CỰC TRI HÀM SỐ

Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị... Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.. Với những giá trị

Nguyễn Văn Nho – Trường THPTTT Nguyễn Khuyến, TPHCM Vấn đề 6 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA

I Định nghĩa

Giả sử hàm số f x xác định trên tập   D   và x0D

1) x được gọi là một điểm cực đại của hàm số 0 f x nếu tồn tại một khoảng   a b chứa; 

điểm x sao cho 0 a b;  D và f x   f x 0 , x a b;   \ x0

Khi đó f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số  0 f x  

2) x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số 0 f x nếu tồn tại một khoảng   a b ; 

chứa điểm x sao cho 0 a b; D và f x  f x 0 , x a b;   \ x0

Khi đó, f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số  0 f x  

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị

II Điều kiện để hàm số có cực trị

1) Điều kiện cần

Giả sử hàm số f x  đạt cực trị tại điểm x0 Khi đó, nếu f x  có đạo hàm tại x0thì f x ' 0 0

2) Điều kiện đủ

Dấu hiệu 1 Giả sử hàm số f x liên tục trên khoảng   a b chứa điểm ;  x và có 0đạo hàm trên các khoảng a x; 0 và x b0;  Khi đó:

 Nếu f x'  đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểmx0thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

 Nếu f x'  đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểmx0thì hàm số đạt cực đại tại điểm0

x

Dấu hiệu 2 Giả sử hàm số f x có đạo hàm trên khoảng a b;  chứa điểm x0,

 0

f x  và f x có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 Khi đó:

 Nếu f '' x 0 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0

 Nếu f '' x 0 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0

III Các phương pháp tìm cực trị của hàm số

 Tính f '' x i

Nếu f '' x  i 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x i

Nếu f '' x  i 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x i

2 2

Vậy giá trị cần tìm là:  1 m1

Ví dụ 2 Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau đây không có cực trị

 đổi dấu khi x đi qua x 0 0

 Hàm số có cực trị  m3 không thỏa

m m

Yêu cầu bài toán   ' m4 0: vô nghiệm m0

Vậy giá trị cần tìm là: m 0

Ví dụ 3 Cho hàm số 2

2'

Vậy ' 0y  luôn luôn có hai nghiệm phân biệt m

 Hàm số luôn luôn có cực trị

Tọa độ các điểm cực trị A0;m B, 2; 4 m

Khoảng cách giữa hai điểm A, B là:

Ví dụ 4 Cho hàm số y x2 mx 1

Hàm số đạt cực đại tại x 2  y' 2  0

m m

21

x

y

x x

x

y

x x

  thoả yêu cầu bài toán

Vậy giá trị cần tìm là: m 3

m m

Vậy giá trị cần tìm là: m 3

Ví dụ 5 Cho hàm số y ax2 bx ab

 Điều kiện cần

Hàm số đạt cực trị tại x 0 và x 4

a b

 

2

2

04

42

x

y

x x

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x 0 và đạt cực tiểu tại x 4

Vậy giá trị cần tìm là: a2,b4

Ví dụ 6 Cho hàm số y x 3 2m1x2m2  3m2x4 Xác định m để đồ thị của hàm số có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Đà Nẵng, 2000)

Vậy giá trị cần tìm là: 1m2

Ví dụ 7 Cho hàm số y2x3ax212x13 (a là tham số) Với những giá trị nào của a thì đồ thị của hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu, các điểm này cách đều trục tung

(Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1997)

Vậy giá trị cần tìm là: a 0

Ví dụ 8 Cho hàm số 1 3 1 2

y x  x mx Định m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các điểm có hoành độ x m

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 1996)

12

Vậy giá trị cần tìm là: m  2

Ví dụ 9 Cho hàm số 3   2  2  2

Yêu cầu bài toán  y' 0 hay g x  3x26m1x 3m27m10 có hai

nghiệm phân biệt x x1, 2 thoả

13

Kết hợp (a) và (b) ta có giá trị cần tìm là: m 1

Ví dụ 10 Cho hàm số y x 3 3x22  C Hãy xác định tất cả các giá trị của a để điểmcực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C) ở về hai phía khác nhau của đường tròn (phía trongvà phía ngoài): x2y2 2ax 4ay5a21 0

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học An Ninh, 2000)

Ví dụ 12 Cho hàm số y x 3 3m1x2 2m27m2x 2m m 2

Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu đó

(Trích ĐTTS vào Học viện Kĩ thuật Mật mã, năm 1999)

Tương tự ta cũng có:

Tương tự ta cũng có: y2 2m 2x2m 2

Yêu cầu bài toán  y y1 2 0

Ví dụ 14 Cho hàm số y x 3 3x2m x m2 

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5

(Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001)

Giải

 Đồ thị hàm số có hai cực trị là A0;0 , B2; 4 

 Trung điểm của AB là: I1; 2 

T a có: I  

Vậy: m 0 thoả yêu cầu bài toán

Ví dụ 15 Cho hàm số y x 4 2mx22m m 4 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều

(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 1997)

Giải

Tập xác định: D 

Đạo hàm: y' 4 x3 4mx

 

2

0' 0

Vậy giá trị cần tìm là: m 33

Ví dụ 16 Cho hàm số y kx 4k1x2 1 2k Xác định các giá trị của tham số k để đồ thị của hàm số chỉ có một điểm cực trị

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, 1999)

Vậy giá trị cần tìm là: k 0 k1

Ví dụ 17 Cho hàm số 1 4 2 3

Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại  y' 0 có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm đó

 Phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x 0  m0

Vậy giá trị cần tìm là: m 0

Ví dụ 18 Cho hàm số 2 2

m m

Ví dụ 19 Cho hàm số  

 Tìm tất cả các giá trị của tham số

m thì hàm số đã cho có cực trị Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất

(Trích ĐTTS vào Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999)

hai nghiệm phân biệt x x1, 2 khác 1

Hàm số có cực đại và cực tiểu  y' 0 hay g x x2 2x 2m1 0 có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 khác 1

So với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là: 1 m 5 4 2 m 5 4 2

Ví dụ 21 Xác định p sao cho hàm số 2 3

Vậy giá trị cần tìm là: p 3.

Ví dụ 22 Cho hàm số y x2 m x2 2m2 5m 3

x   x1 0 x2 2m 

y’ + 0 - - 0 +

CĐ  

y

32

m m

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x y  2 0 bằng nhau.

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2001)

1) Tìm để hàm số có cực đại và cực tiểu

2) Giả sử y có giá trị cực đại, cực tiểu là yCĐ,y CT Chứng minh: 2 1

m

Vậy giá trị cần tìm là: 1

2

m   2) Gọi A x y 1; 1,B x y 2; 2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x x1, 2 là nghiệm của (1)

Theo định lí Vi-ét, ta có

(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Dược TPHCM, 2001)

(Trích ĐTTS vào TTĐT Cán bộ Y tế TPHCM, 2000)

2 2

Vậy đồ thịhàm số luôn có cực đại và cực tiểu

Toạ độ các điểm cực trị là: m1;m2m 2 , m 1; m2m2

m m

x y

m m

2 2

Toạ độ điểm A thoả hệ:

2 1

 Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu: m  2 m2

 Toạ độ các điểm cực trị thoả hệ:

   là phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu

Cách 3

 Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu: m  2 m2

 Gọi A x y 1; 1,B x y 2; 2 là các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x x1, 2 là nghiệm của (1)

Tương tự ta cũng có: y2 2x2m

Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y2x m

Ví dụ 29 Xác định tham số a để hàm số sau có cực đại:

Hàm số đạt cực đại x x 0  

 

0 0

Xét hàm số:  

2

0 0 0

Bài 2 1) Tìm m để hàm số y x 3 m3x2mx m 5

Đáp số: m 0.2) Cho hàm số ym25m x 36mx26x 6

Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x 1

Đáp số: m 1

3) Tìm m để hàm số 2  1 1

2

y x

Đáp số: y  23) Cho hàm số y2x3 3 2 a1x26a a 1 x1 Chứng minh rằng với mọi a, hàm số luôn luôn đạt cực trị tại hai điểm x x1, 2 với x2 x1 không phụ thuộc vào tham số a

   

1 2

1 2 1 2

02

Bài 6 1) Cho hàm số y2x33m1x26m 2x1

a) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu tại x x1, 2 và:

1 2 2

Đáp số: m 1.b) Tìm m để đường thẳng nối hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y x

Đáp số: m 2 m4.2) Cho hàm số y 2x2 3x m

2) Cho hàm số y x2 3mx 5

  Định m để đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại một điểm có

Đáp số:  1 m1.3) Tìm a và b để các cực trị của hàm số 5 2 3 2

Bài 11 1) Cho hàm số y x 3 3mx2m22m 3x4 Xác định tất cả các giá trị của

m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ở về hai phía của trục tung

Đáp số:  3 m1.2) Cho hàm số 2 2 2 2

a) Chứng minh rằng hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m, đồng thời các

điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía đối với trục hoành

2) Cho hàm số 2 1

Đáp số: m 0 m1.3) Cho hàm số y x 4 2m x2 21 Định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực

Đáp số: m 6 3.4) Cho hàm số yx42m2x2 2m 3 Tìm m để hàm số chỉ có cực đại mà không

Đáp số: m 2

Bài 14 1) Cho hàm số 3 2 3

y x  ax  a Tìm a để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị

y x  mx  x m  Chứng minh rằng với mọi m hàm số đã cho luônluôn có cực đại, cực tiểu Hãy xác định m để khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực

Đáp số: m 0

Bài 16 Xác định tham số k để hàm số sau có cực tiểu:

y2x k x 2 1

Đáp số: k 2

Câu 309 Cho hàm số y x 3 3x25 Khẳng định nào đúng?

A y đạt cực đại tại x 0, cực tiểu tại x 2;

B y chỉ có một cực đại tại x 0;

C y đạt cực tiểu tại x 0, cực đại tại x 2;

3 2

B m 34.

C Tất cả các câu trả lời khác đều sai

Câu 18 Nếu hàm số y 2x3 3 ( 2a 1 )x2  6a(a 1 )x 1 đạt cực đại tại x2, đạt cực tiểu tại x1 thì giá trị của x 1 x2 là:

A 1

B 2

C 2 a 1

D Tất cả các câu trả lời khác đều sai

Câu 19* Giá trị của m để hàm số

A  1 m 1

B m 3

C  2 m 2

D Tất cả các câu trả lời khác đều sai

Câu 21 Điểm cực trị của đồ thị hàm số yf x x m

3 ) (

D Tất cả các câu trả lời khác đều sai

Câu 22 Điểm cực trị M của đồ thị hàm số  ( ) ln  1

x

x x

C Không có điểm cực trị

D Tất cả các câu trả lời khác đều sai

Câu 23* Hàm số 2

1

x y x

D Tất cả các câu trả lời khác đều sai

Câu 24* Hàm số yf(x)  |x|3  3 |x|2  9 có:

A Một cực tiểu

B Một cực tiểu và một cực đại

C Một cực đại

D Tất cả các câu trả lời khác đều sai

Câu 25* Hàm số yf(x)  |x|3  3 |x|2  4 có:

A Hai cực tiểu

B Hai cực đại.

C Hai cực tiểu và hai cực đại

D Tất cả các câu trả lời khác đều sai

Câu 26* Hàm số yf(x)  |x 1 | (x2  2x 2 ) có:

A Ba cực trị

B Hai cực trị

C Một cực trị

D Tất cả các câu trả lời khác đều sai

Câu 27 Giá trị cực đại của hàm số

2

) 1

D Tất cả các câu trả lời khác đều sai

Câu 31 Giá trị tuyệt đối của hiệu giữa giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số

D Tất cả các câu trả lời khác đều sai

Câu 32 Nếu đồ thị của hàm số

2

4 ) 6 (

y đi qua điểm ( 1 ; 1 ) thì giá trị của

m là:

A 1

B 2

C 3

D Tất cả các câu trả lời khác đều sai

Câu 33 Hàm số

1 1

y có giá trị cực tiểu yct và giá trị cực đại ycđ Khi đó,