mot số pp tìm cực trị

cơ sở lý thuyết.Trong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, biết cách khai thác kiến thức, áp dụng kiến thức giải đợc nhiều loại toán, nhiều dạng bài tập l

Sở giáo dục và đào tạo hảI dơng

Phßng gi¸o dôc cÈm giµng

I cơ sở lý thuyết.

Trong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, biết cách khai thác kiến thức, áp dụng kiến thức giải đợc nhiều loại toán, nhiều dạng bài tập là hết sức quan trọng, bởi đó là một phơng tiện tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy hình thành kĩ năng kĩ xảo trong quá trình giải toán.

Môn toán có nhiều dạng bài tập, trong đó dạng toán tìm cực trị (giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất,

rẻ nhất, đắt nhất, ngắn nhất, dài nhất Qua những bài toán dẫn dắt học sinh có thói quen đi tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống thực tế Điều đó cho thấy rằng toán cực trị là loại toán rất gần gũi với thực tế và có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày Nó giúp học sinh rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất Vì vậy, nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi.

Toán cực trị đợc đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo, do vậy giáo viên rất khó khăn trong việc su tầm và tuyển chọn, và một vấn đề đặt

ra ở đây là làm thế nào để học sinh nắm đ ợc phơng pháp, t duy suy luận một cách có lô gíc khi giải toán cực trị ?

Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề trên, bản thân là giáo viên thờng xuyên giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8 và lớp 9, tôi mạnh dạn su tầm, tuyển chọn một số dạng bài toán cực trị và một số phơng pháp giải áp dụng cho từng dạng, hy vọng đem lại một phần thuận lợi cho giáo viên khi thực hiện chuyên đề này trong quá trình giảng dạy cho học sinh cấp trung học cơ sở nói chung và bồi dỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 nói riêng.

II những yêu cầu cần thiết.

1 Đối với giáo viên.

- Su tầm tài liệu, đọc, nghiên cứu để hệ thống hoá kiến thức, hệ thống

các dạng bài tập về cực trị.

- Tìm hiểu sâu về các bài toán cực trị trong nội dung chơng trình toán ở bậc trung học cơ sở.

- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị.

- Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các

ph-ơng pháp chính giải từng dạng bài tập cực trị.

- Dự đoán đợc một số sai sót của học sinh có thể mắc phải và nêu đợc

những điểm cần chú ý khi giải các bài toán cực trị

2 Đối với học sinh.

- Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của

bài toán cực trị.

- Có kĩ năng nhận dạng đợc từng loại toán cực trị, vận dụng linh hoạt

và sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị vào từng bài tập cụ thể

I Định nghĩa và chú ý

1 Cho biểu thức f(x).

- Giá trị M đợc gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu thoả

mãn hai điều kiện :

+Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) ≤M (M là hằng số) (1)

+ Tồn tại x0 sao cho f(x0) = M (2)

- Giá trị m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu thoả

mãn hai điều kiện :

+ Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) ≥ m (m là hằng số) (1’)

+ Tồn tại x0 sao cho f(x0) = m (2’)

2 Kí hiệu : GTLN của hàm f là M = max f(x)

-Bớc 2 : Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

-Bớc 3 : Kết luận max hoặc min theo yêu cầu.

5 Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì cha thể nói gì về cực trị của

c/ x - y≥x - y Dấu = xảy ra “ ” ⇔ x, y cùng dấu vàx >y

3 a/ a2 + b2≥ 2ab , ∀ a, b Dấu = xảy ra “ ” ⇔ a = b

a

b b

a

≥ + ∀ a > 0, b > 0 Dấu = xảy ra “ ” ⇔ a = b

2 1

1

b

a

b

a b

Để tiến hành giải bài toán tìm GTLN, GTNN ta có thể dùng các phép biến

đổi đại số để nhóm các số hạng và đa bất đẳng thức ban đầu về các dạng sau :

M ≥ N, 0 < a < 1 ⇒ aM ≤ aN;

1/ V× x4, x2 ≥ 0 nªn suy ra A ≥ 0 + 0 – 3 ⇒ A ≥ -3 DÊu “=” x¶y ra ⇔ x = 0

VËy minA = -3 khi x = 0

VËy minC = 0, khi x = 1

VÝ dô 2 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc

VÝ dô : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc :

1/ A = x 1−x 2 ; 2/ B =

x

1

x− ; 3/ C = yz x−1+zx xyz y−2+xy z−3

2 2

2 2

2

1 x 1 x

1 x 1 x

1

− +

1 y

) 2 y ( 2 2

1 x

) 1 x (

≤ .3 2zz 3

3

1 y

2 y 2 2

1 x

1 x

1 + − + + − + + −

=

3 2

1 2 2

1 2

1

+ +

1 1 2

1

IV Những dạng toán thờng gặp.

Dạng 1 : Cực trị của đa thức dạng tam thức bậc hai.

1 Kiến thức cần thiết.

Giả sử cho đa thức f(x) xác định trên R

Đa f(x) về dạng : f(x) = k ± [ ]2

) x (

g (k là hằng số)

a/ Nếu f(x) = k + [ ]2

) x (

g thì min f(x) = k ⇔ g(x) = 0

b/ Nếu f(x) = k – [ ]2

) x (

g thì max f(x) = k ⇔ g(x) = 0

2 Một số ví dụ.

Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

B = - x 2 + 4x + 5

Giải :

Ta có B = -x2 + 4x + 5 = 9 – (x – 2)2

Vì - (x - 2 )2≤ 0 ∀x nên 9 – (x - 2 ) ≤ 9Dấu “=” xảy ra ⇔ x – 2 = 0 ⇔ x = 2

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = -2 Vậy min D = 2 ⇔ x = -2

a 2

b )2 + c -

a 4

b 2

= a (x +

a 2

b )2 +

a 4

b ac

4 − 2

Đặt

a 4

b ac

4 − 2 = k

Do (x +

a 2

b )2≥ 0 nên

- Nếu a > 0 thì a.(x +

a 2 b

)2≥ 0 do đó P ≥ k

⇒ min P = k ⇔ x + 2ba = 0 ⇔ x = -2ba

- Nếu a < 0 thì a.(x +

a 2

b

)2≤ 0 do đó P ≤ k ⇒ max P = k ⇔ x = -2ba

b/ Dựa vào tính chất biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai

f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)

+ Khi a > 0 : Parabol quay bề lõm lên phía trên ⇒ hàm số có cực tiểu.+ Khi a < 0: Parapol quay bề lõm xuống dới ⇒ hàm số có cực đại

- Từ đó ta đi đến kết luận : Mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá

trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất)

Dạng 2 : Cực trị của hàm đa thức nhiều biến.

1 Kiến thức cần thiết.

Cho F = F1 + F2 thì : maxF = maxF1 + maxF2

(minF = minF1 + minF2)

Trong đó F1, F2 là các biểu thức chứa biến đối lập với nhau hoặc có chứacùng biến thì cùng đạt giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) tại một bộ giá trị xác địnhcủa biến

y x 2

2 x

4 y

2 x

4 y

2 x

Ví dụ 5 : a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

B = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2009

b/ Tìm giá trị của x; y để biểu thức :

N = –a2 – b2 + ab + 2a + 2b đạt giá trị lớn nhất

Giải :

1 y ) 1

x

2

≥ +

− +

−

0 1

y

0 2

1 y ) 1 x (

1 x

0 2 a

0 b a

⇒ a = b = 2Vậy max N = 4 ⇔ a = b = 2

Ví dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

0 1 p

0 5 t

- ở ví dụ 5, phần b thay cho việc biến đổi N ta biến đổi 2N khi đó bài toán

đ-ợc thực hiện thuận lợi hơn

- Bên cạnh đó, có những tình huống xảy ra nh ở ví dụ 6 thì có thể học sinh sẽlúng túng trong sự xuất hiện của 10(m – 2p) Khi đó dùng phơng pháp đổi biến(đặt ẩn phụ) nh đã trình bày thì sẽ đa đợc bài toán về dạng của ví dụ 5.

4 Một số bài tập.

4.1 Tìm giá trị của x ; y để các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất :

a/ -x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y + 5 b/ -5x2 – 5y2 + 8x – 6y – 1

4.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

x2 + 2y2 – 2xy – 4y+ 5

4.3 Tìm cặp (x ; y) để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất :

x2 + 26y2 – 10xy + 14 – 76y + 56

1

; min P =

A max

1

Bằng cách áp dụng tính chất trên ta có thể đa bài toán tìm cực trị của phânthức về bài toán tìm cực trị của đa thức

8 x 7

−

− ⇒ 2A =

3 x 2

16 x 14

−

− =

3 x 2

5 ) 3 x 2 ( 7

−

+

− = 7 +

3 x 2

Vậy max(2A) = 12 ⇒ maxA = 6 ⇔ x = 2

Ví dụ 8 : Tìm x ∈ Z để M = 7x−−5x đạt giá trị nhỏ nhất

Giải : Ta có M = −x(x−−57) = −(xx−−55−2) = -1 + x2−5

Để M nhỏ nhất thì

5 x

2

− nhỏ nhất ⇒ x – 5 là số âm lớn nhất

Mà x ∈ Z nên x – 5 = -1 ⇒ x = 4

Vậy min M = -1 – 2 = -3 khi x = 4.

Ví dụ 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = −x2 +1 x−4

1 x 4 x 4 x

2

2 2

+

−

− + +

1 x

) 2 x (

2

2

− + +

Do

1 x

) 2 x

1 x x 4 x

2

2 2

+

− +

− + =

1 x

) 1 x 2 ( ) 1 x ( 4

2

2 2

) 1 x 2 (

) 1 x 2 (

Vậy maxQ = 4 ⇔ x = 21

Ví dụ 11 : Tìm GTNN của M =

1 x 2 x

6 x x

1 ) 1 x ( 2 ) 1 x 2 x ( 3

−

+

−

− +

− =

2 2

) 1 x (

1 ) 1 x ( 2 ) 1 x ( 3

x

2 3

1

− , khi đó M = 3 – 2y + y2 = (y – 1)2 + 2 ≥ 2Dấu “=” xảy ra ⇔ y = 1 ⇔ x1−1 = 1 ⇔ x = 2

Vậy min M = 2 ⇔ x= 2

3 Một số nhận xét.

- Khi giải toán cực trị của hàm phân thức, học sinh cần phải biết biến đổilinh hoạt để tách phần nguyên

- Có những biểu thức tồn tại cả GTLN và GTNN nh bài toán đã trình bày ở ví

dụ 10, cho nên học sinh cần định hớng cách phân tích bài toán để làm xuất hiệnnhững tình huống theo yêu cầu bài toán nêu

4 Một số bài tập.

Tìm GTNN, GTLN(nếu có) của các biểu thức sau :

A =

5 x x

6 x x

2

2

+ +

+ + ; B =

1 x

7 x x

1

2 − +

D =

1 x x

3 x 4 x

2 4

2 4

+ +

+ + (x ∈ R)

Dạng 4 : Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối.

d/ Giả sử max f(x) = A, min f(x) = a với f(x) xét trên đoạn [a1 ;b1]

+ Nếu f(x) ≥ 0 ta có max f(x) = max f(x)=A trên [a1 ;b1]

min f(x) = minf(x)= a trên [a1 ;b1]+ Nếu : max f(x) ≥ 0 còn min f(x) ≤ 0 trên [a1 ;b1] :

Ta có : maxf(x)= max(A ; a)

minf(x)= 0+ Nếu f(x) < 0 ta có maxf(x)= - minf(x) trên [a1 ;b1]

C = x - 2 + 5 - x + 15 = 18c/ Nếu x > 5 thì x – 2 = x – 2 và x – 5 = x – 5, khi đó

x + 50 + -x - 50≥ 1 Dấu "=" xảy ra ⇔ - 51 ≤ x ≤ - 50

Do đó M ≥ 1 + 3 + + 97 + 99 = 2500 Dấu "=" xảy ra ⇔ - 51 ≤ x ≤ - 50

3 Một số nhận xét.

- Để thực hiện giải bài toán cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, họcsinh cần nắm đợc định nghĩa giá trị tuyệt đối của một số hay 1 biểu thức và linhhoạt vận dụng các tính chất của trị tuyệt đối trong quá trình giải

- Các ví dụ 13, 14 trong phần lời giải của cách 2 và các ví dụ 15, 16 ta đã sửdụng tính chất : "Hai số đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau”, từ đó vận

dụng bất đẳng thức 1b để tìm ra lời giải bài toán một cách nhanh chóng.

- Với một bài toán cực trị có thể tồn tại nhiều cách giải, chẳng hạn ở ví dụ 16

có thể giải bằng cách khác là xét khoảng giá trị của x để phá dấu giá trị tuyệt đối,song giải pháp này không khoa học nh lời giả đã chọn Do đó học sinh cần phải có

sự quan sát, phân tích bài toán để tìm ra hớng đi thích hợp, khoa học

4 Một số bài tập.

Tìm GTNN, GTLN ( nếu có ) của các biểu thức :

a) x - 1 + x -2

b) 51 - 4x - 2 c) x - 1 + x - 2 + 2x - 5

= x – 1994 + 1995 – x≥x - 1994 + 1995 – x = 1 ⇒ M ≥ 1 DÊu "=" x¶y ra ⇔ (x - 1994)( 1995 - x) ≥ 0

⇔ 1994 ≤ x ≤ 1995 VËy min M = 1 ⇔ 1994 ≤ x ≤ 1995

- Với bài toán tìm cực trị của hàm căn thức , trớc khi giải học sinh cần lu ý

đặt điều kiện để tồn tại căn thức và nếu bài toán chứa căn dạng A2 thì ta đa đợc vềdạng hàm cha dấu gía trị tuyệt đối nh ví dụ 20 , 21

- Có trờng hợp ta không thể tìm trực tiếp cực trị của một biểu thức mà đi tìmcực trị của bình phơng biểu thức đó cần lu ý biểu thức đó phải dơng nh bài toán đãtrình bày ở ví dụ 22

VI - Cực trị có điều kiện

Loại toán cực trị có điều kiện rất đa dạng và phong phú Cách giải dạng nàycơ bản phải vận dụng linh hoạt đợc điều kiện của bài và phải kết hợp thành thạonhững bớc biến đổi trung gian , vó thể phải sử dụng thêm bất đẳng thức đã biết nhbất đẳng thức Cauchy , Bunhiacopxky hay một số bất đẳng thức phụ khác mà tacần chứng minh

Ví dụ 25 : Cho x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x2 + y2

= 1/4 (- 59x2 + 160x - 100 ) = 125/59 - 59/4 ( x - 80/59 )2 ≤ 125/59

DÊu " = " x¶y ra <=> x = 80/59

x = 80/59 VËy maxA = 125/59 <=>

y = 95/59

VÝ dô 27 :

a) Cho 2 sè d¬ng x, y tho¶ m·n x + y = 1

1 1 1 1 TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M = 1 + 1 + 1 - 1 -

xy nªn xy lín nhÊt <=> x = y = 1/2

18x = <=> 16x2 = 1 <=> x = 1/4

2x

1VËy min B = 8 1/4 + 2 + = 4 +2 = 6 <=> x = 1/4

VÝ dô 29: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc

N= 2x + 3y - 4z biÕt r»ng x,y,z ≥ 0 vµ tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh

2x + y + 3z = 6 (1)

3x + 4y - 3z =4 (2)

Gi¶i :

Tõ hÖ ph¬ng tr×nh ®iÒu kiÖn ta cã: 5x + 5y = 10 <=> x + y =2 <=> y = 2 - x (*)

Thay (*) vµo (1) : 2x + 2 -x +3z =6 <=> x + 3z =4 <=> z = 4/3 - x/3 (**)

Thay (*) và (**) vào biểu thức N:

( )

3

2 3 3

4 3

16 3 6 2 3 3

4 4 2

3 2 4 3

Tìm giá trị bé nhất của biểu thức : A = x 2 + y 2 + z 2

2) Cho x , y là 2 số thoả mãn đẳng thức sau :

4 4

1 2

2 2

x x

Tìm giá trị của x , y để tích xy đạt giá trị bé nhất

* Hệ quả 1 : x > 0 , y > 0 và xy = k 2 ( không đổi )

Thì x + y nhỏ nhất <=> x = y

* Hệ quả 2 : x > 0 , y > 0 và x + y = k 2 ( không đổi )

Thì xy lớn nhất <=> x = y

Nội dung phần lý thuyết này tôi đã sử dụng ở ví dụ 27 a , b )

VII- Sáng tạo bài toán cực trị:

Trong quá trình giảng dạy , việc khai thác kiến thức và sáng tác ra những bài toán khác tơng tự từ một bài toán là vấn đề hết sức quan trọng bởi lẽ đó là cơ sở để học sinh hiểu sâu kiến thức phát triển t duy , hình thành kỹ năng , kỹ xảo

Cùng với sự sáng tác và su tầm tôi xin trình bày nội dung phần này qua một số ví dụ sau :

Ví dụ 31 : Từ bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = x 2 - x + 1 đã trình bày ở VD1

Ta có thể phát triển thành bài toán sau :

Tìm giá trị nhỏ nhất của B = ( x 2 - x + 1) 2

Giải : Mặc dù B ≥ 0 nhng giá trị nhỏ nhất của B không phải = 0 vì :

b ≤ x ≤ c Vậy min f(x) = d + c - a - b <=> b ≤ x ≤ c

- Từ bài toán trên ta có thể biến đổi thành bài toán sau :

Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x + 1 + x + 2 + + x + 99 + x + 100

Số các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là chẵn Lời giải bài toán này tôi đã trình bày ở ví dụ 17)

- Từ đó ta hình thành bài toán tổng quát :

Cho n số thực : a 1 < a 2 < < a n Với giá trị nào của x thì biểu thức

Cho x, y ∈ R thoả mãn điều kiện : x 2 + y 2 = 1

Tìmgiá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức A = x + y

Giải :

Ta có : ( x - y ) 2≥ 0 , ∀ x , y ∈ R

=> x 2 + y 2≥ 2xy => 2 (x 2 + y 2 ) ≥ (x + y) 2

mà x 2 + y 2 = 1 nên 2 ≥ (x + y) 2 hay : A 2≤ 2 => A ≤ 2 => - 2 ≤ A ≤ 2 Vậy max A = 2 <=> x = y = 2 /2

min A = - 2 <=> x = y = - 2 /2

+ Từ bài toán trên ta có thể sáng tác ra một số bài toán khác nh sau :

1) Cho x , y ∈ R thoả mãn điều kiện : x 2 + 4y 2 = 2

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B = x + 2y

2) Cho x , y ≥ 0 thoả mãn điều kiện : 4x 2 + 9y 2 = 8

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của M = 2x + 3y

Ví dụ 34 :

Tìm giá trị lớn nhất của M = 2x - 3 + 5 - 2x

Giải :

Điều kiện để căn thức tồn tại : 3/2 ≤ x ≤ 5/2

áp dụng bất đẳng thức Bunhia kốpxki ta có :

Trong quá trình giải toán tìm cực trị đại số , học sinh thờngmắc sai lầm ở một

*Khi chứng minh đợc A(x) ≥ m phải chỉ ra đợc m là hằng số mới có kết luận cực trị

Ví dụ3 : Cho x , y là 2 số thực thoả mãn : x > y và xy = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : x y

y x B

xy y

x y x

y x

2 2 2

2 2

y x

y x y x y x

−

=

− +

−

y x

y x

y x

B≥ + −

đã vội vàng kết luận cực trị , trong khi đó : 2 2

y

x− +

không phải là hằng

số mà còn phụ thuộc vào biến x , y

.+Với bài toán tìm cực trị xác định trên miền , học sinh cũng có thể mắc sai lầm trong quá trình lập luận bởi vì biểu thức có thể đạt cực trị trên miền này nhng không đạt cực trị trên miền kia

Ví dụ : f(x) ≤ 1: f(x) = x xác định trên miền (0;1)hoặc [0;1]

Phần III : Kết luận

Trong đề tài này tôi đã phân loaị một số dạng toán về cực trị thờng gặp trong chơng trình toán ở bậc trung học cơ sở phần đại số , ở mỗi dạng tôi đều

đa ra phơng pháp giải và những kiến thức cần thiết

Do thời gian có hạn và tài liệu tham khảo cha đầy đủ nên đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi mong rằng tài liệu này sẽ góp phần vào việc giúp học sinh học tốt hơn về toán cực trị , phát triển t duy , sáng tạo thúc đẩy niềm say mê hứng thú học toán của học sinh

Thông qua nghiên cứu đề tài này , bản thân tôi thực sự rút ra đợc nhiều kiến thức quý báu giúp tôi hoàn thành tốt hơn trong quá trình giảng dạy

Kính mong các thày cô giáo hớng dẫn tận tình và mong sự đóng góp ý kiến của bạn bè đồng nghiệp để vốn kiến thức của tôi ngày càng hoàn thiện và phong phú hơn ./.

- Học sinh khó tiếp thu.

- Không có tính phổ biến với học sinh đại trà.