Kinh nghiệm tìm cực trị

Trong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, biết cách khai thác kiến thức, áp dụng kiến thức giải đợc nhiều loại toán, nhiều dạng bài tập là hết sức quan t

Phßng gi¸o dôc b×nh giang

Kinh nghiÖm

mét sè ph¬ng ph¸p t×m cùc trÞ

M«n: To¸n Líp : 8, 9 -

N¨m 2006 – 2007

Phòng giáo dục & Đào tạo Bình giang

đánh giá của nhà trờng

(Nhận xét, xếp loại)

Số phách

Kinh nghiệm

một số phơng pháp tìm cực trị

Môn: Toán Lớp: 8, 9 -

đánh giá của phòng giáo dục & đào tạo

(Nhận xét, xếp loại)

Tên tác giả : ……… Đơn vị : ………

Số phách

phần I : đặt vấn đề

I cơ sở lý thuyết.

Trong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, biết cách khai thác kiến thức, áp dụng kiến thức giải đợc nhiều loại toán, nhiều dạng bài tập là hết sức quan trọng, bởi đó là một phơng tiện tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy hình thành kĩ năng kĩ xảo trong quá trình giải toán.

Môn toán có nhiều dạng bài tập, trong đó dạng toán tìm cực trị (giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất,

rẻ nhất, đắt nhất, ngắn nhất, dài nhất Qua những bài toán dẫn dắt học sinh có thói quen đi tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống thực tế Điều đó cho thấy rằng toán cực trị là loại toán rất gần gũi với thực tế và có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày Nó giúp học sinh rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất Vì vậy, nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi.

Toán cực trị đợc đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo, do vậy giáo viên rất khó khăn trong việc su tầm và tuyển chọn, và một vấn đề đặt

ra ở đây là làm thế nào để học sinh nắm đ ợc phơng pháp, t duy suy luận một cách có lô gíc khi giải toán cực trị ?

Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề trên, bản thân là giáo viên thờng xuyên giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8 và lớp 9, tôi mạnh dạn su tầm, tuyển chọn một số dạng bài toán cực trị và một số phơng pháp giải áp dụng cho từng dạng, hy vọng đem lại một phần thuận lợi cho giáo viên khi thực hiện chuyên đề này trong quá trình giảng dạy cho học sinh cấp trung học cơ sở nói chung và bồi dỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 nói riêng.

II những yêu cầu cần thiết.

1 Đối với giáo viên.

- Su tầm tài liệu, đọc, nghiên cứu để hệ thống hoá kiến thức, hệ thống

các dạng bài tập về cực trị.

- Tìm hiểu sâu về các bài toán cực trị trong nội dung chơng trình toán ở bậc trung học cơ sở.

- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị.

- Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các

ph-ơng pháp chính giải từng dạng bài tập cực trị.

- Dự đoán đợc một số sai sót của học sinh có thể mắc phải và nêu đợc

những điểm cần chú ý khi giải các bài toán cực trị

2 Đối với học sinh.

- Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của

bài toán cực trị.

- Có kĩ năng nhận dạng đợc từng loại toán cực trị, vận dụng linh hoạt

và sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị vào từng bài tập cụ thể

từ đơn giản đến phức tạp.

- Thấy đợc những ứng dụng của toán cực trị trong thực tế.

Phần II : Nội dung

A Một số dạng toán cực trị trong đại số

I Định nghĩa và chú ý

1 Cho biểu thức f(x).

- Giá trị M đợc gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu thoả

mãn hai điều kiện :

+ Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) ≤M (M là hằng số) (1)

+ Tồn tại x0 sao cho f(x0) = M (2)

- Giá trị m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu thoả

mãn hai điều kiện :

+ Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) ≥ m (m là hằng số) (1’)

+ Tồn tại x0 sao cho f(x0) = m (2’)

2 Kí hiệu : GTLN của hàm f là M = max f(x)

-Bớc 2 : Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

-Bớc 3 : Kết luận max hoặc min theo yêu cầu.

5 Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì cha thể nói gì về cực trị của

2 a/ x≥ 0 Dấu = xảy ra “ ” ⇔ x = 0

b/ x + y≤x + y Dấu = xảy ra “ ” ⇔ x, y cùng dấu

c/ x - y≥x - y Dấu = xảy ra “ ” ⇔ x, y cùng dấu vàx >y

3 a/ a2 + b2≥ 2ab , ∀ a, b Dấu = xảy ra “ ” ⇔ a = b

a

b b

a

≥ + ∀ a > 0, b > 0 Dấu = xảy ra “ ” ⇔ a = b

≥ + Dấu = xảy ra “ ” ⇔ a = b

b/ Cho 3 số không âm a, b và c, ta có :

3

c b

a

a1+ 2+ + n ≥ n

n 2

2 1

1

b

a b

a b

Để tiến hành giải bài toán tìm GTLN, GTNN ta có thể dùng các phép biến

đổi đại số để nhóm các số hạng và đa bất đẳng thức ban đầu về các dạng sau :

VËy minA = -3 khi x = 02/ Ta cã B = (x2 + x + 1)2 =

16

9 4

3 2

1 x

2 2

3 2

1 x

2

≥ +

= 1

VËy minC = 0, khi x = 1

VÝ dô 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc

VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc :

1/ A = x 1−x 2 ; 2/ B =

x

1

x− ; 3/ C = yz x−1+zx xyz y−2+xy z−3

2 2

2 2

2/ Điều kiện x ≥ 1, ta có

B = ( )

2

1 x

2

1 x 1 x

1 x 1 x

1

− +

1 y

) 2 y ( 2 2

1 x

) 1 x (

≤ .3 2zz 3

3

1 y

2

2 y 2 2

1 x

1 x

1 + − + + − + + −

= 21+212 +213

Dấu “=” xảy ra ⇔ 1 = x – 1 ; 2 = y – 2 ; 3 = z – 3 ⇔ x = 2, y = 4, z =6

1 1 2

1

⇔ x = 2, y = 4, z = 6

IV Những dạng toán thờng gặp.

Dạng 1 : Cực trị của đa thức dạng tam thức bậc hai.

1 Kiến thức cần thiết.

Giả sử cho đa thức f(x) xác định trên R Sử dụng phơng pháp nhóm – so sánh

Đa f(x) về dạng : f(x) = k ± [ ]2

) x (

g (k là hằng số)

a/ Nếu f(x) = k + [ ]2

) x (

g thì min f(x) = k ⇔ g(x) = 0

b/ Nếu f(x) = k – [ ]2

) x (

g thì max f(x) = k ⇔ g(x) = 0Hoặc có thể sử dụng phơng pháp dùng bất đẳng thức

Vì

2 2

Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

a 2

b

)2 + c -

a 4

b 2

= a (x +

a 2

b

)2 +

a 4

b ac

4 − 2

Đặt

a 4

b ac

4 − 2 = k

Do (x +

a 2

b

)2≥ 0 nên

- Nếu a > 0 thì a.(x +

a 2

b )2≥ 0 do đó P ≥ k

⇒ min P = k ⇔ x + 2ba = 0 ⇔ x = -2ba

- Nếu a < 0 thì a.(x +

a 2

b )2≤ 0 do đó P ≤ k ⇒ max P = k ⇔ x = -2ba

b/ Dựa vào tính chất biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai

f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)

+ Khi a > 0 : Parabol quay bề lõm lên phía trên ⇒ hàm số có cực tiểu.+ Khi a < 0: Parapol quay bề lõm xuống dới ⇒ hàm số có cực đại

- Từ đó ta đi đến kết luận : Mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc

giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất)

Cho F = F1 + F2 thì : maxF = maxF1 + maxF2

(minF = minF1 + minF2)

Trong đó F1, F2 là các biểu thức chứa biến đối lập với nhau hoặc có chứacùng biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một bộ giá trị xác định của biến

Có thể sử dụng cả hai phơng pháp trên để giải

y x 2

2 x

4 y

2 x

4 y

2 x

Ví dụ 5 : a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

B = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2009b/ Tìm giá trị của x; y để biểu thức :

N = –a2 – b2 + ab + 2a + 2b đạt giá trị lớn nhất

Giải :

a/ Ta có B = x2 – 2x + 1 + y2 – 2y +1 + xy – x – y + 1 + 2006

= (x – 1)2 + (y – 1) 2 + xy – x – y + 1 + 2006 = ( y 1 ) 2006 2006

4

3 2

1 y ) 1 x

2

≥ +

− +

−

0 1

y

0 2

1 y ) 1 x (

⇔ yx==11

Vậy min B = 2006 ⇔ x = y = 1 b/ Ta có: 2N = –2a2 – 2b2 + 2ab + 4a + 4b

0 2 a

0 b a

= (t + 5)2 + (p – 1)2 + 2 ≥ 2 Dấu "=" xảy ra

0 1 p

0 5 t

5 t

5 p 2 m

3 m

Vậy min D = 2 ⇔ pm==1−3

3 Một số nhận xét.

- Đối với hàm đa thức nhiều biến, học sinh cần phải linh hoạt trong việc táchhạng tử để làm xuất hiện tổng các luỹ thừa bậc chẵn của một biểu thức hay tổngcác hằng đẳng thức (a ± b)2 nhđã trình bày ở ví dụ 4, ví dụ 5

- ở ví dụ 5, phần b thay cho việc biến đổi N ta biến đổi 2N khi đó bài toán

đ-ợc thực hiện thuận lợi hơn

- Bên cạnh đó, có những tình huống xảy ra nh ở ví dụ 6 thì có thể học sinh sẽlúng túng trong sự xuất hiện của 10(m – 2p) Khi đó dùng phơng pháp đổi biến(đặt ẩn phụ) nh đã trình bày thì sẽ đa đợc bài toán về dạng của ví dụ 5

4 Một số bài tập.

4.1 Tìm giá trị của x ; y để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất :

a/ -x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y + 5 b/ -5x2 – 5y2 + 8x – 6y – 1

4.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

x2 + 2y2 – 2xy – 4y+ 5

4.3 Tìm cặp (x ; y) để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất :

x2 + 26y2 – 10xy + 14 – 76y + 56

1 ; min P =

A max

1 Bằng cách áp dụng tính chất trên ta có thể đa bài toán tìm cực trị của phânthức về bài toán tìm cực trị của đa thức

8 x 7

−

− ⇒ 2A =

3 x 2

16 x 14

−

− =

3 x 2

5 ) 3 x 2 ( 7

−

+

− = 7 +

3 x 2

Vậy max(2A) = 12 ⇒ maxA = 6 ⇔ x = 2

Ví dụ 8 : Tìm x ∈ Z để M = 7x−−x5 đạt giá trị nhỏ nhất

Giải : Ta có M = −x(x−−57) = −(xx−−55−2) = -1 + x2−5

Để M nhỏ nhất thì

5 x

2

− nhỏ nhất ⇒ x – 5 là số âm lớn nhất

Mà x ∈ Z nên x – 5 = -1 ⇒ x = 4 Vậy min M = -1 – 2 = -3 khi x = 4

Ví dụ 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = −x2 +1 x−4

1 x 4 x x

2

2 2

+

−

− + +

1 x

) 2 x ( 2

2

− + +

Do

1 x

) 2 x ( 2

1 x 4 x 4 x

2

2 2

+

− +

−

1 x

) 1 x 2 ( ) 1 x ( 4

2

2 2

) 1 x 2 (

) 1 x 2 ( 2

Vậy maxQ = 4 ⇔ x = 21

Ví dụ 11 : Tìm GTNN của M =

1 x 2 x

6 x x 3

1 ) 1 x ( 2 ) 1 x 2 x ( 3

−

+

−

− +

−

= ( x 1 ) 2

1 1

x

2 3

1

− , khi đó M = 3 – 2y + y2 = (y – 1)2 + 2 ≥ 2Dấu “=” xảy ra ⇔ y = 1 ⇔ x1−1 = 1 ⇔ x = 2

Vậy min M = 2 ⇔ x= 2

3 Một số nhận xét.

- Khi giải toán cực trị của hàm phân thức, học sinh cần phải biết biến đổi linhhoạt để tách phần nguyên

- Có những biểu thức tồn tại cả GTLN và GTNN nh bài toán đã trình bày ở ví

dụ 10, cho nên học sinh cần định hớng cách phân tích bài toán để làm xuất hiệnnhững tình huống theo yêu cầu bài toán nêu

4 Một số bài tập.

Tìm GTNN, GTLN(nếu có) của các biểu thức sau :

A =

5 x x

6 x 6 x

2

2

+ +

+ + ; B =

1 x

7 x 8 x

1

2 − +

D =

1 x x

3 x x

2 4

2 4

+ + + + (x ∈ R)

Dạng 4 : Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.

d/ Giả sử max f(x) = A, min f(x) = a với f(x) xét trên đoạn [a1 ;b1]

+ Nếu f(x) ≥ 0 ta có max f(x) = max f(x)=A trên [a1 ;b1]

min f(x) = minf(x)= a trên [a1 ;b1]+ Nếu : max f(x) ≥ 0 còn min f(x) ≤ 0 trên [a1 ;b1] :

Ta có : maxf(x)= max(A ; a)

minf(x)= 0+ Nếu f(x) < 0 ta có maxf(x)= - minf(x) trên [a1 ;b1]

So sánh các giá trị của B trong 3 khoảng trên ta có :

C = x - 2 + 5 - x + 15 = 18c/ Nếu x > 5 thì x – 2 = x – 2 và x – 5 = x – 5, khi đó

3 Một số nhận xét.

- Để thực hiện giải bài toán cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, họcsinh cần nắm đợc định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hay 1 biểu thức và linhhoạt vận dụng các tính chất của trị tuyệt đối trong quá trình giải

- Các ví dụ 13, 14 trong phần lời giải của cách 2 và các ví dụ 15, 16 ta đã sửdụng tính chất : "Hai số đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau”, từ đó vận

dụng bất đẳng thức 1b để tìm ra lời giải bài toán một cách nhanh chóng.

- Với một bài toán cực trị có thể tồn tại nhiều cách giải, chẳng hạn ở ví dụ 16

có thể giải bằng cách khác là xét khoảng giá trị của x để phá dấu giá trị tuyệt đối,song giải pháp này không khoa học nh lời giả đã chọn Do đó học sinh cần phải có

sự quan sát, phân tích bài toán để tìm ra hớng đi thích hợp, khoa học

4 Một số bài tập.

Tìm GTNN, GTLN ( nếu có ) của các biểu thức :

a) x - 1 + x -2

b) 51 - 4x - 2 c) x - 1 + x - 2 + 2x - 5

⇔ 1994 ≤ x ≤ 1995 Vậy min M = 1 ⇔ 1994 ≤ x ≤ 1995

Ví dụ 18 : Tìm GTNN của N= (x - 1999)2 + (x - 2000)2 + (x - 2001)2

H

ớng dẫn :

Ta đa bài toán này về dạng hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, sau đó áp dụng ví

dụ 16 để giải Kết quả : min N = 2 ⇔ x = 2000

Ví dụ 19 : Tìm GTLN của M= 2 − x + 1 + x

−

0 x 1

0 x 2

2 x

⇒ max M2 = 6 ⇔ x = 21 Vậy max M = 6 ⇔ x = 21

Do đó N2 ≥ 4 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0 ⇒ minN = 2 ⇔ x = 0

3 Một số nhận xét.

- Với bài toán tìm cực trị của hàm căn thức, trớc khi giải học sinh cần lu ý đặt

điều kiện để tồn tại căn thức và nếu bài toán chứa căn dạng A2 thì ta đa đợc vềdạng hàm cha dấu giá trị tuyệt đối

- Có trờng hợp ta không thể tìm trực tiếp cực trị của một biểu thức mà đi tìmcực trị của bình phơng biểu thức đó cần lu ý biểu thức đó phải dơng

Ví dụ 21 : Cho x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 + y2

Giải : Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki

Ta có (1.x + 1.y)2 ≤ (1 + 1)(x2 + y 2) hay 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2

Mà x + y = 2, nên 2(x2 + y2) ≥ 4 ⇒ x2 + y2 ≥ 2 tức là A ≥ 2

Dấu “=” xảy ra ⇔ xx+=yy=2 ⇔ x = y = 1

Ví dụ 22 : Cho 5x + 2y = 10.Tìm giá trị lớn nhất của B = 3xy - x2 - y2

Giải : Từ 5x + 2y = 10 ⇒ y = 10−25x thay vào B ta đợc :

B =

4

) x 5 10 ( x 2

) x 5

2

x 15 x

80 x 4

59 59

95 y 59

80 x

Ví dụ 23 : Cho hai số dơng x, y thoả mãn x + y = 1 Tìm GTNN của :

1 1 y

1 1 x

1 1

Giải : Ta có M = x 2 y 2

) 1 y )(

1 x )(

1 y )(

1 x

Theo giả thiết có x + y = 1 nên x – 1 = -y và y – 1 = -x Do đó

M = x 2 y 2

xy ) 1 y )(

1

x

= (x+1xy)(y+1) = x+yxy+xy+1 = 2xy+xy = 1 + xy2Nhận thấy xy > 0 nên M nhỏ nhất ⇔ xy2 nhỏ nhất ⇔ xy lớn nhấtLại có x + y = 1 ⇒ xy lớn nhất ⇔ x = y = 21

Vậy min M = 1 +

4 1

1 = 4 không đổiNên tổng của chúng nhỏ nhất ⇔ 8x = 21x ⇔ 16x2 = 1 ⇔ x = 41

Ví dụ 25 : Tìm GTNN của B = x1 +1−2x với 0 < x < 1.

x 1

x 1 x

x 1

+

− + +

−

x 1

x 2 x

x 1

+

− +

x 2

x 2 x

x 1

−

Vậy MinB = 2 2 + 3 ⇔ 1−xx =12−xx ⇔ x = 2 − 1

Ví dụ 26 : Tìm GTNN và GTLN của biểu thức N = 2x + 3y – 4z

biết rằng x,y,z ≥ 0 và thoả mãn hệ phơng trình

= + +

(2)

(1)

4 z 3 y 4 x

6 z 3 y x 2

Giải :

Từ hệ phơng trình điều kiện ta có 5x + 5y = 10 ⇔ y = 2 – x (*)Thay (*) vào (1) ⇒ 2x + 2 – x + 3z = 6 ⇔ x + 3z = 4 ⇔ z = 43−x (**)Thay (*) và (**) vào biểu thức N ta đợc :

3

2 3

x 3

x 16 x 6 x 2 3

x 4 4 x 2 3 x z 4 y

3

4 ⇔ x = 2, y = 0, z =

3 2

Ví dụ 27 : Tìm GTNN và GTLN của biểu thức x, y, z.

= + +

= + +

=

−

= +

x x 8 yz

x 5 z y

2

Do đó y, z là nghiệm của phơng trình : t2 – (5 – x)t + x2 – 5x + 8 = 0(1)

+ Hệ quả 1 : x > 0, y > 0 và xy = k 2 (không đổi) Thì x + y nhỏ nhất ⇔ x = y

1 x

= + + +

1 c b a x

1 c b a x

2 2 2 2

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của x

V sáng tạo bài toán cực trị.

 Trong quá trình giảng dạy, việc khai thác kiến thức và sáng tác ra những bàitoán khác tơng tự từ một bài toán là vấn đề hết sức quan trọng và có tácdụng cao Bởi lẽ, đó là cơ sở để học sinh hiểu sâu kiến thức, phát triển t duy,hình thành kỹ năng, kỹ xảo trong giải toán

 Cùng với sự sáng tác và su tầm tôi xin trình bày nội dung phần này qua một

số ví dụ sau :

Ví dụ 28 :

Từ bài toán tìm GTNN của biểu thức A = x2 – x + 1 (đã trình bày ở VD1)

Ta có thể phát triển thành bài toán sau : Tìm GTNN của B = (x2 – x + 1)2

1 x

Do đó B nhỏ nhất ⇔ (x2 – x + 1 ) nhỏ nhất

Vậy min B =

2 4

Ta có thể phát triển thành bài toán sau :

Cho a < b < c < d là bốn số thực tuỳ ý Tìm GTNN của :

d x a

⇒ b ≤ x ≤ cVậy min f(x) = d + c – a – b ⇔ b ≤ x ≤ c

 Từ đó ta hình thành bài toán tổng quát :

Cho n số thực a1 < a2 < < an Tìm GTNN của biểu thức :

f(x) = x - a 1+x - a 2+ +x - a n-1+x - a n

Để giải bài toán này ta phải xét 2 trờng hợp :

+ n = 2k (k = 1,2,3, )

+ n = 2k -1 (k = 1,2 , 3 , )

min A = − 2 ⇔ x = y =

2

2

−

 Từ bài toán trên ta có thể sáng tác ra một số bài toán khác nh sau :

1/ Cho x, y ∈ R thoả mãn điều kiện x2 + 4y2 = 2

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức B = x + 2y 2/ Cho x, y ≥ 0 thoả mãn điều kiện 4x2 + 9y2 = 8

Do đó để phơng trình (*) thoả mãn, thì x = 2 là nghiệm của phơng trình

VI một số sai sót thờng gặp khi giải bài toán cực trị.

Trong quá trình giải toán tìm cực trị đại số, học sinh thờng mắc sai lầm ở một số ờng hợp sau :

tr-Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của D = (x + 1)2 + (x + 3)2

Học sinh có thể mắc sai lầm ở chỗ là :

Vội vàng kết luận : (x + 1)2≥ 0, (x + 3)2≥ 0 ⇒ D ≥ 0