CỰC TRỊ HÀM BẬC IIII.Tóm tắt lý thuyết: 1.
Trang 1CỰC TRỊ HÀM BẬC III
I.Tóm tắt lý thuyết:
1 Hàm số y= f(x) =ax3 +bx2 +cx+d(a≠ 0)
2 Đạo hàm : y' =f' (x) = 3ax2 + 2bx+c
3 Điều kiện tồn tại cực trị
Hàm số y= f (x) có cực trị ⇔ y= f (x) có cực đại và cực tiểu ⇔f' (x) = 0có hai nghiệm phân biệt⇔ ∆ ' =b2 − 3ac 0
4 Kỹ năng tính nhanh cực trị:
Bớc1: Thực hiện phép chia f (x) cho f ' x( ) ta có:
− +
− +
=
a
bc d x a
b c x
f a
b x x
f
9 3
3
2 ) ( ' 9 3
1 )
(
Tức là: f(x) =q(x).f' (x) +r(x)
Bớc 2: Do
=
=
0 )2 ('
0 )1
('
x f
x
f
nên
− +
−
=
=
=
− +
−
=
=
=
) 9 ( 2 ) 3
( 3
2 ) 2 ( ) 2 ( 2
) 9 ( 1 ) 3
( 3
2 )1 ( )1 ( 1
a
bc d x a
b c x
r x f y
a
bc d x a
b c x
r x f y
Hệ quả: Đờng thẳng đi qua CĐ,CT có phơng trình là:
9 ( ) 3
( 3
2
a
bc d a
b c
II.Các dạng bài tập:
Dạng 1: Sự tồn tại và vị trí của các điểm cực trị:
Bài tập:
3
Giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔phơng trình y' (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt
có hai nghiệm phânbiệt⇔ ∆ ' =m2 −m− 6 > 0 ⇔ (m< − 2 ) ∪ (m> 3 )
Bài 2:Tìm m để hàm số y= (m+ 2 )x3 + 3x2 +mx− 5 có cực đại và cực tiểu
Giải:
Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔phơng trình y' (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ 3 (m+ 2 )x2 + 6x+m= 0 có hai nghiệm phân biệt
Trang 23 032
2
096
3'
02
2
⇔
mm
m
mm
m
3
thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2
Giải:
yêu cầu bài toán⇔y' (x) =x2 + 2 (m− 2 )x+ ( 5m+ 4 ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện x1<-1<x2⇔ 1 y' ( − 1 ) = 3m+ 9 < 0 ⇔m< − 3
3
m m x m x
m x
y= + + + + + − đạt cực trị tại x1,x2 thỏa mãn điều kiện -1<x1<<x2
Giải:
yêu cầu bài toán⇔y' (x) =x2 + 2 (m+ 3 )x+ 4 (m+ 3 ) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2
thỏa mãn điều kiện -1<x1<x2 3
2
7 )3(
1
07 2
03 2
2 1
0)1(' 1
⇔
⇔
m m
mm S f
3
x=2
Giải:
*Điều kiện cần:
Giả sử hàm số đạt cực tiểu tại x=-2 suy ra f' ( − 2 ) = 0 ta có
1 3 ) 2 (
2
)
(
f suy ra −m2 + 4m− 3 = 0 ⇔m= 1 ;m= 3
*Điều kiện đủ:
Nếu m=3 thì f '' (x) = 2x+ 16 ⇒ f '' ( − 2 ) = 12 > 0 ⇒x CT = − 2
Nếu m=1 thì f '' (x) = 2x+ 4 ⇒ f '' ( − 2 ) = 0 nhng lúc đó ta có f' (x) = (x+ 2 ) 2 ≥ 0 ∀x⇒
Hàm số không có cực trị
*Kết luận:m=3
Dạng 2: Phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu
Trang 3Bài 1: Tìm cực trị và viết phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại,cực tiểu của hàm
số f(x) =x3 − 3x2 − 6x+ 8
Giải:
.Ta có f' (x) = 3 (x2 − 2x− 2 )
+
=
−
=
⇔
=
−
−
=
⇔
=
3 1 2
3 1 1 0 2 2 ) ( 0 )
x
x x
x x g x f
suy ra hàm số y= f (x)đạt cực trị tại x1,x2
.Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta có f(x) =g(x)(x− 1 ) − 6 (x− 1 ) do
=
=
0
)2
(
0
)1
(
x
g
x
g
nên
−
=
−
−
=
=
=
−
−
=
=
3 6 )1 2 (6 )2 (
2
3 6 )1 1 (6 )1 (
1
x x
f
y
x x
f
y
⇒
⇒−=
36)2 (
36)1(
036)
2(''
036
)1(''
)1(6)
(''
xff
xff xf
xf
xxf
cd ct
.Phơng trình đờng thẳng đi qua CĐ,CT là y= − 6 (x− 1 )
Bài 2:Tìm m để hàm số f(x) = 2x3 + 3 (m− 1 )x2 + 6 (m− 2 )x− 1 có đờng thẳngđi qua CĐ,CT song song với đờng thẳng y=ax+b
Giải:
Đạo hàm f' (x) = 6 (x2 + (m− 1 )x+m− 2 )
f' (x) = 0 ⇔g(x) =x2 + (m− 1 )x+m− 2 = 0
hàm số có CĐ,CT⇔f' (x) = 0hayg(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt
3 0
) 3
( − 2 > ⇔ ≠
=
∆
Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta có
) 3 3 ( ) 3 ( )]
1 ( 2
)[
(
)
(x =g x x+ m− − m− 2x− m2 − m+
f
Với m≠ 3 thì g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2
Trang 4do
=
=
0
)2
(
0
)1
(
x
g
x
g
nên
+
−
−
−
−=
=
+
−
−
−
−=
=
)3 3 ( 2 )3 ( )2 ( 2
)3 3 ( 1 )3 ( )1 (
1
2 2
2 2
m m x m x
f y
m m x m x
f y
suy ra đờng thẳng qua CĐ,CT là(∆):y= − (m− 3 ) 2x− (m2 − 3m+ 3 )
ta có (∆) song song với đờng
am
a am
a am
am am
m baxy
3
0 3
0 )3(
0,3 )3(
3
22
vậy nếu a≥ 0 thì không tồn tại m;nếu a<0 thì m= 3 ± −a
Bài 3: Tìm m để hàm số f(x) = 2x3 + 3 (m− 1 )x2 + 6m( 1 − 2m)x có cực đại và cực tiểu nằm trên đờng thẳng y= − 4x
Giải:
Đạo hàm f' (x) = 6 (x2 + (m− 1 )x+m( 1 − 2m))
f' (x) = 0 ⇔g(x) =x2 + (m− 1 )x+m( 1 − 2m) = 0
hàm số có CĐ,CT⇔f' (x) = 0hayg(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt
3
1 0
) 1 3 ( ) 2 1 ( 4 ) 1
=
∆
.Thực hiện phép chia f (x) cho g (x) ta có
) 2 1 )(
1 ( )
1 3 ( )]
1 ( 2
)[
(
)
Với
3
1
≠
m thì g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2
do
=
=
0
)2
(
0
)1
(
x
g
x
g
nên
−
− +
−
−
=
=
−
− +
−
−
=
=
) 2 1 )(
1 ( 2 )1 3(
)2 ( 2
) 2 1 )(
1 ( 1 )1 3(
)1 (
1
2
2
m m
m x m x
f y
m m
m x m x
f y
suy ra đờng thẳng qua CĐ,CT là(∆):y= − ( 3m− 1 ) 2x+m(m− 1 )( 1 − 2m)
Trang 5Ta có CĐ,CT nằm trên đờng thẳng 1
2
1
;1;0
21 3 0)2 1)(1(
4)1
3(
)4 ()(
4
2
=⇔
∈
=−
⇔
=−
−
−=−
−
⇔−=
≡∆⇔
m
m m mm
m xy xy
Bài 4: Tìm m để hàm số f(x) =x3 +mx2 + 7x+ 3 có đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu vuông góc với đờng thẳng y= 3x− 7
Giải:
Hàm số có CĐ,CT⇔f' (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt⇔ ∆ 'g=m2 − 21 > 0 ⇔m > 21
.Thực hiện phép chia f (x) cho f ' x( ) ta có
9
7 3 ] 21 [ 9
2 ] 9
1 3
1 )[
(
'
)
x m m
x x
f
x
Với m > 21thì f' (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2
do
=
=
0 )2
('
0 )1
('
x
f
x
f
nên
− +
−
=
=
− +
−
=
=
9
7 3 2 ) 21 ( 9
2 ) 2 ( 2
9
7 3 1 ) 21 ( 9
2 )1 ( 1
2
2
m x
m x
f y
m x
m x
f y
suy ra đờng thẳng qua CĐ,CT là(∆):
9
7 3 ) 21 ( 9
x m
ta có (∆) vuông góc với đờng thẳng y= 3x− 7
−
=
−
>
⇔
1 3) 21 ( 9 2
21
2
m m
Dạng 3: sử dụng định lý viét cho các điểm cực trị
3
2 )
f
1.CMR:hàm số luôn có cực đại và cực tiểu
2.Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1,x2.CMR:x12 +x22 ≤ 18
Giải:
1.Xét phơng trình: f' (x) = 2x3 + 2 (cosa− 3 sina)x− 8 ( 1 + cos 2a) = 0
Ta có ' (cos 3 sin ) 2 16 ( 1 cos 2 )
a a
=
∆
∆ ' = (cosa− 3 sina) 2 + 32 cos 2 a≥ 0 ∀a
Trang 6Nếu ∆ ' = 0 thì
=
=
⇔
=
−
=
0 sin
0
cos 0 sin3 cos
0
cos
a
a a
a
a
⇒
=
⇒
= +
=
⇒ 0 cos 2a sin 2a 1 0 1 vôlý
Từ đó suy ra ∆ ' > 0 ∀a⇔f' (x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 và hàm số đạt cực trị tại x1,x2
2.Theo định lý Viét ta có
+
−=
−
=
+
) 2 cos 1(
4 2 1
cos sin
3 2
1
a x
x
a a x
x
Suy ra x12 +x22 =(x1+x2)2 -2x1x2=
a a
a a
a a
sin
3
Khi đó BĐT:x12 +x22 ≤ 18 ⇔ 9 sin 2 a− 6 sinacosa+ 17 cos 2 a ≤ 18 (sin 2 a+ cos 2 a) ⇔
2
) cos
sin
3
(
0 ≤ a+ a luôn đúng
Bài 2: Cho f x x (m 1 )x (m 4m 2 )x
3
2 )
1.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu
2.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1
3.Gọi các điểm cực trị là x1,x2.tìm max của A= x1x2 − 2 (x1 +x2 )
Giải:
Đạo hàm f' (x) = 2x2 + 2 (m+ 1 )x+m2 + 4m+ 3
1.-5<m<-1
Trang 72.hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1⇔f' (x) = 0 có hai nghiệm phân biệt
3
)23 ()2 3(
1 5
)23 ,23 (
2 1
0)1(' 1 0'
0)1('.
2
21 1
21
1
+−−∈
⇔
−<
+−≥∪
−−≤
−<<−
+−−
−∈
⇔
<
>
>∆
<
⇔
<≤
<<
m m
m m m m
S f
f
xx xx
3.Theo định lý viét ta có
+ +
=
+
−
= +
)3 4
( 2
1 2 1
)1 ( 2 1
2 m m x
x
m x
x
2
1 ] ) 4 ( 9 [ 2
1 ) 1 ( 2 2
3 4 )
2 1 ( 2 2
x
Với m=-4∈ ( − 5 ; − 1 ) thì Max A=
2 9