Cuc tri

Khi đó fxo được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.. Khi đó fxo được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.. Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.. Điểm Mxo; yo g

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Khái niệm cực trị

GIả sử hàm số f xác định trên tập hợp (  ) và xo 

a) xo được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

(a ; b) chứa điểm xo sao cho (a; b)  và f(x) < f(xo) với mọi x  (a; b) \ { xo }

Khi đó f(xo) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f

b) xo được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng

(a ;b) chứa điểm xo sao cho (a ; b)  và f(x) > f(xo) với mọi x  (a; b) \ { xo }

Khi đó f(xo) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f

Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

Điểm M(xo; yo) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x)

Nếu xo là một điểm cực trị của hàm số f

ta nói hàm số f đạt cực trị tại điểm xo

Chú ý

1)Giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số f

nói chung không phải là giá trị lớn nhất

(nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp .

f(x o ) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của

f trên một khoảng (a ;b) đủ nhỏ chứa điểm x 0

2)Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu

tại nhiều điểm trên tập hợp và các

cực trị nói chung là khác nhau (hình vẽ).

2.Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Quan sát hình vẽ ta thấy :

Nếu hàm số f hàm số đạt cực trị tại điểm x0và đồ thị của hàm số có tiếp tuyến tại điểm (xO; f(xO)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành tức

là f’(xO) = 0

Định lí 1

Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm xO và hàm số f có đạo hàm tại xO thì f’(xO) = 0

Điều ngược lại có thể không đúng

Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm xO nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0

Ví dụ Xét hàm số f(x) = x3, ta có f’(x) = 3x2 và f’(0) = 0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x = 0 vì f’(x) = 3x2 > 0,  x  0 nên hàm số đồng biến trên 

Hàm số f có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm

§ 2

Ví dụ Xét hàm số f(x) = |x| xác định trên R Vì f(0) = 0 và f(x) > 0 với mọi x  0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 nhưng hàm số không có đạo hàm tại điểm x = 0 Như vậy :

3.Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2

GIả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm xO và có đạo hàm trên các khoảng (a; xO) và (xO;b) Khi đó :

a)Nếu f’(x) < 0 x  (a; xO) và f’(x) > 0 x  (xO; b)  f(x) đạt cực tiểu tại xO

b)Nếu f’(x) > 0 x  (a; xO) và f’(x) < 0 x  (xO; b)  f(x) đạt cực tiểu tại xO

Định lí 2 được việt gọn lại trong hai bảng biến thiên sau :

Định lí 3

GIả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm xO, f’(xO) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xO

a)Nếu f”( xO) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xO

b)Nếu f”( xO) > 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xO

Quy tắc tìm cực trị

 Phương pháp giải :

B1: Tìm tập xác định D, tính y’= f’(x),

B2: Tìm các điểm xi  D ( i = 1,2,…) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

B3: Dùng các QUI TẮC

 (Quy tắc I) Lập BBT rồi áp dụng định lý 2: Khi qua xi (từ trái sang phải )

 f’(x) đổi dấu từ (+) sang (–)  x o là điểm cực đại

 f’(x) đổi dấu từ (–) sang (+)  x o làđiểm cực tiểu

 (Quy tắc II) Tính f''(x) Từ dấu của f"(xo ) suy ra tính chất cực trị của

điểm xi

 f”(xi) > 0 : xi là điềm cực tiểu.

 f”(xi) < 0 : xi là điềm cực đại.

cực trị của hsố y = f(x) theo dấu hiệu II Khi đó ta phải tìm cực trị của hàm số theo dấu hiệu I chứ không được kết luận hsố không có cực trị Dấu hiệu II thường tìm cực trị

Một hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó

hàm số không có đạo hàm

CĐ CT

CT

Hoàng

những hàm số mà việc xét dấu đạo hàm cấp 1 quá phức

Ghi chú: Thế x i vào y = f(x) tìm giá trị cực trị y i

Nhớ: 1 x o là điểm cực trị ta có y o = ( ) '( )

( ) '( )

o o

o o

v x v x (v(x o )  0; v’(x o )  0)

2 Nếu M(x o ;y o ) là điểm cực trị của y = ax³ + bx² + cx + d thì y’(x o ) = 0, chia y cho y’ ta có y = (mx+n).y’+ ax + b  y o = ax o +b

Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm số  1 3  2   5

f(x) x x 3x

 f'(x)  x 2  2x 3 

f’(x) = 0  x 22x 3 0     



�

�

�

x 1

x 3 Vậy: điểm cực đại M( 1; 103 ); điểm cực tiểu N(3; 22

3 )

Cách 2: Áp dụng quy tắc 2  f (x) 2x 2 �  

Vì f”(1) = 4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 , f(1) = 103

Vì f”(3) = 4 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3 , f(3) =22

3

Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm số f(x) | |  x Hàm số đă cho xác định và liên tục trên 

Ta có :  



�

�

�

�

x v�� i x 0

f(x)

x v�� i x 0





�

�

�

1 v�� i x 0

f'(x)

1 v�� i x 0

Vậy : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 , giá trị cực tiểu của hàm số là f(0) = 0

Ví dụ 3 Tìm cực trị các hàm số : 



2 1 a) y =

3

x



2 2 3 b) y =

1

x x

 

a) y = Ta� p xa� c �� nh : D = \ 3 y = 0 ,

x

x D

Vậy : Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên không có cực trị

 

  



�  

  

g

2

2

2 2

2 3

b) y = Ta� p xa� c �� nh : D = \ 1

1

1 2

2 1

y = y = 0 2 1 0

x x

x

x

g Ba� ng bie� n thie� n

 Bảng biến thiên :

Vậy : Hàm số đã cho đạt : g xC�  1 2,y C�  2 2; g xCT   1 2,y CT  2 2

H1 Tìm cực trị của hàm số f(x)    x 4 3

x . H2 Tìm cực trị của hàm số f(x) | 2  x 3| (HD: Xét f(x) trong 2 khoảng (−∞;0) và (0;+∞)) H3 Tìm cực trị của hàm số a) f(x)  1 x 4  2x 2  1

4 b ) f(x) = x 4 + 1

Bài toán : Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu

 Tập xác định

 Đạo hàm y/

 Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt � ���

 

�

0 0

a

 Giải tìm m

Cách 1: * Tập xác định

* Đạo hàm y/

* Hàm số đạt cực trị tại x0  y/(x0) = 0 và y/ đổi dấu khi x qua x0

Cách 2: * Tập xác định

* Đạo hàm y/

* Đạo hàm y//

* Hàm số đạt cực trị tại x0  ��� 

�

�

/ 0 / / 0

( ) 0 ( ) 0

y x

y x Cực đại: y/ (x0) = 0 và y// (x0) < 0 ; Cực tiểu : y/ (x0) = 0 và y// (x0) > 0

* Tập xác định

* Đạo hàm y/= f/ (x)

* Hàm số đạt cực trị bằng y0 tại x0 khi :

�



�

�

/ 0

0 0 //

0

( ) 0 ( ) ( ) 0

f x

f x y

f x

Ví dụ 1 Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu

1) y m2x33x2mx m 2)

2 2 2 2

1

y

x





1)  Tập xác định: D �  Đạo hàm: y’= 3(m+2)x2 + 6x + m

Hàm số có cực đại và cực tiểu �y' 0 hay g(x) =3(m+2)x2 + 6x + m = 0 có hai nghiệm

2 0

m

m m

 �

�

2

m



�

�

�

2

m m



�

�

� �  

Vậy giá trị cần tìm là: 3 m và 1 m�2

2)  Tập xác định: D�\ 1 .  Đạo hàm:

2

2 '

1

y

x



 Hàm số có cực đại và cực tiểu �y' 0 hay g(x) = x2 + 2x + m2 = 0 có hai

nghiệm phân biệt khác –1

 

2 2

m

�

� �

�

1

m m

�

Ví dụ 2 Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị

1) y m3x32mx2 3 2) y mx2 x m

x m

 





1)  Tập xác định: D �

 Đạo hàm: y’ = 3(m−3)x2 − 4mx; y’ = 0  3(m−3)x2 − 4mx = 0 (1)

 Xét m ta có ' 03 y  �12x0�x0

'

y

� đổi dấu khi x đi qua x0  � Hàm số có cực trị 0 �m3 không thỏa

 Xét m� : Hàm số không có cực trị 3 �y' không đổi dấu � phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 3 02

m m

 �

�

� �

�

3 0

m m

�

�

Vậy giá trị cần tìm là m 0

2)

2

y

x m

 



  Tập xác định: D�\ m . Đạo hàm:

2

2

y

x m





 ' 0

y   g(x) = mx2 + 2m2x = 0 (1) x �m Hàm số không có cực trị

 y’ không đổi dấu � phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

 Xét m ta có ' 0,0 y  x �m �m0 thỏa

 Xét m� : Yêu cầu bài toán 0 � ' m4 �0: vô nghiệm  �m 0

Vậy giá trị cần tìm là: m 0

Ví dụ 3 Cho hàm số 2

1

y

x



 Chứng minh với mọi m hàm số luôn luôn có cực trị và khoảng cách giữa các điểm cực trị là không đổi

 Tập xác định: D �\ 1 

 Đạo hàm:

2 2

2 '

1

y

x





 ta có

0 ' 0

y

�

�

Vậy ' 0y  luôn luôn có hai nghiệm phân biệt m � Hàm số luôn luôn có cực trị

 Tọa độ các điểm cực trị A0;m B , 2;4m

Bài tập sách giáo khoa fBài 1: Áp dụng qui tắc I tìm các điểm cực

trị a/ y = 2x3 + 3x2 −36x −10

KQ : yCĐ = y(- 3) = 71; yCT = y(2) = - 54

b/ y = x4 + 2x2 −3 KQ : yCT =y(0) = − 3

c/ y = x+1 /x

.KQ : yCĐ= y(−1) = − 2; yCT = y(1) = 2

d/ y = x3(1−x)2

KQ: yCĐ = y(3

5) =

108

3125; yCT = y(1) = 0 e/ y = x2 x 1.KQ : xCT =1

2và yCT = 32

Bài 2: Áp dụng qui tắc II tìm các điểm cực

trị của hàm số:

a/ y = x4 −2x2 + 1

KQ : yCĐ = y (0) = 1 ; yCT = y(1) = 0

b/ y = sin2x − x

 TXĐ D =  ;  ' 2 os2x-1y  c ;

6

 y’’= − 4sin2x

y’’(

6

  k ) = −2 3 <0, vậy y CĐ= y(

6

 k k��

y’’(

6

  k ) = 8 > 0, vậy yCT = y(

6

c/ y= sin x+cos x 2 sin( )

4



 TXĐ: D=R

4

 

� x k với k Z�

 " 2 sin( )

4



 yCĐ= y( 2

4

  l ) = 2, ��

l

Nếu k 2l 1;l Z� thì "y  2 0

 yCT= y(5 2

4

  l ) = − 2, ��

d/ y = x5 − x3 −2x +1

KQ : yCĐ = y(−1) = 3 ; yCT = y(1) = −1

Bài 3:Cm hàm số y = x không có đạo

hàm tại x =0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại đó Thấy được hàm số đã cho không có đạo hàm cấp 1 tại x = 0, tuy nhiên ta có:

y’ = f’(x) =

�

�

�

�

�

1 �u x >0 2

1

�u x < 0 2

n x n x

nên có bảng:

Suy ra được fCT = f(0) = 0 ( cũng là GTNN của hàm số đã cho)

Bài 4: CMR m hàm số y= x3 –mx2 −2x +1 luôn có một CĐ, một CT

y’ = 3x2−2mx−2,  =m2+6 >0,  m  hàm

số luôn có một cực đại và một cực tiểu

Bài 5 :Tìm a và b để các cực trị của hàm số

2 3 2

3

y a x ax x b đều là những số

dương và x0= 5

9

 là điểm cực đại

TXĐ : D = 

Nếu a = 0 hàm số trở thành y  9x b

hàm số không có cực trị

Nếu a 0� ta có y' 5 a x2 24ax9

;

5



 Nếu a < 0 ta có

Ta có xCĐ = 5

9

  � a 

Mặt khác, giá trị cực tiểu là số dương nên

yct= y( 9)

5

 = y(1) = 36

5

  b >0 36

5



� b

 Nếu a > 0 ta có

Theo giả thiết ta có 9 5 81

a

243

� �

ct

Đáp số

9

5

36

5

�  

�

�

� 

�

a

b

hoặc

81 25 400 243

� 

�

�

� 

�

a b

Bài 6: Xác định m để hàm số:

y = f(x) =

2 1



x m đạt cực đại tại x = 2.

 TXĐ D -= \  m

 y’ = f’(x) =

2



x m

− Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì f’(2) = 0  m2 + 4m + 3 = 0  ��  �  13

m m

a) m = −1 : y = 2 1

1

 



x và y’ =  

2 2

2 1





Ta có BBT

Suy ra hàm số không đạt cực đại tại x = 2

nên giá trị m = − 1 loại

b) m = − 3

y =

2 3 1

3



x và y’ =  

2 2

3



x

Ta có bảng:

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 2 Vậy giá trị m = − 3





y

x m YCBT

'(2) 0 ''(2) 0



�

� �



�

y y

2 2 3

(2 ) 2 0 (2 )

�

� �

� 

�

m m

3

 

� m

Vậy: m = − 3 thì hàm số đạt cực đại tại x = 2 Bài tự luyện

1 Dùng dấu hiệu I tìm các điểm cực trị :

a/ y = 1/3 x3 + 6x2+11x + 1 b/ y = x3

c/ y = x4 +3x24 d/ y = x3(4–x)2

e/ y = 3x + 3

x + 5 f/ y = x +

1

x

g/ y =

2 3 2

1



x h/ y = |x|(x + 1)

i/ y = x 9x j/ y =2 x22x2.

2 Dùng dấu hiệu II tìm các điểm cực trị :

a/ y = x4 4x2 + 4 b/ y = x +

cos2x c/ y = 1  cosx  cos2x

d/ y = sin2x với x[0;  ] e/ y = sinx +

cosx f/ y = x  sin2x +1

3 Tìm cực trị của các hàm số sau :

a) y = 2x3 − 9x2 + 12x + 3

b) y = −5x3 + 3x2 − 4x + 5

c) y = 3x4 − 4x3 − 24x2 + 48x − 3

d) f(x) = x - 3 + 9

x - 2 e) f(x) = x + 8x - 242 2

x - 2 f) y = 2x

x + 4; g)y = x 3 - x ; h) y=x2−2|x|+2

i*) y = sin2x − 3 cosx, x  [0; ]

j*) y = sin2x và y = 2sinx + cos2x x [0;]

4 * Tìm cực trị của các hàm số sau :

a)

2

1





x y

2 2

2 '

1







y x

CĐ (0 ; 0) ; CT(2 ; 4) b) y = sin2x ĐS: xCĐ = /2 + k; xCT = n c) osx + 1 os2x

2



2 (CD: x = k , CT: x = + k2 )

3



5 *Cmr y = 5 x không có đạo hàm nhưng4

vần có cực trị tại x = 0

6 Tìm các hệ số a; b ; c ; d để các hàm số :

a/ y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d đạt cực tiểu tai điểm x = 0, f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 2, f(2) = 4

b/ y = f(x) = x3 + ax2 + bx + d đạt cực trị bằng 4 tại x = 2 và đồ thị qua A(1 ; 0) c/ y = f(x) = 1/3 a2x3 + 2ax2  5x + b có các cực trị dương & xCĐ = 1/5

d/ y = f(x) = x3 + ax2 + bx + d đạt cực tiểu tại

điểm x = 1, f(1) = 3 và đồ thị của hàm số

cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2

7 Tìm m : yx3m3x2mx m 5 đạt cực tiểu tại x2 Đáp số: m0

8 Tìm m để hàm số y =

2

1

 



x : a/ Có

cực trị b/ Có 2 giá trị cực trị trái dấu

Tương tự với y= x 3  6x 2 + 3(m+2) x – m  6

9 Tìm p và q sao cho f(x) = x + p + q

x +1

đạt cực đại tại x = 2 và f(2) = 2

10 Xác định tham số m để hàm số y = x3 

3mx2 + (m2  1)x + 2 đạt cực đại tại x=2

(TNTHPT 2005) Kết quả : m=11

11 Định m để hàm số

y = f(x) = x3  3x2 + 3mx + 3m + 4

a) Không có cực trị Kết quả : m 1

b) Có cực đại và cực tiểu Kết quả : m <1

c) Có đồ thị (Cm) nhận A(0; 4) làm một điểm

cực trị (đạt cực trị 4 khi x = 0)

Hd: M(a;b) là điểm cực trị của (C): y =f(x)

khi và chỉ khi:

'( ) 0 ''( ) 0 ( )



�

�

�

f a

f a

ĐS m=0

d) Có cực đại và cực tiểu và O thuộc đường

thẳng d qua cực đại và cực tiểu

Kq : (d): y = 2(m  1)x + 4m + 4 và m= 1

12 Định m để y = f(x) =

2 4 1



x a) Có cực đại và cực tiểu Kết quả : m>3

b) Đạt cực trị tại x = 2 Kết quả : m = 4

c) Đạt cực tiểu khi x = –1 Kết quả : m = 7

13 CM y =

2 ( 21)  41



có cực trị với mọi m

14 Cho y = f(x) =1

3x

3–mx2+(m2–m+1)x+1

Có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu

tại x = 1 không? kq : Không.

15 Cho y = f(x) =1

3x

3–mx2+(m+2)x–1

Xác định m để hàm số:

a) Có cực trị Kq: m <–1 V m > 2

b) Có hai cực trị  (0;+) Kq m > 2

c) Có cực trị  (0;+) Kq m <–2 V m > 2

16 Biện luận theo m số cực trị của hàm số

y = f(x) =  x4 + 2mx2 2m+1

Hd và kq : y’=–4x(x2–m)

* m  0: 1 cực đại x = 0

* m > 0: 2 cực đại x= � m ,1 cực tiểu x = 0

17 Định m để (C): y = f(x) = 2

1

 



hai điểm cực trị nằm khác phía so với Ox

Kết quả : m > 1

4.

18 Cho y = x3 6x2 + 3(m + 2)x  m  6 Định m để hàm số có 2 cực trị và hai giá trị

cực trị cùng dấu Kết quả : 17

4

 < m < 2

19 CM y = 2x33(2m+1)x2 + 6m(m+1)x +1 luôn đạt cực trị tại hai điểm x1 và x2 với

x2–x1 là một hằng số

20 (CĐ 09)Cho y = x3  (2m  1)x2 + (2  m)x + 2 (1), với m là tham số thực

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2

2 Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có hoành độ dương