Tích chập, Tích chập suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine và ứnh dụng

Lýdochonđetài Phépbienđoitíchphânlàm®ttrongnhungvanđequantrongcúagiáitíchtoánhocvàđ ocphátưóc trienliêntnctrongkhoánghaitrămnămtrólaiđây.Phépbienđoitíchphânđóngvaitròquantrongtrongtoánho

LU¾NVĂNTHACSĨTOÁNHOC Chuyênngành:TOÁNG I Ã I T Í C H

Mãso:604601

Ngưèihưéngdankhoahoc:TS.NguyenMinhKhoa

HàN®i-2011

Đongthòitôixinđ ocưóc bàytólòngbiet ntóiơn tatcábanbè,đongnghi¾pvàng òithânđãđưóc

®ngviên,giúpđõtôitrongsuotquátrìnhhoct¾pvàvietlu¾nvăn

M¾cdùđãdànhnhieuthòigiannghiêncúutìmhieusongbánlu¾nvănkhôngthetránhkhóinhunghanche,thieusót.Vìv¾ytôiratmongmuonnh¾nđ ocưóc sngópýcúatatcáquýv%đelu¾nvănnàyđ ocưóc hoànthi¾nh n.ơn

Hàn®i,tháng12năm2011

Hocviên

CaoVănNh¾m

Tôixincamđoanrangsoli¾uvàcácketquánghiêncúutronglu¾nvănnàylàtrungthncvàkhôngtrùngl¾pvóicácđetàikhác.Tôicũngxincamđoanrangmoisngiúpđõchovi¾cthnchi¾nlu¾nvănnàyđãđ ocưóc cám nơn vàcácthôngtintríchdantronglu¾nvănđãđ ocưóc chírõnguongoc

Tácgiá

CaoVănNh¾m

Fouriersinevàogiáicácph ngưócơn trìnhviphânvàph ngưócơntrìnhđaohàmriêng 22

2 Tíchch¾p,tíchch¾ps u y r®ngđ o i véic á c p h é p b i e n đ o i tíchphânFo

2.1 Tíchch¾pvóihàmtrongγ2(y)=cosyđoivóiphépbien

đoitíchphânFouriercosine 272.2 Tíchch¾psuyr®ngđoivóicácphépbienđoitíchphânFouriersine,Fouriercosine 38

Ketlu¾n 65 Tàili¾uthamkháo 67

1 Lýdochonđetài

Phépbienđoitíchphânlàm®ttrongnhungvanđequantrongcúagiáitíchtoánhocvàđ ocphátưóc trienliêntnctrongkhoánghaitrămnămtrólaiđây.Phépbienđoitíchphânđóngvaitròquantrongtrongtoánhoccũngnhưóctrongnhieulĩnhvnckhoahoctnnhiênkhác,đ¾cbi¾tlàtrongvi¾cgiáicácbàitoánvóiđieuki¾nbanđauvàđieuki¾nbiêncúaph ngưócơn trìnhviphân,ph ngưócơn trìnhđaohàmriêng,ph ngưócơn trìnhtíchphân,vàcácbàitoáncúav¾tlý-

toán.Cácphépbienđoitíchphânlànhungcôngcncóhi¾ulncđechuyencáctoántúviphân,toántúđaohàmriêng,toántútíchphânvetoántúđaisovàđongthòiđ aưóc cách¾ph ngưócơn trìnhviphân,tíchphânveh¾ph ngưócơn trìnhđaisotuyentínhquenthu®c.Nhungphépbienđoitíchphânphobiennhat,cóúngdnngr®ngrãinhatvàrađòisómnhatđólàcácphépbienđoitíchphânFourier,Fouriercosine,Fouriersine

Cùngvóisnpháttriencúalýthuyetcác phépbienđoitíchphân,m®th óngưóc pháttrienmóicúalýthuyetcácphépbienđoitíchphânlàtíchch¾pcúacácphépbienđoitíchphânxuathi¾nvàokhoángđautheký20.Cáctíchch¾pđ ocưóc nghiêncúuđautiênđólà:

Tíchch¾pđoivóiphépbienđoitíchphânFouriercosineF ccúa haihàmf

vàgđưocxácđ%nhnh sauưóc [9,15]

Cáctíchch¾pnóitrênđeucócùngm®tthu®ctínhđ¾ctr ngđóưóc làtrongđangthúcnhântúhóacúachúngchícóduynhatm®tphépbienđoitíchphânthamgia.Đieunàyítnhieulàmhancheđencautrúcvàvi¾cúngdnngchúngvàogiáicáccácp

h ngtrình,ưócơn h¾ph ngưócơn trìnhtíchphândangch¾pvàcácbàitoánthncte

Năm1951,I.N.Sneddonđãxâydnngđ ocưóc tíchch¾psuyr®ngđautiênđoivóihaiphépbienđoitíchphânFouriersinevàFouriercosine[9]

Foxđ ockhámưóc phábóiVilenkinY.Ya

Nhòph ngưócơn phápnàymàm®tsotíchch¾pvóihàmtrongđãđ ocưóc xâydnngvànghiêncúu[6]

14].Changhannh :ưóc Tíchch¾psuyr®ngđoivóiphépbienđoiFouriercosinevàFouriersine[7]đ ocưóc xácđ%nhbói

Xâydnng,nghiêncúucáctíchch¾p,tíchch¾psuyr®ngvóihàmtrongthncsncóýnghĩatronglýthuyetvecácphépbienđoitíchphân,tíchch¾pvàphưócơn trìnhving,tíchphân.Vìv¾ytôiđãchonh óngưóc nghiêncúucúalu¾nvănlàxâydnngvànghiêncúutíchch¾p,tíchch¾psuyr®ngđoivóicácphépbienđoitíchphânFourier,Fouriercosine,Fouriersinevàúngdn ng chúngvàogiáiph ngưócơn trìnhvàh¾

ph ngưócơn trìnhtíchphândangch¾p

2 Mncđíchvànhi¾mvnnghiêncNu

Xâydnngvànghiên cúubatíchch¾p,tíchch¾psuyr®ngđoivóicácphépbienđoitíchphânFourier,Fouriercosine,Fouriersinevàúngdnngchúngđegiáiph ngưócơn trìnhtíchphânToeplitz–

Hankelvàh¾ph ngưócơn trìnhtíchphândangch¾p

3 Đoitưengvàpham vi nghiên cNu

Nghiêncúutíchch¾p,tíchch¾psuyr®ngvóihàmtrongđoivóicácphépbienđoitíchphânFourier,Fouriercosine,Fouriersinevàúngdnngvàog i á i ph ngưócơn trìnhtíchphân,h¾ph ngưócơn trìnhtíchphândangch¾p

4 PhươngphápnghiêncNu

• Súdnngcácphépbienđoitíchphânvàcácketquácúagiáitích,giáitíchhàm.

• Súdnngph ngưócơn

phápkienthiettíchch¾pvóihàmtrongcúaV.A.Ka-kichev,NguyenXuânTháovàkythu¾ttrongcácbàibáocúaNguyenXuânTháo,NguyenMinhKhoađetìmtòi,nghiêncúucáctíchch¾p,tíchch¾psuyr

®ngvàcácúngdnngcúachúng

5 Bocnccúalu¾nvăn

Ngoàiphanmóđauvàphanketlu¾n,lu¾nvăngombachưócơnng:

• Ch ương 1.CácphépbienđoitíchphânFourier,Fouriercosinevà ng Fouriersi n e

Nhaclaiđ

%nhnghĩa,cáctínhchatcơnbáncúacácphépbienđoiFourier,Fouriercosine,Fouriersinevàm®tsovídnápdnngcácphépbienđoinàytrongvi¾cgiáicácph ngưócơn trìnhviphân,ph ngưócơn trìnhđaohàmriêng

• Ch ương 2.Tíchch¾p,tíchch¾psuyr®ngđoivóicácphépbienđoitíchp hâ n F ng ourier,FouriercosinevàFouriersine

Xâydnnglaivànghiêncúucáctínhchatcúabatíchch¾p,tíchch¾psuyr®ngđoivóicácphépbienđoitíchphânFourier,FouriercosinevàFouriersine

• Ch ương 3.Úngdnnggiáiph ngtrình ng ương vàh¾ph ng ương trìnhtíchphândangch

¾p

Súdnngcáctíchch¾p,tíchch¾psuyr®ngóchưócơn 2đegiáiph ngng ưócơn trìnhvàh

¾ph ngưócơn trìnhtíchphândangch¾p

2

a a

1

= √ 2π

+∞

= √ 2πexp

−

4a −∞ e dt

1

= √ 2a e

y2

− 4a

a+iy a

e −iy(ξ−a

) +∞

=e iya F{f(x)}(y).

¸

y .

|y|→∞.ˆ

(i) f(x)kháviliêntncvàf r ∈L1(R),

(ii) f(x)→0khi|x|→∞.

Khiđó

ˆf r (y)=(iy)fˆ(y).

e −iyx, 1

√

−1,ˆ

−∞

e −iy t

f(x)=.F c f.

.2

d x

• Neuf(x)làhàmchanthì(Ff)(y)=(F c f)(y), ∀y>0.

• Neuf (x)làhàmléthì(Ff)(y)=−i(F s f)(y), ∀y>0.

Vídn1.3.1.ÁpdnngbienđoiFouriervàogiáiph ngưócơn trìnhviphânth òngưóc b¾cnvóih¾s

(trongđóf(x)làhàmchotr óc)bangph ngphápbienưóc ưócơn đoiFourier.

=u(k,t). ˆ

u (k,t)=e −k2t

.u (k),vóiu (k)=F u( x) (k).

ˆTheovídn(1.1.1)tacó

(ii) u(x,0)=P(x),(P(x)làhàmphânbonhi¾tđ®banđau).

6đâytagiáthietthêmranghàmucùngvóitatcácácđaohàmcúanótheobienxtientói0 khix→∞.

[coskx.u]+∞−

0

ud (coskx,

Tíchch¾p,tíchch¾psuyr®ngđoivéicácphé pbienđoitíchphânFourier,Fouriercosine vàFouriersine

=2 |g(u)|du. (2.1.5)

0

+∞0

¸ ¸

cosyx.f (t)g(x+t−1)dxdt. (2.1.14)M¾tkháctacó

cosyx.f (t)g(x+t−1)dxdt.

(2.1.16)

=cosy.cosy.(F c f)(y).(F c g )(y).(F c h )(y)

=cosy.(F c f)(y)[cosy.(F c g )(y).(F c h )(y)]

H nơn nuatùchúngminhM¾nhđe(2.1.1)tacó

γ2

"f∗

4g "≤"f""g".

%phéptoántíchch¾p(2.1.1)tróthànhvànhđ

%nhchuan.Tínhgiaohoáncúavànhnh¾nđ octùưóc đ%nhlí

4g )(y)=(F c g )(y),∀ y>0.

cosy (F c e )(y).(F c g )(y)=(F c g )(y), ∀y>0

|g(u)|du. (2.2.5)

=(F s f)(y).(F c g )(y).(F c h )(y)

=(F s f)(y).(F c h )(y).(F c g )(y)

%nhnghĩa2.2.2.Tíchch¾pcúahaihàmfvàgđoivóiphépbienđoitíchp hâ n Laplac

eđ ocưóc xácđ%nhbói[4]

x

¸

(f∗

f(x− t)g(t)dt, x>0,

(2.2.10)

(2.2.13)

(f∗

1g )≤ "f" "g".

Cáctínhchatcúavànhlàrõràng.Tínhkhônggiaohoán,khôngkethopcúavànhcóđ octùM¾nhđeưóc (2.2.1).Tatieptncđichúngminhvànhđ

(F s f)(y).(F c e )(y)=(F s f)(y), ∀y>0,∀f∈L1(R+)

(F s f)(y)[(F c e )(y)−1]=0, ∀y>0,∀f∈L1(R+).

Neuchonf (x)=e −x ,ta có(F c f)(y)=.2

signy (F c f)(|y|).(F s g )(|y|)=(F c f)(y)(F s g )(y)

=−iF s (f ∗

5g )(y).

f(u)g(|u − x|)du+

γ3

.2

f(|v|)g(|x+v|)dv −

0 0

γ3 γ3

.2

i(F c g )(|y|).(F s h )(|y|).

=signy(F c g )(|y|).− i (F c f)(|y|).(F s h )(|y|).

Giásúelàphantúđ nơn v

%cúaphéptoántíchch¾p(2.3.1)trongkhônggianhàmL γ 1(R+).Khiđótacó

¾t.Vi¾ctìmnghi¾mcúaph ngtưócơn rìnhd óiưóc dangđóngtrongtr ònghopưóc tongquátvancònlàvanđemócanđ ocưóc tieptncnghiêncúu.

Trongphannàytaseápdnngcáctíchch¾p,tíchch¾psuyr®ngđãnghiêncúuđetìmnghi¾md óidangđóngcúaph ngtưóc ưócơn rìnhtíchphânToeplitz-

Hankel.Tr ócưóc tiêntacóđ%nhlísau:

Giásúph ngưócơn trình(3.1.2)cónghi¾mf∈L1(R+)thìdoĐ%nhlí(2.1.1)tacó

(F c f)(y)+λcosy(F c f)(y)(F c g )(y)=(F c h )(y).

VT(3.1.4)=h(y)−λ(h∗ c

ϕ )(y) +λ

Bâygiòtachúngminhnghi¾mtìmđ octheoưóc côngthúctrênlàduynhat.

Giásúph ngưócơn trình(3.1.2)cónghi¾mkháclàf1,khiđótacó

phânToeplitz-Hankel(3.1.1)trongtr ònghopưóc

(F s f)(y)+λ(F s f)(y)(F c g )(y)=(F s h )(y).

(F s f)(y)[1+λ(F c g )(y)]=(F s h )(y).

Do1+λ(F c g )(y)ƒ=0,∀y>0nênsuyra

1Hay

(F s f)(y)=(F s h )(y).

1+λ(Fg)(y).

λ(F c g )(y) .(F s f)(y)=(F s h )(y) 1−1+λ(Fg)(y) . Theođ%nhlíWiener-Lévy[3]tontaihàmϕ∈L1(R+)saocho

(Fϕ)(y)= (F c g )(y) c

=( F s h )(y).(F c ϕ )(y)− {F s h− λF s hF c ϕ}(y).(F c g )(y)

=(F s h )(y).(F c ϕ )(y)[1+λ(F c g )(y)]−(F s h )(y).(F c g )(y)

=(Fh)(y) (F c g )(y) [1+λ(Fg)(y)] (Fh)(y).(Fg )(y)

trìnhphânToeplitz-Hankel(3.1.1)trongtr ònghopưóc

k1(u)=−√ g(u),k2(u)=√ g(|u|).

(F s f)(y)+λ1(F s ϕ )(y).(F c g )(y)=(F s h )(y)

λ2siny (F s f)(y).(F c ψ )(y)+(F c g )(y)=(F c k )(y) , y>0. (3.2.3)

Đâylàh¾tuyentínhvóicácan(F sf )(y)và(F c g )(y)vàtacó

.

3

c c

(F s f)(y)+λ1(F s g )(y)(F c ϕ )(y)=(F s k )(y),y>0

λ2(F c ψ )(y)(F s f)(y)− i(F s g )(y)=−i(F s h )(y),y>0. (3.2.6)

(2.3.1).Nghi¾mcúah¾(3.2.4)xácđ%nhbói(3.2.5)làduynhatdoh¾(3.2.6)cóđ

%nhthúckháckhông

Q

Lu¾nvănđãxâydnnglaivànghiêncúucáctínhchatcúabatíchch¾p,tíchch¾p

đoitíchphânFourier,Fourierc o s i n e , Fouriersine.Đongthòilu¾nvăncũngđ aưócracácúngdnngcúacáctíchch¾p,tíchch¾psuyr®ngnóitrênvàovi¾cgiáiph ngưócơn trìnhtíchphânToeplitz-Hankelvàcách¾ph ngtưócơn rìnhtíchphândangch¾p

Tùcácketquáđãđatđ oc,ưóc tácgiáhyvongcóthetieptncnghiêncúum®tsovanđenh :ưóc

Danhmnccáccôngtrìnhcúatácgiácóliên quanđenlu¾nvăn

NguyenMinhKhoavàCaoVănNh¾m,“OnthegeneralizedconvolutionforFouriersineandcosinetranfroms”.Báocáokhoahoctaih®ingh%“Toán–

Tinúngdnng”nhând

%pkýni¾m55nămthànhl¾pTr òngưóc ĐaihocBáchKhoaHàN®itháng10năm2011

[9]I.N.Sneddon(1951),FourierTransforms,MC.GrayHill,NewYork.