Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân laplace và ứng dụng

Tíchch¾pcn a phépbienđoitíchphânLaplacecũngđãđưocxâydnngxem[11],[12] %nhTuântôiđãchonđetài “Tíchch¾psuyr®ngváihàmtrongđoiváiphépbienđoitíchphânL aplacevàNngdnng”... MncđíchnghiêncNu +Ngh

LèICÁM ƠN

Lu¾nvănđưocthnchi¾nvàhoànthànhtaitrưòngĐaihocs ư phamHàN®i2dưóisnhưóngdancnathaygiáoTS.Tr

%nhTuân,ngưòithayđãhưóngdanvàtruyenchotácgiánhungkinhnghi¾mquýbáutronghoct¾pvànghiênc ú u khoahoc.Thayluônđ®ngviênvàkhíchl¾đetácgiávươnlêntronghoct¾p,vưotquanhungkhókhăntrongchuyênmôn.Tácgiáxinbàytólòngbietơ n , lòngkínhtrongs â u s a c nhatđoivóithay

TácgiáxinchânthànhcámơnBangiámhi¾utrưòngĐaihocSưphamHàN®i2,phòngĐàotaosauđaihoc,cácthaycôgiáotrongnhàtrưòngvàc á c thayc

ô giáodayc a o hocchuyênngànhToángiáitíchđãgiúpđõ,taođieuki¾nthu¾nloichotácgiátrongsuotquátrìnhhoct¾p.Tácgiáxinchântrongc á m ơ n B a n giámh

i¾u,c á c thayc ô giáo,banbèđongnghi¾ptrưòngT H P T TamNông,PhúT h o đãquantâm,đ®ngviênvàtaođieuki¾nđetácgiáhoànthànhkhóahocT h a c s ĩ vàhoànthànhlu¾nvănnày

HàN®i,ngày20tháng8năm2012

Tácgiá

NguyenT h % T h a n h Hòa

i

TôixincamđoanLu¾nvănlàcôngtrìnhnghiêncúucnariêngtôidưóisnhưóngdancnaTiensĩTr%nhTuân

Tôicũngxinc a m đoanrangmois n giúpđõchovi¾cthnchi¾nlu¾nvănnàyđãđưoccámơnvàcácthôngtintríchdantronglu¾nvănđãđưocchírõnguongoc

HàN®i,ngày20tháng8năm2012

Tácgiá

NguyenT h % T h a n h Hòa

ii

1.1 M®tsophépbienđoitíchphânvàtínhchat 51.1.1 PhépbienđoiFourier,FouriersinevàFouriercosine 51.1.2 PhépbienđoiLaplace 81.2 Tíchch¾pvàtíchch¾psuyr®ng 91.2.1 Tíchch¾p 91.2.2 Tíchch¾psuyr®ngvóihàmtrongđoivóicácphép

bienđoitíchphân 12

2 Tíchch¾psuyr ® n g váihàmtrongđoiváiphépbienđoitíchphânLa

2.1 M®tsokhônggianhàm 172.2 Đ%nhnghĩatíchch¾psuyr®ngvóihàmtrongđoivóiphép

bienđoitíchphânLaplacevàđangthúcnhântúhóa

2.2.2 Cácđangthúcnhântúhóa 192.3 Cáctínhchattoántúc n a tíchch¾ps u y r®ngvóihàmtrongđoivóiphépbienđoitíchphânLaplace 25

iii

2.3.1 Cácbatđangthúc 252.3.2 Đ%nhlýkieuTitchmarch 332.3.3 Cáctínhchatkhác 35

3.1 Úngdunggiáiphươngtrìnhtíchphân 383.2 Úngdunggiáih¾phươngtrìnhtíchphân 43

iv

1 Lýdochonđetài

Phépbienđoitíchphânđưocrađòitùrats ó m vàđóngvaitròquantrongtrongtoánhoccũngnhưtrongnhieulĩnhvnckhoahockhác,đ¾cbi¾ttrongvi¾cgiáicácgiáicácbàitoánvóiđieuki¾nbanđauvàđieuki¾nbiênc n a phươngtrìnhviphân,phươngtrìnhđaohàmriêng,phươngtrìnhtíchphânvàc á c bàitoánc n a v¾tlýtoán.P h é p bienđoitíchphânđautiênlàphépbienđoiFourierđưockhaisi nh bóinhàtoánhocvàv¾tlýnoitiengngưòiP h á p làJoseplFourier(1768-

1830),tieptheolàsnrađòicnacácphépbienđoiLaplace,Melin,Hankel

Tùnhungnămđauc n a thekí20đãxuathi¾nm®thưóngnghiêncúumóilàxâydnngtíchch¾pđoivóic á c phépbienđoitíchphânvàúngdung.L

%chs ú c n a hưóngnghiênc ú u nàyc ó thetínhbangc á c mocthòigianchínhnhưsau

Tùnhungnăm1951tróvet r ư ó c đóđãxâydnngđưoctíchch¾pđoivóicácphépbienđoitíchphânFourier,Laplace,Melin

(xem[11]).Đennăm1951lanđautiênnhàtoánhocngưòiMyI.NSneddonđãxâydnngđưoctíchch¾ps u y r®ngđautiênđoivóiphépbienđoiFouriers i n e , Fourierco si ne (xem[11]).Đennăm1967nhàtoánhocngưòiNga

V.A.Kakichevđãxâydnngđưocs ơ đokienthiettíchch¾pvóihàmtrong(xem[6])đ ưoctómtatbangsơ đosau:

∗

∗

Tùđóđennayđãcóm®tsoketquánghiêncúuvetíchch¾psuyr®ngvóihàmtrong,xem[12],[13],[14],[15],

[16].Snkhácbietrõr¾tnhatc n a tíchch¾pvàtíchch¾ps u y r®nglàtrongđangthúcnhântúhóacnatíchch¾psuyr®ngcónhieuphépbienđoitíchphânthamgia.Vìv¾yvi¾cúngdungcnatíchch¾psuyr®ngcũngphongphúhơn

CùngvóiphépbienđoitíchphânFourier,phépbienđoitíchphânLaplacecũ ng rađòirats ó m Tíchch¾pcn a phépbienđoitíchphânLaplacecũngđãđưocxâydnng(xem[11],[12])

%nhTuântôiđãchonđetài

“Tíchch¾psuyr®ngváihàmtrongđoiváiphépbienđoitíchphânL aplacevàNngdnng”

Lu¾nvănđưoctrìnhbàytrong52trangA4ngoàiphanmóđau

Lu¾nvănđưocchiathành3chương

Chương1:Trìnhbàytómtatm®ts o kienthúcc n a c á c phépbienđoitíchphânFouriers in e , Fouriercosine,Laplace.Tíchch¾pcn acác phépbienđoitíchphânđóvàsơđotíchch¾psuyr®ngcóvíduminhhoaChư ơng 2 vàchương3 làn®idungchínhc n a lu¾nvăn.Trongchương2 trìnhbàyvetíchch¾ps u y r®ngvóihàmtrongđoivóiphépbienđoiLaplacevànghiêncúucáctínhchatcnatíchch¾psuyr®ngnày

Chương3:Trìnhbàyúngdungc n a tíchch¾ps u y r®ngvóihàmtrongđoivóiphépbienđoitíchphânLaplaceđegiáiđóngphươngtrìnhvàh¾phươngtrìnhtíchphândangch¾p

Saumoichươngđeuc ó ketlu¾nvàc u o i c ù n g làketlu¾nc n a lu¾nvănĐet

%ênchoquátrìnhtheodõilu¾nvănchúngtôic ó đưathêm

phancáckíhi¾utoánhocdùngtronglu¾nvănvàotrưóclòinóiđau

2 MncđíchnghiêncNu

+Nghiêncúucáccôngthúctíchch¾psuyr®ngvóihàmtrongđoivóiphépbienđoitíchphânbienđoiLaplace.C hú ng minhs n tontaicnatíchch¾pnàyt

rênkhônggianL1(R+).Tùđónh¾nđưocđangthúcnhântúhóacnachúng

+Nghiênc ú u m®ts o tínhchattoántú,tínhchatđais o c n a c á c tíchch¾psuyr®ngnàytrênm®tsokhônggianhàmcuthe

+Úngdungtíchch¾pnàyđegiáiđóngphươngtrình,h¾phươngtrìnhtíchphândangch¾p

3 Nhi¾mvnnghiêncNu

+Nghiêncúucáccôngthúctíchch¾psuyr®ngvóihàmtrongđoivóiphépbienđoitíchphânLaplace

+Trìnhbàyđưocđ

%nhlýtontaicáctíchch¾psuyr®ngnàyvàtùđóđichúngminhđangthúcnhântúhóac n a chúng

+Nghiêncúum®tsotínhtoántúvàtínhchatđaisocnatíchch¾pnàytrênm®tsokhônggianhàmcuthe

+Úngdungtíchch¾ps u y r®ngvóihàmtrongđoivóiphépbienđoiLaplacegiáiđóngphươngtrìnhvàh¾phươngtrìnhtíchphândangch¾p

4 ĐoitưangvàphamvinghiêncNu

Nghiênc ú u tíchch¾ps u y r®ngvóihàmtrongđoivóiphépbienđoitíchphânLaplacebaogomđ

%nhnghĩa,đangthúcnhântúhoá,tínhchatvàúngdungcnatíchch¾pnàyvàovi¾cgiáiđóngphươngtrìnhvàh¾phươngtrìnhtíchphândangch¾p

5 PhươngphápnghiêncNu

+Súdunglýthuyettíchch¾pvàtíchch¾psuyr®ngđoivóicácphépbienđoitíchphân

+Súdungm®tsocôngcucnagiáitíchhàmnhưcáckhônggianhàm,lýthuyettoántú

6.Đónggópmái

Lu¾nvăntrìnhbàym®tcáchcóh¾thongvetíchch¾psuyr®ngvóihàmtrongđoivóiphépbienđoitíchphânLaplacevàúngdungcnatíchch¾psuy r®ngmóiđegiáiđóngphươngtrìnhtíchphânvàh¾phươngtrìnhtíchphândangch¾p

N®idungchínhc n a chươngnàyđ ư o cdnavàoc á c tàili¾u[2],[4],[6],[7],[8],[11].

F −1

F −1

.2

(TínhgiáitíchcúaphépbienđoiLaplace)NeubienđoiLaplaceF(s)cúahàmgocf

(t)vóichssotăngp0thìhàmF(s)làhàmgiáitíchtrongnúam¾tphangRes>p0

Đ%nhlý1.1.5.(Xem[4]).(Mellin)Cho hàmf(t)làhàmgocvóichs sotăngp0vàF(s)làánhcúanó.Khiđótaimoiđiemtmàf(t)liêntnc,hàmf(t)đư ocbieudientheocôngthúc

TrongđótíchphânlaydoctheođưòngthangbatkìRes=p>p0

1.2 Tíchch¾pvàtíchch¾psuyr®ng

1.2.1 Tíchch¾p

Đ%nhnghĩa1.2.1.(Xem[6],[7],

[12]).ChoU1(X),U2(X)làcáckhônggiantuyentính,V(Y)làđaiso.Khiđó

(∗):U1(X)×U2(X)→V(y)

K(f∗g)(y)=(Kf)(y)(Kg)(y)

γ

KhiđóU(X)cùngvóiphépnhânch¾pnhưtrênxácđ

%nhm®tđaisoC h o đennayhauhetcácphépbienđoitíchphânđãđưocxâydnng

tíchch¾pchanghannhưphépbienđoiFourier,phépbienđoiFouriers i n e , phépbienđoiFourierco sin e, phépbienđoiHi lb ert, phépbienđoiStieltjes,phépbienđoiLaplace,phépbienđoiM e l l i n , phépbienđoiKontorovich-Lebedev,

L.f∗g.(y)=(Lf)(y)(Lg)(y), y>0 (1.13)

L

Tuynhiêntrưócnhungnăm50cnathekítrưóc,cáctíchch¾pđãđưocbietđenlàcáctíchch¾pkhôngcóhàmtrong.Đennăm1967,V.A

Kakichevđãđưaraphươngphápkienthiettíchch¾pđoivóiphépbienđoitíchphân

K vóihàmtrongγ(y),kíhi¾u f ∗g.vàthoámãnđang

F s.f∗g.(y)=siny(F s f )(y)(F s g)(y),y >0 (1.15)

Tíchch¾p(1.16)thu®ckhônggianL1(R+)vàthóamãnđangthúcnhântúhóa

F c.f∗g.(y)=cosy(F c f )(y)(F c g)(y),y >0 (1.17)

F c

f 1

Cáctíchch¾p(1.10),(1.12),(1.14),

(1.16)đeucó m®tđ¾cđiemchunglàtrongđangthúcnhântúhóachícóm®tphépbienđoitíchphânthamgia.Dođócáctíchch¾pnàykhôngpháilàcáctíchch¾psuyr®ng,đieuđóítnhieulàmhancheúngdungcnanó.Năm1998,V.A.KakichevvàNguyenXuânTháođãxâydnngđưocsơđokienthiettongquátnhatcnatíchch¾psuyr®ngvóihàmtrongđoivóibaphépbienđoitíchphânbatkì(xem[8]).Trongphantieptheochúngtôise trìnhbàym®tsotíchch¾psuyr®ngnhưnhungvíduminhhoachosơđotíchch¾psuyr®ng(1.18)đongthòic á c tíchch¾pnàyc ò n đưocs údungtrongchương2,chương3

1.2.2 Tíchch¾psuyr®ngváihàmtrongđoiváicácphépbienđoitích

phân

Năm1998,V.A.KakichevvàNguyenXuânTh á o (xem[8])đãchoketquáxâydnngtíchch¾psuyr®ngvóihàmtrongđoivói3phépbienđoitíchphânvàđưoctómtatnhưs a u :

γ

∗g saochothóamãn:

K1.f γ ∗g (y)=γ1 1(y)(K2f )(y)(K3g)(y),∀y∈Y (1.18)Tươngtncócáctíchch¾ptongquátvóihàm trong:

Vídn1.2.5.(Xem[8])Chof,g ∈L1(R+).Tíchch¾psuyr®ngđoivói

phépbienđoitíchphânFouriercosine(F c )(1.3)vàFouriersine(F s)

F c (f∗g)(y)=(F s f )(y)(F s g)(y),∀y>0. (1.21)

2

Trongđó:K1=F c ,K2=K3=F s ,γ=1

Trongnhungnămganđâynhòkĩthu¾t[8]cũngđãcóm®tsoketquác ô n gbotrêncáctapchítrongnưócvàquoctevetíchch¾ps u y r®ngđoivóicácphépbienđoitíchphânFouriersine,FouriercosinevàKontorovich-Lebedev(xem[12],[13,[14],[15],[16])

Nh¾nxét1.3.Cáctíchch¾psuyr®ng(1.20)vàtrongcácketquá[12],[13,[14],

[15],[16]hoàntoànkhácbi¾trõràngsovóicáctíchch¾p(1.10),(1.12),

(1.14)ó cholàtrongđangthúcnhântúhoác n a chúngc ó nhieuphépbienđoitíchphânthamgia.Cáctíchch¾pnàykhôngcótínhchatgiaohoánvàkethop

Trongquátrìnhlàmlu¾nvănchúngtôis ú dungthêmtíchch¾psu y r®ngđoivóiphépbienđoiFouriersinevàFouriercosine.Đâycũngchínhlàtíchch¾ps

u y r®ngđautiênđưocI N Sneddonc ô n g bonăm1951(xem[11])

F s (f∗g)(y)=(F s f )(y)(F c g)(y),∀y>0 (1.24)

1

Trongchương1 chúngtôiđãtrìnhbàym®ts o kienthúcc n a cácphépbienđoitíchphândùngtronglu¾nvănđólàphépbienđoitíchphânFouriersine,Fouriercosine,Laplace,sơđoxâydnngtíchch¾pvóihàmtrongvàtíchch¾ps u y r®ngvóihàmtrongc n a c á c phépbienđoitíchphân.Đongthòitrìnhbàym®ts o víd u vetíchch¾pvàtíchch¾ps u y r®ngliênquanđencácphépbienđoitíchphânnày.Quađóchúngtôic ũ n g muonnhanmanhs n khácbi¾trõrànggiuatíchch¾pvàtíchch

¾psuyr®ng

Chương2

Tíchch¾psuyr®ngváihàmtrongđoi váiphépbienđoitíchphânLaplace

Súdungkĩthu¾txâydnngtíchch¾psuyr®ngvóihàmtrongcna3phépbien

đoitíchphânK1,K2,K3(xem[7]).Trongchươngnàychúngtôitrìnhbàyc á c tíchch

¾ps u y r®ngvóihàmtrongđoivóiphépbienđoiLaplace.Chúngminhsntontaicnatíchch¾p(2.1),

(2.2)trongm®tsokhônggianhàmcu theđólàL1(R+),L α,β(R+)vàtùđónh¾nđưocđangthúcnhântúhoác n a chúng.Đongthòinghiênc ú u m®ts o tínhchattoántú,tínhchatđais o c n a c á c tíchch¾pnàytrênm®ts o khônggianhàmcuthe.N®idungchínhcnachươngdnavàotàili¾u[15]

γ

"(f∗g)(1)" L1(R+)™"f" L1(R+)"g" L1(R+)Hơnnua,tíchch¾psuyr®ngthú

ư1+

u

ν +µ (ν+µ)2+t2dt

¸∞

+

1ưu

ν +µ (ν+µ)2+t2

dt+ ∞¸

1+

u

ν +µ (ν+µ)2+t2dt

µ y

µ y

ư1+

u

ν +µ (ν+µ)2+t2dt

¸∞

+

1ưu

ν +µ (ν+µ)2+t2

dt+ ∞¸

1+

u

ν +µ (ν+µ)2+t2dt

(2.2)trongkhônggianL1(R+)vàtac ó đưocđangthúcnhântúhóacnanó.Đâylàm

®tketquáquantrongtrongchươngnày.P ha n tieptheotase nghiêncúu,chúngminhsntontaicnatíchch¾p(2.1),

(2.2)trongkhônggianL α,β(R+)vàbatđangthúcchuantươngúngcnacáctíchch

¾ptrên

r(R + )

α +1

R

π µ

|f(u)| p |θ1(x,u,ν)|e −ν dudν.p

1

× |g(ν)| q |θ1(x,u , ν)|e (q−1)ν dudν.

2 + ¸∞

¸∞

1 ∞

11

|f(u)| p |θ2(x,u,ν)|e −ν dudν.p

1

× |g(ν)| q |θ2(x,u , ν)|e (q−1)ν dudν.

2 +

¸∞ ¸∞

1 ∞

11

1 .¸

™(2

π) p

2 +

™|e −γx x n ||e γx f (x)|™ n!| e γx f (x)| (2.29)M¾tkhác0™e −γx x n=

e −γx (γx) n!

n! γ n ™e −γx e γx n! n!

d n f∈L1(R+,e γx ).Tùđóvàtù(2.29)tacó

Tacó(F s f )(y)(Lg)(y)=0∀y>0.

Suyraf(x)=0∀x>0ho¾cg(x)=0∀x>0

ν +µ (ν+µ)2+(x+1+u)2

- Trongchương2 nàychúngtôiđãtrìnhbàyc á c c ô n g thúctíchch¾psuyr®ngvóihàmtrongđoivóiphépbienđoiLaplace,s n tontaic n a chúngtrongm®ts o khônggianhàmc ũ n g nhưđangthúcnhântúhóacnachúngvàc á c batđangthúcchuan

- Nghiêncúum®tsotínhchattoántú,tínhchatđaisocnacáctíchch¾ps u y r®ng

(2.1),(2.2)trênm®tsokhônggianhàmcuthe.

N®idungchínhcnachươnglàđ%nhlý(2.2.1),(2.2.2),(2.3.1),(2.3.2)và

(2.3.5),(2.3.6)

dnng

Nhưchúngtađãbiethauhetcácphươngtrìnhvàh¾phươngtrìnhtíchphânchanghanphươngtrìnhFredholm,phươngtrìnhVonterratachítìmđưocxapxínghi¾mcnanóvàtrongtrưònghopđ¾cbi¾tcnahachtamóitìmđưocnghi¾mđúng(xem[2],

[3]).Trongchươngnàychúngtôimuontrìnhbàyúngdungcnatíchch¾psuyr®ngvóihàmtrongđoivóiphépbienđoitíchphânLaplace(2.1),

(2.2)vàovi¾cgiáiđóngm®tlópphươngtrìnhvàh¾phươngtrìnhtíchphândangch¾p.Hưóngúngdungnàytrongm®tsonămganđâyđãđưoccôngboócácketquá[12],[13],[14],[16]

N®idungchínhc n a chươngđ ưocdnavàotàili¾u[15]

−

Trongđó

1 ¸ ∞ , ν µ+ ν + µ

(F s f )(y)+e −µy sinyF c (ϕ∗f)(y)(Lψ)(y)=(F s g)(y)

2

Kethopvói(1.21)tađưoc

(F s f )(y)+e −µy siny(F s ϕ)(y)(F s f )(y)(Lψ)(y)=(F s g)(y)

1−F c (ϕ∗ψ)(2)(y)

(3.6)

(F c f )(y)−e −µy sinyF s (ϕ∗f)(y)(Lψ)(y)=(F c g)(y)

γ

1+F c (ϕ∗ψ)(2)(y)

(3.13)

(F s f )(y)+e −µy siny(F c g)(y)(Lϕ)(y)=(F s p)(y)

(F c g)(y)+(F s ψ)(y)(F s f )(y)=(F c q)(y) (3.16)

=[(F s p)(y)−F s (q∗ϕ)(1)(y)][1− F c (ψ∗ϕ)(2)(y)

(F c f )(y)−e −µy siny(F s g)(y)(Lϕ)(y)=(F c p)(y)

(F s g)(y)+(F s ψ)(y)(F c f )(y)=(F s q)(y) (3.20)

=[(F c p)(y)−F c (q∗ϕ)(2)(y)][1+ F c (ψ∗ϕ)(2)(y)

Canpháinhanmanhrangnhungphươngtrìnhvàh¾phươngtrìnhtíchphânmàchúngtôixemxétóđâykhócóthegiáiđưocneukhôngdùngcông

cutíchch¾psuyr®ngvóihàmtrongđoivóiphépbienđoitíchphânLaplace(2.1),(2.2vàđâycũngchínhlàm®ttrongnhungúngdungcnam®tsonămganđây

chươnglàđ%nhlý(3.1.1),(3.1.2),(3.2.1),(3.2.2)

Lu¾nvănnghiênc ú u tíchch¾psuyr®ngvóihàmtrongđoivóiphépbienđoiLaplace.Nhungketquáchínhlu¾nvănđãđatđưoclà

• Nghiêncúucôngthúctíchch¾psuyr®ngvóihàmtrongđoivói

phépbienđoitíchphânLaplace(2.1),

(2.2),sntontaicnacáctíchch¾pnàytrênkhônggianL1(R+)vàđangthúcnhântúhóa

2- Nghiêncúuđach¾pđoivóicácphépbienđoitíchphânFouriersine,Fourierc

o s in e , Laplacevàúngdung

Tuynhiêndothòigianvàkienthúccóhannênlu¾nvănkhôngtránhkhóinhungthieusót.Tácgiáratmongnh¾nđưocsnđónggópýkiencnaquýthaycôvàbanđocđe lu¾nvănđưochoànthi¾ntothơn

[17]S.B.Yakubovich(1991),OnintegralconvolutionsoftheLaplacetypeforG-transforms,I z v Akad.NaukB S S R N6,p.11-16(inRussian).

[18]S.B.Yakubovich(2006),"CertainisometricsrelatedtothebilaterralLapl

acetransforms".Mat.ModelingandAnalysis.Vol.11(3),p331-346.