Tích phân itô

tích ngau nhiên đóng m®t vai trò het súc quan trong trong lýthuyet xác suat- thong kê hi¾n đai, nó có úng dnng r®ng rãi ó tatcá các lĩnh vnc khác nhau như công ngh¾ thông tin, công ngh¾

ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2 KHOA TOÁN

LèI CÃM ƠN

giáo trong khoa Toán đã giáng day và giúp đõ chúng em trong suot quátrình hoc t¾p tai khoa

K35CN TOÁN nghành cú nhân Toán, khoa Toán đã nhi¾t tình giúp đõ

em trong quá trình hoc t¾p tai lóp

Hà n®i, ngày 22 tháng 04 năm 2013

Sinh viên

Nguyen Ánh Tuyet

LèI CAM ĐOAN

Tên em là: Nguyen Ánh Tuyet, sinh viên đai hoc khóa 2009 – 2013

Em xin cam đoan đe tài: “Tích phân Itô”, là ket quá nghiên cúu và thu

thnc, không trùng vói các tác giá khác Neu có gì không trung thnc trong

Hà n®i, ngày 22 tháng 04 năm 2013

Sinh viên

Nguyen Ánh Tuyet

Mnc lnc

Me

ĐA U 6

Chương 1 Cơ sé lý thuyet 9

1.1 Không gian Hilbert các bien ngau nhiên 9

1.1.1 Không gian các bien ngau nhiên đ n ơ gián 9

1.1.2 Ví dn 10

1.2 SN h®i tn cúa dãy các bien ngau nhiên 13

1.2.1 H®i tn bình ph ươ ng trung bình 13

1.2.2 H®i tn theo x ác suat 14

1.2.3 H®i tn hau c hac c han( H®i tn vói x ác suat 1) 14

1.2.4 H®i tn yeu 15

1.2.5 Lu¾t so lón và Đ%nh lí giói han trung tâm 15

1.2.6 Ví dn 16

1.3 Không gian Hilbert các quá trình ngau nhiên 17

1.3.1 Đ%nh nghĩa 17

1.3.2 M®t so ví dn ve sn h®i tn cúa dãy quá trình ngau nhiên 19

Chương 2 T ích phân ngau nhiên Itô 22

2.1. T ích phân có

dang ¸ t f ( s , ω ) ds 22

2.1.1 Tíc h phân cúa hàm đ n ơ gián 22

2.1.2 Tíc h phân cúa hàm bat kì 24

2.1.3 Ví dn 25

2.2. T ích phân ngau nhiên Itô 25

2.2.1 Tíc h phân ngau nhiên Itô cúa hàm đ n ơ gián 25

2.2.2 Tíc h phân ngau nhiên Itô dang ¸ b f ( s ) dW ( s ) 27

2.2.3 Tíc h phân ngau nhiên Itô dang ¸ t f ( s ) dW ( s ) 27

2.2.4 T ính c hat cúa tích phân Itô 28

a

a a

ài li¾u tham kháo

3 7

5

tích ngau nhiên đóng m®t vai trò het súc quan trong trong lýthuyet xác suat- thong kê hi¾n đai, nó có úng dnng r®ng rãi ó tat

cá các lĩnh vnc khác nhau như công ngh¾ thông tin, công ngh¾ vien

và phát trien ve nó Trong đó tích phân Itô là m®t trong nhungkhái ni¾m quan trong cúa giái tích ngau nhiên Tù khái ni¾m đó

chúng rat có ý nghĩa ve m¾t lý thuyet và úng dnng Đe có the hieu

khóa lu¾n tot nghi¾p cúa mình

2 Khái quát ve n®i dung và pham vi nghiên cNu

Tích phân Itô là m®t trong nhung khái ni¾m quan trong cúa giái

ho đã xây dnng nên m®t lóp các quá trình ngau nhiên Itô

Khóa lu¾n này em trình bày ve tích phân Itô

3 Mnc đích- Yêu cau

• Đây là m®t d%p đe có the t¾p d otư nghiên cúu (vói sn đ%nh

• Nam bat đ ocư nhung n®i dung cơ bán cúa lý thuyet (Các khái

dnng, )

• Biet cách the hi¾n nhung hieu biet cúa mình

4 Đoi tưeng nghiên cNu

Tích phân ngau nhiên Itô và các kien thúc liên quan

5 Pham vi

• Các tài li¾u tham kháo do cá nhân tn tìm hieu và thu th¾p

thêm

• Thòi gian thnc hi¾n đe tài

• N iơ hoàn thành khóa lu¾n (nhung khó khăn và thu¾n loi)

3 Phương pháp nghiên cNu

• Thu th¾p, tra cúu, phân tích tài li¾u

a

Chương 1

Cơ sé lý thuyet

1.1 Không gian Hilbert các bien ngau

nhiên

1.1.1 Không gian các bien ngau nhiên đơn gián

Đ%nh nghĩa 1.1.1 (bien ngau nhiên đ n ơ gián)

tiêu đ ocư goi là bien ngau nhiên đ nơ gián

ngau nhiên đ nơ gián cũng là m®t bien ngau nhiên đ nơ gián.

sau :

Tích vô hưéng

không đay đú Tuy nhiên, nó có the đ ocư bo sung đe tao thành không

gian Hilbert H RV , trong đó S RV là trù m¾t trong H RV

Ví dn 1.1 Không gian Hilbert L2[0, 1]

Xét không gian xác suat (Ω, A , P) trong đó không gian mau là Ω

=

{x : 0 ≤ x ≤ 1} Không gian các bien co A là σ - đai so cúa t¾p các

khoáng có dang (a, b] ⊂ [0, 1] Đ® đo xác suat P là đ® đo Lebesgue trong đó P(A) =

b − a neu A = [a, b] ∈ A Cho S RV là t¾p tat cá các hàm đ nơ gián đ%nh

dn tat cá các bien ngau nhiên liên tnc trên [0, 1] Th¾t v¾y, cho f : [0, 1]

, " f − f n " RV → 0 khi n → ∞ Vì v¾y, f là giói han cúa dãy các bien

Ví dn 1.2 Ví dn ve sn h®i tn trong không gian Hilbert H RV = L2[0, 1]

Khi đó " X n − X m " RV → 0 khi m, n → ∞ Vì v¾y, {X n } ⊂ H RV là dãy

Cauchy trong H RV , X n h®i tn trong H RV tói X = 1 Y khi n → ∞.

}

R V

n= 1

1

2

Ví dn 1.3 Ví dn ve sn không h®i tn

dãy các bien ngau nhiên có phân phoi đeu vói n = 1, 2, thì

Ví dn 1.4 Không gian Hilbert đ%nh chuan

Xét Ω = {x : −∞ < x < ∞} Kí hi¾u A là σ - đai so sinh bói các

khoáng dang (a, b], A là σ - đai so Borel trên R.

Đ%nh nghĩa bien ngau nhiên X là X (x) = x Vói A ⊂ A , µ ∈ R và σ >

phươ sai σ ng 2, kí hi¾u là X ∼ N(µ, σ 2)

f (s)g(s)p(s)ds vói f , g ∈ S RV

H RV là đay đú cúa S RV Khi đó H RV là không gian các bien ngau nhiên đ

%nh nghĩa trên R vói chuan

1.2.1 H®i tn bình phương trung bình

Sn h®i tn cúa dãy các bien ngau nhiên rat quan trong trong nghiên

ngau

nhiên xác đ%nh trên không gian xác suat (Ω, A , P)

Đ%nh nghĩa 1.2.1.

bình đen bien ngau nhiên X neu

H®i tn bình phươ trung bình kéo theo h®i tn manh Đieu khang đng

ho¾c tù bat

đang thúc Lyapunov

Bat đang thNc Lyapunov:

(E(|X| p))1/p ≤ (E(|X| r ))1/r khi 0 < p < r.

Đ¾c bi¾t, vói p = 1, r = 2 thì bat đang thúc Lyapunov quy ve bat đang

đ ocư goi là h®i tn theo xác suat tói X

neu vói moi ε > 0 thì

Chú ý

1.2.2.

lim P(|X n − X| > ε) = 0.

→

Bat đang thNc Chebyshev - Markov:

n ∞

}

n ∞

Bo đe ve sN h®i tn hau chac chan

∞

Neu ∑ P (|X n − X| ≥ ε) < ∞ vói moi ε > 0 thì X n đ ocư goi là h®i tn hau

n=1

chac chan tói X.

Chú ý 1.2.3.

H®i tn hau chac chan kéo theo h®i tn theo xác suat Tuy nhiên, h®i

1.2.4 H®i tn yeu

Đ%nh nghĩa 1.2.5 H®i tn theo phân phoi

bien ngau nhiên X neu

lim F X n (x) = F X (x),

n→∞

Đ%nh nghĩa 1.2.6 H®i tn yeu

M®t dãy h®i tn yeu khi và chí khi nó h®i tn theo phân phoi

1.2.5 Lu¾t so lén và Đ%nh lí giéi han trung

tâm

Hai ket quá quan trong liên quan đen dãy bien ngau nhiên đó là lu¾t

so lón và đ%nh lí giói han trung tâm

sú µ = E(X n ) và σ 2 = Var(X n ) Đ%nh nghĩa S n = ∑ X i Khi đó S n /n → µ

i=1

hau chac chan và theo bình phươ trung bình Nghĩa làng

.2

Đ%nh lí giéi han trung tâm:

Ví dn 1.5 H®i tn chac chan và h®i tn bình ph ươ trung bình ng

Cho X là m®t bien ngau nhiên có phân phoi đeu trên [0, 1], nghĩa là

X ∼ U [0, 1] và dãy các bien ngau nhiên {X n ∞đ ocư đ%nh nghĩa là

Do đó X n → X theo bình phươ trung bình.ng

Ví dn 1.6 H®i tn yeu nh ng ư không là h®i tn bình ph ươ trung bình ng

Như trong ví dn 1.1, cho không gian mau là Ω = {x : 0 ≤ x ≤ 1} vói không gian các bien co A là σ - đai so Borel sinh bói các khoáng (a, b]

1.3 Không gian Hilbert các quá trình

ngau nhiên

1.3.1 Đ%nh nghĩa

Xét quá trình ngau nhiên liên tnc xác đ%nh trên [0, T] và không gian xác suat (Ω, A , P) Cho f (t) = f (t, ω) là quá trình ngau nhiên sơ cap hay hàm

n 6

ngau nhiên đ nơ gián đ%nh nghĩa trên [0, T ] × Ω, nghĩa là f có dang

N−1

i= 0

f (t i , ω)I i (t),

trong đó 0 = t0 < t1 < t2 < · · · < t n = T là m®t phân hoach trên [0, T]

Giá sú rang f (t i , ·) ∈ H RV vói moi t i Đ¾c bi¾t, E( f 2(t i )) < ∞ vói moi i

Không gian S SP là không gian metric vói metric " · " SP H nơ nua, S SP

không là không gian đú và không gian này có the đay đú hóa bang cách

ngau nhiên

f (t, ω) thóa mãn vói hang so d ươ kng 1, k2 sao cho " f (0)2 ≤ k1 và "

f (t2) − f (t1) 2 ≤ k2 |t2 − t1| vói moi t1, t2 ∈ [0, T ] Khi đó f ∈ H SP

H nơ nua, theo đ%nh lý Fubini

Cho {W (t), 0 ≤ t ≤ T} là quá trình Wiener Vói N ∈ N ta đ%nh

= ∑

i=0

{ f N }∞N=1 h®i tn tói W trong H SP

Xét J(e −X ) = ¸ T exp (−X (t))dt trong đó X là quá trình Poisson

0

Ví dn 1.10 Xap xí quá trình Wiener

T /N Cho W (t) ∼ N(0, t) là quá trình Wiener Quá trình ngau nhiên X N

2.1.1 Tích phân cúa hàm đơn gián

• Giá thiet (c1): f (a) ∈ H RV vì v¾y " f (a) " RV = E | f (a)|2 ≤

• Giá thiet (c3): f không dn báo đ ocư trên [a,b]

Tính chat 2.1.1 Neu f ∈ H SP thóa mãn (c1) và (c2) thì

" f (t) " RV ≤ k2 (b − a)1/2 + " f (a) " RV vói moi t ∈ [a, b].

Chúng minh Áp dnng bat đang thúc tam giác ta đ ocư

Chú ý 2.1.1.

Giá thiet (c3) rang f không dn báo đ ocư trên [a,b] ve bán chat có the

t r ≤ b.

Ví dn, f1(t) = 3cos(W 2(t)) + 4W (t) − 5t là không dn báo đ ocư trong

f1(t)(W (t r )− W (t))) = 0 vói t r > t trong khi

i a

}

¸ b f m (s)ds

i=0

2.1.3 Ví dn

Ví dn 2.1 (Tích phân cúa hàm cúa quá trình Wiener)

trên đoan [0, T ] Khi đó ta có

2.2 Tích phân ngau nhiên Itô

2.2.1. Tích phân ngau nhiên Itô cúa hàm đơn

t i

k2

S SP h®i tn đen f ∈ H SP Xét I( f m ) ∈ H RV vói m = 0, 1, 2, Đ¾c bi¾t,

2.2.2. Tích phân ngau nhiên Itô

Cho f ∈ H SP thóa mãn các giá thiet (c1) - (c3) và f m (t,

trong đó t (m) = a + i( t−a ) và h®i tn trong H RV .

2.2.4. Tính chat cúa tích phân Itô

Tính chat 2.2.1 I(f + g) = I(f) + I(g).

Tính chat 2.2.2 I(cf) = cI(f).

f (t (m))∆W i ) = 0 vói moi giá tr% cúa m.

|E(I( f ))| ≤ |E(I( f ) − I( f m ))| + |E(I( f m ))| < ε khi m > M Khi ε tùy ý thì E(I( f )) = 0.

2

i

Tính chat 2.2.4 E |I( f )| a2 = ¸ b E | f (t)|2 dt

Chúng minh Tiep tnc chúng minh như chúng minh tính chat 2.2.3 Áp

dnng bat đang thúc tam giác ta có,

Tích phân J( f ) thóa mãn tính chat 2.2.1 và tính chat

2.2.2 nh ng ư không thóa mãn tính chat 2.2.3 và tính chat

2.2.4., tích phân I( f ) thóa mãn tính chat 2.2.1 - 2.2.4

Ví dn 2.3 Trung bình và bình ph ươ trung bình cúa tích phân ngau ng nhiên

2.3 Vi phân ngau nhiên và công thNc

Itô

2.3.1 Đ%nh nghĩa (Vi phân ngau nhiên Itô)

Quá trình ngau nhiên {X (t), t ∈ [a, b]} xác đ%nh trên không gian

• Giá thiet (c5): Vói hàm G : [a, b] × R → R thì G(a, X (a)) ∈

Cho X ∈ H SP thóa mãn (2.2) vói t ∈ [a, b], ó đó f và g thóa mãn giá thiet

và hàm F và các đao hàm cúa nó thóa mãn giá thiet (c4) và (c5) Giá sú

rang các hàm

f (t) ∂ F (t, x)

∂x ,

(c1) - (c3) Do đó cho Y(t) là m®t quá trình ngau nhiên trong H SP thóamãn vi phân ngau nhiên

Bây giò chú ý rang neu hàm G thóa mãn giá thiet (c4) và X thóa mãn

t

E |G(t2, X (t2)) − G(t1, X

(t1)) 2

≤ k5 |t2 − t1| vói moi t1, t2 ∈ [a, b].

Vì v¾y, sú dnng ket quá neu G thóa mãn giá thiet (c4) - (c5) và X thóa

mãn (2.2) thì ton tai hang so k6 > 0 sao cho

" G(t, X (t)) " RV ≤ k6 vói moi t ∈ [a, b].

W (t k+1) −W (t k ) vói k = 0, 1, , m Theo đ%nh lí Taylor, ton tai θ k , 0

≤ θ k ≤

|

1

m−1 ¸ t

k+1 ∂ F ( t , X ( t )) ∂ F ( t , X ( t ) )

m → ∞ vói moi i thóa mãn 1 ≤ i ≤ 10 Chúng ta se xét chi tiet E1 và E3

ó đây đã sú dnng giá thiet rang quá trình thóa mãn giá thiet (c3) và

(c4) đe suy ra tính b% ch¾n cúa quá trình Tù bieu thúc trên ta suy ra "

E (m) (t) " RV → 0 khi m → ∞

2.3.3 Ví dn

Ví dn 2.4 Tính tích phân ngau nhiên ¸ t sdW (s)

Cho dX (t) = dW (t) vì v¾y g = 1 và f = 0 Cho F(t, x) = tx Áp

Ví dn 2.5 Tính tích phân ngau nhiên ¸ t W (s)dW (s)

KET LU¾NKhóa lu¾n tot nghi¾p vói đe tài: “ Tích phân Itô”, em đã

• Cơ só lý thuyet cúa tích phân ngau nhiên Itô

• Tích phân ngau nhiên Itô

NGUYEN TRUNG DŨNG và ý kien đóng góp cúa các thay cô trong khoa

mnc đích đe ra Tuy nhiên do thòi gian có han và mói bat đau làm quen

Tài li¾u tham kháo

[1] Đào Huu Ho, Xác suat thong kê, Nxb Đai hoc Quoc gia Hà N®i, 1999 [2] Tran Trong Nguyên, Cơ só tính toán trong tài chính, bài giáng

chuyên

ngau nhiên, Nxb Khoa hoc và Kĩ thu¾t, 2000.

[4] Tran Hùng Thao, Toán hoc tài chính, Nxb Khoa hoc và Kĩ thu¾t,

DifferentialEquations,

Springer, 2007

Springer, 1995

[7] A.D Ventxel, Giáo trình lý thuyet quá trình ngau nhiên, Bán d

%ch Nguyen Viet Phú, Nguyen Duy Tien