SKKN - bai toan cuc tri

Trong chơng trình toán THCS các bài toán tìm GTLN, GTNN chiếm một vịtrí quan trọng.. Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc các tài liệu, nghiên cứu thực tếgiảng dạy của giáo viên, cá

Đặt vấn đề

Là giáo viên dạy toán trong các trờng THCS tôi nhận thấy phần đông các emhọc yếu môn toán vì các lý do sau :

1/ Không hiểu kiến thức và không nắm vững kiến thức

2/ Lý do quan trọng hơn là : Các em cha biết cách làm toán mà ta gọi là

ph-ơng pháp, nhất là các phph-ơng pháp đặc trng cho từng dạng, cho từng loại toán.Muốnchứng minh cho một đẳng thức, một bất đẳng thức thì phải làm sao ? Tìm giá trị lớnnhất, nhỏ nhất của một biểu thức hàm số thì phải làm thế nào? Các em khôngnắm chắc

Vì vậy làm thế nào để giúp HS hiểu rõ bản chất của các loại toán, vân dụngkiến thức vào để giải hay cụ thể hơn là phơng pháp giải các loại toán thế nào Giảiquyết đợc vấn đề đó không phải dễ khi mà phân phối chơng trình môn toán THCSkhông dành một tiết nào cho giáo viên dạy một cách hệ thống các phơng pháp giảicác bài toán một cách cụ thể mà chúng chỉ xuất hiện đơn lẻ

Trong chơng trình toán THCS các bài toán tìm GTLN, GTNN chiếm một vịtrí quan trọng Các bài toán này rất phong phú, nó đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức,vân dụng một cách hợp lý, khá độc đáo và nhiều cách giải Vì vậy các bài toán tìmGTLN, GTNN gọi chung là “Những bài toán cức trị” theo tôi là dạng toán rất hay,

nó giúp HS phát triển trí thông minh, sáng tạo, khả năng t duy toán học cao

Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc các tài liệu, nghiên cứu thực tếgiảng dạy của giáo viên, cách học tập của HS, qua những năm dạy toán ở trờngTHCS, kết hợp với vốn kiến thức sau những năm đợc đào tạo tại trờng S phạm tôi đãrút ra đợc một số bài học kinh nghiệm và mạnh dạn lấy đề tài nghiên cứu “Bài toáncực trị và phơng pháp giải”

Nội dung đề tài

I/ Yêu cầu :

1/ Với giáo viên :

- Xây dựng cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị và phơng pháp giải cho từngdạng toán

- Phân loại các bài tập và hệ thống từ dễ đến khó

- Rèn luyện nâng cao khả năng t duy sáng tạo qua việc tìm tòi chọn lọc tham khảokiến thức trong khi nghiên cứu

- Trong quá trình giảng dạy, phải chú ý tìm ra những vớng mắc, sai sót mà HS haymắc phải khi giải các bài tập

2/ Đối với HS :

- Hiểu đợc bản chất các loại toán

- Nhận dạng từng loại bài tập, vận dụng phơng pháp hợp lý của từng dạng vào giảitoán

- Phát huy khả năng t duy sáng tạo trong khi giải, biết suy luận từ bài dễ đến bàikhó và có cách giải hay hơn

II/ Nội dung cơ bản :

* Khái niệm về toán cực trị

Trong thực tế có những bài toán yêu cầu ta đi tìm cái “nhất” trong những mốiquan hệ đã biết Đó là việc tìm GTLN (cực đại) hay GTNN (cực tiểu) của một đại l-ợng và gọi chung là “những bài toán cực trị”

Nh vậy để tìm GTLN của biểu thức A ta cần :

- Chứng minh rằng A ≤ k ∀ giá trị của biến và với k là hằng số

- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra ∀ giá trị nào đó của biến

Ta ký hiệu Min A là GTNN của A, Max A là GTLN của A

* Chú ý : 1/ Nếu chỉ chứng minh đợc A≥ k hoặc A≤ k thì cha đủ để kết luận về

GTNN hoặc GTLN của biểu thức

Ví dụ :

Tìm GTNN của biểu thức : A = (x – 1)2 + (x – 3)2

Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức là một vấn đề không đơn giản Nhất là

đối với học sinh THCS khi mà các em cha tiếp cận một cách đầy đủ các kiến thứccơ bản để giải loại toán này Trong khuôn khổ đề tài nhỏ tôi chỉ đề cập đến một sốloại toán cực trị thờng gặp ở chơng trình THCS

Phân dạng bài tập và ví dụ minh hoạ

A/ với các đa thức nguyên :

I/ Phơng pháp tìm cự trị dựa vào tính chất của luỹ thừa bậc hai

1/ Lý thuyết áp dụng, các ví dụ :

A2≥ 0 ∀ x (x là biến của biểu thức A)

§ 4

8017 x

4

8015 D

Min

VËy

§ 4

8017 x

0 2

1 4

khi D

Min

§ x 2004

x : cã

-Ta

2004 - x

2004 x

2004 -

x

2004 2004

x - 2004) -

x 2004 x

1 4

8015 2

1

4

8015 4

1 (

2 2

2

§ x 2004

8015 2

1 2

5 - 5 - x hoÆc 2

5 5 -

2

5 - 5 - x hoÆc 2

5 5 -

ơng đều có thể giải theo phơng pháp sử dụng tính chất của luỹ thừa bậc hai.

II Phơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất trị tuyệt đối :

1/ Lý thuyết áp dụng, các ví dụ :

4 4x x x

B = 2 + 2 − +

2 x 2 x x 2 x)

(2

-4 4x x x

B

2 2

2 2

=

− +

≥

− +

= +

=

+

− +

=

x

( 2

1 x 2(1 x

C = + + + + + + +

) 1

( 2

1 x 2(1 x

1 2

1 1

2 2

+ +

− + + + + + +

=

+

− + + + + +

=

1 x x

1 x 2 1 x

1 x x

1 x 2 2 x

0

x 1 1

x 1

x + + 1 )( 1 − + ) ≥ 0 ⇔ − ≤ ≤

(

1

a 8 15 a 1

a 4 -

a

1

a 815a1

a 4 -

a

242

42

)4)

2

164

2 2

=+

−

=

1

a 1

a 1

a 1

a (

D

1

a 81 -a1

a 4 - -

x

F = − 3992 + 1996 2 + +

) 1 )

+ + +

= x 3 2(1 x 3 x 3 2(1 x 3

G

4

1 4

11

1

)1(

)1

=+

−+++

≥+

−+++

=

−++

++

=

1x1

x1

x1

x

1x1

x

0 x 1 hay 1

x 1

x + + 1 )( 1 − + ) ≥ 0 − ≤ ≤ (

≥

1-a1

-a 1a

1/ Lý thuyết áp dụng, các ví dụ :

Bất đẳng thức Cauchy :

Cho n các số không âm a1, a2, , an Ta luôn có :

Đẳng thức xảy ra khi a1= a2 = = an

Chú ý :

Từ đó ta suy ra hai mệnh đề cho ta GTLN và GTNN của tổng sau đây :

a/ Nếu a1+ a2 + + an là hằng số ⇒ (a1.a2 an)Max

1 n 2

1 a a a

n

a

a a

≥ + + +

0 x với x

3

3 2

6 3

25 3

6 3

25 3

3

25 3

9 3

25 9 3

16

+

+ +

−

≥ +

+ + + +

−

= +

−

= +

x x x

x

x

x

x x

x x

25 3

+

= +

3y) y)(2x x).3(4

.2(3 6

3

3y) 3y)(2x 2x)(12

Cho a, b là hai số dơng, thoả mãn 5a + 3b = 12

Tìm GTNN của biểu thức : D = a.b

Ghi nhớ : Qua các ví dụ áp dụng BĐT Cauchy ta thấy bất đẳng thức

Cauchy chỉ áp dụng đợc với hai số dơng Ngoài điều kiện đó ta không thể áp dụng

y

b x a

1

= +

y

b x

y

bx x

ay

y

bx x

ay

2

≥ +

b

a y

x y

bx x

ay ab 2 b a

ab 2 b a

MinC

0 y x, C

=

⇔

=

⇔ +

+

+ +

12 D Max : Vậy

5

12 D 15D 36 15ab 6

5a.3b 2

E 6a.4b

2

x 1

x + −

0 x với x

4 4x

=

Bµi 3 :

Cho hai sè d¬ng x, y tho¶ m·n x + y = xy T×m GTNN cña biÓu thøc K = x + y Bµi 4 :

Cho hai sè x, y, z tho¶ m·n xy + yz + xz = 100.T×m GTNN cña biÓu thøc I = xyz.

IV Ph¬ng ph¸p t×m cùc trÞ theo B§T Bunhiacopxki :

1/ Lý thuyÕt ¸p dông vµ c¸c vÝ dô:

B§T Bunhiacopxki : Cho n cÆp sè bÊt kú a1, a2, , an , b1, b2, , bn ta cã B§T(a1 b1 + a2 b1 + + an bn)2 ≤ (a2 1 + a 2 2 + + a2 n)( b2 1+ b2 2+ + b2 n)

a b a

n n 2

2 1

25

25

1 x y 1 y

+ +

≤

⇔

+ + +

≤ + + +

2 2

; 2 2

2 2 2

=

+

≤

≤ +

−

⇒ +

≤

⇒

+

≤ + +

≤

−

⇒

N Min

N Max VËy

N 2

2

N

2 2 2 y x

2

3

16 z y

⇒

z y x khi

b a b a

y x b

y a x

+

= +

=

⇒

+

= +

.

y

b y x

a x

y

b x

a y x y

b x

a y

+

≥ +

= + +

( a b) y b( a b)

a x b a

+

= +

1 t t 4

1 y y 4

1 x

x  − +  − +  − ≤

( ) 1 t z y x t) z

z

y (x t z y

x 2 2 2 2

2

1 4

1 + + + ≤ +

+

2

1 4

1 4

1

≤ + + + +

+

+ y z t).2 - (x y z t)

(x

2 1

1 x

a

= +

y b

Vậy Max S = 2 đạt đợc khi x = y = z = t =

I Đối với các biểu thức phân có tập xác định D ⊂ R

Để tìm cực trị của các biểu thức có tập xác định D ⊂ R ta thờng sử dụng các

ph-ơng pháp đã nêu ở phần các biểu thức nguyên nh áp dụng BĐT Cauchy, tính chấtcủa luỹ thừa bậc hai

x - 1

2 +

=

x

x - x 1

x - 1

x 2x -

= +2 +

x x - 1 x - 1

2x x

x - 1

x - 1

2x

2 3

2 2

3 +

x

1 y

x - 1

x - 1 2x

x

b) (x a) (x

A= + +

x

ab x b a x

bx a ax x x

b) (x a)

2 +

=

2 y x

; 1 y x, Biết 1 y 1 x

22

3+

=

Tìm GTNN của biểu thức : với x ≥ 0

Bài 1 : Tìm GTNN của các biểu thức sau :

II Đối với các biểu thức phân có tập xác định là R Để tìm GTLN hay GTNN của các biểu thức dạng này ta áp dụng tính chất sau :

1/ Lý thuyết áp dụng và các ví dụ :

⇔ - 3y2 + 10y +5 ≥ 0

⇒ Max y = ; ⇒ Min y =

4

− + + +

=

+

+ + +

+

= +

+

=

2 x

5 2 x

2 x

5 2) 4(x - 4) 4x (x 2 x

1) (x 2 2

B

4 4

+ +

2 x

5 2) (x B

4

− 5

0xVớiA

x

4 x 5x2

>

= + 4 +

0xVớiB

1 - x

x2

>

=

1x0VớiC

x

5 x - 1

1 - x

2 2

1 x x 2

1 x x 2

2

y

3 3

40 5 y 40 -

5 ≤ ≤ +

⇔

3 40

5 +

3 40 - 5

là toán “Cực trị hình học” Nội dung của nó thờng đợc diễn đạt dới dạng sau :

Tìm GTLN, GTNN của một đại lợng hình học nào đó (Độ dài đoạn thẳng,bán kính đờng tròn, chu vi, diện tích một hình nào đó ) Yêu cầu phải tìm các giátrị h1, h2 thoả mãn BĐT

h1 ≤ h ≤ h2

Đồng thời chỉ rõ vị trí hình học của các đại lợng biến thiên đang xét để tại đó h đạtGTLN h1, hay GTNN h2 Đối với nhiều bài toán cụ thể chỉ cần tìm một trong haigiá trị này Để giải các bài toán tìm cực trị thông thờng ta sử dụng các phơng phápsau :

- Quan hệ giữa đờng vuông góc với đờng xiên, giữa đờng xiên và hình chiếu

- Bất đẳng thức và cạnh trong tam giác, về cạnh và góc trong tam giác

1 x

1 x x

=

2

3 A 2

1 2

3

1 x

1 x x

=

1 x

1 x x

2 +

+

−

=

1 x x

1 x x

2

2 B

+ +

+ +

=

2 1 x x

3 x

2 C

+

−

−

- Các BĐT trong đờng tròn, đờng kính và dây cung, dây cung và khoảng cách đếntâm.

- Vận dụng các kiến thức đại số, các phơng pháp ở phần cực trị, đặc biệt là haiBĐT Cauchy và Bunhiacopxki

Phân dạng bài tập và ví dụ minh hoạ

I Tìm cực trị dựa vào mối quan hệ giữa đờng vuông góc với đờng xiên:

KH

A

C

B

Trong ∆ AMC có : AC2 = AM2 + MC2 hay d1 = h2 + x2 ≥ 2xh

(trong đó h = AM là độ dài đờng cao của hình thang)

đ-Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác ABDC là nhỏ nhất

Giải :

Ta có tứ giác ABDC là hình thang vuông

Khi M thay đổi thì AB không thay đổi

⇒ SABDC nhỏ nhất ⇔ AC + BD nhỏ nhất

ABDC

⇒

EF 2 1

AH EI

Ta có EF = IE + IF ≥ AH = cocst (BĐT về cạnh trong tam giác)

⇒ EF nhỏ nhất ⇔ EF = AH khi đó A, I, H thẳng hàng nghĩa là I là trung điểm của

AH ; EI trở thành đờng trung tuyến của AH và ⇒ HE ⊥ AB

⇒ HF ⊥ AC Vậy HE ⊥ AB ; HF ⊥ AC thì EF nhỏ nhất

Ví dụ 2 :

Cho đờng tròn tâm (O) và dây AB Gọi C, D

là hai điểm trên AB sao cho AC = CD = DB, các

bán kính qua C và D cắt đờng tròn tại M và N

⇒ ∠AOC < ∠COD (2)

A

B C

H

EF IH

EF IA

2 1 2 1

M

Từ (1) và (2) ⇒ ∠AOC = ∠ BOD < ∠COD.

Ví dụ 3 :

Cho góc nhọn xOy Điểm A nằm trong góc đó, trên Ox, Oy lần lợt lấy hai điểm B

và C sao cho chu vi ∆ ABC nhỏ nhất

Giải :

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua Ox

A” là điểm đối xứng của A qua Oy

a) Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính

AB Với dây CD bất kì ta luôn có CD < AB

b) Trong đờng tròn tâm (O) : AB, CD là

hai dây cung, I và K tơng ứng là hai trung

điểm của hai dây đó ta có : AB ≥ CD ⇔ OI ≤ OK

2/ Các ví dụ :

Ví dụ 1 :

A là điểm cố định trong đờng tròn (O,R) (A ≢ O) và dây MN quay quanh A Xác

định vị trí của dây cung MN để độ dài MN là lớn nhất, nhỏ nhất ?

B

x

y

MN lớn nhất ⇔ OI nhỏ nhất ⇔ O ≡ I khi đó MN là đờng kính đi qua A.

Ví dụ 2 :

Hai đờng tròn tâm(O1) và (O2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Một cáttuyến thay đổi đi qua A cắt đờng tròn tâm(O1) ở C, cắt đờng tròn tâm(O2) ở D saocho A nằm trong đoạn CD Tìm vị trí cát tuyến CD sao cho chu vi tam giác BCDnhận giá trị lớn nhất ?

Giải :

Ta có : ∠ACB = AnB (góc nội tiếp chắn cung AnB)

∠ADB = AmB

(góc nội tiếp chắn cung AmB)

Mà AmB , AnB là hai cung không đổi

⇒ ∠ACB và ∠ADB không đổi

Vậy ∆BCD khi chuyển động sẽ luôn

Cho n các số không âm a1, a2, , an Ta luôn có :

Đẳng thức xảy ra khi a1= a2 = = an

+) BĐT Bunhiacopxki : Cho n cặp số bất kỳ a1, a2, , an , b1, b2, , bn ta có BĐT(a1 b1 + a2 b1 + + an bn)2 ≤ (a2 1 + a 2 2 + + a2 n)( b2 1+ b2 2+ + b2 n)

Dấu “=” xảy ra ⇔

2/ Các ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1:

Cho góc xOy khác góc bẹt và một điểm M thuộc miền trong của góc Dựng đờng

thẳng d đi qua M sao cho d tạo với hai cạnh của góc một tam giác có diện nhỏ nhất

O1 m n

2 1 2

1

n

n 2

1 n 2

1 a a a

n

a

a a

≥ + + +

b

a b

a b a

n n 2

2 1

b

1 3

2

Cho tam giác ABC có : BC = a, AC = b, AB = c Tìm điểm M nằm bên trong tam

giác ABC sao cho có giá trị lớn nhất

Trong đó x, y, z theo thứ tự là khoảng cách từ điểm

2 1

b a

b S

; b a

=

( )2 ( )2

2 2 2

b a

ab 2 b

a

b a

b a

b b

a

a S

2 2

+ +

b a ab 4 b a ab 2 b

a

ab 2

b a S b a

ab 2 S

2 2

2 3

2

3

S S

≥

+

⇔

≥ +

b x

b by x

a ax z

c y

b x a

c b a z

c y

b x

) ( + +

c y

Vậy đạt giá trị nhỏ nhất ⇔

Tam giác CMN cân tại C có CO là phân giác góc C nên CO ⊥ MN Nghĩa là

đờng thẳng MN ⊥ OC tại C thì tam giác MCN có diện tích nhỏ nhất

Ví dụ 4:

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đờng tròn tâm O bán kính R Kẻ các tiếp tuyến của

đờng tròn tâm O song song với các cạnh của tam giác Các tiếp tuyến này tạo vớicạnh của tam giác ba tam giác nhỏ có diện tích là S1, S2, S3 Gọi S là diện

tích tam giác ABC, tìm giá trị nhỏ nhất của tỷ số:

Giải:

Ta thấy tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC

Gọi h là chiều cao của tam giác ABC

h1 là chiều cao của tam giác AMN thì :

ta có: h1 = h – 2R

y

c y

b

x

a = = xa =yb =zc ≥(a+b2S+c)

r CN CM

b by x

CM r

CN CM

=

r S

S ≥ 2

S

SS

S1+ 2+ 3

C B

M A

O

N

C B

M A

O

H

N S

P

Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB Ngời ta kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB

hai tia Ax, By vuông góc với AB, trên tia Ax lấy I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia

By tại K Hãy xác định vị trí của C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớnnhất, biết AI.BK = AC.CB ; A, B, I cố định

Bài 2:

Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = 10 cm, tam giác DEF vuôngcân ở D nội tiếp tam giác ABC (D ∊ AB ; E ∊ BC ; F ∊ AC) Xác định vị trí của D

để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất

* Chú ý khi giải bài toán cực trị :

1/ Khi giải các bài toán cực trị ta thờng phải biến đổi tơng đơng điều kiện của

đại lợng này thành điều kiện cực trị của đại lợng khác.

2/ Nhiều bài toán cực trị có liên quan đến bài toán tìm tập hợp điểm, trong tập hợp hình có chung một tính chất khi ta cố định một số yếu tố không đỏi của hình,

pR ah

S p

a S

S 1 = −1  ⇔ 1 = 1 −

2

p

c S

S p

b S

3

1 + 2 + = 3− + + ⇔ + 2 + =

S

SS

SS

Sp

cbaS

SS

hay

3 1 3

1 3

1

1 1 1 1

3 2 1

3 2 1 3

2 1

3 2 1 3 2

1 3 2 1

S

S S

S S S S

S S S

S

S S

S S

S S

S S

S S

S S

S S S

+ +

≥ + +

⇔ +

+

≤

⇔

+ + +

+

≤ +

+

= + +

các điểm còn lại có thể chuyển động trên một đờng nhất định, theo dõi vị trí của chúng ta tìm đợc cực trị của bài toán.

kết luận

Đề tài “những bài toán cực trị” tuy là một vấn đề khó và rộng (trong cả đại số vàhình học) nhng trong quá trình tìm hiểu, tham khảo tài liệu tôi thấy đây là một vấn

đề rất hữu ích cho giáo viên toán trờng THCS

Việc tìm hiểu, nghiên cứu các bài toán cực trị giúp tôi có cơ sở lý luận việcgiải toán, nắm vững các dạng bài tập thông dụng với phơng pháp giải phù hợp, biếtnhững sai lầm mà học sinh có thể mắc phải, điều này rất cần thiết cho bản thântrong quá trình giảng dạy

Sau khi áp dụng đề tài tại trờng THCS nơi công tác tôi thấy các em học sinh

đã hiểu tốt bản chất các dạng toán tìm cực trị, vân dụng tốt phơng pháp phù hợp củatừng dạng vào bài toán cần giải, biết cách suy luận các bài toán từ dễ đến khó và có

Bài soạn minh hoạ

Ngời soạn : Hoàng văn Luận

Ngời giảng thực nghiệm :

- Biết vận dụng kiến thức cơ bản vào giải các bài tập thông qua các dạng toán

- Phát triển t duy lô gíc toán học, óc sáng tạo, tính chính xác trong giải toán

Tiến trình bài dạy

a) Rút gọn biểu thức :

b) Tính giá trị của P tại x = 0 ; x = 4 ; x = 1

GV đặt vấn đề :

) 9 , 0 (

3

2 2 1 : 9

3 3 3 3

x x

x x

x x

A

Nh vậy với mỗi giá trị của x thoả mãn TXĐ ta đều có giá trị tơng ứng của P Trongcác giá trị của x giá trị nào là cho P nhận giá trị nhỏ nhất, lớn nhất? Tìm giá trị đó

nh thế nào? Dựa vào đâu để tìm Bài học này sẽ giúp các em giúp giải quyết vấn

đề trên

II Bài mới :

GV: Đa ra cơ sở lý thuyết.

HS : - Theo dõi và ghi nhớ các vấn đề

cơ bản của cơ sở lý thuyết

GV: Trong chơng trình toán THCS ta

thờng gặp các bài toán tìm giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau

khi đã rút gọn Ta lần lợt tìm hiểu:

GV: Biểu thức có dạng :

HS: Vận dụng tính chất trên để trả lời

câu hỏi :

+ Biểu thức A phải có điều kiện gì

trong bài tập này?

ợc gọi là GTNN (GTLN) của A ứng vớicác giá trị của biến thuộc khoảng xác

+ Tìm Max A ta cần :Chứng minh rằng A ≤ k (k là hằng số)Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra

Bài 1: Tìm GTLN của biểu thức :

A Min P

Max MaxA

1

; 1

3

+

x

b a b

a > ⇒1<1