Tích các hàm suy rộng

Lý do chon đe tài Lý thuyet Hàm suy r®ng đưoc phát trien bói L.Schwartz đã mó racánh cúa quan trong cho sn phát trien cna Toán hoc hi¾n đai, đ¾cbi¾t là trong lĩnh vnc phương trình đao hà

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

——————– * ———————

LÊ QUANG

TÍCH CÁC HÀM SUY R®NG

Chuyên ngành: ToánGiái tích Mã so: 60 46 01

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Ta Ngoc

Trí

Hà N®i - 2012

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn này đưoc thnc hi¾n và hoàn thành tai trưòng Đai hoc

Sư pham Hà N®i 2 dưói sn hưóng dan nhi¾t tình cna Tien sĩ TaNgoc Trí Thay đã hưóng dan và truyen cho tác giá nhung kinhnghi¾m quý báu trong hoc t¾p cũng như nghiên cúu khoa hoc.Thay luôn đ®ng viên và khích l¾ đe tác giá vươn lên trong hoc t¾p

và vưot qua nhung khó khăn trong chuyên môn Tác giá xin bày tólòng biet ơn, lòng kính trong sâu sac nhat đoi vói thay

Tác giá xin trân thành cám ơn Ban giám hiêu trưòng Đai hoc Sưpham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, khoa Toán và to Giái tích cùngcác quý thay cô đã tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giá ket thúctot đep chương trình Cao hoc và hoàn thành lu¾n văn tot nghi¾p.Tác giá xin trân trong cám ơn Só GD&ĐT Phú Tho, Ban giámhi¾u trưòng THPT Yên L¾p - Yên L¾p - Phú Tho, To Toán - Lí -Tin và đong nghi¾p đã tao moi đieu ki¾n giúp đõ đe tác giá an tâmhoc t¾p và hoàn thành tot lu¾n văn

Hà N®i, tháng 07 năm 2012

Tác giá

Lê Quang

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan Lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôidưói sn hưóng dan trnc tiep cna Tien sĩ Ta Ngoc Trí

Trong quá trình nghiên cúu, tôi đã ke thùa thành quá khoa hoccna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 07 năm 2012

Tác giá

Lê Quang

Mnc lnc

Má

đau 5

Chương 1 Lý thuyet hàm suy r®ng Sch wartz 8

1.1.M®t so th u¾t ngu v à khái ni¾m cơ bán 8

1.2.Không gian các hàm thú 9

1.3.Hàm suy r®ng Sc hwartz 12

1.4.Đao hàm cna hàm suy r®ng 15

1.5.Bien đoi Fouri e r cna hàm suy r®ng 17

1.5.1 Bien đoi F ourier trong S ( R n ) .17

1.5.2 Bien đoi F ourier trong S t ( R n ) .18

Chương 2 Tích các hàm s uy r®ng 20

2.1.Tích ch¾p 20

2.1.1 Tích c h¾p trong không gian L p ( R n ) .20

2.1.2 Tích c h¾p cna hai hàm suy r®ng 22

2.2.Tích cna m®t hàm trơn v à m®t hàm suy r®ng 24

2.3.Tích cna hai hàm suy r®ng tùy ý 25

2.3.1 Đ%nh nghĩa cna Mikusinski 25

2.3.2 Đ%nh nghĩa dna trên khai trien F ourier 28

2.3.3 Đ%nh nghĩa cna Colomb eau 30

2.3.4 Đ%nh nghĩa cna Bagarello 40

3

Chương 3 M®t so ví dn v e tích giÑa hàm Delta v à các đao

hàm cúa nó 44

3.1.Tích xét theo nghĩa Colomb eau 44

3.2.Tích xét theo nghĩa Bagarello 46

Ket lu¾n

55

T ài li¾u tham kháo

56

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Lý thuyet Hàm suy r®ng đưoc phát trien bói L.Schwartz đã mó racánh cúa quan trong cho sn phát trien cna Toán hoc hi¾n đai, đ¾cbi¾t là trong lĩnh vnc phương trình đao hàm riêng Vói lý thuyet đó,L.Schwartz đã đưoc nh¾n giái thưóng Fields năm 1950 Lý thuyetHàm suy r®ng cna L.Schwartz đóng vai trò quan trong trong lý thuyetphương trình đao hàm riêng tuyen tính Tuy nhiên nhung bài toán phituyen dan đen vi¾c xem xét lay tích hai hàm suy r®ng Ve van đenày L.Schwartz đã đưa ra ket lu¾n ve m®t "ket quá không the" trongvi¾c lay tích hai hàm suy r®ng tong quát Trong ket lu¾n đóL.Schwartz cho rang không the lay tích hai hàm suy r®ng bat kỳ

mà van thóa mãn công thúc Leibniz ve lay đao hàm cna m®t tích.Tuy nhiên rat nhieu úng dung can lay tích hai hàm suy r®ng Nhieunhà Toán hoc đã nghiên cúu đe có the giái quyet van đe này Ho đã

co gang tìm ra nhung cách đ%nh nghĩa tích hai hàm suy r®ng bat

kỳ M®t so cách đã giái quyet đưoc m®t phan van đe nhân hai hàmsuy r®ng Trong đó có the ke đen phương pháp cna Mikusinski vóivi¾c đ%nh nghĩa thông qua giói han dãy, hay phương pháp laytích dna trên khai trien Fourier Tuy nhiên các cách đó chưa giáiquyet m®t cách đay đn van đe tích hai hàm suy r®ng

Vào năm 1980, m®t lý thuyet mói ve hàm suy r®ng đã đưoc nhàtoán hoc Pháp là J.F.Colombeau giói thi¾u Trong lý thuyet này, hàm

suy r®ng cna L Schwartz đưoc coi như m®t t¾p con và trong đó cóthe lay tích hai hàm suy r®ng tùy ý Sau khi lý thuyet hàm suy r®ngcna J.F.Colombeau ra đòi, nhieu nhà toán hoc đã úng dung và cónhung ket quá quan trong trong vi¾c giái các phương trình đaohàm riêng phi tuyen.

Vói muc đích tiep c¾n m®t hưóng nghiên cúu cna toán hoc hi¾nđai, đưoc sn đ%nh hưóng và hưóng dan cna TS Ta Ngoc Trí, tôi

đã lna chon đe tài "Tích các hàm suy r®ng" cho lu¾n văn totnghi¾p khóa hoc thac sy cna mình Trong lu¾n văn này, tôi se tómtat nhung kien thúc cơ bán ve lý thuyet hàm suy r®ng cnaL.Schwartz Tiep theo lu¾n văn se trình bay các ket quá ve tích cáchàm suy r®ng đã đưoc các nhà toán hoc Mikusinski,J.F.Colombeau, F.Bagarello nghiên cúu và xây dnng Cuoi cùng lànhung ví du cu the ve tích giua các hàm Delta Dirac cùng vói cácđao hàm cna nó

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

• Tìm hieu ve lý thuyet hàm suy r®ng cna L.Schwartz,

• Tìm hieu các đ%nh nghĩa ve tích các hàm suy r®ng,

• Nghiên cúu hưóng phát trien tích cna Colombeau và tích cna

Bagarello,

• M®t so ví du và úng dung.

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong nghiên cúu: Tích các hàm suy r®ng, tích giua các hàmDelta cùng vói các đao hàm cna nó

Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, các bài báo trong và ngoàinưóc liên quan đen tích các hàm suy r®ng

5 Phương pháp nghiên cNu

Sú dung các kien thúc và phương pháp cna giái tích hàm đe tiepc¾n van đe Thu th¾p và nghiên cúu các tài li¾u liên quan, đ¾cbi¾t là các bài báo mói ve van đe tích các hàm suy r®ng

6 DN kien đóng góp mái

Lu¾n văn có the dan đen ket quá mói ve tích các hàm suy r®ng,đ¾c bi¾t là tích giua các hàm Delta và các đao hàm cna nó

Chương 1

Lý thuyet hàm suy r®ng Schwartz

Chương này trình bày tóm tat m®t so van đe xung quanh lý thuyethàm suy r®ng Schwartz Xem [8], [9], [10] và [11] đe biet thêm chi tiet

1.1 M®t so thu¾t ngÑ và khái ni¾m cơ bán

Trong lu¾n văn này, ta ký hi¾u N=0,1,2, là t¾p các so tn nhiên,

N∗ là t¾p các so tn nhiên khác 0, Z là t¾p các so nguyên, R là t¾pcác so thnc và C là t¾p các so phúc vói đơn v% áo i = √−1 Vói moi

so tn nhiên n, t¾p N n={α = (α1, α2, , α n)|α j ∈ N, j = 1, 2, n},

t¾p

Rn={x = (x1, x2, , x n)|x j ∈ R, j = 1, 2, n} là không gian thnc n

chieu vói chuan Euclid:

Ta goi moi phan tú α = (α1, α2, , α n)|α j ∈ N n là m®t n-chí

so (hay đa chí so) vói b¾c |α| = α1 + α2 + + α n Vói moi đa chí

so α

x

1

toán tú vi phân ký hi¾u ∂ α = ∂ α1 ∂ α2

Khi p = ∞ thì L ∞(Ω) = {f : Ω → C|esssup x∈Ω |f (x)| < +∞}, trong

đó esssup x∈Ω |f (x)| = inf{M > 0 sao cho µ{x ∈ Ω||f (x)| > M} =

0} Khi đó chuan trong L ∞(Ω) là ||f (x)|| ∞ = esssup x∈Ω |f (x)|.

Ta ký hi¾u C k (Ω) là t¾p hop các hàm khá vi liên tuc tói cap k Vói

f, g ∈ C k(Ω) thì đao hàm cna m®t tích theo công thúc Leibniz:

Cho Ω là m®t t¾p khác rong và Ω ⊂ R n Ta ký hi¾u C ∞(Ω) là

t¾p hop nhung hàm f giá tr% phúc xác đ%nh trên Ω sao cho ∂ α f ton

tai vói

1

p

moi đa chi so α.

Giá tr% hàm liên tuc f : Ω → C, là t¾p hop kí hi¾u supp f đưoc

xác đ%nh bói supp f = cl {x ∈ Ω : f (x) ƒ= 0} Neu K là m®t t¾p

compact trong Rn ta kí hi¾u D K là t¾p hop {f ∈ C ∞(Rn ) : supp f

⊆ K} Trưóc het ta thùa nh¾n bo đe sau:

Bo đe 1.2.1 Cho Ω ⊂ R n và Ω ƒ= ∅ Khi đó ton tai dãy các t¾p compact {K j }, (j = 1, 2, 3, ) thóa mãn K j ⊂ intK j+1 và

Ω.

Do đó, tù bây giò ve sau, trong lu¾n văn này ta ký hi¾u K là m®t t¾p compact cna Ω và K j là m®t trong các t¾p compacttrong ho {K j } nói trong bo đe (1.2.1)

M¾nh đe 1.2.1 C ∞ (Ω) là m®t không gian Fréchet và D K là không gian con đóng cúa C ∞ (Ω), vói moi K ⊂ Ω

Như v¾y vói moi t¾p compact K ⊂ Ω thì D K (Ω) là m®tkhông gian Fréchet Hop tat cá các không gian đó lai ta có m®tkhông gian quan trong, đó là không gian các hàm thú

Đ%nh nghĩa 1.2.1 Ta ký hi¾u D(Ω) là t¾p hop:

D(Ω) = {φ ∈ C ∞ (Ω) : supp φ là t¾p compact trong Ω }.

Khi đó ta goi D(Ω) là không gian các hàm thú.

De thay D(Ω) = S∞ D K j (Ω) nên D(Ω) là không gian vectơ Hơn

M¾nh đe 1.2.2 Không gian các hàm thú D(Ω) là m®t không gian vectơ topo loi đ%a phương.

Không gian các hàm thú là không gian quan trong trong giái tíchhi¾n đai Nó là công cu đe xây dnng các khái ni¾m mói cũng như

mó r®ng các khái ni¾m đã có Sau đây ta thùa nh¾n các tính chatcna D(Ω).

Đ%nh lí 1.2.1 Cho không gian D(Ω) vói topo τ Ta có:

1. Dãy các hàm thú {φ l } ∞ h®i tn theo topo τ tói φ0 trong D(Ω) khi

và chs khi ton tai j ∈ N ∗ sao cho supp φ l ⊂ K j vói moi l ∈ N ∗ và

φ l → φ0 trong D K j (Ω), nghĩa là:

sup |∂ α φ l (x) − ∂ α φ0(x) | → 0 khi l → ∞

vói moi đa chs so α.

2 T¾p E ⊂ D(Ω) khi và chs khi ton tai j ∈ N ∗ sao cho E là t¾p con

b% ch¾n trong D K j (Ω) Đ¾c bi¾t neu {φ l } ∞ là dãy Cauchy trong D(Ω) thì ton tai j ∈ N ∗ sao cho φ l h®i tn trong D K j Ω và do đó h®i tn

trong

D(Ω).

vói moi j ∈ N ton tai N j ∈ N và hang so c j > 0 sao cho:

Đ%nh lí 1.2.2 Trong không gian các hàm thú

1 Phép lay vi phân ∂ α : φ ›→ ∂ α φ là tuyen tính và liên tnc trên

D(Ω), vói moi đa chs so α.

1

1

2 Vói moi f ∈ C ∞ (Ω) thì ánh xa M f : φ ›→ fφ cũng là tuyen tính liên tnc trên D(Ω).

1.3 Hàm suy r®ng Schwartz

Đ%nh nghĩa 1.3.1 Moi phiem hàm u : D(Ω) → C tuyen tính và liên tnc trên D(Ω) đưoc goi là m®t hàm suy r®ng hay hàm suy r®ng Schwartz.

Không gian các hàm suy r®ng trên Ω đưoc ký hi¾u D r(Ω) Vói

moi hàm suy r®ng u ta viet u(φ) là (u, φ) vói φ ∈ D(Ω).

Như v¾y D r(Ω) là không gian đoi ngau cna D(Ω) Dna vào tính liên

tuc cna phiem hàm trên D(Ω) ta có:

M¾nh đe 1.3.1 Cho u là m®t phiem hàm tuyen tính trên D(Ω) Các

m¾nh đe sau là tương đương:

i) u ∈ D r(Ω)

ii) Vói moi t¾p compact K ⊂ Ω, ton tai m®t so thnc c > 0 và m®t

so nguyên không âm N, sao cho:

Ta biet rang trong (1.3) neu ta thay N bói N r > N thì van đúng.

Ta goi so N nhó nhat thóa mãn (1.3) là cap cna hàm suy r®ng Neu

không chon đưoc N như v¾y thì ta nói rang hàm suy r®ng đó có cap

vô han

1

Chú ý 1.3.1 Dr(Ω) là không gian vectơ vói các phép toán đưoc xâydnng trên C như sau:

- Phép c®ng: Vói moi u, v ∈ D r (Ω) ta đ%nh nghĩa u + v như sau:

(u + v, φ) = (u, φ) + (v, φ) ∈ D(Ω).

Khi đó u + v ∈ D r(Ω)

-Phép nhân vái phan tN vô hưáng: Vói moi u ∈ D r(Ω) và moi

so phúc λ ta đ%nh nghĩa λu như sau:

Chon N = 0 và c = ¸K |f (x)|dx thì ta thay f là hàm suy r®ng cap 0.

2 Tương tn vói moi hàm f ∈ L p(Ω) cũng là m®t hàm suy r®ng

Ví dn 1.3.2 (Hàm Dirac) Hàm Dirac ký hi¾u là δ đưoc xác đ%nh

như sau:

δ : D(R n) → C và (δ, φ) = φ(0)

là m®t hàm suy r®ng cap 0.

Th¾t v¾y, vói moi t¾p compact K ⊂ R n và vói moi φ ∈ D(R n)

sao cho supp φ ⊂ K ta có |(δ, φ)| = |φ(0)| ≤ 1 sup |φ(x)|.

the thì f là hàm suy r®ng có cap vô han.

Th¾t v¾y, chon φ ∈ D(Ω) sao cho φ(x) = 1, x ∈ [−1 ; 1 ],

s

j α

supp u = Ω\(S{K|K mó } ⊂ Ω và u| K = 0)

Neu u có supp u là t¾p compact trong Ω thì ta nói u là hàm suy r®ng có giá compact T¾p hop các hàm suy r®ng có giá compact đưoc ký hi¾u bói E r (Ω).

1.4 Đao hàm cúa hàm suy r®ng

M®t trong nhung lý do can mó r®ng khái ni¾m hàm đó là moi hàm trong đó phái khá vi Trong không gian D r(Ω) ta có:

M¾nh đe 1.4.1 Cho u ∈ D r (Ω) là m®t hàm suy r®ng Khi đó, vói

moi đa chs so α ∈ N n toán tú tuyen tính, đưoc ký hi¾u ∂ α u xác đ

do đó ∂H = δ.

Ví dn 1.4.2 Vói f (x) = ln|x|, ta có f ∈ L1(R) do đó f có the đưoc

xem như m®t hàm suy r®ng theo cách sau:

−∞

x

lo c x

x

x

lo c

x

d x

s→o+ −∞ x s

x ¸ +∞ φ ( x )

−∞ x dx và đưoc goi là tích phân chính cna −∞ x dx

1.5 Bien đoi Fourier cúa hàm suy r®ng

1.5.1 Bien đoi Fourier trong S(R n)

Đ%nh nghĩa 1.5.1 Ta ký hi¾u S(R n ) là t¾p hop tat cá các hàm f ∈

- Ta có the chúng minh đưoc rang S(R n) cùng vói ho núa chuan

(1.5) là m®t không gian Fréchet Hơn nua D(R n) ⊂ S(R n)

fˆ(ξ) = (2π) −n/2 ¸

Rn

e −ixξ f (x)dx, ξ

Hà

Bien đoi Fourier cũng có the đưoc đ%nh nghĩa:

fˆ(ξ) = ¸ e −ixξ f (x)dx, ξ ∈ R n Hai cách đ%nh nghĩa này tương

đương

∈

R

n

M¾nh đe 1.5.1 Cho φ ∈ S(R n ) Ta có:

(i) (D α φ)ˆ(ξ) = ξ α φˆ(ξ) vói moi đa chs so α,

(ii) (D β φˆ)(ξ) = ((−x) β φ)ˆ(ξ) vói moi đa chs so β,

Rn

1.5.2 Bien đoi Fourier trong S r(Rn)

Đ%nh nghĩa 1.5.4 Ta goi hàm suy r®ng u ∈ D r(Rn ) là m®t hàm

suy r®ng tăng ch¾m neu u liên tnc trên S(R n ) T¾p hop các hàm

suy r®ng tăng ch¾m đưoc ký hi¾u S r(Rn ) M®t dãy (u j ) trong

S r(Rn ) đưoc goi là h®i tn tói u ∈ S r(Rn ) neu (u j , φ) → (u, φ), ∀φ ∈ S(R n ).

Nh¾n xét 1.5.2.

- De thay rang S r(Rn) ⊂ D r(Rn ) và hơn nua u ∈ S r(Rn) khi và

chí khi moi dãy (φ j ) h®i tu tói 0 trong S(R n) thì (u, φ j ) → 0 khi j

m®t hàm suy

(uˆ, φ) = (u, φˆ

)

Đ%nh nghĩa trên là xác đ%nh vì neu φ j → 0 trong S(R n ) khi j → ∞

thì φˆ → 0 trong S(R n ) khi j → ∞ Do đó ve phái cna (1.9 ) xác đ

%nh m®t hàm suy r®ng tăng ch¾m

Vì L1(Rn) ⊂ S r(Rn ) nên neu f ∈ L1(Rn) thì ta có hai cách đ%nh

nghĩa khai trien Fourier cna f

+ Neu f theo nghĩa là hàm thông thưòng thì khai trien Fourier cna

Ta biet rang không gian L p(Rn ), 1 ≤ p ≤ ∞ là không gian Banach

tách đưoc vói chuan ||f || L p = (¸Rn |f (x)| dx)1p

2.1.1 Tích ch¾p trong không gian L p(Rn)

Rn

¸

Rn

Ta thay ve phái (2.1) xác đ%nh hau khap nơi và hơn nua ta có:

M¾nh đe 2.1.1 Bat đang thúc Young

||f ∗ g|| L p ≤ ||f || L1 ||g|| L p

20

p

tù đó ta có ||f ∗ g|| L p ≤ ||f || L1 ||g|| L p M¾nh đe đưoc chúng minh.

Nói riêng, neu p = 1 thì đ%nh nghĩa (2.1.1) xác đ%nh m®t phéptoán trên L1(Rn) và m®t đai so Banach trên L1(Rn) không có phan

tú đơn v%

Neu p = ∞ ta van dùng đ%nh nghĩa (2.1.1) đe đ%nh nghĩa tích ch¾p và

bat đang thúc (2.1) van đúng

2.1.2 Tích ch¾p cúa hai hàm suy r®ng

Đ%nh nghĩa 2.1.2 Cho u, v ∈ D r(Rn ), tích ch¾p cúa hai hàm

suy r®ng u và v là m®t phiem hàm tuyen tính, ký hi¾u u ∗ v xác đ

M¾t

khác

(δ(y), (u(x), φ(x + y))) = (u(x), φ(x)).

V¾y nên u ∗ δ = δ ∗ u = u vói moi u ∈ D r(Rn)

b) Đ%nh nghĩa tích ch¾p ó trên cũng hop l¾ vói f, g ∈ L1(Rn)

Th¾t v¾y vói φ ∈ D(R n) tùy ý đ¾t:

và |f (y)h(y)| ≤ c||g|| L1 |f (y)| do đó (f (y), (g(x), φ(y + x))) luôn ton

tai nên f ∗ g ton tai.

và (ρ ∗ u)(x) là hàm khá vi vô han trên R n

2.2 Tích cúa m®t hàm trơn và m®t hàm suy r®ng

Đ%nh nghĩa 2.2.1 Cho f ∈ C ∞ (Ω) và u ∈ D r (Ω) tùy ý Tích cúa

hàm f và hàm suy r®ng u đưoc ký hi¾u là fu và đưoc xác đ%nh như sau:

Ta nh¾n thay φ ∈ D(Ω) nên fφ ∈ D(Ω) do đó ve phái cna

trên hoàn toàn xác đ%nh trong D r(Ω)

Tù đó suy ra đieu phái chúng minh.

2.3 Tích cúa hai hàm suy r®ng tùy ý

é trên chúng ta đ%nh nghĩa tích cna m®t hàm trơn f ∈ C ∞(Ω)

và m®t hàm suy r®ng u ∈ D r(Ω) Bây giò chúng ta muon đ%nhnghĩa tích cna hai hàm suy r®ng tùy ý, nói riêng trên Rm, rõ ràngkhông the dùng cách (2.2) cho hai hàm suy r®ng vì fφ có the không là hàm thú neu f ∈ D r(Rm ) và φ ∈ D(R m) Sau đây chúng ta

se cùng trao đoi m®t so cách đ%nh nghĩa tích hai hàm suy r®ng

2.3.1 Đ%nh nghĩa cúa Mikusinski

Đ%nh nghĩa 2.3.1 M®t dãy (δ n ), n = 1, 2, các phan tú cúa D(R m)

đưoc goi là m®t dãy Delta neu thóa mãn:

a) supp δ n ⊂ {x ∈ R m : |x| ≤ ε n } vói lim

¸

Rm δ n (x)dx = 1.

Đ%nh nghĩa 2.3.2 Ta nói rang S và T có the lay tích S.T neu vói

moi dãy Delta (δ n ), n = 1, 2, , thì giói han lim (S ∗ δ n )(T ∗ δ n)

tai trong D r(Rm ) và giói han đó không phn thu®c vào vi¾c chon dãy

Delta.

Cơ só cna đ%nh nghĩa (2.3.2) là do lim

n→∞ δ n = δ trong D r(Rm) do đólim

So hang đau tiên dan tói 0 khi n → ∞ vì δ − ∗ δ n là hàm chan Ta se

đi chúng minh so hang thú hai ó ve trái h®i tu tói 1 φ r(0) Th¾t v¾y ta

M¾nh đe 2.3.1 Trong D r(R) ta không the tính δ.δ theo Đ%nh nghĩa

(2.3.2)

n

n

2 −∞

Chúng minh Th¾t v¾y, ngưoc lai chúng ta giá sú rang ton tai δ2

∈ D r(R) Lay dãy Delta tùy ý (δn ), n = 1, 2, , ta có giói han lim (δ2, ψ)

Do sn ton tai cna giói han lim (δ2 , ψ) nên có dãy (δ n ), n = 1, 2, b

%

ch¾n trong L2(R) Mà trong L2(R) thì hình cau đóng đơn v% là

compact yeu nên ton tai dãy con (δ n k ), k = 1, 2, cna dãy (δ n ), n =

tó rang δ = g ∈ L2(R) dan đen mâu thuan V¾y chúng tó không ton

tai δ2 theo đ%nh nghĩa Mikusinski Ta cũng có the ket lu¾n rang dãy

(δ2 ), n = 1, 2, không h®i tu trong D r(R)

Như v¾y cách đ%nh nghĩa cna Mikusinski chưa giái quyet tri¾t

đe vi¾c lay tích hai hàm suy r®ng

2.3.2 Đ%nh nghĩa dNa trên khai trien Fourier

Vói u ∈ D r(Rm) có giá compact, ta đ¾t:

uˆ(ξ) = (u(x), e −ix.ξ ), uˇ(x) =

1

(u(ξ), e iξ.x )

Goi M (R m ) bao gom tat cá các c¾p (u, v) ∈ D r(Rm) × D r(Rm) sao cho

∀x ∈ R m, ton tai m®t lân c¾n Ωx cna x sao cho: 1.

(ωu)ˆ(ψv)ˇkhá tích trên R m vói ∀ω, ψ ∈ D(Ω x),

Đ%nh nghĩa 2.3.3 Neu u, v ∈ M (R m ), tích cúa u và v trong D r(Ωx ),

ký hi¾u uv xác đ%nh trên Ω x như sau:

supp ω.

Ta có the kiem tra đ%nh nghĩa trên là hoàn toàn xác đ%nh và

không phu thu®c vào vi¾c lna chon ψ.

Tuy nhiên đ%nh nghĩa này cũng có han che đó là ta không the lay

tích chang han là δ2 hay 1 δ.

Th¾t v¾y neu ton tai δ2, ta lay x = 0, ω và ψ ∈ D(Ω0) sao cho ω(0)

=

ψ(0) = 1 và ψ = 1 trên supp ω ó đây Ω0 là m®t lân c¾n cna điem

0 Giá sú rang δ2 ∈ M (R) thì (ωδ)ˆ(ψδ)ˇkhá tích trên R M¾t khác

ta lai

có (ωδ)ˆ= 1 và (ψδ)ˇ= 1 , chúng tó

lý V¾y chúng tó δ2 không thu®c M (R).

Ta cũng có the chúng minh không ton tai 1 δ theo cách chúng minh

δ n (x) ≥ 0 và hai tích đó bang nhau.

M¾c dù ó trên các nhà toán hoc đã co gang xây dnng nhung đ

%nh nghĩa cho tích hai hàm suy r®ng Các cách đó là tn nhiênnhưng rõ ràng là chưa giái quyet tri¾t đe van đe tích cna hai hàmsuy r®ng Van có nhung ngh%ch lý trong vi¾c lay tích hai hàm suyr®ng Chang han, ta có 1 .x = 1 và x.δ = 0 trong D r(Ω) Neu ta ápdung nó trong D(Ω) ta se có:

M®t ví du khác ve hàm Heaviside H(x) Ta biet rang H n = H, n

%nh

Đ%nh nghĩa 2.3.4 T¾p hop E M [Rn ] gom các hàm R(φ, x) trong E

[Rn ] thóa mãn vói moi t¾p compact K ⊂ R n và moi phép lay vi phân ∂ α ton tai so tn nhiên N ∈ N ∗ sao cho vói moi φ ∈ A N chúng

Đ%nh nghĩa 2.3.5 T¾p hop I gom các hàm R(φ, x) cúa E [R n ] thóa

mãn vói moi t¾p compact K ⊂ R n và moi phép lay vi phân ∂ α ton tai

so tn nhiên N ∈ N ∗ và β ∈ Γ sao cho vói moi q ≥ N và moi φ ∈

là các phan tú đai di¾n cna f¯ và g¯.

Phép c®ng và phép nhân hai hàm suy r®ng Colombeau đưoc thnc hi¾n như sau:

f¯1 + f¯2 = f1 +

f2 + I;

f¯1.f¯2 = f1.f2 + I