Luận văn cách xác định tích các hàm suy rộng của mikusinski

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ NHỊ CÁCH XÁC ĐỊNH TÍCH CÁC HÀM SUY RỘNG CỦA MIKUSINSKI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NHỊ

CÁCH XÁC ĐỊNH TÍCH CÁC HÀM SUY

RỘNG CỦA MIKUSINSKI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ NHỊ

CÁCH XÁC ĐỊNH TÍCH CÁC HÀM SUY

RỘNG CỦA MIKUSINSKI

Chuyên ngành : Toán giải tích Mã so : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Tạ Ngọc Trí

HÀ NỘI, 2015

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Tạ Ngọc Trí Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới.

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2, Phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Nguyễn Thị Nhị

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí.

Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của

các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 06 năm 2015

Nguyễn Thị Nhị

Mục lục

Mở đầu 1

Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản 4

1.2 Không gian Banach 5

1.3 Không gian Frechet 6

1.4 Không gian các hàm thử 6

1.5 Không gian Lp 9

Không gian hàm suy rộng Schwartz 12

2.1 Không gian hàm suy rộng 12

2.1.1 Định nghĩa 12

2.1.2 Đạo hàm suy rộng 14

2.1.3 Cấp của hàm suy rộng 16

2.1.4 Sự hội tụ trong không gian hàm suy rộng D'(fi) 17

2.2 Phương pháp tính tích hai hàm suy rộng và tính chất 18

2.2.1 Tích hai hàm suy rộng 18

2.2.2 Tính chất 21

2.2.3 Sự không tồn tại tích các hàm suy rộng tống quát theo nghĩa thông thường 22

Cách xác định tích hai hàm suy rộng theo Mikusinski 24

1 1 3.1 Mở đầu 24

3.2 Ví dụ về tích hai hàm suy rộng theo Mikusinski 25

3.3 Tích hai hàm suy rộng Colombeau theo cách của Mikusinski 28

3.3.1 Hàm suy rộng Colombeau 29

3.3.2 Số Colombeau 37

3.3.3 Ví dụ về tích hai hàm suy rộng Colombeau theo cách xác định của Mikusinski 39

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44 1 MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Trong Toán học, bài toán tìm đạo hàm các hàm số là một bài toán phổ biến Tuy nhiên ta có thể gặp những hàm như f (x) = |rc| là hàm số liên tục trên toàn bộ R nhưng nó chỉ có đạo hàm tại những điểm X ỹỂ 0, còn tại X = 0 thì ta không thể lấy đạo hàm của hàm số này Như vậy không phải lúc nào bài toán tìm đạo hàm của một hàm số cũng được giải quyết Trong Vật lý có những hiện tượng vật lý mà takhông thể toán học hóa một cách chính xác bằng một hàm thông thường đã biết Chẳng hạn như việc đo mật độ điện tích p của một nguồn đặt tại một điểm Chính từ hiện tượng này vào năm 1926, nhà vật lý người Anh là Paul Dirac đã đề xuất khái niệm một hàm được gọi là hàm Delta Dirac, hay đơn giản hơn là hàm Dirac Chúng ta có thể hiểu khái niệm hàm Dirac như sau: ỈM = ị 0 <* * °) ^ ỵ oo ( x = 0) + 00 ỏ ( x ) d x = 1. -00 Với cách định nghĩa như trên thì vấn đề trong Toán học và Vật lý đã được giải quyết Về sau có rất nhiều cách định nghĩa hàm Dirac theo các cách tương đương khác nhau, nhưng rõ ràng hàm Dirac không phải là những hàm thông thường mà ta đã biết Điều này làm nảy sinh vấn đề là phải mở rộng khái niệm hàm để có những lớp hàm mới luôn có thể lấy được đạo hàm bao gồm cả những hàm đã biết và những hàm mới như hàm Dirac Từ đó trong Toán học đã xuất hiện các lý thuyết về lớp các hàm mới gọi là "Hàm suy rộng” Đầu tiên phải kể 2 đến “Lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz” Lý thuyết Hàm suy rộng phát triển bởi L.Schwartz đã mở cánh cửa quan trọng cho sự phát triển của Toán học hiện đại, đặc biệt là trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Với lý thuyết đó, L.Schwartz đã nhận được giải thưởng Fields vào năm 1950 Tuy nhiên, chẳng bao lâu sau khi giới thiệu về lý thuyết hàm suy rộng, L.Schwartz đã đưa ra kết luận về một “kết quả không thể” trong việc lấy tích hai hàm suy rộng tổng quát Trong kết luận đó, L.Schwartz cho rằng không thể lấy tích hai hàm suy rộng bất kỳ mà vẫn thoả mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm của một tích Tuy nhiên rất nhiều ứng dụng cần lấy tích hai hàm suy rộng Rất nhiều nhà Toán học đã nghiên cứu tìm kiếm một con đường xung quanh “kết quả không thể” của L.Schwartz để có thể giải quyết vấn đề này Họ đã cố gắng để tìm phương pháp xác định tích của hai hàm suy rộng bất kỳ Mikusinski đã đưa ra một cách xác định tích hai hàm suy rộng và cách này đã giải quyết được một phần vấn đề nhân hai hàm suy rộng Khi tham gia nghiên cứu, tác giả đã lựa chọn vấn đề xem xét lấy tích hai hàm suy rộng và tập trung vào tìm hiểu phương pháp xác định tích hai hàm suy rộng của Mikusinski và các vấn đề liên quan Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của Toán học hiện đại, dưới sự định hướng và hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựa chọn đề tài “Cách xác định tích các hàm suy rộng của Mikusinski” cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình Trong luận văn này, tôi sẽ tóm tắt những kiến thức cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz cùng với kết quả không thể của ông Tiếp theo, luận văn sẽ trình bày một cách xác định tích hai hàm suy rộng của Mikusinski và các tính chất, ví dụ tương ứng Từ đó cho thấy sự phát triển của vấn đề và ý nghĩa của việc xây dựng đại số hàm suy rộng Colombeau 3 2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz, cách xác định tích hai hàm suy rộng của Mikusinski Từ đó cho thấy ý nghĩa củaviệc xây dựng đại số hàm suy rộng Colombeau và xem xét ví dụ cụ thể về xác định tích hai hàm suy rộng theo cách của Mikusinski. 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng L.Schwartz Tìm hiểu cách xác định tích hai hàm suy rộng của Mikusinski và các vấn đề liên quan. 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng: lý thuyết hàm suy rộng và việc lấy tích hai hàm suy rộng Phạm vi: các tài liệu, bài báo trong và ngoài nước liên quan đến hàm suy rộng và tích hai hàm suy rộng. 5 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức, phương pháp và công cụ của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về vấn đề tích hai hàm suy rộng. 6 Đóng góp mới Luận văn là tài liệu liên quan đến vấn đề tích hai hàm suy rộng trong không gian các hàm suy rộng Schwartz và vấn đề xác định tích của hai hàm suy rộng theo Mikusinski 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bi Chương này hệ thống lại một số thuật ngữ, khái niệm và kết quả về những không gian để làm cơ sở cho việc tiếp cận các kiến thức ở chương tiếp theo Các kiến thức sau đây được tham khảo trong [1]. 1.1 Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản Ta gọi mỗi phần tử a = (a 1,Ũ!2, ,an) e là một n- chỉ số (hay đa chỉ số) VƠI bẹLC |q| =Oíị “1” CH2 “1" “I" cun. Với mỗi đa chỉ số a , toán tử vi phân ký hiệu da = da ida 2 dữ n , ở đây d j = và toán tử Da = D ^1 D%2■ ■ ■ D%n , trong đó D j = - rệ — = — id j, j = 1,2, n. Với mỗi a = (ai,«2, ,a n ) e N n , /3 = (/9i,yỠ2j e N n thì /3 < a nghĩa là Pj < 0ij, j = 1, 2, n Nếu /3 < a ta viết: Ta ký hiệu ck(í ì) là tập hợp các hàm khả vi liên tục đến cấp k . Với /, g e Ck( Jl ) thì đạo hàm của một tích theo công thức Leibniz trong đó a j-Q 1 ( Q \ I > 3 1; n -^jK«j - Pj V-(1.1) 5 P“W=E f , ) ỵ >D°-i‘° ’ (!- 2 ) Ị 3 < a trong đó a \ — a ị \ a2ỉ - - - - a „ ị 1.2 Không gian Banach Định nghĩa 1.1 Cho X là một không gian vectơ trên trường số K (R hoặc C) Một ánh xạ p : X ->■ R được gọi là một ch uẩn trên X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: ( i ) p( x) >0 Va: e X, p(x) = 0 X = 6 (6 là kí hiệu phần tử không trong X ); ( i i ) p(Xx) = |A|p(a:) với mọi số A e K và mọi X £ X] ( i i i ) p ( x + y ) < p ( x ) + p ( y) v ớ i m ọ i X , y € X Số p (x) được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ p (x ), thông thường ta kí hiệu ||z;|| thay cho p (x ). Không gian vectơ X cùng với chuẩn II II trong nó được gọi là một k hôn g gi an đ ịn h chu ẩn , kí hiệu (X, II II). Định lý 1.1 G i ả s ử X l à m ộ t k h ô n g g i a n đ ị n h c h u ẩ n V ớ i m ọ i x , y e X , đ ặ t p (x ,y) = IK* - y ) II K h i đ ó , p l à m ộ t m e t r i c t r ê n X Định nghĩa 1.2 Dãy (xn ) trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến Xo € X nếu lim ||x„ — Xoll = 0 71—»00 Khi đó, ta kí hiệu lim xn = XQ hoặc x„ —> XQ, khi n —> oo 71—»00 Định lý 1.2 D ã y (x n) t r o n g k h ô n g g i a n đ ị n h c h u ẩ n X đ ư ợ c g ọ i l à m ộ t d ã y c ơ b ả n ( h a y d ã y C a u c h y ) n ế u lim ||x m — xn\\ = 0 771,71— y 00 Định nghĩa 1.3 Không gian metric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ Định nghĩa 1.4 Giả sử không gian định chuẩn X là không gian metric đầy đủ ( với khoảng cách p (x ,y) = II (x — y)||) Khi đó X được gọi là một k hôn g gi an định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach. 1.3 Không gian Eréchet Định nghĩa 1.5 Một không gian Frechet là một không gian vectơ lồi địa phương, khả metric và đầy đủ. 1.4 Không gian các hàm thử Cho íì là một tập khác rỗng và Q c R" Ta ký hiệu c °° (íl) là tập hợp những hàm / giá trị phức xác định trên 0 sao cho daf tồn tại với mọi đa chỉ số a Giá của hàm liên tục / : íì -> c là tập hợp ký hiệu supp/ , được xác định bởi supp/ = cl {x € Q : f(x) Ỷ 0}- Nếu K là một tập compact trong R", ta ký hiệu VK là tập hợp {/ e C 00 ^”) : supp/ c K }. Ta thừa nhận các bổ đề sau Bổ đề 1.1 Cho Q c R", 0 ^ 0 Khi đó tồn tại các tập compact { Kj } , j = 00 1,2,3, thỏa mãn K j c intXj+i, u K j = Q j= 1 Vì vậy, kể từ đây, trong luận văn này ta ký hiệu K là một tập compact của Q. và K j là một trong các tập compact trong họ K j nói trong bổ đề trên Bổ đề 1.2 c0 0 (íl) là một không gian Frechet và VK là không gian con đóng của c°° (íí) với mọi K c Í2 7 Chọn các tập compact Kj , j = 1, 2, , sao cho Kj nằm trong phần trong của Kj+1 (ký hiệu i nt K j+1) và fĩ = u K j Họ các nửa chuẩn P N với N = 1 , 2 , x á c j=i định bởi PN (Ỉ) = max {|ô“/(:r)| : X e KN, |a| < N} có tính chất: các điểm tách thuộc c °° (fi) và tạo một tôpô với một cơ sở địa phương đếm được Từ đó ta có định nghĩa 1.6 và định lý 1.3 Như vậy, với mọi tập compact K c íì thì £>/r(íí) là một không gian Frechet Hợp tất cả các không gian đó lại ta có không gian các hàm thử Định nghĩa 1.6 Ta ký hiệu v{ ũ) là tập hợp V( Jl ) = {ậ e c °° (í ì ) : suppự) là tập compact trong } Khi đó ta gọi T >( Q) là không gian các hàm thử ( te st fun ct i on) Ta thấy X>(Q) = u T >K (Q), nên V( p, ) là không gian vectơ, đó còn là không j=1 gian vectơ lồi địa phương Điều này được thể hiện qua định lý sau Định lý 1.3 K h ô n g g i a n c á c h à m t h ử x>(fĩ) l à m ộ t k h ô n g g i a n v e c t ơ t ô p ô l ồ i đ ị a p h ư ơ n g Chứ ng m in h Theo nhận xét trên ta có T > K (íí) là không gian Frechet Ta ký hiệu TK là tôpô trên không gian VK(ÍÌ) , /3 là họ tất cả các hợp w tập cân, lồi của X>(f2) sao cho T > K n w € TK với mọi tập compact K c ũ Gọi T là họ tất cả các tập hợp có dạng ậ + w với ậ e Ĩ>(Í2) và w e /3 Ta chứng minh T là một tôpô trên £>(Í2) và /3 là một cơ sở lân cận của T Thật vậy, với V ị, V 2 £ T và ( f) £ Vi n V2 tâ chỉ cần chứng minh tồn tại w £ Ị3 sao cho ệ + w € V \ n 1^2- Ta có, do ự) € Vị , (i — 1,2) nên tồn tại ộ i £ V (Q) và W ị £ Ị3 sao cho ộ £ ộ i + W ị , i = 1,2 Chọn tập compact K c Í2 sao choệ , ậ i e T > K, ỉ = 1,2. Do T >K n W ịmở trong T >K nên tồn tại ỗ ị > 0, i = 1, 2 sao cho Do W ị là tập lồi nên Ф - Ф г + SiWi С (1 - 5i)Wi + SiWi = Wi. Suy ra ф + S ị Wi С ộ i + W ị , г = 1,2. Từ đó ta chọn w — (ổiH^i) n { & 2W2) thì ф + w e V\ П V 2 Vậy T là một tôpô trong D(Í2) Hiển nhiên ß là một cơ sở của r Giả sử ậ ii ậ i là hai phần tử tùy ý của x>(fĩ) Với mỗi Ф € X>(f2) ta đặt Mo = sup |0(^)| và 1 Г = { ф е Т > { й ) : \ \ ф \ \ 0 < \ \ ф 1 - ф 2 \ \ 0 } thì w e ß và Ф 1 Ợl Ф2 + w Suy ra mọi tập một điểm là đóng trong x>(fĩ) theo tôpô r. b) Bây giờ ta chứng minh các phép toán trên v( ũ) liên tục với tôpô T Với mọi Ộ 1,Ộ2 e Ĩ>(Í2) và ộ i + Ф 2 + w e T với w e ß Khi đó, do w là cân nên -W e ß, 1 , _ 1 , _ 1 , _ 1 s u y Г с1 Ф1 - b —w G T v à Ф2 ” b — ê T v à Ф1 - b —w E ĩ + Ф2 " b — ^ ф\" Ь Ф2 " b Vậy phép cộng hai phần tử trong V( Jl ) là liên tục theo r Với «о € С và Ф о Ễ X>(Q) ta có а ф — а о ф о = а ( ф — ф а ) + (а — a a ) ( f ) Q Với moi w G ß tồn tai 5 > 0 sao cho 5 фп G -W Đăt с = —77— \ -, do w là 2 2 (|«о| + ố) tập lồi và cân nên ta có аф — а оф о ẽ w với mọi \a — ctol < ỗ và ф e Ф о + cW. Vậy phép nhân với phần tử vô hướng là liên tục trong V (J l) theo tôpô T. Điều này chứng tỏ không gian các hàm thử v (ũ ) là không gian vectơ tôpô và hơn nữa còn là không 9 Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải tích hiện đại Nólà công cụ để xây dựng các khái niệm mới, cũng như mở rộng các khái niệm đã có Sau đây, ta thừa nhận các tính chất của v( í ì) Định lý 1.4 C h o k h ô n g g i a n D(Í2) v ớ i t ô p ô T Ta c ó D ẫ y c á c h à m t h ử {0/}^! h ộ i t ụ t h e o t ô p ô T t ớ i Ф а t r o n g x>(Q) k h i v à c h ỉ k h i t ồ n t ạ i j e N* s a o c h o s n p - p ộ i с K j v ớ i m ọ i l e N* v à ФỊ -> Ф о t r o n g V K ( J l ) , n g h ĩ a l à sup \ d a ậ ị ( x) — д а ф о ( х ) \ —» 0 k h i l — > oo (1-3) x G K j v ớ i m ọ i đ a c h ỉ s ố a T ậ p E с x>(Г2) k h i v à c h ỉ k h i t ồ n t ạ i j e N* s a o c h o E l à t ậ p c o n b ị c h ặ n t r o n g V K ( Q ) Đ ặ c b i ệ t , n ế u { ậ i } ^ ! ỉ à d ã y C a u c h y t r o n g T > ( Q ) t h ì t ồ n t ạ i j G N* s a o c h o ậ ị h ộ i t ụ t r o n g T > K (íì) v à d o đ ó h ộ i t ụ t r o n g x>(íĩ). M ộ t p h i ế m h à m t u y ế n t í n h A : D(Í2) -» с l i ê n t ụ c k h i v à c h ỉ k h i v ớ i m ọ i j G N t ồ n t ạ i N j e N v à h ằ n g s ố C j > 0 s a o c h o sup |Л((^>)| < C j sup { \даф (х )\ : |a| < N j} (1-4) Định lý 1.5 Tr o n g k h ô n g g i a n c á c h à m t h ử P h é p l ấ y v i p h â n д а : ф I-» д а ф ỉ à t u y ế n t í n h v à ỉ i ê n t ụ c t r ê n D(Í2) v ớ i m ọ i đ a c h ỉ s ố a V ớ i m ọ i f e c°°(fì) t h ì á n h x ạ MỊ : Ф !->■ f ậ c ũ n g ỉ à t u y ế n t í n h l i ê n t ụ c t r ê n V( ũ) 1.5 Không gian ư Định nghĩa 1.7 Cho (x ,( 0, ß) là một không gian đo được, nghĩa là X là một tập và 0 là một ơ — đại số trong X, nghĩa là 0 là một họ những tập con của X sao cho: 10 0 e 0, b. A e & => Ac e & , Ac là phần bù của A, 00 A„ e &, Vn => An e 0. n = l (ii) /X là một độ đo chính xác trên (3, nghĩa là /X : (5 ->• [0, oo) thỏa mãn: /i(0) = 0, Nếu (An) là họ đếm được các phần tử rời nhau của <3 thì Phần tử của 0 gọi là tập đo được Đôi khi ta viết m thay cho f ỉ( A) Tập ẨE(B với tính chất f i( A) = 0 gọi là t ập c ó đ ộ đ o k hôn g. Ta nói rằng, một tính chất nào đó đ úng h ầu kh ắp n ơi trên X nếu tính chất đó đúng khắp nơi trên X ngoại trừ một tập có độ đo không nào đó của X. Hàm / : X R gọi là đo được trên A nếu Trong trường hợp X = R n và 0 là những tập hợp đo được theo nghĩa Lebesgue thì ta nói tắt f( x) là hàm đo được Khi đó tích phân Lebesgue của hàm f (x ) trên tập đo được A được kí hiệu là Nếu f f (x )d (x ) < oo thì ta nói f( x) khả tích trên A Ta luôn quy ước hai hàm A f, g đo được trên X là b ằn g nhau nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơi trên X, nghĩa là Định nghĩa 1.8 Cho ( x , & , n ) là một không gian đo được Kí hiệu L 1 (x,/i), (hoặc L1) là không gian các hàm khả tích trên X với Va € R : { x € A : f( x) < a} € C5. J ỉ ( x ) d f l ( x ) hoặc J ỉ ( x ) d ( x ) hoặc / f ( x ) d n ( x ) A A A n{ x € X : f( x) Ỷ ỡ(z)} = 0 11 Cho J)E R với 1 < p < 00, kí hiệu Lp là không gian các hàmf( x) cólũy thừa bậc p khả tích trên X, nghĩa là If(x)\p € L1 với II/IIl, = 11/11*,= (/ \ỉ \ d» Ỵ Kí hiệu i°° là không gian các hàm đo được trên X sao chotồn tại hằng số c để |/(x)| < c hầu khắp nơi trên X với ll/lli» = 11/11 p = int{c : l/(^)I < c hầu khắp nơi trên X} Định nghĩa 1.9 (Không gian Lp) Cho (X, ©,/i) là một không gian đo được Họ tất cả các hàm số f ( x ) có lũy thừa bậc p (1 < p < oo) của modun khả tích trên X , tức là 11/11 p = (y l/l đ f i ( x ) j p < oo gọi là không gian Lp( x, ụ, ). Khi đó Lp( x, ịi) là tập hợp các lớp tương đương (nghĩa là bằng nhau hầu khắp nơi) Khi X là một tập đo được Lebesgue trong R fc , n là độ đo Lebesgue thì ta viết LP( X) Nếu X = [ a, 6] c R 1 , ụ , là độ đo Lebesgue thì ta viết Lp( a, b) hoặc LỊ 6j và nếu X = [0,1] thì ta viết đơn giản Lp Định lý 1.6 C á c k h ô n g g i a n L p v ớ i c h u ẩ n c h o b ở i ||/||LPn h ư t r o n g đ ị n h n g h ĩ a t r ê n l à n h ữ n g k h ô n g g i a n B a n a c h 12 Chương 2 Không gian hàm suy rộng Schwartz Trong chương này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản trong lý thuyết hàm suy rộng Schwartz Các kiến thức sau đây được tham khảo trong [2], [5] và [8]. 2.1 Không gian hàm suy rộng U' {£ í) 2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Mỗi phiếm hàm и : V (J l) -» с tuyến tính liên tục với tôpô trên D(fi) được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz Không gian các hàm suy rộng trên ũ được kí hiệu Với mỗi hàm suy rộng и € v '( ũ) tác động lên mỗi Ф £ x>(0) được viết là (и,ф). Hai hàm suy rộng и, V e được gọi là bằng nhau nếu { и , ф> = { v, ệ), У ф G V ( n ) Chú ý 2.1.1 x>'(f2) là không gian vectơ với các phép toán được xây dựng trên С như sau: Phép công: Với mọi и, V € T > '( í ì ) ta định nghĩa u + v như sau:{и + V, Ф) = (и, Ф) + {V, ф) , Уф G T>(ỉ ì) Khi đó и + V e T >'(Q,) . Phép nhân với phần tử vô hướng: Với mọi и e v' (ũ ) và mọi số Л ta định nghĩa Xu như sau: {Xu , ф) = X ( и , ф) , У ф e V (Q) Khi đó Xu e Định nghĩa 2.2 Cho и € V' (Q ) 13 1 Hàm suy rộng u được gọi là bằng 0 trên tập mở K c Q, kí hiệu u \K = 0 nếu ( u , ệ ) = 0, V ậ c V ( K ) 2 Giá của hàm suy rộng u được kí hiệu là suppit và được xác định bởi: suppu = íì \ (u {k IK mở } c íí và lí |jf = o) Nếu u có suppu là tập compact trong D thì ta nói u là hàm suy rộng có giá compact. Ví dụ 2.1 Mỗi hàm / e L ịo c(Q, ) là một hàm suy rộng được xác định như sau: / : ệ i-> (/, ộ ) = J f (x )ậ (x )d x. Thật vậy, với mỗi tập compact K c và mọi hàm n ậ e x>(íí) sao cho suppự) c K ta có Tương tự, mọi hàm / £ LP( £L ) cũng là một hàm suy rộng Ví dụ 2.2 (Hàm Dirac) Hàm Dirac ký hiệu là 5 được xác định như sau là một hàm suy rộng Thật vậy, ta có ệ € X>(R") nên ệ là hàm khả vi liên tục mọi cấp và Mà supp^ c K - compact c R n Do đó ố là một hàm suy rộng (gọi là hàm suy rộng Dirac hay hàm Delta Dirac) Ví dụ 2.3 Hàm (2.1) ố : V ( R n ) c v à { ố , ự > ) = ệ ( 0 ) (( õ, ộ) ) = 10(0)1 < l.sup \ ộ{ x) \, vự> e £>(R n ). x \ : V ( R ) c ậ { \ x \ , ộ ) = I \ x \ ệ ( x ) d x 14 là một hàm suy rộng Thật vậy, với supp</> с К, К là tập compact trong R ta có: |(|x| ,ф)I = / Mậ (x )d x < / |x| |^>(x)| d x < / |x| sup |^>(x)| dx = sup ф(х) ( / |x| dx ] = sup ф(х) ( / \x\dx \. J R R R J К \ J к ' Vậy |ж| là một hàm suy rộng Ví dụ 2.4 Với mỗi hàm / e L \ (íì) và vớia e N", ánh xạ Uf a : Ф I-» fn f(x)(daậ)(x)dx làmộthàm suy rộng. Định lý 2.1 M ộ t p h i ế m h à m t u y ế n t í n h и x á c đ ị n h t r ê n D(Í2) ỉ à m ộ t h à m s u y rộn g khi và ch ỉ kh i lim { u , ậ j ) = 0, j - ¥ 0О v ớ i m ọ i d ã y { ệ j } h ộ i t ụ t ớ i 0 k h i j -» oo. 2.1.2 Đạo hàm suy rộng Trong không gian X>'(Q) ta có: Bổ đề 2.1 Cho и eV' (Q ) là một hàm suy rộng Khi đó, với mỗi đa chỉ số а € N n toán tử tuyến tính được ký hiệu dau xác định bởi ( d a u , ậ ) = ( - l ) W ( u , d a ậ ) , ậ € V ( n ) (2.2) là một hàm suy rộng. Chứ ng m in h. Vì и e v' ( í ì) nên |(ií, ^)| < C II011 ,У ф e D(Í2) Do đó \ { д а и , ф ) I < c \ \ d a ậ \ \ N < c \ \ ậ \ \ N + ị a ị Vậy dau € V' (Q ). □ 15 Định nghĩa 2.3 Cho u e v' ( í ì) Hàm suy rộng xác định bởi (2.2) được gọi là đạo hàm cấp a của hàm suy rộng u Ví dụ 2.5 Hàm Heaviside xác định bởi H ( x ) = ị 1 nếu X > 0 I 0 1 nếu X < 0 có d H = ỗ. Thật vậy, với Q, = R, V ậ e T > (Q ) ta có 00 { Õ H , ộ) = (-1)1 { H , d ộ ) = - Ị dệ(x)dx = -ậ(x) 12° = ệ(0) = {6, ệ ) , 0 do đó d H — ỗ Trong trường hợp = R , với u ,u £ D'(R), ta nói u là nguyên hàm suy rộng của hàm suy rộng u nếu đạo hàm suy rộng của u là u , nghĩa là du = u. Mệnh đề 2.1 Mọi hàm suy rộng u € X>'(R) đều có nguyên hàm suy rộng. C hứn g mi nh Với mỗi (p e C^°(R) đặt + 00 — oo \]/(:z) = í ĩ f ) ( t ) d t ■'-00 Có ^(rc) e Ơ£°(R) nên với mỗi hàm suy rộng u e X>'(K), ta có thể đặt {u, t p) = ( u, 'iữ ). Khi đó u e X>'(R) và ( d u , i p ) = ( u , i p 1 ) = / u , i p ( x ) - Ị p ( y ) í i p 1 ( t ) d t d y \ = { u , i p ) . \ J — oo J — oo ' Nếu hàm suy rộng u có đạo hàm suy rộng d u = 0 thì ( U , t p ) = ( U , i l > ) + ụ + ( U , p ) = ( d u , y ) + ụ + ( U , p ) ■ + oo \ < p ( t ) d t ) { u , p ) 16 Do đó nếu hàm suy rộng и có đạo hàm suy rộng d u = 0 thì и tương ứng với hàm hằng и = {и, p) trong lớp hàm khả tích địa phương Llị (R) Khi đó, với mỗi hàm suy rộng и e X>'(R), luôn có một họ các nguyên hàm suy rộng mà hai nguyên hàm trong họ sai khác nhau một hàm suy rộng có thể biểu diễn dưới dạng hàm khả tích địa phương hằng □ 2.1.3 Cấp của hàm suy rộng Định nghĩa 2.4 Cho к с íì, и e v' ( í ì) Ta nói hàm suy rộng и có cấp hữu hạn trên К nếu 3c > 0, 3 k € N sao cho K«,¥>)| < с SU P l^'VOzOI.W’ € C'o°( íĩ ) ! suppv? с к (2.1) \ a \ < k X e K số tự nhiên k nhỏ nhất trong các số tự nhiên mà ta có bất đẳng thức (2.1) được gọi là cấp của hàm suy rộng и trên tập K Nếu không có số tự nhiên k nào để có (2.1) với số dương с nào đó thì ta nói rằng hàm suy rộng и có cấp vô hạn trên к. Để đơn giản, ta nói rằng hàm suy rộng и e v '( í ì ) có cấp k nếu nó có cấp k trên íĩ Ví dụ 2.6 Mọi hàm suy rộng и e L 1 (Í2) đều có cấp 0 Ví dụ 2.7 Trên R xét hàm suy rộng и xác định như sau hàm suy rộng и xác định như SỄ ( u , ậ ) = ỵ ^ ậ ^ ( j ) , y ậ e C ^ ( R), 3=0 thế thì и là hàm suy rộng có cấp vô hạn Thật vậy, chọn Ф e Ơ0°(M) sao cho 1 1 " f X — j ^ \ ф ( х ) = 1 , X € ’ suPP0 c ( -1;1) - Đ ặ t Ф з (х) = (х~ з )3Ф з ^ v ớ i E j > 0 chọn thích hợp Ta có Dkậj (k) = 0 nếu k Ỷ j và = j\ nên ( u , ậ j ) = j\ Nhưng nếu \ x — jI > £ j thì ậ j ( x ) = 0 nên sup ÌDkậj (x ) I < ce * ~k,k < j, ta chọn E j sao cho i - 1 \ { u , ậ j ) \ = j \ > SUP \ ° к Ф з ( х ) \ -, ,xeR k=1 17 Do đó, với mỗi к > О, с > о, chọn j = max {к + 1, с + 1} ta có j — 1 к \ { u , ậ j } \ = j \ > sup \ D l ậ j ( x ) \ > sup \ D l ậ j ( x ) \ 1=1 1=1 *ек Vì vậy и có cấp vô hạn. Định lý 2.2 M ỗ i p h i ế m h à m t u y ế n t í n h и t r ê n T > ( Q ) ỉ à m ộ t h à m s u y r ộ n g k h i v à c h ỉ k h i t r ê n m ỗ i t ậ p c o m p a c t К с í ì , c ó m ộ t s ố n g u y ê n k h ô n g â m к v à m ộ t s ố d ư ơ n g с s a o c h o {u, tp ) < с ^ 2 sup |ô°V(z)| = c|H| c * (n) ,Vv? e cỏ°(^)i supp</2 С K. I I и \ a \ < k Chứng minh. Để chứng minh điều kiện đủ ta chỉ cần chứng minh tính liên tục của и tại gốc, nghĩa là nếu có một dãy oo trong ơ^°(íĩ) mà V_ lim ự!j = 0 3 j - ï o o thì lim {u, <p j } = 0 Điều này dễ thấy từ giả thiết Để chứng minh điều kiện cần j - * 0о ta dùng phản chứng, nghĩa là giả sử có một tập compact К с Г2, với mỗi к e Z+ ta đều có sup ^ - = +00.

¥>ес~(fi) IMIc*(fi) swpp<p с К ,<pj£0 Do đó tồn tại ipk e C£°(fi), supp<£> с К, ||<pjfe|lc*(íỉ) > 0 sao cho |(u, (pk}\ > k\\ (pk\\c k { ny Chọn ĩ ị ) k ( x ) = 1 -< p k ( x ) ta có к ' WkWc^n) Ф к G С“(П), suppV’jfc С К , v _ lim V’fc = о,\ { и , ф к ) \ > к * , к-* 00 Nên и ị V (Q) , trái với giả thiết Như vậy, điều giả sử sai hay ta có điều phải chứng minh □ 2.1.4 Sự hội tụ trong không gian hàm suy rộng V'{ũ) Định nghĩa 2.5 Cho Uk, и € T >' (ũ), к = 1,2, Ta nói rằng dãy hội tụ đến и trong x>'(f2) khi к -» oo nếu lim ( и к , ф ) = ( и , ф ) , У ф e v ' { n ) 18 Khi đó ta viết V '_ lim U ỵ = u. k — ỳ Q O Ví dụ 2.8 V' _ lim = ô. k—too k Thật vậy, với mỗi ộ € Ơ^°(R") ta có l</, 0)1 = [ f ( x ) ệ ( x ) d x = í f ( x ) ệ ( x ) d x J o \ j Ti / f ( x ) ệ ( x ) d x KÍ2 / l/(z)l№(z)l J K K I < / |/(^)l |0(^)l^ < sup |0(rc)| í \f (x )\ dx (2.2) J K K Nên lim k - ¥ < x > — </>(0) = 0 hay ta có điều phải chứng minh. 2.2Phương pháp tính tích hai hàm suy rộng và tính chất 2.2.1 Tích hai hàm suy rộng Tích chập của hai hàm suy rộng Định nghĩa 2.6 Cho u, v € tích chập của hai hàm suy rộng u, vlà một phiếm hàm tuyến tính, ký hiệu u * V, xác định bởi: ( u * V , ộ ) = ( u ( y ) , ( v ( x ) , ộ { x + y ) ) ) , ệ e D(Rn). Chú ý 2.2.1 (i) u* ỗ = ỗ* u = u với mọi u € X>'(R") Thật vậy, ta có ỗ có giá compact và ( u * ỗ , ộ ) = { u ( y), ( ỏ ( x ) , ệ ( x + y))) = ( u ( y ) , ậ ( y ) ) = ( u , ộ ) . Mặt khác { S * U , ( Ị > ) = { S ( y ) , { u ( x ) , ệ ( x + y ) } } = { u ( x ) , ộ ( x ) ) = { u , ộ ) . Vậy nên u* ỗ = ỗ* u = u với mọi u e X>'(K") (ii) Định nghĩa tích chập ở trên cũng hợp lệ với /, g e Li(R”).Thật vậy, với ộ e X>(R") tùy ý đặt: h ( y) = J g ( x ) ệ ( x + y ) d x , 19 thì ta có h e hơn nữa ta có < sup \ ệ ( t ) \ \ g ( t - y ) \ d t = c \ \ g \ \ L i iesuppự) ■'R" < sup iesuppự) Với y e M n thì { f ( y ) , {9( x ) , ộ ( x + y ) ) ) = ự ( y ) , h ( y ) ) = í f ( y ) h ( y ) d y -'R" và \ f( y) h( y) \ < c \ \g \ \L i \ f( y) \ Do đó (f (y ), ( g( x) ,ệ (x + y) }) luôn tồn tại nên f * g tồn tại Mặt khác theo Fubini ta có nên (/ * g) (x) = / Rnf (y )ậ (t - y) dy xác định, b Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng Định nghĩa 2.7 Cho / € ơ 00 ^), u £ T> ' (í ì ) tùy ý Tích của hàm / và hàm suy rộng u ký hiệu là fu được xác định như sau: Ta nhận thấy ộ e V (ự L) nên f ệ £ x>(íí) Do đó vế phải của (2.5) hoàn toàn xác định một hàm suy rộng Nghĩa là định nghĩa trên hoàn toàn xác định trong Ví dụ 2.9 1 Với ỗ e D'(R) thì ta có {x ỗ, ệ) = {6 , x ệ) = (x ệ) (0) = 0, Vậ € P(R) nên xỗ = 0 trong X>'(R). 2 Với u = ^ thì x^ ~ = 1 trong X>'(R). ự u , ộ ) = { u , ỉ ộ ) vự» e V ( Q ) (2.5) X X 20 Thật vậy, ta có: ( x ± ệ } - ( ị x ệ ) — E + 00 lim £-[ x ậ ( x ) [ x ậ ( x ) —-—J X ax + J I X—-—ax L-oo + 00 £ — 00 = { l, ệ) , V^P(R) Tích của một hàm trơn với một hàm suy rộng cũng thỏa mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm. Định lý 2.3 C h o / € Ơ°°(Í2), u e V ' ( Q ) v à a l à m ộ t đ a c h ỉ s ố t ù y ý K h i đ ó t a Tích hai hàm suy rộng bất kỳ ở phần trên, chúng ta đã định nghĩa tích của một hàm trơn / e c 00 ^) và một hàm suy rộng u e Bây giờ chúng ta muốn định nghĩa tích của hai hàm suy rộng tùy ý, nói riêng trên R TO , rõ ràng không thể dùng định nghĩa 2.7 cho 2 hàm suy rộng vì fậ có thể không là hàm thử nếu / e ệ € X>(R m ) Sau đây chúng ta sẽ xét một cách định nghĩa tích hai hàm suy rộng dựa trên khai triển Fourier. có: Do đó ta có với mọi ộ € X>(f2) thì { d j ( u f ) , ộ } = { f u , - d j ậ ) = { u , — f d j ệ ) = { u , - d j ( f ậ) + (d j f ) ậ) = ( d j U , f ệ ) + { ( d j f ) u , ệ ) = { f d j U + (d j f ) u , ệ ) Định lý được chứng minh. □ 21 Với u e ĩ>'(r), có giá compact, ta đặt: « A (í) = <«(x),e-“í>,« v (i) = (2TT) Gọi Af(M TO ) bao gồm tất cả các cặp (u,v) e X>'(K TO ) X D'(R TO ) sao cho Vx e K m tồn tại một lân cận íìx của X sao cho 1 (cưĩi) A (V ) u) vkhả tích trên R TO với mọi U} ,ĩ ị > e V(nx), 2 f R m ( c ơ u ) A ( ĩ f ) v ) v d x = J R m ( ĩ f m )A ( u v ) v d x với mọi U ] , ĩ ị > € T > ( í ì x ) , 3 / Rm |(cưu) A (V ) u) v I dx phụ thuộc liên tục vào 00 e X>(Í2 I ),VV> € x>(íía;) Định nghĩa 2.8 (Dựa trên biến đổi Fourier) Nếu u, v e M(R m ), tích của ĩí và u trong ^'(íía;) ký hiệu tíu xác định trên rỉa; như sau: với mọi CƯ e € X^ííx) được chọn sao cho ĩp ix ) = 1 trên suppcư Ta có thể kiểm tra định nghĩa trên hoàn toàn xác định và không phụ thuộc vào việc lựa chọn Ip. Tuy nhiên, định nghĩa này có hạn chế đó là ta không thể lấy tích chẳng hạn là ỗ2 hay - 6. * X Thật vậy nếu tồn tại ô2, ta lấy X = 0 và ui ,ì Ị) e X>(£ío) sao cho w(0) = Tp (Q ) = 1 và ĩị j = 1 trên suppcư, ở đây ílo là một lân cận của điểm 0 Giả sử rằng ỗ e M(R) thì (co ỗ)A(t pỗ )v khả tích trên R Mặt khác ta lại có (cưổ) A = 1 và ( ip ỏy = — khả tích trên R, điều này là vô lý Vậy chứng tỏ ỏ2 ị M(M) Ta cũng có thể chứng minh không tồn tại ^ - 5 theo cách định nghĩa ở trên R’ 2TT X 2.2.2 Tính chất Tính chất 2.1 Nếu u e p eX>(R")thìta có: ( p * u ) (z) = ị u ( y ) , p ( x - y ) } , X <E M" và (p * u) (X) là một hàm khả vi vô hạn trên R" 22 Tính chất 2.2 Với ip e X>(R n ); / , g e (ít nhất một hàm suy rộng có giá compact) thì ta có: ((/ * g ) * < p ) = { ỉ * 9 , ф ) = lim (/ * (pfc * ф А ) ) (0) = (/ * (í/ * </0) ( х ) , ф ( у ) = < p ( x y ) -k—> 0 0 Nên Ự * g ) * < p = f * ( g * < p ) v à { f * g , < p ) = (/, (ổ * ¥>A)A) • Tính chất 2.3 /,g ,h e X>'(R"), (nhiều nhất một hàm suy rộng không có giá compact) thì ( f * g ) * h = T > ' _ lim ( f * g ) * ( h * P L) = T > ' _ lim f * ( g * ( h * p i ) ) k-too к k-юо к — Т ) ' _ lim / * ( ( g * h ) * /Oi) — ỉ * ( g * h ) k—ïoc к 2.2.3 Sự không tồn tại tích các hàm suy rộng tổng quát theo nghĩa thông thường Trong lý thuyết của mình, Schwartz đã đưa ra một khẳng định là không hy vọng xây dựng một tích của các hàm suy rộng một cách đầy đủ Khẳng định ấy được thể hiện trong nội dung định lý sau: Định lý 2.4 N ế u c ó Ả ỉ à m ộ t đ ạ i s ố c h ứ a đ ạ i s ố Ơ°(R) c ủ a t ấ t c ả c á c h à m l i ê n t ụ c t r ê n R n h ư l à m ộ t đ ạ i s ố c o n v ớ i h à m 1 € C°(R) l à p h ầ n t ử đ ơ n v ị c ủ a A Giả sử có ánh xạ tuyến tính d : Ả -» Ả ỉà toán tử v i phân liên tục và thỏa mẫn c ô n g t h ứ c L e i b n i z d ( a b ) — d ( a ) b + a d b t h ế t h ì t a c ó ỗ 2 (|ж|) = 0 C hứn g mi nh Thật vậy, ta có: д (X |x|) = dx |x| + x d (|x|) = |x| + x d (|x|) Từ đó suy ra ỡ 2(x |x|) = 2d |x| + x d2 (|x|) Mặt khác trong A ta có d (x |æ|) = 2 |æ| Suy ra ỡ 2( X |ж|) = 2d \x \. Từ đó dẫn đến х.д2 ([жI) = 0 Bây giờ ta xét các hàm số f( x) = X (ln |rc| — 1) ; g (x) = X2 (ln |æ|) — le Ơ 1 (R), 23 đặt /(0) = 5(0) = 0 Sử dụng công thức Leibniz ta có d { X (ln \ x\ — 1) x} — d {x (ln |æ| — 1)} .X + X (ln |x| — 1) Suy ra ỡ 2{x (ln |ж| — 1) x } = ỡ 2{ x (ln |ж| — 1)} .X + 2d {x (ln |ж| — 1)} Do đó ớ 2 {X (ln |rrỊ — 1)} X = d2 ị x2 (ln |i| — 1)} — 2 d {x (ln |rcI — 1)} Nhưng rõ ràng X2 (ln |æ| — 1) € Ơ 1 (R) nên theo công thức đạo hàm thông thường thì d { x2 (ln |æ| — 1)} = 2x (ln |ж| — i ) + X Nên trong A ta có ỡ 2 {x2 (ln \x \ — 1 )} = 2d {x (ln |æ| — 1)} + 1 Suy ra ỡ 2 {x (ln |x| — 1)} .X = 1 Để đơn giản ta đặt y = ỡ 2 {x (ln |ж| — 1)} thì y.x = 1 Vậy nên nếu có x.a =0 thì y.( x a) = 0 hay l.a = 0, do đó а = 0 Điều này chứng tỏ trong Ả “Nếu xa = 0 thì а — 0 ” bởi vậy từ х д2 (|rc|) = 0 ta có ỡ 2 (|æ|) = 0 Mặt khác ta đã biết ỡ 2 (|æ|) = 2Ô nên từ đây suy ra 5 = 0 Mâu thuẫn này chứng tỏ không thể xây dựng một đại số chứa 23'(R) mà trong đó công thức Leibniz được thỏa mãn □ 24 Chương 3 Cách xác định tích hai hàm suy rộng theo Mikusinski Trong chương 2 ta đã nghiên cứu về không gian các hàm suy rộng Schwartz và có được một số kết quả về các hàm suy rộng đó Đặc biệt là phương pháp xác định tích hai hàm suy rộng của L.Schwartz Những kiến thức này sẽ hỗ trợ cho việc nghiên cứu tích hai hàm suy rộng theo cách của Mikusinski Từ đó mở ra hướng xây dựng không gian các hàm suy rộng Colombeau và sau đó vận dụng cách làm của Mikusinski để xác định cụ thể tích của hai hàm suy rộng Các kiến thức sau được tham khảo trong [3], [4], [6], [7] và [9]. 3.1 Mở đầu L.Schwartz đã đưa ra một cách định nghĩa tích hai hàm suy rộng dựa trên khai triển Fourier Tuy nhiên, cách định nghĩa này có hạn chế là không thể lấy tích —<5 hay ỗ2 Tương thích với định nghĩa đó, Mikusinski cũng đưa ra một cách X định nghĩa khác về tích hai hàm suy rộng bằng phương pháp sử dụng dãy Delta và cho tiến qua giới hạn Định nghĩa 3.1 Một dãy (<5 n ), n = 1,2, các phần tử của D(R TO ) được gọi là một dãy Delta nếu thỏa mãn: suppố nc { ĩ E R m : |x| < £„} với lim En = 0 , 71—»00 f R m ỗ „ ( x ) d x = 1 25 Nhìn một cách trực quan, dãy ( ỏn) , n = 1,2, như là một dãy tiến tới hàm Delta Dirac ỗ tại gốc 0 của R m Trong vài trường hợp ta phải định nghĩa thêm tính chất của dãy (ỏ n), n = 1,2,

Trường hợp m = 1, tính chất bổ sung (theo Mi kus ins ki) là: sup x e R , n e N (z) < +0 0 , V f c = 0 ,1 , 2 ,

Định nghĩa 3.2 (Mikusinski) Ta nói rằng 5 và T có thể lấy tích S T nếu với mọi dãy Delta (ổ„), 71 = 1,2, thì giới hạn lim (s * ôn) (T * ôn) tồn tại trong n—^OO V '( Rm) và giới hạn đó không phụ thuộc vào việc chọn dãy Delta Cơ sở của định nghĩa 3.2 là do lim ỏ n = ỏ trong X>'(K m ) do đó lim (s*ỏ n) = s n—»00 n— > 0 0 và lim ( T * ỗn) = T trong 71—»00 (ii) Theo A nt os ik: Sn{%) > 0 , Va : £ R T O ,V n G N (iii)Theo I ta no : sup í \ x k d k ( x ) n ^N JIB?™ I < +0 0 , V f c = 0 ,1 , 2 ,

bễN J R“ Sau đây ta đi xét một số ví dụ về tích hai hàm suy rộng theo cách của Mikusinski. 3.2 Ví dụ về tích hai hàm suy rộng theo Mikusinski Ví du 3.1 Trong theo cách đinh nghĩa của Mikusinski ta có —í = — -í'. X 2 Chứng minh: Đặt ỗ~ (x) = ố„(-x), n = 1,2, ta có: ( (“ * ^n) ■ ( 6 * 6 n ) , ậ ỳ = ( (- * - S n , ệ ỳ = ((“ * ổn ) ’õ nộ ) = ( - , S n * S ~ ộ ) Vự>eD(M). 26 Khai triển ф( х) = ф( 0) + хф' ( 0) + х2ф (х) tacó: ( ( _ * <*n) ■ * <*n) >0} = ф (0) í- * ố„) + ф '(0) (-,*-* (*í„)) + S - * { Х2Ф )5„) Та có thể chứng minh số hạng cuối cùng của vế phải dần tới 0 khi n -» 00 Số hạng đầu tiên dần tới 0 khi n -> oo vì ỏ~ * ỗn là hàm chẵn Ta sẽ đi chứng minh số hạng thứ hai ở vế phải hội tụ tới - ф' ( 0) Thật vậy, ta có: ф ' ( 0 ) ( K ỏ ~ * ( x ỏ n ) ) = / \ a n { x ) d x , \ x / J _ x X trong đó a n = ỏ - * ( x ỗ n ) , nên a ~ = ỗ n * [(-ж)£-] = - x ( S n * s ~ ) + ( x ỏ n ) * ỏ - , vì rõ ràng nếu V)1>V;2 s ii(K) thì x(ĩị)i * Ф2) = (x-ệi) * Ф2 + Ф1 * (хф2)- Do đó ta có a n - a ~ = x ( S n * s ~ ) và (*•“"} = +2 = 2 vì an — a ~ là lẻ Điều đó chứng tỏ: (z’ a ") =2 (x ,a: ( ổn * ổ ")) =2 / * ổ ") ^ố x = 2’ do ỗn e X^K), n = 1,2, và JR ỏn( x) dx = 1 Từ đó ta có: lim ( (- * ỏ n ) ( ỏ * ỏ n ) , ф ) = V(0) = - \ (í', ф ) , У ф £ V ( R ) n — ¥ 00 \ \ x / /2 2 hay lim (— * in') (ỗ * ỏ n) = - -Ỗ ' trong X>'(R) Do đó, chúng ta có —.<5 = - -Ỗ ' П - Ю О \ x / 2 X 2 trong 2?'(R) Với định nghĩa tích hai hàm suy rộng của Mikusinski ta có thể lấy tích của hai hàm suy rộng Tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng thực hiện được Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 3.1 Trong X>'(R) ta không thể lấy tích ỗ ỗ theo định nghĩa 3.2 27 C hứn g mi nh Giả sử rằng tồn tại ô2 e X>'(R) Lấy dãy Delta tùy ý (á„), n = 1,2, ta có giới hạn lim (ỗ2,ậ) luôn tồn tại vự> e X>(R) Chọn ệ e X>(R) sao n—»00 cho ậ = 1 trong lân cận của 0 Khi đó ta có + oo r + o o ỗ 2 ộ d x = / ô 2 d x -00 * * — 00 Do sự tồn tại của giới hạn lim (ỗ2, ệ) nên ta có dãy (ố„), n = 1,2, bị chặn n—»-oo trong Z/ 2 (K) Mà trong Ì2(K) thì hình cầu đơn vị là compact yếu nên tồn tại dãy con (ố n J, k = 1,2, của dãy (ố n ), n = 1,2, hội tụ yếu tới g £ Bởi vậy V0 e L2Ợ &) thì {g ,ậ ) = lim { ỗnk, ậ} , nhưng do ộ e X>(M) nên ta lại có k-¥ oo lim (ỗnk,ệ) = {g,ậ}. Điều đó chứng tỏ rằng ỗ = g £ -Z/2(K) dẫn đến mâu thuẫn. k — t o o Vậy chứng tỏ không tồn tại ổ 2 theo định nghĩa 3.2 Ta cũng có thể kết luận rằng dãy (õ ị) , n = 1,2, không hội tụ trong X>'(R) □ Mặc dù bằng nhiều cách khác nhau các nhà toán học đã cố gắng xây dựng những định nghĩa cho tích hai hàm suy rộng Các cách đó là tự nhiên nhưng vẫn chưa giải quyết triệt để vấn đề tích hai hàm suy rộng Chẳng hạn, ta có — X = 1 X và x ỗ = 0 trong T > '( Q) Nếu ta áp dụng nó trong T >( Q) ta sẽ có: ỏ = ( — , x \ ỗ = — ( x ỗ ) = 0. \x / X Một ví dụ khác về hàm Heaviside H (x ). Ta biết rằng Hn = H, Vn = 1, 2,do đó H = H2 = H3. Từ đó ta có: H ' = 2 H H ' = 3 H 2 H ' = 3 H H 1 , do đó H ' = 2H H ' = 0 = > H ' = ỗ trong X>'(R) Cuối cùng vào khoảng những năm 1980, J.F.Colombeau đã mở rộng không gian hàm suy rộng Schwartz theo cách khác với các cách dùng các hàm hyperfunctions hay các mở rộng của Beurling, Romieu Cách xây dựng của J.F.Colombeau dựa vào cách tiếp cận ban đầu của L.Schwartz về việc xây dựng T >' và đã giải quyết được triệt để vấn đề lấy tích hai hàm suy rộng bất kỳ 28 3.3 Tích hai hàm suy rộng Colombeau theo cách của Mikusinski Phần này chúng ta sẽ bàn đến việc xây dựng không gian các hàm suy rộng Colombeau và sau đó là việc vận dụng cách làm của Mikusinski ở phần trên để xác định cụ thể tích của hai hàm suy rộng trong một số trường hợp Trong vật lý lượng tử ta thấy cần đánh giá ỗ2 khi tính tỉ lệ chuyển của tương tác hạt Vấn đề xác định tích các hàm suy rộng cũng liên hệ chặt chẽ với vấn đề chuẩn hóa trong thuyết lượng tử Nhìn lại lý thuyết của hàm suy rộng của L Schwartz chúng ta có thêm hai nhận xét sau: 1 Hàm suy rộng / e X>'(R") là một phiếm hàm liên tục trên không gian X>(R") của không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact ở đây chúng ta có ánh xạ tuyến tính của / trên hàm thử ậ 2 Cho {</>n} là dãy các hàm trơn hội tụ đến độ đo Dirac, một họ {/„} theo quy tắc có thể được thành lập bởi tích chập, hội tụ yếu đến hàm suy rộng / e Đồng nhất hóa hai dãy {<£>„} và {<£„} nếu chúng có cùng giới hạn, chúng ta có được một sự biểu diễn theo dãy của không gian các hàm suy rộng Một cách gần tương tự việc dùng các Delta- dãy là việc dùng lưới {</>e}£>0 được định nghĩa bởi < p (3.1) f n ( x ) = /*¥>„ = ư ( y ) , < P n ( x - y ) ) (3.2) (3.3) Trong [7] ta đã biết rằng X 1 .X 1 — T ĩ 2 ỗ { x ) ỗ { x) = X 2 (3.4) 29 Trong đó không có tích số nào bên trái ở đây tồn tại, nhưng hiệu số này vẫn còn mang một ý nghĩa đúng đắn trong không gian các hàm suy rộng X>'(R) Một số các kết quả tương tự khác có thể tìm được trong các nghiên cứu Toán học hoặc Vật lý (xem thêm trong [4]) Trong mục này sẽ trình bày kết quả về -I < t _ — r- l / 2 V _ — r- l / 2 tích so của x+ và Trước tiên, ta đi tìm hiểu về hàm suy rộng Colombeau. 3.3.1 Hàm suy rộng Colombeau Hàm suy rộng Colombeau ( Q - suy rộng) trên M n Với 5=1,2, đ ặ t .4 g (R”) = Ễ X>(R”) : J ip(t)d t = 1 và Ị taip(t)d t = Okhil < |a| < Trong đó t = (h ,t2, ., tn) e R", a = (ai,a 2 , ,a n ) € N n, ta = (í" 1 , í“ 2, í " " ) Ta có thể thấy rằng A l D Ả 2 Э D A q D Aq +1 Hơn nữa ta có: Mệnh đề 3.2 00 п Л = » • 9 = 1 00 C hứn g mi nh Giả sử tồn tại Ф G П A q Ta có biến đổi Fourier của Ф( t) : ?—1 ф ( 1 ) = Ị ộ ( x ) e ~i x td x jR n Л Л là hàm giải tích trên C” Từ đó suy ra ф( 0) = 1 và да ф ( 0) = 0, |a| > l,Vĩ e l", Л nên ậ (t ) = 1, Ví e M" Mặt khác, do Ф £ A q, q = 1 , 2 , n ê n Ф € X>(K") và với mỗi m = 1,2,3 cm > 0 sao cho m ở đây £ e cn, а > 0 sao cho suppự) с {ж : |ж| < а} ( theo Định lý Paley-Wiener). л Đặc biệt, cho ^ = X € R sao cho |£| = |ж| ->■ oo thì từ (3.5) ta có ф( х) -» 0 Điều Л 00 này mâu thuẫn với ф( х) = l, Vx G R” Vậy chứng tỏ rằng fl Aq = 0 □ 9 = 1 30 Mệnh đề 3.3 Với mỗi (7=1,2, chúng ta có Aq Ỷ 0-C hứn g mi nh Ta chỉ cần chứng minh với n = 1 Xét các toán tử tuyến tính liên tục trên D(R) Ta thấy họ (Lj), 0 < j < q độc lập tuyến tính, do đó với mỗi ộ có một không gian con hữu hạn chiều sinh bởi L0, Li , Lq Theo nguyên lý Hahn- Banach về thác triển liên tục, ta có thể thác triển liên tục các toán tử tuyến tính liên tục Lj, 0 < j < q thành các toán tử tuyến tính liên tục trên X>'(R) Mặt khác ta lại có X>"(R) = X>(R) do đó tồn tại ĩp k £ = 1)2, q sao cho Lj ( ĩ /jk) = ơj k] j, k = 1,2, q Đặt ậ = ìp o, ta có L j ( ị >) = Ơ j 0 hay / Rn ậ ( x ) d x = 1 và / Rn xiậ(x)dx = 0, 1 < j < q Điều đó chứng tỏ ộ € Aq với mỗi q = 1,2, Vậy mệnh đề được chứng minh □ Với 4 > e X>(R"), £ > 0, ta đặt ệE(t ) — — ậ Ta thấy rằng 4> e Aq ậE e Aq Ta ký hiệu Tx là phép tịnh tiến biến ệ !-)■ ậ ( - X) và ệ e x( t) = ( TxậE) (í) Ta cũng đặt £(R") là tập hợp các hàm có dạng Trong đó u (ệ ,x ) là hàm khả vi vô hạn theo X với mỗi ộ cố định Ta có thể chứng minh được rằng £(R") là một đại số với các phép toán theo điểm Định nghĩa 3.3 Ta nói phần tửu e £(R”) là một phần tử “ ôn hòa ” ( moderate) nếu với mỗi tập compact K c R" và mọi phép lấy vi phân da tồn tại N e N* sao cho Vệ e A N chúng ta có L o ( < t > ) = / ậ ( x ) d x , ■'R" ~ / X 3 ộ ( x ) d x , 1 < j < q J R» u : Ai X Rn c ( ộ , x ) H-» u ( ộ , X). (9“»)(íS„i) = ỡ (£-"), (3.6) 31 khi £ ->■ 0 đều trên K, trong đó (3.6) nghĩa là sup |(ớ“u) ( ệE,x )\ < C E N với c > 0 X E K và với mọi £ đủ nhỏ Ta ký hiệu £ M (R n ) là tập tất cả các phần tử ôn hòa của £(R”) Nhận xét 3.1 Ta thấy rằng N nói chung phụ thuộc vào a và K. Nếu ta có N = N( a, K) thì (3.6) vẫn còn đúng khi ta thay N bởi N' > N. Ngoài ra, nếu UI ,U 2 Ễ £(R n ) thì ta có đồng thời da iui dữ 2U 2(ậE,x ) = Ö (e _JVl ) và da 2u 2da iu\ {ệe,x ) = o { e~N i) với N i nào đó Do đó, theo công thức Leibniz chúng ta có £jvf(R") là đại số con của £(R") Đặt r = ị ß : N -> R + sao cho nếu q < r thì ß (q) < ß(r) và lim ß( q) = 00 k l 5->oc J ta có Định nghĩa 3.4 Ta gọi phần tử u £ £(R n ) là nu ll nếu mọi tập compact K c R n và mọi toán tử vi phân da có một số N e N* và ß e r sao cho Mq > N, V ệ e Aq ta có ( d a u ) ( ệ E , x ) = o { e p ^ - N ) , (3.7) khi £ -> 0 đều trên K. Ta ký hiệu tập các phần tử null của £(R n ) là I Dễ thấy rằng I c £ M (R n )- Hơn nữa, nếu 1X1^2 e và ít nhất một trong hai phần tử đó thuộc J thì UI -U 2 Ễ X, do đó J là một ideal của £m(K") Trên cơ sở đó, ta có thể xây dựng đại số thương £M(Rn)/ T. Định nghĩa 3.5 (Hàm suy rộng Colombeau) Đại số thương £M(Rn)/ l, ký hiệu 0(R") (hoặc Q) được gọi là đại số các hàm suy rộng Colombeau Mỗi phần tử thuộc G được gọi là một hàm suy rộng Colombeau Để tiện phân biệt với hàm suy rộng thông thường ta sẽ gọi các hàm suy rộng Colombeau là hàm Q- suy rộng. Ta thấy rằng ũ là một hàm suy rộng thuộc 0(R”) khi và chỉ khi ũ = u+1, trong đó u € £jií (R") là phần tử đại diện cho ũ. Ta cũng nói rằng ũ = V trong Ổ(R") <=!■ 32 и - V £ 2 với и, V tương ứng là các phần tử đại diện của ũ và V. Ngoài ra ta cũng có Vit € £м(К") thì da € và Vit € X thì да e X, do đó ta có thể định nghĩa đạo hàm của một hàm suy rộng trong Ổ(K”) như sau: Định nghĩa 3.6 Vũ e 0(R") thì đạo hàm cấp a của ũ, ký hiệu daũ được xác định bởi д ° й = даи + X Nói cách khác da xác định một ánh xạ da : ổ(M n ) -> Ổ(R") ũ d a ũ = d a u + 1 Nhận thấy toán tử 0“ là toán tử tuyến tính và thỏa mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm của một tích b Hàm suy rộng Colombeau trên tập mở Í2 с R" Việc định nghĩa hàm suy rộng Colombeau hay ta còn gọi là hàm Q- suy rộng trên tập mở О с R n tương tự như định nghĩa trên R n Khi Q, = R n thì ta có định nghĩa hàm Q- suy rông trên R" Trước hết, với X e R” ta xét phép tịnh tiến xác định bởi Tx : 2?(R”) -> ĩ>(R n ) ф ^ ( т х ф ) (t) = ệ ( t - X) với í Ễ 1" Ký hiệu U(J l) là tập hợp tất cả các phần tử (ф ,х ) e Al X íì sao cho тхф e v (ũ ) nghĩa là suppтхф с Í2 Khi đó, do Ф có giá compact nên với mọi tập compact к của Q và Уф £ Al thì Зт] > 0 sao cho {Фе,х) G w(í2), Ух G К và о < £ < Г ]. Từ đó suy ra với mỗi phần tử ( ф, х) € u(ũ ) có một lân cận mở UJX của X sao cho tập hợp { (ф, у) }у е ш с U( Q) Vậy nên У ф G Ải , tập hợp ũ (ậ ) = {x e О : ( ф, х) e u{ ữ)} là tập con của Q và với £ > 0 đủ nhỏ thì fi(0E ) Ỷ 0- Bây giờ ta mở rộng định nghĩa hàm suy rộng Colombeau trên M” bằng cách dùng u{ũ) để thay cho л 1 X íĩ. 33 Định nghĩa 3.7 Với mỗi Í2 ta ký hiệu £( íì ) là tập hợp tất cả các hàm и : ưị í ì) -> С sao cho У ф € Л 1 thì и (ф, X ) là hàm thuộc lớp c °° trên ũệ theo X £(fĩ) là không gian vectơ và là một đại số Ta cũng ký hiệu £m(Q) và X(Í2) lần lượt là các phần tử ôn hòa và null của £(П) như trong các định nghĩa (3.3) và định nghĩa (3.4) ở đây К là một tập hợp compact của Í2 Khi đó tập hợp ổ(íì) = £M(ÍÌ )/ X( ÍÌ) là một đại số và cũng được gọi là đại số hàm suy rộng Colombeau trên íì Nhận xét 3.2 Ta thấy rằng DQ(ÍÌ ) с 0(0) với mọi phép lấy vi phân D và công thức Leibniz vẫn đúng trong ổ(íì) Các tính chất về vi phân trong đại số ổ(R n ) Theo định nghĩa của hàm suy rộng Colombeau thì mỗi hàm Q- suy rộng là một lớp tương đương trong đại số Ổ(R") Trong mục này chúng ta sẽ tìm hàm biểu diễn của các hàm đã biết trong ổ(R n ). Định lý 3.1 K h ô n g g i a n c á c h à m k h ả v i v ô h ạ n t r ê n R" c ó t h ể n h ú n g v à o 0(R") b ằ n g á n h x ạ C°°(R") -> ỡ(R n ) / ^ 7 + ĩ -Tr o n g đ ó f ( ậ , x) = f ( x ) , V ệ e A l , X e R" Chứ ng m in h. Trước hết, ta thấy ánh xạ trên hoàn toàn xác định Thật vậy, vì / G C°°(Rn) nên = /(•) e ơ°°(Rn) Mặt khác, дайфЕ,х) = daf(x),ậ £ A\ ,x e R" và với / e Ơ°°(R") ta có sup daf( ậE, x) = supỗ к к đó к là tập compact tùy ý Từ đó, với mỗi đa chỉ số a thì supỡ a /(:z) = с < 00 trong s u p daf (ậ e, x) < С <ф e ЛьО < £ < 1, Suy ra / G £ м (R n ), do đó / + 1 £ ổ(R n ) Ngoài ra, nếu / e Ơ°°(R") và có / + X = I thì suy ra ỉ (ậ ,x ) = ỉ( x) e X Từ đó 34 suy ra với mỗi tập compact к с Rn, f ( x ) = O ( e ) khi £ 0 đều trên к, do đó / = 0 trên К Mà К là tập compact tùy ý, nên / = 0 trên R" Từ đó ánh xạ trên là phép nhúng từ C°°(R n ) vào Ổ(R”) Định lý được chứng minh □ Định lý 3.2 K h ô n g g i a n c á c h à m l i ê n t ụ c t r ê n M" c ó t h ể n h ú n g v à o 0(R") b ằ n g ánh x ạ C(Rn) -> ổ(Rn) / ^ 7 + I e ổ ( ln) , ở đ â y f ( ậ , x ) = Ị f ( x + y ) ậ ( y ) d y = í f ( y ) ậ ( y - x ) d y , ậ £ Ả i , x £ Rn. Jfljn Jfljn Chứ ng m in h. Ta sẽ chứng minh / € £м(К") Thật vậy, vì Ф e Ai nên ta có e C°°(R") và д а 7 ( ф , х ) = (-1)1“1 í f ( у ) д а ф ( у — x ) d y Mặt khác, Suy ra ỉ { ệ s , x ) = ị f ( y ) ệ E ( y - x ) d y = ^J ĨW (^7^) dv = / f ( x + £ t ) ậ ( t ) d t J R» / 1ШЯ-Ф) (^) d, / f ( x + e t ) d a ệ ( t ) d t J R» £ Ỉ “ I Với mọi tập compact к và mọi đa chỉ số a ta có sup / f ( x + £ t ) d a ậ ( t ) d t < sup \ f ( x + ỗ y ) \ / \ d a ộ ( t ) d t \ к I-/R" J y e s u p pФ R n ie[0;l] = С < оо, 35 và không phụ thuộc vào £ (0 < £ < l),vự> e A\ Do đó ta có /e £ M (M n ) Bây giờ ta sẽ chứng minh nếu / e C(R"), / ẽĩ thì / = 0 Thật vậy, nếu / Ẽl thì với mọi tập compact K ta có số N e N sao cho V ậ £ AN ta có f ( ậ z , x ) = O ( e ) khi £ — ỳ 0 đều trên K Mặt khác, ta lại có lim f ( ậ E , x ) = lim / f ( x + e t ) ậ ( t ) d t €—>0 £ — > 0 I f ( x ) ệ ( t ) d t = f ( x ) L 'Rn Từ đó suy ra f ( x ) = 0 trên K Mà K là tập compact tùy ý trong 1", nên suy ra / = 0. Định lý được chứng minh □ Mệnh đề 3.4 Tương tự, ta cũng chứng minh được không gian các hàm liên tục trên íí có thể nhúng vào ổ(íí) bằng ánh xạ / !->• u( ậ, x) € u (ũ) , trong đó u( ậ, X) = Jn f (y )ệ ( y - x )dy. Chú ý rằng ta có thể coi C(R”) c £m(K”) như là một không gian con tuyến tính, nhưng không phải là một đại số con Thật vậy, với f , g € Ơ(R") thì f(ệe, X) = / R n f ( x + e t ) ậ ( t ) d t và ~g(ậe, x) = / Rng(x + et ) ệ( t) d t, nhưng nhìn chung Ỷ / f ( x + £ t ) g ( x + £ t ) ệ ( t ) d t J R» Do đó fg ị Ta biết rằng C°°(R") c Ơ(R") Vậy nếu / e C°°(R") ta có thể áp dụng cả hai định lý (3.1) và định lý (3.2), do đó / sẽ có hai cách xác định phần tử tương ứng trong Ổ(K") Điều này có gì mâu thuẫn? Mệnh đề sau đây trả lời cho câu hỏi đó Mệnh đề 3.5 Cho / € Ơ°°(R") Gọi / là phần tử biểu diễn cho / theo định lý 3.1 và / là phần tử biểu diễn cho / theo định lý 3.2 Thế thì t a c ó / + x = / + x trong 36 Chứ ng mi nh Ta sẽ chứng minh / - / ẽ I Để đơn giản ta sẽ chứng minh cho trường hợp n = 1 Ta có (/ - 7) ( ệ , x ) = ĩ ( ậ , x ) - f ( ệ , x ) = f ( x ) - ỉ ( x + y ) < t > { y ) d y , < t > € Ả I Do đó ta có (/- /) ( ệ , x ) = ỉ ( x ) - Ị ỉ ( x + y ) ậ e ( y ) d y v' ■'R = f ( x ) - f ( x + e t ) ệ ( t ) d t = - Ị [ ỉ ( x + s t ) - f ( x ) ì ệ { t ) d t Sử dụng công thức khai triển Taylor ta được JL ( p f \ 3 t q+1 f ( x + s t) - f ( x ) = + e a t ) 3- ( 9 + 1 )! j=1 Trong đó 0 < ổ < 1 Do đó, với tập compact tùy ý K , Vq € R và ậ e Aq ta có (/ - /) (ệ s,x) = 0 (eq + 1) , e -> 0 đều trên K. Điều này thỏa mãn định nghĩa 3.4 ứng với trường hợp a = 0, N = 0, ß( q) = q + 1 Ta cũng có điều tương tự với da ụ - (ệE, x) , do đó / - / Ẽ ĩ. □ Như vậy, ta có thể coi c 00 ^”) c C(R”) c 0(R n ) Tiếp theo ta có Ĩ>'(R”) cũng có thể được coi là tập con của Ổ(R"). Định lý 3.3 K h ô n g g i a n c á c h à m s u y r ộ n g X>'(R") c ó t h ể n h ú n g v à o 0(K") b ằ n g ánh x ạ V( Rn) -> Ổ(M") u I-» ũ + X, 37 C h ứ n g m i n h Đặt Ф (t) = ậ ( — t ) với Ф e D(R") ta có и ( ф , х ) = ( и * ф ) ( x ) Do đó ta có й(ф,х) e C°°(R") và д а й ( ф , X ) = (-1)1“1 ( u ( y ) , ( д “ ф ) ( у - x ) ) Như vậy, hàm suy rộng Dirac ỗ có dạng fs + Xe Ổ(R") với f s { ậ , x ) = { ô ( y ) , ậ ( y - x ) ) = ф ( - х ) Ta còn chứng minh được ỏ2 e ổ(M n ) có dạng ф2(— х) + T. □ 3.3.2 Số Colombeau Ta đã có định nghĩa không gian các hàm suy rộng Ổ(R") mà trong đó ta có thể nhân hai hàm suy rộng tùy ý Tuy nhiên, ta cũng cần tìm hiểu giá trị của hàm suy rộng / tại một điểm X e R" Trước hết, ta sẽ nói đến số Colombeau (hay còn gọi là số phức suy rộng) Ký hiệu £ữ là tập tất cả các hàm đi từ Ai tới c Dễ thấy rằng £ũ là một không gian vectơ và là một đại số. Định nghĩa 3.8 Ta gọi и e £o là một phần tử ôn hòa của £o nếu có số nguyên dương N sao cho Уф € AN ta có и(фЕ) — 0(e ~N) khi £ -» 0 Ta cũng ký hiệu £M là tập hợp tất cả các phần tử ôn hòa của £ q. Ta cũng thấy rằng £M là một không gian con và là một đại số con của £ ũ. Định nghĩa 3.9 Ta ký hiệu Xo là tập hợp tất cả các phần tử и G £ữ thỏa mãn tính chất: có số N e N, ß e г sao cho Vg > N, ' iậ £ A q ta có и (ф£) = 0 (e ß(gi ~N) khi E -» 0 Ta có thể chứng minh rằng Jo là một ideal của £M■ Do đó, ta có thể định nghĩa một đại số thương như sau Định nghĩa 3.10 Ta ký hiệu с đại số thương £ м /%0 và mỗi phần tử của nó ta gọi là một số Colombeau (hay số phức suy rộng 38 Vậy có sự liên hệ nào giữa số phức và số Colombeau? Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 3.6 Tập các số phức thông thường с có thể nhúng được vào tập các số Colombeau с bằng ánh xạ z € с H» z + Xo € с, ở đây г (ф ) = z, У ф € Al -— 1*1 — Chứ ng m in h. Thât vây, ta có \ z( ậ£) \ = \z \ = ^ , do đó z e £M và ánh xa đó là £ đơn ánh Hơn nữa, nếu Ỉ Ẽ Ĩ o thì 1( ФЕ ) — z — ơ ( e) khi £ -> 0, nên suy ra z = 0 Mệnh đề được chứng minh □ Tương tự ta hiểu “số thực” X € с là tập các hàm X như trên sao cho х(ф) — X , У ф G Л \. Định nghĩa 3.11 số phức ZẼC được gọi là liên hợp với một số Colombeau uz = u +1 о, и E £M ký hiệu bởi uz\ - z nếu có số q £ N, У ф G A n ta có lim и(ф Л = z E—►() Ta thấy rằng г ở trên (tương ứng với uz) là duy nhất Hơn nữa, U + Iũ \- 0 nếu и e lo vì khi и £ lữ thì lim и(ф с) = 0 Ta ký hiệu Co là tập tất cả các uz ở trên Ta E — ¥ 0 thấy rằng Co < t c Thật vậy, lấy uz eC, uz = U + 1 0 với и(ф) = ^(0), V^I thì и £ £ м ■ Măt khác, ta có и(ф Л = — ф( 0) Từ đó suy ra không tồn tai ç ê N z ê C sao £ n cho У ф e A q thì lim и{фЕ) = z hay uz ị Co-e->0 Sau đây ta sẽ xét một số tính chất của quan hệ trên Mệnh đề 3.7 Nếu uz e C; Z]_,Z 2 G с sao cho uz b Zi, uz I- Zi thì Z\ = Zi Nếu uz = z, với z ễ C c C thì uz h z. Nếu uZ l,uZ 2 e C; Z I , Z 2 G С và uZ l h Zi,uz a h Z 2 thì uZ l + uZ ĩ b Z\ + Z 2 và U Z í U Z 2 \ - Z ỵ Z 2 . Nếu uz G С; Z \, z G С và uz h z thì — uz h ( —z) Việc chứng minh được suy ra từ định nghĩa Từ kết quả của mệnh đề trên ta có thể định nghĩa một ánh xạ uz € Co I-» z € с sao cho uz \- z Tuy nhiên, ánh xạ đó không phải là phép chiếu Thật vậy, lấy uz Ễ C; uz = и + Xo và и (ф ) = |rc| ậ ( x ) d x thì и ( ф£) = J"R |ж| - ậ ( - ) d x = е и ( ф ) , Ф Ễ 39 Al và lim и(фЕ) = 0 Do đó ta có uz h 0 Tuy nhiên, với mỗi q = 1 ,2 , . ta có thể xây dựng Ф e A q sao cho и(ф ) Ф 0 Điều đó có nghĩa uz ф 0 trong c 3.3.3 Ví dụ về tích hai hàm suy rộng Colombeau theo cách xác định của Mikusinski Nhìn lại các kết quả trong [3] chúng ta thấy rằng y a € R/Z tích của hàm suy rộng x“ và xi“- 1 là ж“ zi“- 1 = Æ~0 _ 1 ж“ и ————-—

-<S(æ) = -csc(7ra)ổ(rc) (3-8)

và

ở đây chúng ta sẽ mở rộng kết quả (3.9) nhờ các bổ đề sau Các bổ đề này có thể chứng minh được bằng phép quy nạp

BỔ đề 3.1 Cho p < r, ta có

/ sp<p{ r )(s) ds = (- l)k p _ t p ~V r ~*~ 1 ) (0^, với p < r (3.10)

BỔ đề 3.2 Cho p = r, ta có

* fc=0

và ) là viết tắt của / d(p (s) ds

C hứn g mi nh Vì đã có ip e ,4i(R), không mất tính tổng quát ta giả sử rằng

supp<^(:r) c [c;d] Dùng quy tắc phép nhúng và thay thế t = y x chúng ta có

£

những biểu diễn của hàm suy rộng a:~r _ 1 , / 2 trong đại số Colombeau :

= (2^1ĩĩĩí^/ r 1 'V' l (^)ií

í ( x + E t ) ~ 1 / 2 i p { r ) ( t ) d t

l ) A E J -X /E

(2r — 1)!! £ r y_ a; ỵ e

(3 - 13)

Tương tự, dùng quy tắc phép nhúng và thay thế s = -—— chúng ta có những

£

biểu diễn của hàm suy rông x Zr~1^2 trong đại số Colombeau : x~:~m

{ v‘ 'x ) = (-ir(2^1)!!Ỉ£ /_1 (-9 )'1 / V

2

(2r - 1)!!

2 r 1 / ■ - * / £

Ị7 / (-* - es) _ 1/ V r) (sH

' J c

(2r — 1)!!

£•

y-ệ(x) £ X>(R) ta có:

s ( 3 1 4 )

; + r 1 / 2 ( ¥ > £ , a :) • X- 1 / 2 ( ¥ >e , z ) , v > ( ® )

í x + r 1 / 2 ( i p E , x ) x _ r 1 / 2 ( i p e , x ) ' ệ ( x ) d x

J

—

I

00

o 2 r

1 ((2r - l)!!) 2 e2 r

/

ì p( x) / <£> (r) (í)

/

- X Ị S

( X + E Ì ) 1 , / 2(— X — ES )- 1 ! 2 < p ^ r \ s ) d s d t d x

ọ2r 1 f đ r d

= - / 'ệ (- e ui ) / <£>^(í) ((2r — 1)!!) 6 Jc L

(3.15)

J c

trong đó CƯ = — x/ e. Theo công thức khai triển Taylor ta có:

, / N V ' ^ ( o ) , ,k ^{ 2 r + 1 )M( x 2 r + l (O

= 2 ^ + ( 2 r + i)! (~ 'v ) ’ ( ) jfc=o

41 với 77 e (0; 1) Theo công thức (3.15) ta có

x + r 1 / 2 ( < p E , x ) x _ r 1 / 2 ( < p e , x ) , ф ( х )

22 r A (-1)^ W (0)

(3.17)

Trong đó

I ị ị — J i p ^ r \ t ) Ị < p ( r \ s ) Ị ( t — l j ) l ^ 2 { b j — s ) 1 ^ 2 ( j j k d i j d s d t (3.18)

Với Ả: = 0,1, 2,2r và chúng ta đã thay đối thứ tự của phép lấy tích phân.

Đặt L J — s = ( t — s ) v ta có:

í (í — cư) 1//2 (cư — s) l^2u ikd u>

• ' s

= í г>_ 1 , / 2(1 — V) 1 ,/ 2 [sì; + (1 — v) t]kd v ■'о

= Ề щ - TT í

np'-(k-p)'-J0

p=0

= ( З Л 9 )

p = 0

Do đó

7

* = E pị(kl p y B { p+ ị’ k ~ p+ ị) Ị tk

V r)

(s)dsdi p= 0 c *

p=0

Sau đó, giả sử Ả; chẵn, к < 2r va p < r. Từ bổ đề 3.1, sptp ^ (s )ds là một hàm

chẵn hay hàm lẻ tùy theo r + p là chẵn hay lẻ Như vậy ta có tk~p(p (rĩ (t )

sp(p (ri (s )ds là một hàm lẻ và Jjfep = 0 Nếu p > r thì к - p < r và bằng cách thay đổi thứ tự lấy tích phân chúng ta có thể chứng minh J kp = 0 Nếu giả sử rằng к là lẻ và

к < 2r thì ta có thể chứng minh tương tự rằng

42

Với trường hợp к = 2r, ngoài ra nếu p Ỷ r thì ta có Jk p = 0 Dùng bổ đề 3.2 với к =

2r, p = r và thay đổi thứ tự lấy tích phân ta có

J ĩ r r = Ị t r i p ^ ( t ) J s r i p ^ r \ s ) d s d t

= Ý ( P ỉ ế , í t 2 r - V r ì ( t ) 9 f r - i - l ì m

i = 0 K ' c

= (—1 )rr! J t r t p ( r \ t ) Ị i p { s ) d s d t

— (— i) r r\ J ip(s) J tr( t ) d t d s i = 0 > °

Hơn nữa,

l 9 ( s ) ( l

(r!) 2

Và J 2r r — ■ Như vậy,I ) — 0 với к — 0,1,2r — 1 và

(3.22)

( 2 r ) ! / 1 1 \ ( ( 2 r — 1 ) ! ! ) 2 7 T

J "= 2 n’- + 2’r + ẳ ) ° 2»+” ■ (3 ' 23)

Cuối cùng ta có:

= Ĩ _Ĩ^M 0{ )

2 (2r)! v 1

Do đó qua gới hạn khi E ->■ 0 ta có công thức (3.12) Định lý được chứng minh □

43

KỀT LUẬN

Luận văn trình bày tổng quan một số vấn đề về tích hai hàm suy rộng, trong đó tìm hiểu

kỹ hơn về phương pháp tính tích hai hàm suy rộng của Mikusinski Đồng thời, luận văn đưa

ra ví dụ minh họa cho phương pháp này Ngoài ra luận văn còn xem xét ví dụ cụ thể để cho thấy một cách tường minh tích của hai hàm suy rộng Colombeau thông qua phương pháp sử dụng cho qua giới hạn như cách làm của Mikusinski.

Do thời gian và trình độ có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn Tác giả xin chân thành cảm ơn!

44

Tài liêu tham khảo

[A]Tài liệu Tiếng Việt

[1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Tô pô đ ại cư ơ ng , đ ộ đ o v à tí ch ph ân , NXB Giáo dục.

[2] Đặng Anh Tuấn (2005), Lý th uy ế t hà m su y rộn g và k hôn g gi an

S ob oỉ ev, Đại học Quốc gia Hà Nội.

[B] Tài liệu tiếng Anh

[3] B.Damyanov (1997), "Results on Colombeau product of distributions,"

C om m en ta t io ne s Mat he ma t i ca e Un iv er si ta t i s C aro l in ae , vol 38,

no 4, pp 627- 634.

[4] Biljana Jolevska-Tuneska and Tatjana Atanasova-Pacemska (2013), "Further Results

on Colombeau Product of Distributions," Int er na ti on al Jo urna l of

Ma th e ma t i cs and Ma th em a ti c a l Sc ie nc es, volume 2013, Article ID

918905, http://dx.doi.org/10.1155/2013/918905 .

[5] G.Grubb (2008), Dis tr ib ut i on s and O per at or s, Springer New York, Inc [6] J.F.Colombeau (1984), Ne w G ene ra li ze d Fun ct i on al a nd

Mu lt i p li c at i on of D ist ri bu ti on s, North Holland, Math Study 84, Amsterdams.

[7] J Mikusinski (1966), "On the square of the Dirac delta- distribution," B ul l e t in

d e I’ Ac ad e mi e Po lo na is e d es S ci en c es , vol.14, pp 511- 513.