Tích chập suy rộng và đa chập đối với các phép biến đổi tích phân fourier sine, fourier cosine, kontorovich-Lebedev

HàNội,ngày11tháng7năm2012 Họcviên NguyễnĐứcThụy... 9 1.2 Tíchchậpsuyrộngvớihàmtrọngđốivớicácphépbiếnđổi tíchphân……… 13 1.3 Đachậpđốivớicácphépbiếnđổitíchphân………... 17 Chương2.Tíchchậpsuy

LỜICẢMƠN

LuậnvănđượchoànthànhtạitrườngĐạihọcsưphạmHàNội2dướisựhướngdẫncủaTS.TrịnhTuân

Tôix i n bàyt ỏ lòngbiếtơnchânt h à n h , sâusắctớiTS.TrịnhTuân,ngườiđãluônquantâm,độngviênvàtậntìnhhướngdẫntôitrongquátrìnhthựchiệnluậnvănnày

Tôicũngxintrântrọng

cảmơnBanGiámhiệu,PhòngSauđạihọc,cáct h ầ ygiáo,côgiáocủatrườngĐạihọcSưphạmHàNội2đãgiúpđỡvàtạođ i ề u kiệnthuậnlợichotôitrongsuốtquátrìnhhọctập,nghiêncứuvàhoànthànhluậnvănnày

Nhânđâytôixinbàytỏlòngbiếtơnsâusắctớigiađình,BanGiámh i ệ u trườngTHPTTựLập–MêLinh–

HàNộicùngbạnbè,đồngnghiệpđãtạođiềukiện,độngviênvàgiúpđỡtôirấtnhiềutrongsuốtquátrìnhhọctập,n g h i ê n cứu

HàNội,ngày11tháng7năm2012

Họcviên

NguyễnĐứcThụy

TôixincamđoanluậnvănlàcôngtrìnhnghiêncứucủariêngtôidướisựhướngdẫncủaTS.TrịnhTuân.Tôicũng

xincamđoanrằngmọisựgiúpđỡchoviệcthựchiệnluậnvănnàyđãđượccảmơnvàcácthôngtintríchdẫntrongluậnvănđãđượcchỉrõnguồngốc

Tácgiả

NguyễnĐứcThụy

Trang

1.1 Tíchchậpđốivớicácp h é p biếnđ ổ i tíchphânFourier,Fouriersine,Fo

uriercosinevàKontorovich-Lebedev……… 9

1.2 Tíchchậpsuyrộngvớihàmtrọngđốivớicácphépbiếnđổi tíchphân……… 13

1.3 Đachậpđốivớicácphépbiếnđổitíchphân……… 15

Kếtluận……… 17

Chương2.TíchchậpsuyrộngđốivớicácphépbiếnđổitíchphânFouriersi ne,FouriercosinevàKontorovich-Lebedev 18 2.1 Địnhnghĩavàđẳngthứcnhântửhóa……… 18

2.2 Mộtsốtínhchấtcủatoántử……… 24

2.3 Ứngdụnggiảihệphươngtrìnhtíchphân……… 29

Kếtluận……… 38

Chương3.Đachậpđốivớicác phép biếnđổitíchphân Fourierc o s i n e , FouriersinevàKontorovich-Lebedev 39 3.1 Địnhnghĩavàđẳngthứcnhântửhóa……… 39

3.2 Cáctínhchấttoántửcủađachập……… 43

3.3 Ứngdụnggiảiphươngtrìnhtíchphânvàhệphươngtrình tíchphân……… 46

Kếtluận……… 56

phânđãchotanhữngứngdụngphongphú,chẳnghạnlàgiảiphươngtrình,hệphươngtrìnhtíchphândạngchập,nghiệmbiểudiễndướidạngđóngvàđặcb i ệ t làphươngtrìnhtíchphânToeplitz–Hankel.

Vớimongmuốntìmhiểusâuhơnvềvấnđềnày,nhờsựgiúpđỡ,hướngdẫntậntìnhcủaTSTrịnhTuân,tôiđãmạnhdạnnghiêncứuđềtài:

“TíchchậpsuyrộngvàđachậpđốivớicácphépbiếnđổitíchphânFouriersine,Four

iercosine,Kontorovich–Lebedev”.

Luậnvănđượctrìnhbàythànhbachươngvàphầntàiliệuthamkhảo.Đểt i ệ n choviệctheodõiluậnvănthìphầnđầuchúngtôicótrìnhbàythêmbảngk ý hiệutoánhọcdùngđểviếtluậnvăn

2 Mụcđíchnghiêncứu

Đềtàinàynhằmnghiêncứumộtcáchcóhệthốngvềtíchchậpsuyrộngv à

đ a chậpcóhàmtrọngđốivớiphépbiếnđổitíchphânFouriersine,Fourierc o s i n e v àKontorovich–Lebedev(nghiêncứus ự tồntạitrongkhônggian

L1(ℝ+),đẳngthứcnhântửhóa,cáctínhchấtđạisốcủatíchchập,đachậpvà

ứngdụngđểgiảiphươngtrình,hệphươngtrìnhtíchphân)

3 Nhiệmvụnghiêncứu

- Nghiêncứutínhchấttoántửcủatíchchậpsuyrộngvàđachậpđốivớiph épbiếnđổitíchphânFouriersine,FouriercosinevàKontorovich–Lebedev

- Tìmhiểucáctínhchấtcủanó

- Ứngdụngđểgiảiđóngmộtsốphương trìnhtíchphânvàhệphươngtrìnht í c h phândạngchập

4 Đốitượngnghiêncứu

- TíchchậpsuyrộngvàđachậpđốivớiphépbiếnđổitíchphânFouriers i n e , FouriercosinevàKontorovich–Lebedev

Lebedevcũngnhưđachậpc ủ a cácphépbiếnđổinày.Từđóchoứngdụngđểgiảiphươngtrìnhtíchphânv à hệphươngtrìnhtíchphândạngchập.

Chương1Kiến thứcchuẩnbị

Trongchươngnàychúngtôisẽtrìnhbàymộtcáchtómtắtmộtsốkiếnthứcv ề

c á c p h é p biếnđổitíchp h â n Fourier,F o u r i e r cosine,F o u r i e r s i n e , Kontorovich-

Lebedev,tíchchậptươngứngcủacácphépbiếnđổitíchphânnày,tíchchậps u y rộngv à đ a chập.Saumỗiphầntrìnhb à y chúngt ô i đềut r í c h dẫnmộtsốtíchchậpsuyrộngvàđachậplàmvídụminhhọa.Cácvídụn à y sẽđượcdùngchoviệcnghiêncứucácchươngsau

Nộidungtrìnhbàycủachươngnàyđượcdựavàocáctàiliệu(xem[6],[7],[8],[9],[10],[11],[12],[14],[18],[19],[20])

1.1 TíchchậpđốivớicácphépbiếnđổitíchphânFourier,Fouriercosine,Fourier sinevàKontorovich-Lebedev

1 2π

1 2π

1 2π

2 π

1.1.2 Cácvídụvềtíchchập

Địnhnghĩa1.2PhépbiếnđổiFouriercủahàm f(x) ∈L1(ℝ) làmộthàmkí hiệu Ff vàđượcxácđịnh bởicông thức(xem[12]):

+∞

ɶf(x) =(Ff)(x)= ∫

−∞

e −iyx f(y)d y

2 π

).Tíchchậpvớihàmtrọng γ(x)=sinx củahaihàmf v à g

đốivớip h é p b i ế n đổit í c h phânFouriersi n e (1.5)đượcxácđịnhbởicôngt h ứ c (xem[8])

).TíchchậpđốivớiphépbiếnđổitíchphânKontorovich–Lebedev(1.11)củahaihàmf vàg,kíhiệu(f



trìnhbàysauđâychúngtôisẽnêusơđồkiếnthiếttổngquátcủat í c h chậpsuyrộngvớihàmtrọngđốivớicácphépbiếnđổitíchphâncũngn h ư mộtsốvídụminhhọachocáctíchchậpđó.

1 2

[19] ) Đểminhh ọ a chosơ đồkiếnthiếttíchchậpsu y r ộ n g (1.16),sauđâychúngtôitrìnhbàymộtsốvídụminhhọađồngthờicáct í c h chậpsuyrộngnàycòndùngđểnghiêncứuchocácchươngsaucủaluậnv ă n

i i

i

1 2

Chẳnghạn,đachậpđốivớicácphépb i ế n đổitíchphânFourier cosinevàFouriersine;Fouriersine,FourierCosinev à Kontorovich-Lebedev(xem[13],[16],[18])

Đểminhh ọ a chos ơ đ ồ kiếnthiếtđ a chập(1.21),s a u đ â y chúngtôitrìnhb à ymộts ố v í d ụ minhh ọ a đồngthờic á c đachậpn à y c ò n dùngđển g h i ê n cứuchochương3củaluậnvăn

1.3.2 Mộtsốvídụminhhọa

Vídụ1.7(xem[13])Cho f,g,hL1(ℝ).ĐachậpđốivớicácphépbiếnđổitíchphânFouriercosinevàFouriersinecủacáchàm f,g,h đượcxácđịnh

2π∫∫0 0 f(u)g(v)[h(x+uưv)+h(xưu+v)ư

ưh(xưuưv)ưh(x+u+v)]dudv,x>0 (1.22)

- Trìnhbàymộtsốphépbiếnđổitíchphânvàtíchchậptươngứngcủacácp h é p biếnđổitíchphânFourier,Fouriercosine,Fouriersine,Kontorovich–Lebedev

- Trìnhbàyvàhệthốngsơđồvềtíchchậpsuyrộngcóhàmtrọngvàđa

chậpcủacácphépbiếnđổitíchphânK i (i=1,n)

- Trìnhbàycácvídụminhhọatíchchậpsuyrộngvàđachậpđểthấysựk h á c biệtrõrệtlàđốivớitíchchậptrongđẳngthứcnhântửhóachỉcómộtphépbiếnđổitíchphânthamgiacòntrongtíchchậpsuyrộngvàđachậpcónhiềuphépbiếnđổitíchphânkhácthamgia

Chương2 TíchchậpsuyrộngđốivớicácphépbiếnđổitíchphânFour ie

Cácđịnhlýchínhcủachươngnàylàđịnhlý(2.1)và(2.2).Nộidungc ủ a chương2đượctrìnhbàytừtàiliệu(xem[17])

Bâygiờtasẽchứngminhtíchchậpsuyrộng(2.1)thỏamãnđẳngthứcn h â n tửhóa(2.3).Thậtvậy

∫sin(yt)sinh(t+v).e −u.cosh(t+v) t=

∫ sin(ys)sinh(v−s)e −u.cosh(v −s)s

nên∫0  cosy(α−v)−cosy(α+v)sinhα.e+∞ u.c coshα dα=

= cos(yt) sinh(t+v).e −u.cosh(t+v)−sinh(t−v)e −u.cosh(t−v)d t

0

1

 1

1

 1

1

 1

=sinh−1(πy) (K −1 f) (y).sinh−1(πy) (K −1 g) (y)(Fh)(y)=

=sinh−1(πy)(K −1 g)(y).sinh −1(πy)(K −1 f)(y)(Fh)(y)=

(2.2)cùngvớimộtsốtíchchậpđãbiếtđểgiảiđóngmộtlớphệphươngtrìnhtíchphândạngchập.



1 2π

- Trìnhbàyđượcchitiếthaitíchchậpsuyrộngđốivớicácphépbiếnđổit í c h phânFouriersine,FouriercosinevàKontorovich–Lebedevngượcvớihàmtrọng

- Nghiêncứusựtồntại,đẳngthứcnhântửhóavàcáctínhchấtđạisốcủah a i tíchchậptrêncáckhônggiankhácnhau

- Ứngdụngcáct í c h chậps u y r ộ n g n à y đ ể giảiđóngmộts ố l ớ p hệphươngtrìnhtíchphândạngchập

Trongchươngnàychúngtôitrìnhbàyvềđachập

đốivớicácphépbiếnđ ổ i tíchphânFouriersine,FouriercosinevàKontorovich–Lebedev.Nghiêncứucáctínhchấtcủachúngvàứng

Hankel

ưwcosh(xưu+v) ưwcosh(xưuưv) ưwcosh(x+u+v) ưwcosh(x+uưv)

= ∫∫∫00 [e0 ưwcosh(xưu+v) +e ưwcosh(xưuưv) ưe ưwcosh(x+u+v)ư

ưe ưwcosh(x+uưv) ]f(u)g(v)h(w)dudvdw≤

41

Điềunàychứngtỏrằngđachập*(f,g,h)(x) ∈L1(ℝ+)

1

11  11 

Lebedev(3.1)cùngvớimộtsốtíchchập,đachậpđãbiếtđểgiảiđóngmộtlớpphươngtrìnhtíchp h â n , hệphươngtrìnhtíchphândạngchập.

1(x+y) vànhân

Hankel k

2(x−y) hãycònlàmộtbàitoánmở,hầuhếtchỉtìmđượcnghiệm

Gầnđây,trongmộtsốkếtquảcôngbốcủaNguyễnXuânThảovàTrịnhT u â n (xem[16],[18])đãgiảiđượcnghiệmđúngcủamộtsốlớpphươngtrình

Bổđề(xem[ 1 6 ] ) Cho

f∈L1(ℝ ),g∈L



1, ℝ

(3.17)





1 2π

Địnhlýđượcchứngminh

Trongchương2chúngtôiđãtrìnhbàymộttrongnhữnghướngứngdụngmớicủatíchchậpsuyrộng(2.1),(2.2)đểgiảihệhaiphươngtrìnhtíchphân

1 2π

Phầntiếptheosauđâychúngtôitiếptụctrìnhbàymộtứngdụngcủađachập( 3 1 ) đểgiảiđónghệphươngtrìnhtíchphân(3.21).Cầnnhấnmạnhrằnghện à y cócấutrúchoàntoànkhácsovớihệđãtrìnhbàyởchương2

ξ) (y)

=1−(F c ξ)(y) (3.23)

Tươngtự,từtíchchập(1.6)vàtíchchậpsuyrộng(1.19)tacó

gian L1(ℝ+) màkhócóthểgiảiđượcbằngcáccôngcụkhác.Đâychínhlà

mộthướngứngdụngcủađachậpvàtíchchậpsuyrộngvớihàmtrọng

Trongchương3tađãnghiêncứuđachậpđốivớicácphépbiếnđổitíchp h â n FouriersinevàFouriercosinevàKontorovich–

Lebedev.Đachậpnàyk h ô n g cótínhchấtgiaohoán,khôngcótínhchấtkết

hợpvàkhôngcóphầntửđơnv ị Đặcb i ệ t đãứ n g dụngđachậpnàyđ ể giảiđượcnghiệ

mđ ú n g củaphươngtrìnhtí ch

phânToeplitz-Hankelvàhệphươngtrìnhtíchphândạngc h ậ p

Luậnvănđạtđược:

 Trìnhbàychitiếtvềcáctíchchậpsuyrộngđốivớiphépbiếnđổitíchp h â n Fouriersine,Fouriercosine,Kontorovich–

Lebedevngượcvàứngdụngcủacáctíchchậpn à y tr o n g v i ệ c giảiđóngmộtlớph ệ phươngtrìnhtíchphândạngchập

 TrìnhbàychitiếtvềđachậpđốivớiphépbiếnđổitíchphânFouriers i n e , FouriercosinevàKontorovich–

Lebedev.Từđóđãứngdụngđểg i ả i đóngmộtlớpphươngtrìnhtíchphânvớinhânToeplitz-Hankelvàhệphươngtrìnhtíchphândạngchập

[13]N.X.ThaoandN.D.Hau(2008),“Ont h e Polyconvolutionfort h e Fouriercosin

[17]T.TuanandN.X.Thao(2005),“OnthegeneralizedconvolutionoftheintegralK

ontorovich–

Lebedev,Fouriers i n e andcosinetransforms”,AnnalesUniv.Sci.Budapest, Sect.Comp.Vol.25,37–51.