Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm x=a x, =b a... Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn
Trang 11
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt
A KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định lí
Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng ( )P và ( )Q vuông góc với trục Ox lần lượt tại x=a x, =b a( <b) Một
mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm x a( £ £x b) cắt C theo một thiết diện có diện tích S x Giả ( )
sử S x là hàm liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b Khi đó thể tích của vật thể ; C giới hạn bởi hai mặt phẳng ( )P và
( )Q được tính theo công thức: ( )
b
a
V =òS x dx
2 Bài toán 1
Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D được giới hạn bởi các
đường y= f x( ); y= ; 0 x=a; x b = quanh trục Ox được tính theo công
thức: b 2( )
a
V =pòf x dx
Chú ý: Nếu hình phẳng D được giới hạn bởi các đường y= f x( );
( )
y=g x và hai đường x=a x; = (với b f x g x( ) ( ) ³0, " Îx [ ]a b; )
thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox được tính
bởi công thức: b 2( ) 2( )
a
V =pòf x -g x dx
3 Bài toán 2
Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường x=g y( ), trục tung và hai đường y=a y, = quanh trục Oy được tính theo công thức: b
( )
2
b
a
V =pòg y dy
B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1 Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi
đồ thị hàm số y= f x( ), trục Ox và hai đường thẳng x=a x, =b a( <b), xung quanh trục Ox
a
V =pòf x dx B b 2( )
a
V =òf x dx C ( )
b
a
V =pòf x dx D ( )
b
a
V =òf x dx
Đề minh họa 2017 – Lần 1
Câu 2 Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành Thể tích khối tròn xoay tạo thành
được tính theo công thức nào?
Trang 2
A ( ) ( ) 2
b
a
V =òéëf x -g x ùû dx B b 2( ) 2( )
a
V =pòéëf x -g x ùûdx
C ( ) ( ) 2
b
a
V =pòéëf x -g x ùû dx D ( ) ( )
b
a
V =pòéëf x -g x ùûdx
Câu 3 Viết công thức tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
các điểm x=a x, =b a( <b), có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có
hoành độ x a( £ £x b) là S x ( )
b
a
V =pòS x dx B ( )
b
a
V =pòS x dx C ( )
b
a
V =òS x dx D 2b ( )
a
V =pòS x dx
Câu 4 Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox phần hình phẳng gạch chéo
trong hình vẽ, biết f x( )=x2-4x+ 4
3
V = p C 33
5
V = D
5
V p
=
Câu 5 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x3+1,y=0,x=0,x= 1
quanh trục Ox là:
A 79
63
14
4
Câu 6 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=3 ,x y=x x, =0,x= quanh 1
trục Ox là:
A 8
3
3
3
p
Trang 33
Câu 7 Cho hình phẳng ( )S được giới hạn bởi đường 1
, 1, 4
y y y
x= = = và trục Oy Để xác định thể tích vật
tròn xoay khi cho ( )S quay quanh trục Oy ; một học sinh đã làm như sau:
I
2 4
1
1
y
pæç ö÷
4
1
V
y
p
æ ö
ç ÷
= - ç ÷
è ø
4
V p
=
Hỏi học sinh đã làm sai từ bước nào?
Câu 8 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y 4,y 0,x 1,x 4
x
= = = = quanh trục Ox là:
Câu 9 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= +1 x Ox x, , =0,x= 4
quanh trục Ox là:
A
2
28
3
3
3
2
68 3
p
Câu 10 Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình
1
x
y=x e Ox x= x = quay quanh trục Ox có số đo bằng:
e
Câu 11 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x, 0, 0, 1
y= e y= x= x= Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( )H quanh trục Ox là:
Câu 12 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường 0, ( x 1 ,) 0, 1
y= y= x e + x= x= Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay ( )H quanh trục hoành
2
V p
2
V p
2
V p
=
Câu 13 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường cos 4 , , 0,
8
y x Ox x x p
quanh trục Ox là:
A 2
2
16
4
16
p+ p
Trang 4Câu 14 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường tan , 0, 0,
3
y x y x x p
quanh trục Ox là:
2 3
V p
3
pæç ö÷
= ç + ÷
3
pæç ö÷
= ç - ÷
è ø
Câu 15 Thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường 4 , 0, 0, 2
4
x
-quay một vòng quanh trục Ox là (theo đơn vị thể tích)
Câu 16 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 =x x, =a x, =b(0< <a b)
quanh trục Ox là:
a
V =pòxdx B b
a
V =pò xdx C 2b
a
V =pòxdx D 2b
a
V=pò xdx
Câu 17 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y=x2,y=0,x = Tính thể tích V của khối tròn xoay 2
thu được khi quay ( )H quanh trục Ox
3
V = B 32
5
V = C 8
3
V p
5
V p
=
Chuyên Thái Bình – Lần 3
Câu 18 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x-1,Ox x, = quanh trục 3
Ox là:
2p D p
Câu 19 Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y= 1-x2;x=0;y = khi quay quanh trục Ox 0
không được tính bằng công thức nào sau đây?
A 1( 2)2
0
1 x dx
0
1 x dx
1 3
0
3
x x
pæç - ö÷
D 2
3
p
Câu 20 Hình phẳng C giới hạn bởi các đường y=x2+ , trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 y=x2+ 1
tại điểm ( )1; 2 , khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng:
5
V = p B 28
15
V = p C 8
15
V = p D V =p
Trang 55
Câu 21 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y= x y, = - và x x= Tính thể tích của khối tròn 4
xoay tạo thành khi quay hình ( )H quanh trục hoành nhận giá trị nào sau đây:
3
V p
3
V p
3
V p
2
V p
=
Câu 22 Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường y= x y, = - +x 2,y= 0
quay quanh trục Oy , có giá trị là kêt quả nào sau đây?
3
V = p B 2
3
V = p C 32
15
V = p D 11
6
V = p
Câu 23 Thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi ( )C :y=lnx,
trục Ox và đường thẳng x e= là:
Câu 24 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ln ,x y=0,x=2 quanh trục
Ox là:
A 2 ln 2 4 ln 2 22 - + B p(2 ln 2 4 ln 2 22 + - ) C p(2 ln 2 4 ln 2 22 - + ) D p(2ln 2 1- )
Câu 25 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x ln ,x y=0,x= quanh e
trục Ox là:
A
3
9
e
3
9
e
3
9
e
3
9
e
Câu 26 Viết kí hiệu ( )H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2( 1) x,
y= x- e trục tung và trục hoành
Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình ( )H xung quanh trục Ox
Đề minh họa 2017 – Lần 1
Câu 27 Khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị ( )P :y=2x-x2
và trục Ox sẽ có thể tích là:
15
V p
15
V p
15
V p
=
Câu 28 Tính thể tích của khối tròn xoay khi quay quanh trục hoành của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
(4 )
y=x -x với trục hoành
Trang 6A 512
32
512 15
3
p
Câu 29 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được giới hạn bởi y= -2 x2;y= 1
quanh trục Ox
A 56
15
56
15
56
Câu 30 Tính thể tích khối tròn xoay khi quay phần mặt phẳng giới hạn bởi đường cong 2
y=x và y= x
quanh trục Ox
5
V p
15
V p
10
V p
5
V p
=
Câu 31 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y=2x-x2 và y x = khi quay quanh trục Ox tạo thành
khối tròn xoay có thể tích bằng:
A
3
V p
4
V p
5
V p
= D V =p
Câu 32 Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các parabol y= -4 x2 và y= +2 x2
quay quanh trục Ox là kết quả nào sau đây?
Câu 33 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= -x2+2 ,x y= quanh trục 0
Ox là:
A 196
15
3
15
15
p
Câu 34 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y= 1-x2,y= quanh trục 0
Ox là:
A 3
2
3
2
3
p
Câu 35 Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi các đường 4y=x2,y= qua quanh x
trục hoành bằng bao nhiêu?
15
V p
15
V p
15
V p
15
V p
=
Câu 36 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi các đường y= -x2+2x và y= Tính thể tích của khối tròn xoay 0
tạo thành khi quay hình ( )H quanh trục Oy là:
Trang 77
3
V p
3
V p
3
V p
3
V p
=
Câu 37 Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y2 =4x và đường thẳng x=4 Thể tích của khối tròn
xoay sinh ra khi D xoay quanh trục Ox là:
A 4p B 16p C 32p D 64p
Câu 38 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x3-6x2+9 ,x y= quanh 0
trục Ox là:
A 729
35
4
35
5
p
Câu 39 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2 ,x2 y2 =4x quanh trục
Ox là:
A 88
5
70
3
5
p
Câu 40 Cho hình phẳng ( )H giới hạn bởi 1 3 2
3
y= x -x và Ox Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay ( )H
quanh Ox bằng:
A 81
35
6
53
6
Quảng Xương – Thanh Hóa – Lần 1
Câu 41 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ax y2, =bx a b( , ¹0)
quanh trục Ox là:
A
3
3
2
15
b
V
a
p
5
b V
a
p
5 3
3
b V
a
p
5 3
2 15
b V
a
p
Câu 42 Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 1 2
3
y= -x y= x quanh
trục Ox là:
5
V p
5
V p
5
V p
5
V p
Câu 43 Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường ( ) ( )
2 2
1 ,
x
y f x y g x
x
+ Tính thể tích khối
tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Thể tích được viết dưới dạng
T =mp +np m nÎ thì tổng giá trị m n+ là ?
Trang 8A 1
13
2
3
5
Câu 44 Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x= và 0 x= , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng 3
vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0£ £x 3) là một hình chữ nhật có hai kích thước
bằng x và 2 9 x- 2 , bằng:
Câu 45 Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình x= và 0 x= , biết rằng thiết diện của vật 2
thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ xÎ[ ]0; 2 là một phần tư đường tròn bán kính 2x , ta được kết quả nào sau đây? 2
5
V = p D V =8p
Câu 46 Tính thể tích khối tròn xoay trong không gian Oxyz giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0,x=p và có
thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm (x;0;0) bất kỳ là đường tròn bán kính sin x
Câu 47 Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x= và 1 x= , biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt 3
phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(1£ £x 3) thì được thiết diện là một hình
chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3x2- 2
A V =32 2 15+ B 124
3
V p
3
V = D V =(32 2 15+ )p
Đề minh họa 2017 – Lần 3
Câu 48 Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn
x +y = (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông Thể tích của vật thể là:
Trang 99
4
4 16 x dx
4
4x dx
4
4 x dxp
4
4 16 x dxp
Câu 49 Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn
x +y = (nằm trong mặt phẳng Oxy ), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được
thiết diện là tam giác đều Thể tích của vật thể là:
A 256 3
256
32 3
32
3
Câu 50 Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0;x=p , biết rằng thiết diện của vật thể với mặt
phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0£ £x p) là một tam giác đều có cạnh là
2 sin x
3
p C 2 3 D 2p
C ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B C A B A B D B B C B B D B C D B A C
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
A C A C C D A C A C C D D D C B C A D A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
D B B B C B C A A C
y
x O