Tích các hàm suy rộng

Lý do chọn đề tài Lý thuyết Hàm suy rộng được phát triển bởi L.Schwartz đã mở racánh cửa quan trọng cho sự phát triển của Toán học hiện đại, đặcbiệt là trong lĩnh vực phương trình đạo hà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Tạ Ngọc Trí

Hà Nội - 2012

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí.Thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báutrong học tập cũng như nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên

và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khókhăn trong chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kínhtrọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân thành cảm ơn Ban giám hiêu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùngcác quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúctốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.Tác giả xin trân trọng cảm ơn Sở GD&ĐT Phú Thọ, Ban giámhiệu trường THPT Yên Lập - Yên Lập - Phú Thọ, Tổ Toán - Lí - Tin

và đồng nghiệp đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm họctập và hoàn thành tốt luận văn

Hà Nội, tháng 07 năm 2012

Tác giả

Lê Quang

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa họccủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 07 năm 2012

Tác giả

Lê Quang

Mở đầu 5

Chương 1 Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz 8

1.1 Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản 8

1.2 Không gian các hàm thử 9

1.3 Hàm suy rộng Schwartz 12

1.4 Đạo hàm của hàm suy rộng 15

1.5 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng 17

1.5.1 Biến đổi Fourier trong S(R n ) 17

1.5.2 Biến đổi Fourier trong S0(Rn) 18

Chương 2 Tích các hàm suy rộng 20

2.1 Tích chập 20

2.1.1 Tích chập trong không gian Lp(Rn) 20

2.1.2 Tích chập của hai hàm suy rộng 22

2.2 Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng 24

2.3 Tích của hai hàm suy rộng tùy ý 25

2.3.1 Định nghĩa của Mikusinski 25

2.3.2 Định nghĩa dựa trên khai triển Fourier 28

2.3.3 Định nghĩa của Colombeau 30

2.3.4 Định nghĩa của Bagarello 40

3

Chương 3 Một số ví dụ về tích giữa hàm Delta và các đạo

hàm của nó 44

3.1 Tích xét theo nghĩa Colombeau 44

3.2 Tích xét theo nghĩa Bagarello 46

Kết luận 55

Tài liệu tham khảo 56

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết Hàm suy rộng được phát triển bởi L.Schwartz đã mở racánh cửa quan trọng cho sự phát triển của Toán học hiện đại, đặcbiệt là trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng Với lý thuyết đó,L.Schwartz đã được nhận giải thưởng Fields năm 1950 Lý thuyếtHàm suy rộng của L.Schwartz đóng vai trò quan trọng trong lý thuyếtphương trình đạo hàm riêng tuyến tính Tuy nhiên những bài toán phituyến dẫn đến việc xem xét lấy tích hai hàm suy rộng Về vấn đề nàyL.Schwartz đã đưa ra kết luận về một "kết quả không thể" trong việclấy tích hai hàm suy rộng tổng quát Trong kết luận đó L.Schwartzcho rằng không thể lấy tích hai hàm suy rộng bất kỳ mà vẫn thỏamãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm của một tích Tuy nhiên rấtnhiều ứng dụng cần lấy tích hai hàm suy rộng Nhiều nhà Toán học

đã nghiên cứu để có thể giải quyết vấn đề này Họ đã cố gắng tìm ranhững cách định nghĩa tích hai hàm suy rộng bất kỳ Một số cách đãgiải quyết được một phần vấn đề nhân hai hàm suy rộng Trong đó cóthể kể đến phương pháp của Mikusinski với việc định nghĩa thông quagiới hạn dãy, hay phương pháp lấy tích dựa trên khai triển Fourier.Tuy nhiên các cách đó chưa giải quyết một cách đầy đủ vấn đề tíchhai hàm suy rộng

Vào năm 1980, một lý thuyết mới về hàm suy rộng đã được nhàtoán học Pháp là J.F.Colombeau giới thiệu Trong lý thuyết này, hàm

suy rộng của L Schwartz được coi như một tập con và trong đó có thểlấy tích hai hàm suy rộng tùy ý Sau khi lý thuyết hàm suy rộng củaJ.F.Colombeau ra đời, nhiều nhà toán học đã ứng dụng và có nhữngkết quả quan trọng trong việc giải các phương trình đạo hàm riêngphi tuyến.

Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại,được sự định hướng và hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựachọn đề tài "Tích các hàm suy rộng" cho luận văn tốt nghiệp khóahọc thạc sỹ của mình Trong luận văn này, tôi sẽ tóm tắt những kiếnthức cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz Tiếp theo luậnvăn sẽ trình bầy các kết quả về tích các hàm suy rộng đã được cácnhà toán học Mikusinski, J.F.Colombeau, F.Bagarello nghiên cứu vàxây dựng Cuối cùng là những ví dụ cụ thể về tích giữa các hàm DeltaDirac cùng với các đạo hàm của nó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz,

• Tìm hiểu các định nghĩa về tích các hàm suy rộng,

• Nghiên cứu hướng phát triển tích của Colombeau và tích củaBagarello,

• Một số ví dụ và ứng dụng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Tích các hàm suy rộng, tích giữa các hàmDelta cùng với các đạo hàm của nó

Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nướcliên quan đến tích các hàm suy rộng

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếpcận vấn đề Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt làcác bài báo mới về vấn đề tích các hàm suy rộng

6 Dự kiến đóng góp mới

Luận văn có thể dẫn đến kết quả mới về tích các hàm suy rộng,đặc biệt là tích giữa các hàm Delta và các đạo hàm của nó

Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz

Chương này trình bày tóm tắt một số vấn đề xung quanh lý thuyếthàm suy rộng Schwartz Xem [8], [9], [10] và [11] để biết thêm chi tiết

1.1 Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản

Trong luận văn này, ta ký hiệu N=0,1,2, là tập các số tự nhiên,

N∗ là tập các số tự nhiên khác 0, Z là tập các số nguyên, R là tậpcác số thực và C là tập các số phức với đơn vị ảo i = √−1 Với mỗi

số tự nhiên n, tập Nn={α = (α1, α2, , αn)|αj ∈ N, j = 1, 2, n}, tập

Rn={x = (x1, x2, , xn)|xj ∈ R, j = 1, 2, n} là không gian thực nchiều với chuẩn Euclid:

Nếu không có gì đặc biệt thì ta hiểu Ω là một tập mở trong Rn Vớimỗi 1 ≤ p < ∞ ta ký hiệu Lp(Ω) = {f : Ω → C|RΩ|f (x)|pdx < +∞}.

Lp(Ω) là không gian định chuẩn với chuẩn:

Khi p = ∞ thì L∞(Ω) = {f : Ω → C|esssupx∈Ω|f (x)| < +∞}, trong

đó esssupx∈Ω|f (x)| = inf {M > 0 sao cho µ{x ∈ Ω||f (x)| > M } = 0}.Khi đó chuẩn trong L∞(Ω) là ||f (x)||∞ = esssupx∈Ω|f (x)|

Với mỗi α = (α1, α2, , αn) ∈ Nn, β = (β1, β2, , βn) ∈ Nn thì

β ≤ α nghĩa là βj ≤ αj, j = 1, 2, n Nếu β ≤ α ta viết:

αβ

Ta ký hiệu Ck(Ω) là tập hợp các hàm khả vi liên tục tới cấp k Với

f, g ∈ Ck(Ω) thì đạo hàm của một tích theo công thức Leibniz:

1.2 Không gian các hàm thử

Cho Ω là một tập khác rỗng và Ω ⊂ Rn Ta ký hiệu C∞(Ω) là tậphợp những hàm f giá trị phức xác định trên Ω sao cho ∂αf tồn tại với

mọi đa chi số α.

Giá trị hàm liên tục f : Ω → C, là tập hợp kí hiệu supp f được xácđịnh bởi supp f = cl{x ∈ Ω : f (x) 6= 0} Nếu K là một tập compacttrong Rn ta kí hiệu DK là tập hợp {f ∈ C∞(Rn) : supp f ⊆ K} Trướchết ta thừa nhận bổ đề sau:

Bổ đề 1.2.1 Cho Ω ⊂ Rn và Ω 6= ∅ Khi đó tồn tại dãy các tậpcompact {Kj}, (j = 1, 2, 3, ) thỏa mãn Kj ⊂ intKj+1 và S∞

j=1Kj =Ω

Do đó, từ bây giờ về sau, trong luận văn này ta ký hiệu K là mộttập compact của Ω và Kj là một trong các tập compact trong họ {Kj}nói trong bổ đề (1.2.1)

Mệnh đề 1.2.1 C∞(Ω) là một không gian Fréchet và DK là khônggian con đóng của C∞(Ω), với mọi K ⊂ Ω

Như vậy với mọi tập compact K ⊂ Ω thì DK(Ω) là một khônggian Fréchet Hợp tất cả các không gian đó lại ta có một không gianquan trọng, đó là không gian các hàm thử

Định nghĩa 1.2.1 Ta ký hiệu D(Ω) là tập hợp:

D(Ω) = {φ ∈ C∞(Ω) : supp φ là tập compact trong Ω}

Khi đó ta gọi D(Ω) là không gian các hàm thử

Dễ thấy D(Ω) = S∞

j=1DKj(Ω) nên D(Ω) là không gian vectơ Hơnnữa ta có:

Mệnh đề 1.2.2 Không gian các hàm thử D(Ω) là một không gianvectơ topo lồi địa phương.

Không gian các hàm thử là không gian quan trọng trong giải tíchhiện đại Nó là công cụ để xây dựng các khái niệm mới cũng như mởrộng các khái niệm đã có Sau đây ta thừa nhận các tính chất củaD(Ω)

Định lí 1.2.1 Cho không gian D(Ω) với topo τ Ta có:

1 Dãy các hàm thử {φl}∞l=1 hội tụ theo topo τ tới φ0 trong D(Ω) khi

và chỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho supp φl ⊂ Kj với mọi l ∈ N∗ và

φl → φ0 trong DKj(Ω), nghĩa là:

sup

x∈K j

|∂αφl(x) − ∂αφ0(x)| → 0 khi l → ∞với mọi đa chỉ số α

2 Tập E ⊂ D(Ω) khi và chỉ khi tồn tại j ∈ N∗ sao cho E là tập con

bị chặn trong DKj(Ω) Đặc biệt nếu {φl}∞l=1 là dãy Cauchy trong D(Ω)thì tồn tại j ∈ N∗ sao cho φl hội tụ trong DKjΩ và do đó hội tụ trongD(Ω)

3 Một phiếm hàm tuyến tính ∧ : D(Ω) → C liên tục khi và chỉ khivới mọi j ∈ N tồn tại Nj ∈ N và hằng số cj > 0 sao cho:

Định lí 1.2.2 Trong không gian các hàm thử

1 Phép lấy vi phân ∂α : φ 7→ ∂αφ là tuyến tính và liên tục trên D(Ω),với mọi đa chỉ số α

2 Với mọi f ∈ C∞(Ω) thì ánh xạ Mf : φ 7→ f φ cũng là tuyến tínhliên tục trên D(Ω).

1.3 Hàm suy rộng Schwartz

Định nghĩa 1.3.1 Mỗi phiếm hàm u : D(Ω) → C tuyến tính vàliên tục trên D(Ω) được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộngSchwartz

Không gian các hàm suy rộng trên Ω được ký hiệu D0(Ω) Với mỗihàm suy rộng u ta viết u(φ) là hu, φi với φ ∈ D(Ω)

Như vậy D0(Ω) là không gian đối ngẫu của D(Ω) Dựa vào tính liêntục của phiếm hàm trên D(Ω) ta có:

Mệnh đề 1.3.1 Cho u là một phiếm hàm tuyến tính trên D(Ω) Cácmệnh đề sau là tương đương:

với mọi φ ∈ D(Ω) và supp φ ⊂ K

iii) Mọi dãy {φ}∞j=1 hội tụ về 0 trong D(Ω) thì lim

j→0hu, φi = 0

Ta biết rằng trong (1.3) nếu ta thay N bởi N0 > N thì vẫn đúng

Ta gọi số N nhỏ nhất thỏa mãn (1.3) là cấp của hàm suy rộng Nếukhông chọn được N như vậy thì ta nói rằng hàm suy rộng đó có cấp

vô hạn

Chú ý 1.3.1 D0(Ω) là không gian vectơ với các phép toán được xâydựng trên C như sau:

- Phép cộng: Với mọi u, v ∈ D0(Ω) ta định nghĩa u + v như sau:

hu + v, φi = hu, φi + hv, φi ∈ D(Ω)

Ωf (x)φ(x)dx Thật vậy, với mọi tập compact K ⊂ Ω và mọi hàm

φ ∈ D(Ω) sao cho supp φ ⊂ K ta có:

2 Tương tự với mọi hàm f ∈ Lp(Ω) cũng là một hàm suy rộng

Ví dụ 1.3.2 (Hàm Dirac) Hàm Dirac ký hiệu là δ được xác địnhnhư sau:

δ : D(Rn) → C và hδ, φi = φ(0)

Thật vậy, chọn φ ∈ D(Ω) sao cho φ(x) = 1, x ∈ [−12;12], supp

supp u = Ω\(S{K|K mở } ⊂ Ω và u|K = 0)Nếu u có supp u là tập compact trong Ω thì ta nói u là hàm suy rộng

có giá compact Tập hợp các hàm suy rộng có giá compact được ký hiệubởi E0(Ω)

1.4 Đạo hàm của hàm suy rộng

Một trong những lý do cần mở rộng khái niệm hàm đó là mọi hàmtrong đó phải khả vi Trong không gian D0(Ω) ta có:

Mệnh đề 1.4.1 Cho u ∈ D0(Ω) là một hàm suy rộng Khi đó, vớimỗi đa chỉ số α ∈ Nn toán tử tuyến tính, được ký hiệu ∂αu xác địnhbởi:

h∂αu, φi = (−1)|α|hu, ∂αφi, φ ∈ D(Ω) (1.4)

Ví dụ 1.4.2 Với f (x) = ln|x|, ta có f ∈ L1loc(R) do đó f có thể đượcxem như một hàm suy rộng theo cách sau:

1.5 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng

1.5.1 Biến đổi Fourier trong S(Rn)

Ví dụ 1.5.1 Ta có hàm f (x) = e−|x|2, x ∈ Rn là một hàm giảmnhanh Nghĩa là f (x) ∈ S(Rn)

Định nghĩa 1.5.2 Cho hàm f ∈ L1(Rn) Ta ký hiệu ˆf là hàm xácđịnh bởi

Biến đổi Fourier cũng có thể được định nghĩa:

ˆ

f (ξ) =R

Rn e−ixξf (x)dx, ξ ∈ Rn Hai cách định nghĩa này tương đương

Mệnh đề 1.5.1 Cho φ ∈ S(Rn) Ta có:

(i) (Dαφ)ˆ(ξ) = ξαφ(ξ) với mọi đa chỉ số α,ˆ

(ii) (Dβφ)(ξ) = ((−x)ˆ βφ)ˆ(ξ) với mọi đa chỉ số β,

là biến đổi Fourier ngược của f là hàm ký hiệu là ˇf xác định bởi:

1.5.2 Biến đổi Fourier trong S0(Rn)

Định nghĩa 1.5.4 Ta gọi hàm suy rộng u ∈ D0(Rn) là một hàm suyrộng tăng chậm nếu u liên tục trên S(Rn) Tập hợp các hàm suy rộngtăng chậm được ký hiệu S0(Rn) Một dãy (uj) trong S0(Rn) được gọi

là hội tụ tới u ∈ S0(Rn) nếu huj, φi → hu, φi, ∀φ ∈ S(Rn)

Định nghĩa trên là xác định vì nếu φj → 0 trong S(Rn) khi j → ∞thì ˆφ → 0 trong S(Rn) khi j → ∞ Do đó vế phải của (1.9) xác địnhmột hàm suy rộng tăng chậm.

Vì L1(Rn) ⊂ S0(Rn) nên nếu f ∈ L1(Rn) thì ta có hai cách địnhnghĩa khai triển Fourier của f

+ Nếu f theo nghĩa là hàm thông thường thì khai triển Fourier của f

Định nghĩa 2.1.1 f ∈ L1(Rn), g ∈ Lp(Rn), tích chập của f và g kýhiệu f ∗ g được xác định như sau:

Chứng minh Với p = 1, đặt h(x) = R

Rn|f (x − y)||g(y)|dy Theođịnh lý Fubini ta có:

=Z

Rn

f (x − y)g(y)dy|dx

≤Z

=Z

Rn|f (x − y)||g(y)|pdy thì hp(x) < ∞ hầu khắp nơi trên Rn Gọi q > 0

là liên hợp của p, theo bất đẳng thức H ¨older thì:

1{hp(x)}1p

Do đó R

Rnf (x − y)g(y)dy xác định tại hầu khắp nơi trên Rn Hơn nữa:

||f ∗ g|| =

 Z

Rn

Z

Rn

f (x − y)g(y)dy

1



||f ||1Z

Nếu p = ∞ ta vẫn dùng định nghĩa (2.1.1) để định nghĩa tích chập vàbất đẳng thức (2.1) vẫn đúng

2.1.2 Tích chập của hai hàm suy rộng

Định nghĩa 2.1.2 Cho u, v ∈ D0(Rn), tích chập của hai hàm suyrộng u và v là một phiếm hàm tuyến tính, ký hiệu u ∗ v xác định bởi:

hu ∗ v, φi = hu(y), hv(x), φ(x + y)ii, với φ ∈ D(Rn)

Mặt khác

hδ(y), hu(x), φ(x + y)ii = hu(x), φ(x)i

Vậy nên u ∗ δ = δ ∗ u = u với mọi u ∈ D0(Rn)

b) Định nghĩa tích chập ở trên cũng hợp lệ với f, g ∈ L1(Rn) Thậtvậy với φ ∈ D(Rn) tùy ý đặt:

h(y) =

Z

Rn

g(x)φ(y + x)dxthì ta có h ∈ L1(Rn) hơn nữa ta có:

hf (y), hg(x), φ(y + x)ii = hf (y), h(y)i =

(ρ ∗ u)(x) = hu(y), ρ(x − y)i, x ∈ Rn (2.2)

và (ρ ∗ u)(x) là hàm khả vi vô hạn trên Rn

2.2 Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng

Định nghĩa 2.2.1 Cho f ∈ C∞(Ω) và u ∈ D0(Ω) tùy ý Tích củahàm f và hàm suy rộng u được ký hiệu là f u và được xác định nhưsau:

hf u, φi = hu, f φi với mọi φ ∈ D(Ω) (2.3)

Ta nhận thấy φ ∈ D(Ω) nên f φ ∈ D(Ω) do đó vế phải của (2.3)hoàn toàn xác định một hàm suy rộng Nghĩa là định nghĩa trên hoàntoàn xác định trong D0(Ω)

h∂j(f u), φi = hf u, −∂jφi = hu, −f ∂jφi = hu, −∂j(f φ) − (∂jf )φi

= h∂ju, f φi + h(∂jf )u, φi = hf ∂ju + (∂jf )u, φi

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

2.3 Tích của hai hàm suy rộng tùy ý

Ở trên chúng ta định nghĩa tích của một hàm trơn f ∈ C∞(Ω) vàmột hàm suy rộng u ∈ D0(Ω) Bây giờ chúng ta muốn định nghĩa tíchcủa hai hàm suy rộng tùy ý, nói riêng trên Rm, rõ ràng không thể dùngcách (2.2) cho hai hàm suy rộng vì f φ có thể không là hàm thử nếu

f ∈ D0(Rm) và φ ∈ D(Rm) Sau đây chúng ta sẽ cùng trao đổi một sốcách định nghĩa tích hai hàm suy rộng

2.3.1 Định nghĩa của Mikusinski

Định nghĩa 2.3.1 Một dãy (δn), n = 1, 2, các phần tử của D(Rm)được gọi là một dãy Delta nếu thỏa mãn:

a) supp δn ⊂ {x ∈ Rm : |x| ≤ εn} với lim

n→∞εn = 0,b)R

Rmδn(x)dx = 1

Định nghĩa 2.3.2 Ta nói rằng S và T có thể lấy tích S.T nếu vớimọi dãy Delta (δn), n = 1, 2, , thì giới hạn lim

n→∞(S ∗ δn)(T ∗ δn) tồn

tại trong D0(Rm) và giới hạn đó không phụ thuộc vào việc chọn dãyDelta.

Cơ sở của định nghĩa (2.3.2) là do lim

n→∞δn = δ trong D0(Rm) do đólim

x ∗ δn).(δ ∗ δn), φ

=

(1

x ∗ δn).δn, φ

=

(1

x, δ

−

n ∗ (xδn)

+ 1

Số hạng đầu tiên dần tới 0 khi n → ∞ vì δ−n ∗ δn là hàm chẵn Ta sẽ

đi chứng minh số hạng thứ hai ở vế trái hội tụ tới 12φ0(0) Thật vậy tacó:

trong đó αn = δn− ∗ (xδn), nên α−n = δn ∗ [(−x)δ−

n] = −x(δn ∗ δ−

n) +(xδn) ∗ δn−, vì rõ ràng nếu ψ1 và ψ2 ∈ L1(R), thì x(ψ1 ∗ ψ2) = (xψ1) ∗

+ 12

 1

x, αn − αn−

= 12

 1

x, x(δn∗ δn−)

= 12

Mệnh đề 2.3.1 Trong D0(R) ta không thể tính δ.δ theo Định nghĩa(2.3.2)

Chứng minh Thật vậy, ngược lại chúng ta giả sử rằng tồn tại δ2 ∈

D0(R) Lấy dãy Delta tùy ý (δn), n = 1, 2, , ta có giới hạn lim

n→∞hδ2

n, ψiluôn tồn tại ∀ψ ∈ D(R) Chọn ψ ∈ D(R) sao cho ψ ≡ 1 trong lân cậncủa 0 Thế thì ta có:

Từ suy điều phải chứng minh

2.3 Tích hai hàm suy rộng tùy ý

Ở định nghĩa tích hàm trơn f ∈ C∞(Ω) vàmột hàm suy rộng u ∈ D0(Ω) Bây muốn định nghĩa tíchcủa... định nghĩa tích chập vàbất đẳng thức (2.1)

2.1.2 Tích chập hai hàm suy rộng

Định nghĩa 2.1.2 Cho u, v ∈ D0(Rn), tích chập hai hàm suyrộng u v phiếm hàm tuyến... ý Tích củahàm f hàm suy rộng u ký hiệu f u xác định nhưsau:

hf u, φi = hu, f φi với φ ∈ D(Ω) (2.3)

Ta nhận thấy φ ∈ D(Ω) nên f φ ∈ D(Ω) vế phải (2.3)hồn tồn xác định hàm suy rộng