Cách xác định tích các hàm suy rộng của mikusinski

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN THỊ NHỊ CÁCH XÁC ĐỊNH TÍCH CÁC HÀM SUY RỘNG CỦA MIKUSINSKI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2NGUYỄN THỊ NHỊ C

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NHỊ

CÁCH XÁC ĐỊNH TÍCH CÁC HÀM SUY RỘNG CỦA MIKUSINSKI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NHỊ

CÁCH XÁC ĐỊNH TÍCH CÁC HÀM SUY RỘNG CỦA MIKUSINSKI

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Tạ Ngọc Trí

HÀ NỘI, 2015

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Tạ Ngọc Trí Sự giúp đỡ

và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tácgiả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toángiải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiệnthuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Nguyễn Thị Nhị

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí.

Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Nguyễn Thị Nhị

Mở đầu 1

1.1 Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản 4

1.2 Không gian Banach 5

1.3 Không gian Fréchet 6

1.4 Không gian các hàm thử 6

1.5 Không gian Lp 9

2 Không gian hàm suy rộng Schwartz 12 2.1 Không gian hàm suy rộng D0(Ω) 12

2.1.1 Định nghĩa 12

2.1.2 Đạo hàm suy rộng 14

2.1.3 Cấp của hàm suy rộng 16

2.1.4 Sự hội tụ trong không gian hàm suy rộng D0(Ω) 17

2.2 Phương pháp tính tích hai hàm suy rộng và tính chất 18

2.2.1 Tích hai hàm suy rộng 18

2.2.2 Tính chất 21

2.2.3 Sự không tồn tại tích các hàm suy rộng tổng quát theo nghĩa thông thường 22

3 Cách xác định tích hai hàm suy rộng theo Mikusinski 24

1

3.1 Mở đầu 243.2 Ví dụ về tích hai hàm suy rộng theo Mikusinski 253.3 Tích hai hàm suy rộng Colombeau theo cách của Mikusinski 283.3.1 Hàm suy rộng Colombeau 293.3.2 Số Colombeau 373.3.3 Ví dụ về tích hai hàm suy rộng Colombeau theo cách xác

định của Mikusinski 39

đến “Lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz” Lý thuyết Hàm suy rộng pháttriển bởi L.Schwartz đã mở cánh cửa quan trọng cho sự phát triển của Toán họchiện đại, đặc biệt là trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Với

lý thuyết đó, L.Schwartz đã nhận được giải thưởng Fields vào năm 1950 Tuynhiên, chẳng bao lâu sau khi giới thiệu về lý thuyết hàm suy rộng, L.Schwartz

đã đưa ra kết luận về một “kết quả không thể” trong việc lấy tích hai hàm suyrộng tổng quát Trong kết luận đó, L.Schwartz cho rằng không thể lấy tích haihàm suy rộng bất kỳ mà vẫn thoả mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm củamột tích Tuy nhiên rất nhiều ứng dụng cần lấy tích hai hàm suy rộng Rấtnhiều nhà Toán học đã nghiên cứu tìm kiếm một con đường xung quanh “kếtquả không thể” của L.Schwartz để có thể giải quyết vấn đề này Họ đã cố gắng

để tìm phương pháp xác định tích của hai hàm suy rộng bất kỳ Mikusinski đãđưa ra một cách xác định tích hai hàm suy rộng và cách này đã giải quyết đượcmột phần vấn đề nhân hai hàm suy rộng Khi tham gia nghiên cứu, tác giả đãlựa chọn vấn đề xem xét lấy tích hai hàm suy rộng và tập trung vào tìm hiểuphương pháp xác định tích hai hàm suy rộng của Mikusinski và các vấn đề liênquan Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của Toán học hiện đại, dưới

sự định hướng và hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựa chọn đề tài “Cáchxác định tích các hàm suy rộng của Mikusinski” cho luận văn tốt nghiệpthạc sĩ của mình Trong luận văn này, tôi sẽ tóm tắt những kiến thức cơ bản

về lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz cùng với kết quả không thể của ông.Tiếp theo, luận văn sẽ trình bày một cách xác định tích hai hàm suy rộng củaMikusinski và các tính chất, ví dụ tương ứng Từ đó cho thấy sự phát triển củavấn đề và ý nghĩa của việc xây dựng đại số hàm suy rộng Colombeau

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz, cách xác định tích haihàm suy rộng của Mikusinski Từ đó cho thấy ý nghĩa của việc xây dựng đại sốhàm suy rộng Colombeau và xem xét ví dụ cụ thể về xác định tích hai hàm suyrộng theo cách của Mikusinski

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng L.Schwartz

• Tìm hiểu cách xác định tích hai hàm suy rộng của Mikusinski và các vấn

đề liên quan

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng: lý thuyết hàm suy rộng và việc lấy tích hai hàm suy rộng

• Phạm vi: các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liên quan đến hàm suyrộng và tích hai hàm suy rộng

5 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng các kiến thức, phương pháp và công cụ của giải tích hàm để tiếpcận vấn đề

• Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo mới

về vấn đề tích hai hàm suy rộng

6 Đóng góp mới

Luận văn là tài liệu liên quan đến vấn đề tích hai hàm suy rộng trong khônggian các hàm suy rộng Schwartz và vấn đề xác định tích của hai hàm suy rộngtheo Mikusinski

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này hệ thống lại một số thuật ngữ, khái niệm và kết quả về nhữngkhông gian để làm cơ sở cho việc tiếp cận các kiến thức ở chương tiếp theo Cáckiến thức sau đây được tham khảo trong [1]

1.1 Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản

Ta gọi mỗi phần tử α = (α1, α2, , αn) ∈ Nn là một n- chỉ số (hay đa chỉ số)với bậc |α| = α1+ α2+ + αn.

Với mỗi đa chỉ sốα, toán tử vi phân ký hiệu∂α = ∂α1 ∂α2 ∂αn , ở đây∂j = ∂x∂

Ta ký hiệu Ck(Ω) là tập hợp các hàm khả vi liên tục đến cấp k Với f, g ∈

Ck(Ω) thì đạo hàm của một tích theo công thức Leibniz

1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1 ChoX là một không gian vectơ trên trường số K (R hoặc C).Một ánh xạ p : X →R được gọi là một chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điềukiện sau:

(i) p(x) ≥ 0 ∀x ∈ X,

p(x) = 0 ⇔ x = θ (θ là kí hiệu phần tử không trong X );

(ii) p(λx) = |λ| p(x) với mọi số λ ∈ K và mọi x ∈ X;

(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ X.

Số p(x)được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ p(x), thông thường ta kí hiệu

kxk thay cho p(x) Không gian vectơ X cùng với chuẩn k k trong nó được gọi làmột không gian định chuẩn, kí hiệu (X, k k)

Định lý 1.1 Giả sử X là một không gian định chuẩn Với mọi x, y ∈ X, đặt

ρ(x, y) = k(x − y)k

Khi đó, ρ là một metric trên X

Định nghĩa 1.2 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụđến x 0 ∈ X nếu

Định lý 1.2 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi là một dãy cơbản (hay dãy Cauchy) nếu

lim

m,n→∞ kxm− xnk = 0.

Định nghĩa 1.3 Không gian metric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchyđều hội tụ

Định nghĩa 1.4 Giả sử không gian định chuẩn X là không gian metric đầy

đủ với khoảng cách ρ(x, y) = k(x − y)k
Khi đó X được gọi là một không gianđịnh chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach

1.3 Không gian Fréchet

Định nghĩa 1.5 Một không gian Fréchet là một không gian vectơ lồi địaphương, khả metric và đầy đủ

1.4 Không gian các hàm thử

Cho Ω là một tập khác rỗng và Ω ⊂Rn Ta ký hiệu C∞(Ω) là tập hợp nhữnghàm f giá trị phức xác định trên Ω sao cho ∂αf tồn tại với mọi đa chỉ số α.Giá của hàm liên tục f : Ω →C là tập hợp ký hiệu suppf , được xác định bởi

suppf = cl {x ∈ Ω : f (x) 6= 0} Nếu K là một tập compact trong Rn, ta ký hiệu

DK là tập hợp {f ∈ C∞(Rn) : suppf ⊆ K} Ta thừa nhận các bổ đề sau

Bổ đề 1.1 Cho Ω ⊂ Rn, Ω 6= ∅ Khi đó tồn tại các tập compact {Kj} , j =

1, 2, 3, thỏa mãn Kj ⊂ intKj+1, ∞∪

j=1 Kj = Ω

Vì vậy, kể từ đây, trong luận văn này ta ký hiệu K là một tập compact của

Ω và Kj là một trong các tập compact trong họ Kj nói trong bổ đề trên

Bổ đề 1.2 C∞(Ω) là một không gian Fréchet và DK là không gian con đóngcủa C∞(Ω) với mọi K ⊂ Ω

Chọn các tập compact Kj, j = 1, 2, , sao cho Kj nằm trong phần trong của

Kj+1 (ký hiệu intKj+1) và Ω = ∞∪

j=1 Kj Họ các nửa chuẩnpN với N = 1, 2, , xácđịnh bởi pN(f ) = max {|∂αf (x)| : x ∈ KN, |α| ≤ N } có tính chất: các điểm táchthuộc C∞(Ω) và tạo một tôpô với một cơ sở địa phương đếm được Từ đó ta cóđịnh nghĩa 1.6 và định lý 1.3

Như vậy, với mọi tập compact K ⊂ Ω thì DK(Ω) là một không gian Fréchet.Hợp tất cả các không gian đó lại ta có không gian các hàm thử

Định nghĩa 1.6 Ta ký hiệu D(Ω) là tập hợp

D(Ω) = {φ ∈ C∞(Ω) : suppφ là tập compact trong Ω }

Khi đó ta gọi D(Ω) là không gian các hàm thử (test function)

Chứng minh Theo nhận xét trên ta cóDK(Ω)là không gian Fréchet Ta ký hiệu

τK là tôpô trên không gian DK(Ω) , β là họ tất cả các hợp W tập cân, lồi của

D(Ω) sao cho DK∩ W ∈ τK với mọi tập compact K ⊂ Ω Gọi τ là họ tất cả cáctập hợp có dạng φ + W với φ ∈ D(Ω) và W ∈ β

a) Ta chứng minh τ là một tôpô trên D(Ω) và β là một cơ sở lân cận của τ

Thật vậy, với V1, V2 ∈ τ và φ ∈ V1∩ V2 ta chỉ cần chứng minh tồn tại W ∈ β

sao cho φ + W ∈ V1 ∩ V2 Ta có, do φ ∈ Vi, (i = 1, 2) nên tồn tại φi ∈ D(Ω) và

W i ∈ β sao cho

φ ∈ φ i + W i , i = 1, 2

Chọn tập compactK ⊂ Ω sao cho φ, φi ∈ DK, i = 1, 2 DoDK∩ Wi mở trong DK

nên tồn tại δi> 0, i = 1, 2 sao cho

φ − φ i ∈ (1 − δ i )W i

Do Wi là tập lồi nên

φ − φi+ δiWi⊂ (1 − δi)Wi+ δiWi = Wi.

Suy ra

φ + δiWi ⊂ φi+ Wi, i = 1, 2.

Từ đó ta chọn W = (δ1W1) ∩ (δ2W2)thì φ + W ∈ V1∩ V2 Vậy τ là một tôpô trong

D(Ω) Hiển nhiên β là một cơ sở của τ Giả sử φ1, φ2 là hai phần tử tùy ý của

b) Bây giờ ta chứng minh các phép toán trên D(Ω) liên tục với tôpô τ Với mọi

φ1, φ2 ∈ D(Ω) và φ1+ φ2+ W ∈ τ với W ∈ β Khi đó, do W là cân nên 1

2W ∈ β,suy raφ1+1

là không gian lồi địa phương

Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải tích hiệnđại Nó là công cụ để xây dựng các khái niệm mới, cũng như mở rộng các kháiniệm đã có Sau đây, ta thừa nhận các tính chất của D(Ω).

Định lý 1.4 Cho không gian D(Ω) với tôpô τ Ta có

1 Dãy các hàm thử {φl}∞l=1 hội tụ theo tôpô τ tới φ 0 trong D(Ω) khi và chỉ khitồn tại j ∈ N∗ sao cho suppφl ⊂ K j với mọi l ∈ N∗ và φl → φ 0 trong DKj(Ω),nghĩa là

sup

x∈K j

|∂αφl(x) − ∂αφ0(x)| → 0 khi l → ∞ (1.3)với mọi đa chỉ số α

2 Tập E ⊂ D(Ω) khi và chỉ khi tồn tạij ∈N∗ sao cho E là tập con bị chặn trong

DKj(Ω) Đặc biệt, nếu {φl}∞l=1 là dãy Cauchy trong D(Ω) thì tồn tại j ∈ N∗ saocho φl hội tụ trong DKj(Ω) và do đó hội tụ trong D(Ω)

3 Một phiếm hàm tuyến tính Λ : D(Ω) →C liên tục khi và chỉ khi với mọi j ∈N

tồn tại Nj ∈N và hằng số cj > 0 sao cho

1 Phép lấy vi phân ∂α : φ 7→ ∂αφ là tuyến tính và liên tục trên D(Ω) với mọi đachỉ số α

2 Với mọi f ∈ C∞(Ω) thì ánh xạ Mf : φ 7→ f φ cũng là tuyến tính liên tục trên

Phần tử của G gọi là tập đo được Đôi khi ta viết |A| thay cho µ(A) Tập

A ∈ G với tính chất µ(A) = 0 gọi là tập có độ đo không Ta nói rằng, một tínhchất nào đó đúng hầu khắp nơi trên X nếu tính chất đó đúng khắp nơi trên X

ngoại trừ một tập có độ đo không nào đó của X

Hàm f : X →R gọi là đo được trên A nếu

f (x)d(x) < ∞ thì ta nói f (x) khả tích trên A Ta luôn quy ước hai hàm

f, g đo được trên X là bằng nhau nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơi trên X,nghĩa là

µ {x ∈ X : f (x) 6= g(x)} = 0.

Định nghĩa 1.8 Cho (X,G, µ) là một không gian đo được Kí hiệu L1(X, µ),

(hoặc L1) là không gian các hàm khả tích trên X với

Cho p ∈ R với 1 < p < ∞, kí hiệu Lp là không gian các hàm f (x) có lũy thừabậc p khả tích trên X, nghĩa là |f (x)|p∈ L 1 với

Kí hiệu L∞ là không gian các hàm đo được trên X sao cho tồn tại hằng số C

để |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trên X với

kf kL∞ = kf kp = intC : |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trên X .

Định nghĩa 1.9 (Không gian Lp) Cho (X,G, µ) là một không gian đo được

Họ tất cả các hàm số f (x) có lũy thừa bậc p ( 1 ≤ p < ∞) của modun khả tíchtrên X, tức là

gọi là không gian Lp(X, µ).

Khi đóLp(X, µ)là tập hợp các lớp tương đương (nghĩa là bằng nhau hầu khắpnơi) Khi X là một tập đo được Lebesgue trong Rk, µ là độ đo Lebesgue thì taviết Lp(X) Nếu X = [a, b] ⊂ R1, µ là độ đo Lebesgue thì ta viết Lp(a, b) hoặc

Lp[a,b] và nếu X = [0, 1] thì ta viết đơn giản Lp.

Định lý 1.6 Các không gian Lp với chuẩn cho bởi kf kLp như trong định nghĩatrên là những không gian Banach

Chương 2

Không gian hàm suy rộng Schwartz

Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết hàmsuy rộng Schwartz Các kiến thức sau đây được tham khảo trong [2], [5] và [8]

2.1 Không gian hàm suy rộng D0(Ω)

2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.1 Mỗi phiếm hàm u : D(Ω) → C tuyến tính liên tục với tôpô

trênD(Ω)được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz Không giancác hàm suy rộng trên Ω được kí hiệu D0(Ω) Với mỗi hàm suy rộng u ∈ D0(Ω)

tác động lên mỗi φ ∈ D(Ω) được viết là hu, φi Hai hàm suy rộng u, v ∈ D0(Ω)

được gọi là bằng nhau nếu

hu, φi = hv, φi , ∀φ ∈ D(Ω).

Chú ý 2.1.1 D0(Ω) là không gian vectơ với các phép toán được xây dựng trên

C như sau:

Phép công: Với mọi u, v ∈ D0(Ω) ta định nghĩa u + v như sau:hu + v, φi =

hu, φi + hv, φi , ∀φ ∈ D(Ω) Khi đó u + v ∈ D0(Ω).

Phép nhân với phần tử vô hướng: Với mọi u ∈ D0(Ω) và mọi số λ ta địnhnghĩa λu như sau: hλu, φi = λ hu, φi , ∀φ ∈ D(Ω) Khi đó λu ∈ D0(Ω).

Định nghĩa 2.2 Cho u ∈ D0(Ω)

1 Hàm suy rộng u được gọi là bằng 0 trên tập mở K ⊂ Ω, kí hiệu u |K = 0 nếu

f (x)φ(x)dx. Thật vậy, với mỗi tập compact K ⊂ Ω và mọi hàm

φ ∈ D(Ω) sao cho suppφ ⊂ K ta có

|hf, φi| =

Z

Ω

f (x)φ(x)dx

=

2.2 Phương pháp tính tích hai hàm suy rộng và tính

chất

2.2.1 Tích hai hàm suy rộng

a Tích chập của hai hàm suy rộng

Định nghĩa 2.6 Cho u, v ∈ D0(Rn), tích chập của hai hàm suy rộng u, v là mộtphiếm hàm tuyến tính, ký hiệu u ∗ v, xác định bởi:

hu ∗ v, φi = hu(y), hv(x), φ(x + y)ii , φ ∈ D(Rn).

Chú ý 2.2.1 (i) u ∗ δ = δ ∗ u = u với mọi u ∈ D0(Rn) Thật vậy, ta có δ có giácompact và

hu ∗ δ, φi = hu(y), hδ(x), φ(x + y)ii = hu(y), φ(y)i = hu, φi

Mặt khác

hδ ∗ u, φi = hδ(y), hu(x), φ(x + y)ii = hu(x), φ(x)i = hu, φi

Vậy nên u ∗ δ = δ ∗ u = u với mọi u ∈ D0(Rn).

(ii) Định nghĩa tích chập ở trên cũng hợp lệ với f, g ∈ L1(Rn) Thật vậy, với

φ ∈ D(Rn) tùy ý đặt:

h(y) =

Z

g(x)φ(x + y)dx,

1 |f (y)| Do đó hf (y), hg(x), φ(x + y)ii luôn tồn tại nên f ∗ g

tồn tại Mặt khác theo Fubini ta có

b Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng

Định nghĩa 2.7 Chof ∈ C∞(Ω), u ∈ D0(Ω) tùy ý Tích của hàm f và hàm suyrộng u ký hiệu là f u được xác định như sau:

hf u, φi = hu, f φi ∀φ ∈ D(Ω). (2.5)

Ta nhận thấy φ ∈ D(Ω) nên f φ ∈ D(Ω) Do đó vế phải của (2.5) hoàn toàn xácđịnh một hàm suy rộng Nghĩa là định nghĩa trên hoàn toàn xác định trong