2

sin k

x tsinx

2

cos k x tcosx

,

m n

mn sin cos 1 sin 2

2

m

,

m n

tan

t x cot x

Trang 11

I f (sin x cos ,sin cos ).(cos x x x x sin ) x dx







4

1

0

sin

4 sin 2 2(1 sin cos )

x



2

I



4



4

2

0

cos 2

x







1

2

CHÚ Ý : Vi c đ t I 2 là ta đã g p 2 công đo n đ t và



4

3

0

1 tan 3(1 tan ) 4 sin

x







0

cos sin 3(sin cos ) 2 sin 2

dx







+) Khi đó

NH N XÉT (8*)

Khi g p tích phân có d ng I f(sinx cos ,sin cos ).(cosx x x x sin )x dx





2

(cos sin ) 2 sin

4 sin cos





: 0 4

x 

4

0

(cos sin )(cos sin )

2 1 sin cos

dx

x x







1 sin cos

2

1 sin cos

(cos sin ) 2



 t: 01

1 sin cos

2

(cos sin ) sin cos



 



  

1 2( 2) (2 1)

2 2

t dt



sin cos

Trang 12

C M N CÁC B N Ã QUAN TÂM !

GV: Nguy n Thanh Tùng

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	789,94 KB